Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft"

Transkript

1 Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter, rx) xi+yj xi+x 3 j, hvor 1 x 2. Da får vi dr i+3x 2 j)dx. Når parametriseringen settes inniuttrykket for v får vi v x 4 i+x 2 j. Vi setter dette inn i integralet: Oppgave 2 λ v dr 2 Et kraftfelt er gitt ved F y 2 +5 ) i+2xy 8)j. y 1 x 4 +3x 4) dx D C 1,1) A B x Figur 6.1: Et kvadrat ABCD i xy-planet. ABC: W F dr F dr + F dr. ABC AB BC 55

2 56 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft AB: Parametrisering rx) xi for x 1, da er dr idx og y : F dr 1 AB 5dx 5. BC: Parametrisering ry) i+yj for y 1, da er dr jdy og x 1: Arbeidet blir W F dr 1 BC 2y 8)dy 7. ADC: W ADC F dr AD F dr + DC F dr. AD: Parametrisering ry) yj for y 1, da er dr jdy og x : AD 1 F dr 8dy 8. DC: Parametrisering rx) xi+j for x 1, da er dr idx og y 1: Arbeidet blir W DC F dr 1 6dx 6. AC: Parametrisering rs) si+j) for s 1, da er dr i+j)ds: 1 1 W F dr s 2 +5)+2s 2 8)ds 3s 2 3ds 2. AC Skal kraften kunne skrives som gradienten til et potensial V Vx,y) må vi ha F V som gir vektorlikningen y 2 +5 ) i+2xy 8)j V V i x y j V x y2 5 Vx,y) xy 2 5x+f 1 y) V y 2xy +8 Vx,y) xy2 +8y +f 2 x). For å få en entydig løsning må vi velge f 1 y) 8y +C og f 2 x) 5x+C. slik at Vx,y) xy 2 5x+8y +C. Vi kan nå regne ut arbeidet ved hjelp av potensialet: W V dr dv V,) V1,1). AC AC

3 57 Punktet C: V1,1) C 2+C. Punktet A: V,) C. Oppgave 3 W V,) V1,1) C 2 C 2. En sirkel S i xy-planet er gitt ved x 2 + y 2 r 2. Sirkelen kan betraktes som en ekviskalarkurve til funksjonen fx,y) x 2 +y 2, en normalvektor til kurven kan skrives som fx,y) 2xi + 2yj se figur 6.2). For at normalvektoren skal få lengde lik én må vi normalisere: n 2xi+2yj 4x 2 +4y x 2 r i+ y r j. Vi har nå gitt vektorfeltet v Ay Ax i+ j, A >. r2 r2 v n S r y x Figur 6.2: En sirkel S i xy-planet. a) Strømhastigheten er tangensial til sirkelen hvis v n : Strømhastighetens størrelse: v n Ay r 2 x r + Ax r 2 y r Axy r 3 + Axy r 3. v Langs sirkelen er r konstant.) A 2 y 2 r 4 + A2 x 2 r 4 A 2 x 2 +y 2 ) r 4 A r.

4 58 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft b) For å vise at strømfunksjonen eksisterer kan vi enten regne den ut, eller vi kan sjekke at v. Vis at den er divergensfri! Siden v er divergensfri og er todimensjonal i xy-planet så vet vi at det eksisterer en strømfunksjon ψx,y) som oppfyller likningene v x ψ y og v y ψ x. Vi løser disse og finner ψx,y) Aln x 2 +y 2 +α hvor α er en vilkårlig konstant. Strømlinjene framkommer som ekviskalarkurver for strømfunksjonen, ψx, y) konstant. Disse kan skrives som x 2 +y 2 konstant, og vi ser at deer sirkler med sentrum i origo. y x Figur 6.3: Strømlinjene til v Ay Ax i+ j er sirkler med sentrum i origo r2 r2 c) Langs sirkelen S er v og dr parallelle. Vinkelen mellom v og dr er, og vi husker at cos 1. Da blir skalarproduktet v dr v dr der v A/r og dr ds. Linjeintegralet blir nå C v dr A ds A 2πr 2πA. S r S r C kalles for sirkulasjonen. d) Linjeintegralet rundt et kvadrat ABCD se figur 6.4) kan deles opp i fire deler: C v dr v dr + v dr + v dr + v dr. ABCD AB BC Langs linjestykket fra A til B kan vi velge parametriseringen ry) i + yj for 1 y 1, og vi har at dr jdy og x 1: AB v dr 1 1 CD DA A 1+y 2 dy [ Aarctany ] 1 1 Aπ 4 + Aπ 4 Aπ 2.

