Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen

Transkript

1 Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui + vj + wk. Divergensen til v er definert som v = u + v + w z og virvlingen er gitt ved determinanten z u v w. a) v = xy z i + xy z j + xy z k. Divergens: v = y z + xyz + xy z. Virvling: = z xy z xy z xy z ( xyz xy z ) ( i y z xy z ) ( j + y z xyz ) k. 9

2 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen b) v = e yz i + e xz j + e xy k. Divergens: Virvling: = z e yz e xz e xy ( xe xy xe xz) i v =. ( ye xy ye yz) ( j + ze xz ze yz) k. c) v = e x i + sin(xy)j cos(z )k. Divergens: v = xe x + x cos(xy) + z sin(z ). Virvling: z e x sin(xy) cos(z ) = y cos(xy)k. d) v = (x + y + z) i + xy z k. Divergens: v = (x + y + z) xy z. Virvling: (x + y + z) z xy z = x z i ( y z (x + y + z) )j (x + y + z)k. Oppgave a) v = u(z)i, u(z) = U z, z, U = konstant, = konstant. Vi antar at problemet er to-dimensjonalt i xz-planet. Divergens: v = u + w z =.

3 4 z snitt n x Figur 4.: Vindprofilet til v = U z i. Virvling: z u(z) = u z j = U z j. Strømfunksjonen ψ(x, z) finner vi ved å løse likningssystemet z Fra (4.) får vi = ψ = ψ(z). Vi setter inn for u i (4.) og integrerer: = u (4.) = w. (4.) z = U z ψ(z) = U z + C. Siden ψ er er en funksjon av bare z får vi en integrasjonskonstant C i stedet for en funksjon f(x). Strømlinjene finner vi ved å sette ψ = ψ = konstant: z = (ψ C) U z = C. = C (Brøken er konstant)

4 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Figur 4.: Strømlinjene til v = u(z)i er rette orisontale linjer. Dette gir rette orisontale linjer (se figur 4.). Volumstrømmen er gitt ved Q = v n dσ σ der n = i er en normalvektor til snittet (se figur 4.). v i = u(z) slik at vi får Q = = U u(z) dz = U. z dz Vi skal til slutt vise at volumstrømmen er lik differansen i strømfunksjonens verdi mellom bakken og z = : Q = ψ(z =) ψ(z =) = C + U C = U. ( ) z + b) v = u(z)i, u(z) = U ln, z, U = konstant, = konstant.

5 4 z snitt n ( ) z + Figur 4.: Vindprofilet til v = U ln i. x Vi antar at problemet er to-dimensjonalt i xz-planet. Divergens: Virvling: v = u + w z =. u(z) z = u z j = U z + j. Strømfunksjonen ψ(x, z) finner vi ved å løse likningssystemet z Fra (4.4) får vi = ψ = ψ(z). Vi setter inn for u i (4.) og integrerer: ( ) z + = U ln z ψ(z) = U ln u dz = u (4.) = w. (4.4) der u = z +, du dz =, dz = du.

6 44 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Videre blir strømfunksjonen ψ(z) = U ln u du [ u = U u ln u ] u du + C [ = U u ( ln u )] + C ( ) [ ( ) ] z + = U z + ln + C. Vi ar er brukt substitusjon og delvis integrasjon til å løse integralet. Siden ψ er er en funksjon av bare z får vi en integrasjonskonstant C i stedet for en funksjon f(x). Strømlinjene finner vi ved å sette ψ = ψ = konstant. Siden ψ = ψ inneolder kun en variabel, z, og resten konstanter, får vi at z = konstant som gir rette orisontale linjer som i oppgave a (se figur 4.). Volumstrømmen er gitt ved Q = σ v n dσ der n = i er en normalvektor til snittet (se figur 4.). v i = u(z) slik at vi får Q = u(z) dz ( ) z + = U ln dz [ ( ) [ ( ) ] ] z + = U z + ln = U ( ln ) U ( ln ) = U ( ln ). Vi skal til slutt vise at volumstrømmen er lik differansen i strømfunksjonens verdi mellom bakken og z = : Q = ψ(z =) ψ(z =) = [ ( ) ] U ln = U + U ( ln ) = U ( ln ). [ + C + U ln ( ) ] C

