Obligatorisk oppgave 1
|
|
- Kjell Knudsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Obligatorisk oppgave Oppgave a) Vi kan finne divergens og virvling av det todimensjonale hastighetsfeltet ved å finne v og v. Gitt at v = ui + vj, hvor u = cos x sin y og v = sin x cos y, får vi følgende: Divergens Divv = v = δu + δv δu δv = δ cos x sin y = δ sin x cos y = sin x sin y = sin x sin y Divv = sin x sin y + sin x sin y Divv = Virvling Curlv = v = i j k δ δ u v = δ v i δ u j + δ u δ v δv k = δu k δv δu = δ sin x cos y = δ cos x sin y = cos x cos y = cos x cos y Curlv = δv δu k = cos x cos y cos x cos y k Curlv = cos x cos y k Med dette har vi at Divv = og Curlv = cos x cos y k. b) Vi kan tegne strømvektorer langs x- og y-aksen ved å finne verdier gitt at u = cos x sin y og v = sin x cos y. Vi kan for eksempel velge verdier som.,.,.,.3 og.4 og anta at strømvektorene vil forandre seg uniformt som på et stivt legeme. Ved å velge disse verdiene ser vi på strømvektorer rundt origo. Strømvektorer langs y-aksen er gitt ved cos sin y : y =.4, x = cos sin y = y =.3, x = cos sin y =.9557 y =., x = cos sin y = y =., x = cos sin y = y =., x = cos sin y =. y =., x = cos sin y = y =., x = cos sin y = y =.3, x = cos sin y =.9557 y =.4, x = cos sin y =
2 Strømvektorer langs x-aksen er gitt ved cos sin x : x =.4, y = cos sin x = x =.3, y = cos sin x =.9557 x =., y = cos sin x = x =., y = cos sin x = x =., y = cos sin x =. x =., y = cos sin x = x =., y = cos sin x = x =.3, y = cos sin x =.9557 x =.4, y = cos sin x = Setter vi inn disse verdiene i et koordinatsystem, vil vi få følgende figur som representerer strømvektorene:
3 c) Vi kan finne sirkulasjonen om randa til kvadratet definert ved x og y ved å bruke s linjeintegral på området. Linjeintegralet er gitt ved: v = v dr = I + II + III + IV hvor I i = II j = v( v(x, ) dx, y) dy III i = v(x, ) dx IV j = v(, y) dy Vi kan med dette løse disse fire integralene hver for seg: I i = I i = I i = v(x, ) dx = cos x sin cos x dx = sin x dx = sin sin = + II j = II j = v(, y) dy = = sin II j = III i = cos y dy = sin y v(x, ) dx III i = III i = = cos x sin cos x dx = sin x cos y dy = sin sin dx = sin sin = = IV j = IV j = IV j = v(, y) dy = = sin cos y dy = sin y cos y dy = sin sin = + v = v dr = I + II + III + IV v = = 8 3
4 d) Da Divv = eksisterer en strømfunksjon, og siden v er et todimensjonelt felt vil en strømfunksjon ψ eksistere slik at u = δψ δψ = cos x sin y v = = sin x cos(y) δψ = cos x sin y δψ = sin x cos(y) ψ = cos x sin y ψ = sin x cos(y) ψ = cos x cos y + c ψ = cos x cos(y) + c ψ = cos x cos y + c = cos x cos(y) + c, hvor c = c = slik at ψ = cos x cos y Vi har med dette vist at ψ = cos x cos y. e) Vi kan bruke Taylorutvikling av andre orden til å finne tilnærmede strømlinjer nær origo,,. Dette er gjort på følgende måte: ψ x, y = ψ x, y, x = y = ψ x, y = ψ x, y + δ ψ x,y + δ ψ x,y x x + δ ψ x,y x x y y + y y + δ ψ x,y y y δ ψ x,y x x ψ x, y = cos cos = δ ψ x,y δ ψ x,y δ ψ x,y δ ψ x,y δ y x x = sin x cos y x = x y y = sin x cos y y = x x x = cos x cos y x = x x x y y = δ cos x sin y = δ ψ x,y y y = cos x cos y y = y sin x sin y xy = ψ x, y = + + x + y ψ x, y = x y Strømlinjene nær origo er med dette gitt ved ψ x, y = x y. 4