5 59 y C B x D A Figur 6.4: Et kvadrat med sentrum i origo og sidekanter lik 2. Tilsvarende utregning langs de andre sidekantene gir v dr v dr v dr AB BC CD DA v dr. Sirkulasjonen blir altså C 4 Aπ 2 2πA. Oppgave 4 a) Den hydrostatiske trykkformelen er gitt ved p p +ρgz. Trykkraften kan skrives som F pndσ σ σ topp pndσ På toppflaten er z d og n k: σ topp pndσ p +ρgd)k På bunnflaten er z d+l og n k: σ bunn pndσ σ side pndσ. σ topp dσ p +ρgd)πa 2 k. pndσ p +ρgd+l) ) k dσ p +ρgd+l) ) πa 2 k. σ bunn σ bunn

6 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft På grunn av symmetri blir pndσ, dette kan for øvrig regnes ut direkte ved σ side å parametrisere sideflaten: rθ,z) acosθi+asinθj +zk for θ 2π og d z d+l Da får vi Kraften på siden blir da ndσ r θ r dθdz acosθi+asinθj)dθdz z σ side pndσ Den total trykkraften blir nå F d+l 2π d p +ρgz)acosθi+asinθj)dθdz [ p +ρgd)πa 2 p +ρgd+l) ) πa 2] k ρglπa 2 k Mgk der M ρlπa 2 er massen til væsken fortrengt av sylinderen. b) Oppgaveteksten ber oss om å gjette, da kan vi nøye oss med å bruke Arkimedes prinsipp som sier at trykkraften oppdriften) er lik vekten av den fortrengte væsken: F Mgk, M ρ 4 3 πa3 4 3 ρgπa3 k. Svaret kunne også ha blitt regnet ut direkte som et flateintegral ved å anvende kulekoordinater, eller det kan enda lettere regnes ut indirekte ved å anvende Gauss sats da er det tilstrekkelilg å huske formelen for volumet av ei kule). For å regne det ut direkte som et flateintegral kan vi parametrisere rθ,ϕ) asinθcosϕi+asinθsinϕj+acosθ+d)k for θ π og ϕ 2π hvor vi har antatt at sentrum i kula ligger posisjon z d. Vi får da ndσ r θ r ϕ dθdϕ a2 sinθsinθcosϕi+sinθsinϕj +cosθk)dθdϕ Trykkraften er σ 2π pndσ π 4 3 ρgπa3 k p +ρgd+acosθ))a 2 sinθsinθcosϕi+sinθsinϕj +cosθk)dθdϕ

7 61 Oppgave 5 a) τ 3xye z dxdydz xye z dxdydz [ ] 3 1/2 2 x2 ye z 3 8 yez dydz [ ] y2 e z dz dydz 3 4 ez dz 3 4 e 1). b) τ 3xye z dxdydz xye z dzdxdy [3xye z] 1 dxdy 3xye 1)dxdy [ ] 3 1/2 2 x2 ye 1) dy 3 8 ye 1)dy [ 3 16 y2 e 1) ] e 1).