7 4 Oppgave Skal feltet være divergensfritt må v = ax i + v(x, y)j v = u + v = ax + v. ax + v v = = ax. Vi integrerer med ensyn på y: v(x, y) = axy + f(x). Feltet er nå divergensfritt for et vert valg av f(x). Videre i oppgaven skal vi se på det enkleste valget av f(x), nemlig f(x) =, slik at v = ax i axyj. Strømfunksjonen ψ(x, y) kan vi finne fra likningene = u (4.) = v. (4.6) Dette gir (4.) : (4.6) : = ax ψ(x, y) = ax y + f (x) = axy ψ(x, y) = ax y + f (y). For å få en entydig ψ må vi velge f (x) = f (y) = C, og strømfunksjonen blir Strømlinjene finner vi ved å sette ψ = ψ : ψ(x, y) = ax y + C. y = C ψ ax = C x.

8 46 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Figur 4.4: Vektorfeltet v = ax i axyj med strømlinjer for a =. Oppgave 4 Vi skal finne volumstrømmen til vektorfeltet v = xi + yj gjennom et rektangel med sentum i origo og sidekanter x og y (se figur 4.). Volumstrømmen er definert som Q = v n dσ σ der σ er den samlede overflaten til sidekantene og dσ er et lite flateelement med normalvektor n. Vi deler opp rektangelet i fire deler: Q = v n dσ + v n dσ + v n dσ + v n dσ. DA AB BC AB: n = i, x = x/, dσ = dy : CD AB v n dσ = y/ y/ x dy = x y/ y/ dy = x y. BC: n = j, y = y/, dσ = dx : BC v n dσ = x/ x/ y dx = y x/ x/ dx = x y.

9 47 y C j dy B i dx i x D j A Figur 4.: Et rektangel med sidekanter x og y. Vi antar at tykkelsen er lik en. CD: n = i, x = x/, dσ = dy : CD v n dσ = y/ y/ x dy = x y/ y/ dy = x y. DA: n = j, y = y/, dσ = dx : DA v n dσ = x/ x/ y dx = y x/ x/ dx = x y. Legger vi sammen disse leddene får vi Volumstrømmen per arealenet blir Q = 4 x y. Q = Vi kontrollerer ved å beregne divergensen: Q x y = 4. v = u + v = + = 4.

10 48 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen For at en strømfunksjon skal kunne eksistere må vi a et to-dimensjonalt divergensfritt felt. Divergensen er er 4, altså eksisterer det ikke noen strømfunksjon for dette feltet, men vi kan alltid finne strømlinjene ved u dy = v dx x dy = y dx dy y dy y = dx x dx = x ln y = ln x + C e ln y = e ln x+c y = e ln x e C y = Cx Figur 4.6: Strømlinjene til feltet v = xi + yj.

11 49 Oppgave Vi ar gitt det to-dimensjonale vektorfeltet v = axi, der a er en konstant. a) Divergens: v = u + v = a. b) Vi skal beregne volumstrømmen, Q = σ v n dσ, gjennom det samme rektangelet som i oppgave 4 (se figur 4.). Vi deler også er opp integralet i fire deler: AB: n = i, x = x/, dσ = dy : AB v n dσ = y/ y/ ax dy = a x y/ y/ dy = a x y. BC: n = j, y = y/, dσ = dx : BC v n dσ = x/ x/ v j dx =. CD: n = i, x = x/, dσ = dy : CD v n dσ = y/ y/ ax dy = a x y/ y/ dy = a x y. DA: n = j, y = y/, dσ = dx : DA v n dσ = x/ x/ v ( j) dx =. Volumstrømmen blir Q = a x y. c) Sammenlikner vi resultatene fra oppgave a og b får vi v = Q x y. Divergensen er altså lik volumstrømmen per arealenet.