8 62 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 6 1 x y x 2 +3xy z 2) dzdydx 1 x 1 x 1 1 [ x 2 z +3xyz 1 3 z3 ] y dydx x 2 y +3xy 2 13 y3 ) dydx [ 1 2 x2 y 2 +xy 3 1 ] x 12 y4 dx 1 2 x4 +x 4 1 ) 12 x4 dx 17 1 x 4 dx Oppgave 7 En kule med radius lik én kan skrives som x 2 +y 2 +z 2 1. z z 1 x 2 y 2 y 1 x 2 y x y 1 x 2 z 1 x 2 y 2 Figur 6.5: En kule med radius lik en.

9 63 a) 1 x 1 1 x 2 y 1 x 2 1 x 2 y 2 z 1 x 2 y 2. b) Vi har gitt volumet τ: x 2 +y 2 +z 2 1. V dxdydz τ 1 1 x x x x 2 1 x 2 y 2 1 x 2 y 2 dzdydx [ ] 1 x 2 y 2 z dydx 1 x 2 y x 2 1 x 2 y 2 dydx. 1 1 x 2 Det innerste integralet kan vi uttrykke som a a 2 y 2 dy, a 1 x 2. a Dette integralet kan vi finne løsningen til i en integraltabell: [ y a a 2 y 2 + a2 2 arcsin y ] a a + a2 2 a arcsin1 a2 2 arcsin 1) a2 π 4 + a2 π 4 a2 π 2. Vi setter dette resultatet tilbake i volumintegralet: 1 V π 1 π 2 a2 dx 1 x 2 ) dx [ π x 1 ] 1 3 x3 1 [ π ] 4π 3 3.

10 64 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,

Detaljer

Integralsatser: Green, Stokes og Gauss

Integralsatser: Green, Stokes og Gauss Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v ω 2 y 2 +ω 2 x 2 ωr, r x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 x 2 +y 2 er r konstant

Detaljer

Integralsatser: Green, Stokes og Gauss

Integralsatser: Green, Stokes og Gauss Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v = ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v = ω 2 y 2 +ω 2 x 2 = ωr, r = x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 = x 2 +y

Detaljer

Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen

Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt Divergensen til v er definert som v = ui+vj +wk. v = u x + v y + w og virvlingen er gitt ved determinanten

Detaljer

Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen

Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui+vj +wk. Divergensen til v er definert som v = u x + v y + w z og virvlingen er gitt ved determinanten

Detaljer

Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen

Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui + vj + wk. Divergensen til v er definert som v = u + v + w z og virvlingen er gitt ved determinanten

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8 LØNINGFORLAG TIL ØVING, TMA45, V8 Oppgave 4.5.9. Parametrisering: x = r cos θ, y = r sin θ, z = r for θ π, r 6. r(r, θ) = r cos θ, r sin θ, r. N = r r r θ = cos θ sin θ = r cos θ, r sin θ, r. r sin θ r

Detaljer

MEK1100 Løsningsforslag til oppgavene i Feltteori og vektoranalyse

MEK1100 Løsningsforslag til oppgavene i Feltteori og vektoranalyse MEK11 Løsningsforslag til oppgavene i Feltteori og vektoranalyse av Gjevik & Fagerland Opprinnelig laget av Morten Wang Fagerland våren 5 Rettinger og oppdateringer ved Karsten Trulsen Takk til studenter,

Detaljer

Obligatorisk oppgave 2

Obligatorisk oppgave 2 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Obligatorisk oppgave 2 Oppgave a) Vi kan beregne vektorfluksen Q = F ndσ gjennom en kuleflate σ gitt vektorfeltet σ F = xi + 2y + z j + z + x 2 k. Ved

Detaljer

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For

Detaljer

Fasit for eksamen i MEK1100 torsdag 13. desember 2007 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra 0 til 10 (10 for perfekt svar).

Fasit for eksamen i MEK1100 torsdag 13. desember 2007 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra 0 til 10 (10 for perfekt svar). Fasit for eksamen i MEK torsdag 3. desember 27 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til ( for perfekt svar). Oppgave Vi har gitt to vektorfelt i kartesiske koordinater (x,y,z) A = yi+coszj +xy

Detaljer

β = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1)

β = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1) Kapittel 8 Polarkoordinater Oppgave 1 Vi har gitt skalarfeltet β(x, y) = xy i kartesiske koordinater. a) For polarkoordinater (r, θ) og kartesiske koordinater (x, y) har vi sammenhengen x = rcosθ og y

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 14 1.4.5: Vi skal finne fluksen ut overflaten til den solide ballen B med sentrum = (2,, 3) og radius r = 3, av vektorfeltet F = x 2 i + y 2

Detaljer

Løsning IM

Løsning IM Løsning IM 6 Oppgave x + y Grensen lim er ubestemt da både teller og nevner blir Vi skal vise at grensen ( xy, ) (,) x + y ikke eksisterer og bruker rette linjer inn mot origo De enkleste linjene er koordinataksene

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 11 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 1 desember 29. Tid for eksamen: 14:3 17:3. Oppgavesettet er på 7 sider.

Detaljer

β = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1) = 2rcosθsinθi r +r( sinθsinθ+cosθcosθ)i θ

β = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1) = 2rcosθsinθi r +r( sinθsinθ+cosθcosθ)i θ Kapittel 8 Polarkoordinater Oppgave 1 Vi har gitt skalarfeltet β(x, y) = xy i kartesiske koordinater. a) For polarkoordinater (r,θ) og kartesiske koordinater (x,y) har vi sammenhengen x = rcosθ og y =

Detaljer

Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.

Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel

Detaljer

SIF5005 MATEMATIKK 2 VÅR r5 drdθ = 1 m. zrdzdrdθ = 1 m. zrdzdrdθ =

SIF5005 MATEMATIKK 2 VÅR r5 drdθ = 1 m. zrdzdrdθ = 1 m. zrdzdrdθ = SIF55 MAEMAIKK Å 3 Løsningsforslag Hjemmeøving 5 Oppgave. Ser at massen fordeler seg symetrisk om z-aksen, derfor vil tyngdepunktet ligge på z-aksen. Det eneste vi da trenger å regne ut er z. zδd = m π

Detaljer

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2, Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA45 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 5.5.: Kulen er grafen til rφ, θ) asinφ) cosθ)i + sin φ sinθ)j + cosφ)k), φ π, θ < π. Vi har slik at φ θ acosφ) cosθ)i + sinφ) sinθ)j + cosφ)k)

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 1100 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Fredag 29 mai 2009. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på 6 sider.

Detaljer

(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392).

(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392). Ma - Løsningsforslag til uke 5 i 7 Eks. mai 994 oppgave Romkurva er parametrisert for t [, π] ved r (t) = [ + cos t, + sin t, + t ] Hastighets- og akselerasjonsvektorene blir v = r (t) = [ sin t, cos t,

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske

Detaljer

Matematikk 4, ALM304V Løsningsforslag eksamen mars da 1 er arealet av en sirkel med radius 2. F = y x = t t r = t t v = r = t t

Matematikk 4, ALM304V Løsningsforslag eksamen mars da 1 er arealet av en sirkel med radius 2. F = y x = t t r = t t v = r = t t Oppgave r( t) v( t) dt t dt, t dt, t dt t +, t +, t +. d d d a( t) v '( t) t, t, t,6 t,t dt dt dt F ma m t t Gitt en hastighetsvektor v( t) t, t, t.,6, Oppgave Greens setning: δq δ P I ( Pdx + Qdy) ( )

Detaljer

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver

Detaljer

Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm

Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm Kapittel 9 Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm 9.1 Divergensfri strøm 9.1.1 Strømfunksjonen I kompendiet, kap. 4.6 og kap. 9, er det påstått at dersom et todimensjonalt strømfelt v(x y) = v x (x

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 1100 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 11 desember 2008. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på

Detaljer

Tillegg om flateintegraler

Tillegg om flateintegraler Kapittel 6 Tillegg om flateintegraler 6.1 Litt ekstra om flateintegraler I kompendiet har vi definert flateintegraler som grenseoverganger for diskretiseringer. Har vi en flate kan vi representere den

Detaljer

Oppgaver og fasit til kapittel 6

Oppgaver og fasit til kapittel 6 1 Oppgaver og fasit til kapittel 6 Mange av oppgavene i dette kapitlet brukes for første gang, og det er sannsynligvis flere fasitfeil enn normalt. Finner du en feil, så send en melding til lindstro@math.uio.no.