12 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave 6 Et to-dimensjonalt strømfelt i xy-planet er gitt ved v = ayi + axj, der a er en konstant. a) Virvlingen: = i( ) j( ) + k(a + a) = ak. ay ax b) Sirkulasjonen til v langs den lukkede kurven λ er definert ved C = v dr der dr er et lite buelement. Vi deler linjeintegralet inn i fire deler (se figur 4.7): C = v dr + v dr + v dr + v dr. AB: dr = j dy, AB v dr = BC: dr = i dx, BC v dr = CD: dr = j dy, CD v dr = DA: dr = i dx, DA v dr = AB x = x/: y/ y/ y = y/: x/ x/ BC λ CD DA ( ayi + axj) j dy = a y/ x y/ ( ayi + axj) ( i) dx = a x/ y x = x/: y/ y/ y = y/: x/ x/ Sammen gir disse leddene sirkulasjonen: x/ ( ayi + axj) ( j) dy = a y/ x y/ ( ayi + axj) i dx = a x/ y C = a x y. c) Sammenengen mellom sirkulasjonen og virvlingen: v = C x y. x/ Virvlingens størrelse er altså lik sirkulasjonen per arealenet. dy = a x y. dx = a x y. dy = a x y. dx = a x y.

13 y C i B j j x D i A Figur 4.7: Et rektangel med sidekanter x og y. Oppgave 7 Vi ar gitt et to-dimensjonalt strømfelt i xy-planet: v = xyi + v(x, y)j. a) For at feltet skal være divergensfritt må vi kreve v = : v = u + v = y + v = v = y v(x, y) = y + f (x). Hvis feltet skal være virvelfritt må : xy v(x, y) = ( ) v x k v = x v(x, y) = x + f (y).

14 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen For å få en entydig v(x, y) må vi velge f (x) = x og f (y) = y. slik at v(x, y) = ( x y ) v = xyi + ( x y ) j. b) Strømfunksjonen ψ(x, y) er gitt ved likningene = u = xy = v = ( x y ). Integrasjon av likningene med ensyn på enoldsvis y og x gir ψ(x, y) = xy + f (x) ψ(x, y) = 6 x xy + f (y). En entydig løsning krever at vi velger f (x) + 6 x og f (y) =. Strømfunksjonen blir da ψ(x, y) = xy + 6 x. Strømlinjene finner vi ved å sette ψ = ψ = konstant. For ψ = får vi de tre rette linjene For ψ er strømlinjene gitt ved x =, y = ± x. y = ± ψ x + x. Oppgave 8 For et vilkårlig skalarfelt β = β(x, y, z) ar vi β = β i + β j + β z k

15 Figur 4.8: Strømlinjene til feltet v = xyi + ( x y ) j. og β = β ( = i β z β z β z z β ( β = i z β z ) ( j ) j β z z ( β z β z ) ( + k β ) + k β ) β ). ( β β For partielt deriverte gjelder det generelt at β = β, β z = β z, β z = β z slik at β =. Oppgave 9 a) Stagnasjonsstrøm: [x,y] = mesgrid(-:.:); psi = x.*y;

16 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen [C,] = contour(x, y, psi); clabel(c, ) axis square b) Punktvirvelfelt: [x,y] = mesgrid(-:.:); psi = *log(sqrt(x.^ + y.^)); [C,] = contour(x, y, psi); clabel(c, ) axis square c) Dipolfelt: [x,y] = mesgrid(-6:.:6); psi = y./(x.^ + y.^); [C,] = contour(x, y, psi, [ ]); clabel(c, ) axis square Figur 4.9: Stagnasjonsstrøm ψ(x, y) = xy.

17 Figur 4.: Punktvirvelfeltet ψ(x, y) = ln x + y Figur 4.: Dipolfeltet ψ(x, y) = y x + y.