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter Ingen

EKSAMENSOPPGAVE. KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter Ingen Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: 11.12.2018 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Tillatte hjelpemidler: KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter

Detaljer

Fasit til eksamen i MEK1100 høst 2006

Fasit til eksamen i MEK1100 høst 2006 Fasit til eksamen i MEK11 høst 26 Det er tilsammen 1 delspørsmål. Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til 1 (1 for fullstendig svar, for blank). Maksimal oppnåelig poengsum er 1. Kontroller at

Detaljer

Virvelfrihet, potensialer, Laplacelikningen

Virvelfrihet, potensialer, Laplacelikningen Virvelfrihet, potensialer, Laplacelikningen Kap 10 og 9 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE Forelesninger NYTT TEMA Hvorfor snakker vi om virvelfri bevegelse? Forelesninger Todimensjonal

Detaljer

Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.

Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π. Ma - Løsningsforslag til uke 17 i 7 Eks. mai 1999 oppgave 4 ylinderen x + y = 1 skjærer ut ei flate av planet z = x + 1 dvs. x + z = 1 med enhetsnormal i positiv z-retning lik n= 1 [ 1 1]. Flata blir en

Detaljer

Oppgavehefte for Mek 1100

Oppgavehefte for Mek 1100 Oppgavehefte for Mek 1100 Geir Pedersen Høst 2009 Oppg. 1 Normal til bane i planet. Vi har gitt en posisjonsvektor som funksjon av t på dimensjonsløs form r(t) = (5 + t)i + t 2 j. a) Finn hastigheten,

Detaljer

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3. TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

R2 kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R2 kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka R kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka 1.A a Punktet P har koordinatene P = (,, 5). Det gir PQ = [1,, 3 5] = [1,, 8] b PQ = [1,, 8] = 1 + ( ) + ( 8) = 69 8, 3 c OR = OQ + QR = [1,,

Detaljer

dx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2

dx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk vår 9 øsningsforslag til eksamen 15. august 9 1 Treghetsmoment med hensyn på x-aksen er gitt ved x [ ] y I

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 917 44 Eksamensdato: 22. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00

Detaljer

y = x y, y 2 x 2 = c,

y = x y, y 2 x 2 = c, TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

Alternativ II: Dersom vi ikke liker å stirre kan vi gå forsiktigere til verks. Først ser vi på komponentlikninga i x-retning

Alternativ II: Dersom vi ikke liker å stirre kan vi gå forsiktigere til verks. Først ser vi på komponentlikninga i x-retning Forelesning / 8 Finne skalarfunksjon når gradienten er kjent. Se GF kap..3.4. Ta som eksempel β = yi + xj + k. Vi vet at β = x i + j + z k og følgelig ser vi at vi må løse et system av tre likninger som

Detaljer

F = x F 1 + y F 2 + z F 3 = y 2 z 2 + x 2. i j k F = xy 2 yz 2 zx 2 = i(0 ( 2yz)) j(2xz 0) + k(0 2xy) = 2yzi 2xzj 2xyk.

F = x F 1 + y F 2 + z F 3 = y 2 z 2 + x 2. i j k F = xy 2 yz 2 zx 2 = i(0 ( 2yz)) j(2xz 0) + k(0 2xy) = 2yzi 2xzj 2xyk. TMA415 Matematikk 2 Vår 215 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 12 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

Løsning, Stokes setning

Løsning, Stokes setning Ukeoppgaver, uke 4 Matematikk, tokes setning 1 Løsning, tokes setning Oppgave 1 a) b) c) F x y z x y z F x x + y y + z z 1+1+1 iden F er feltet konservativt. ( z y y ) ( x i z z z ) ( y x x x ) k i +k

Detaljer

Øvelse, eksamensoppgaver MAT 1050 mars 2018

Øvelse, eksamensoppgaver MAT 1050 mars 2018 Øvelse, eksamensoppgaver MAT 5 mars 8 Oppgave. La f være funksjonen gitt ved f (x) = x 8 x, x a) Finn alle kritiske punkter for funksjonen f. f (x) = 8 x + x 8 x ( x) = (8 8 x x x ) = (4 8 x x ) = gir

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.

Detaljer

a 2 x 2 dy dx = e r r dr dθ =

a 2 x 2 dy dx = e r r dr dθ = NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk

Detaljer

Feltlikninger for fluider

Feltlikninger for fluider Kapittel 10 Feltlikninger for fluider Oppgave 1 Gitt et to-dimensjonalt strømfelt v = ωyi+ωxj. a) Den konvektive akselerasjonen for et to-dimensjonalt felt er gitt ved b) Bevegelseslikninga (Euler-likninga):

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24

Detaljer

Obligatorisk oppgåve 1

Obligatorisk oppgåve 1 FYS112 Elektromagnetisme 214 Obligatorisk oppgåve 1 Innleveringsfrist 19. september kl. 23.59 Lars Kristian Henriksen 21. oktober 214 Obligar i FYS112 leverast elektronisk på Devilry http://devilry.ifi.uio.no/.

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl.10:00 og 12:00

EKSAMENSOPPGAVE. Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl.10:00 og 12:00 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag 1.1.017 Klokkeslett: 09:00-13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Pedersen et al.: Teknisk

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: Eksamensdag: Fredag 1. april 2011 Tid for eksamen: 15.00 17.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Eksamensoppgaver og Matematikk 1B

Eksamensoppgaver og Matematikk 1B Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B Samlet for SIF5005 Matematikk våren 00 Samlingen inneholder utvalgte oppgaver gitt i 7500 og 750 Matematikk B ved NTH/NTNU i tiden 993 997. Oppgaver eller punkter

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA3 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 97 44 Eksamensdato: 22. mai 28 Eksamenstid (fra til): 9: 3: Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

NTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28.

NTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28. NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren 2011 Maple-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Fredag. mars Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

The full and long title of the presentation

The full and long title of the presentation The full and long title of the presentation Subtitle if you want Øistein Søvik Mai 207 Ø. Søvik Short title Mai 207 / 4 Innholdsfortegnelse Introduksjon Nyttige tips før eksamen Nyttige tips under eksamen

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos

Detaljer

Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm

Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Kapittel 9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Oppgave Det eksisterer et hastighetspotensiale φ hvis feltet er virvelfritt. For et to-dimensjonalt felt v v x i+v y j er virvlingen gitt ved

Detaljer

Integraler. John Rognes. 15. mars 2011

Integraler. John Rognes. 15. mars 2011 15. mars 2011 forener geometrisk målbare områder Ω og skalarfelt f : Ω R definert på disse områdene. Vi danner produktet f (Ω) Ω av verdien f (Ω) av funksjonen og størrelsen Ω av området. Mer presist deler

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2

EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Faglig kontakt under eksamen: Trond Digernes 7359357 Berner Larsen 73 59 35 5 Lisa Lorentzen 73 59 35 48 Vigdis Petersen

Detaljer

EKSAMEN i MATEMATIKK 30

EKSAMEN i MATEMATIKK 30 Eksamen i Matematikk 3 1. desember 1999 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi EKAMEN i MATEMATIKK 3 1 desember 1999 kl. 9 14 Fagnummer: V139A Faglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: MAT-1003 Dato: Tirsdag 15. desember 2015 Tid: Kl 15:00 19:00 Sted: Åsgårdvegen 9

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: MAT-1003 Dato: Tirsdag 15. desember 2015 Tid: Kl 15:00 19:00 Sted: Åsgårdvegen 9 EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-13 Dato: Tirsdag 15. desember 215 Tid: Kl 15: 19: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Pedersen et al.: Teknisk formelsamling med tabeller, Rottmanns formelsamling,

Detaljer

Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm

Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Kapittel 9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Oppgave Det eksisterer et hastighetspotensiale φ hvis feltet er virvelfritt. For et to-dimensjonalt felt v = v x i+v y j er virvlingen gitt ved

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA113 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: 5. Juni 19 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

FYS1120 Elektromagnetisme

FYS1120 Elektromagnetisme Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo FY112 Elektromagnetisme Løsningsforslag til ukesoppgave 1 Oppgave 1 a i Her er alternativ 1 riktig. Hvis massetettheten er F, vil et linjestykke

Detaljer

Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk

Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk 3 78 Oppgave Vektorfeltet har komponenter og er funksjon av variable Jacobimatrisen er av type ( xy) ( xy) x y ( yx) ( yx) xy x y xy Innsatt finner vi JF ( x, y)

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir LØNINGFOLAG IL EKAMEN I FAGE 55/7 MAEMAIKK. august Oppgave. (i Ja. (ii Ja. (iii Nei. Alternativt: (i Ja. (ii Ja. (iii Ja. Oppgave. curlf (x, y F i j k (x, y / x / y / z e y + ye x +x xe y + e x + Altså

Detaljer

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver) Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen

Detaljer

5 z ds = x 2 +4y 2 4

5 z ds = x 2 +4y 2 4 TMA45 Matematikk 2 Vår 25 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A Complete

Detaljer

= (2 6y) da. = πa 2 3

= (2 6y) da. = πa 2 3 TMA45 Matematikk Vår 7 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete ourse.

Detaljer

e y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0

e y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0 LØNINGFORLAG TIL EKAMEN I FAGET 55/7 MATEMATIKK. august Oppgave. (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Nei. Alternativt: (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Ja. Oppgave. a) curlf (x, y) F i j k (x, y) / x / y / z e y + ye x +x xe

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 15-19/2

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 15-19/2 Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 15-19/2 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) February 19, 2010 Oppgave 3.6.1 Vi ser på ligningen Vi fullfører kvadratene: 4x 2 + 9y 2 + 32x 18y + 37 = 0. 4(x 2 + 8x

Detaljer

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x =

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x = Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 1. desember 014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 8 (0 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

SIF 5005 Matematikk 2 våren 2001

SIF 5005 Matematikk 2 våren 2001 IF 55 Matematikk våren Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Diverse løsningsforslag 75 Matematikk B, mai 994 (side 77 79) 6 a) Vi finner en potensialfunksjon φ(x,

Detaljer

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner TMA 4105 Representasjoner Funksjoner Operasjoner Funksjoner f : D R m! f(d) R n reelle funksjoner kurver flater vektorfelt Funksjoner i) f : D R n! R reell funksjon av n variabler, f(x), f(x,y) eller f(x,y,z)

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til

Detaljer

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

Grensebetingelse for trykk der hvor vann møter luft

Grensebetingelse for trykk der hvor vann møter luft Forelesning 5/4 019 ved Karsten Trulsen Grensebetingelse for trykk der hvor vann møter luft Vi skal utlede en betingelse for trykket på grenseflaten der hvor vann er i kontakt med luft. Vi gjør dette ved

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Innlevering i FORK Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 14.november 2018 kl. 10:30 Antall oppgaver: 13

Innlevering i FORK Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 14.november 2018 kl. 10:30 Antall oppgaver: 13 Innlevering i FORK00 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag 4.november 08 kl. 0:0 Antall oppgaver: Bestem vinkelen mellom vektorene u = [, 7] og v = [4, 5]. Hva

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus

Detaljer

Eksamen R2 høsten 2014 løsning

Eksamen R2 høsten 2014 løsning Eksamen R høsten 04 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x Vi bruker kjerneregelen

Detaljer

Eksamen IRF30014, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag Ellipsen vil skal finne er på standardform x a + y b 1 der a > b for styrelinjene er vertikale linjer. Formelen for styrelinjene er x

Detaljer

Ma Flerdimensjonal Analyse II Øving 9

Ma Flerdimensjonal Analyse II Øving 9 Ma23 - Flerdimensjonal Analyse II Øving 9 Øistein Søvik 2.3.22 Oppgaver 4.5 Evaluate the triple integrals over the indicated region. Be alert for simplifications and auspicious orders of integration 3.

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel B. a Da ABC er 90, blir AC + 8. Siden CAE er 90, blir CE + 8 7. b Vinkelen mellom CE og grunnflata blir vinkel ACE. tan ACE som gir at vinkelen blir

Detaljer

Figur 1: Volumet vi er ute etter ligger innenfor de blå linjene. Planet som de røde linjene ligger i deler volumet opp i to pyramider.

Figur 1: Volumet vi er ute etter ligger innenfor de blå linjene. Planet som de røde linjene ligger i deler volumet opp i to pyramider. TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Esse alculus: A omplete ourse. 5 Eercise 14.1.6

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 10 10.6.3 La f (x, y) = x 2 y 4x 2 4y der (x, y) R 2. Finn alle

Detaljer

Mandag qq 4πε 0 r 2 ˆr F = Elektrisk felt fra punktladning q (følger av definisjonen kraft pr ladningsenhet ): F dl

Mandag qq 4πε 0 r 2 ˆr F = Elektrisk felt fra punktladning q (følger av definisjonen kraft pr ladningsenhet ): F dl Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke 6 Mandag 05.02.07 Oppsummering til nå, og møte med Maxwell-ligning nr 1 Coulombs lov (empirisk lov for kraft mellom to

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

EKSAMEN. 3. klassene, ingenørutdanning. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og formelark)

EKSAMEN. 3. klassene, ingenørutdanning. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og formelark) KANDIDATNUMME: EKAMEN EMNENAVN: Matematikk 3 EMNENUMME: EA32 EKAMENDATO: 8.desember 28 KLAE: 3. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 13.. EMNEANVALIG: Hans Petter Hornæs ANTALL IDE UTLEVET: 5 (innkl.

Detaljer

EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt)

EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt) EKSAMENSOPPGÅVE/EKSAMENSOPPGAVE EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag 17. 1.013 Tid: Kl 09:00 13:00 Stad: Åsgårdveien 9 Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling

Detaljer

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT 1110, våren 2006

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT 1110, våren 2006 Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT, våren 6 Oppgave : a) Vi har C 5 3 II+( )I a + 3a 3a III+I 3 II 3 3 3 3 a + 3a 3a 3 a + 3a 3a III+II I+( ))II 3 3 3 a + 3a 3a 3 3 3 a + 3a 4 3 3a a + 3a 4 3 3a b)

Detaljer

MAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010

MAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag Forelesning Vi har tidligere integrert funksjoner langs x-aksen, og vi har integrert funksjoner i flere variable over begrensede områder i xy-planet. I denne forelesningen skal

Detaljer

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Fra ligningen Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag x 2 64 y2 36 1 finner vi a 64 8 og b 36 6. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a 2 + b 2 64 + 36 1 1. Dermed er fokuspunktene

Detaljer

TMA Tanker omkring innlevering 3 fra en studentassistents perspektiv

TMA Tanker omkring innlevering 3 fra en studentassistents perspektiv TMA15 - Tanker omkring innlevering 3 fra en studentassistents perspektiv April 7, 15 Mesteparten av dere har klart denne øvingen langt bedre enn de to forregående øvingene selv om denne var hakket vanskeligere.

Detaljer

NY Eksamen i matematikk III, 5 studiepoeng. August 2007

NY Eksamen i matematikk III, 5 studiepoeng. August 2007 NY Eksamen i matematikk III, 5 studiepoeng. August 7 Oppgave a. Regn ut gradienten til funksjonen f(x, y) = x +y +xy. I hvilken retning øker f mest når x = og y =? b. Regn ut kurveintegralet f(x, y) ds

Detaljer