5 Oppgave a) Vi kan bruke funksjonen streamfun.m i et skript strlin.m som plotter konturlinjer for ψ når (i) n = 5 og (ii) n = 3. Dette skriptet, strlin.m, vil se slik ut: % Oppgave a.i figure(); n=5; [x,y,psi]=streamfun(n); contour(x,y,psi); colorbar; xlabel('x-akse, [-.5\pi,.5\pi]'); ylabel('y-akse, [-.5\pi,.5\pi]','FontSize',); tit=sprintf('%s%d','oppgave a.i, n=',n);title(tit,'fontsize',); % Oppgave a.ii figure(); n=3; [x,y,psi]=streamfun(3); contour(x,y,psi); colorbar; xlabel('x-akse, [-.5\pi,.5\pi]'); ylabel('y-akse, [-.5\pi,.5\pi]','FontSize',); tit=sprintf('%s%d','oppgave a.ii, n=',n);title(tit,'fontsize',); Dersom vi nå kjører dette skriptet får vi to figurer et for n = 5 og et for n = 3. >> run('c:\users\nicolai Solheim\Desktop\Obliger\MEK\strlin.m') 5
6 Dersom vi nå sammenligner med ψ x, y = x y, vil vi se at de tilnærmede strømlinjene nær origo er mer nøyaktige figurene med en høyere n. Vi kan se at plottet med en høyere n-verdi er gir mer nøyaktige konturer enn det vi vil få ved å bruke en lavere n-verdi. b) Vi kan deretter skrive en funksjon velfield.m som beregner hastigheter utfra u = cos x sin y og v = sin x cos y, og som skal brukes i et skript vek.m som som tegner et vektorplott av hastighetsfeltet. Kode for velfield.m: % Beregner hastigheter function[x,y,u,v] = velfield(n) if nargin < ; n=5; end x=linspace(-.5*pi,.5*pi,n); [X,Y] = meshgrid(x,x); U=cos(X).*sin(Y); V=-sin(X).*cos(Y); Kode for vek.m: % Tegner vektorplott av hastighetsfeltet [x,y,u,v]=velfield(5); quiver(x,y,u,v); xlabel('x-akse, [-.5\pi,.5\pi]'); ylabel('y-akse, [-.5\pi,.5\pi]','FontSize',); title('oppgave b, vektorplott av hastighetsfeltet v','fontsize',); Hvis vi nå kjører programmet med n = 5 vil vi få et vektorfelt. >> run('c:\users\nicolai Solheim\Desktop\Obliger\MEK\vek.m') 6
7 Oppgave 3 a) Vi kan finne linjeintegralet I = v dr λ og en kurve λ. ved regning da vi er gitt v = x + 3y i y j Linjeintegralet er funnet ved I = v r dr = A + B = v r λ t r t dt + λ v r t r t dt, hvor r t er det parametriske uttrykket. Vi finner de parametriske λ utrykkene ved hjelp av det vi har fått oppgitt slik at: r t = ti + j t, r t = i + j r t = ti + t j t, r t = i + j Vi kan med dette regne ut linjeintegralet I. I = v r dr λ A = A = A = A = λ = A + B = v r t r t dt λ + v r t r t dt λ v r t r t dt x + 3y i y j r t dt t + 3 i j r t dt ti + 3j i + j dt A = t dt A = t = A = B = B = B = B = B = λ v r t r t dt x + 3y i y j r t dt t + 3 t i t j r t dt 4t 3 i + + t j i + j dt 4t t dt 7
8 B = I = A + B I = + 3 I = 7 5t dt B = 5 t 5 t = 5 = 5 + B = 3 Vi har med dette funnet at I = 7. b) Vi kan vise at linjestykket mellom punkt i og punkt i + blir bidraget til I. Det første vi da gjør er å anta integralet kan skrives som en sum for en sekvens rette linjer slik at: I = v dr = v dr I i = v C i+ dr = v dr i = v dr Med dette får vi et uttrykk som vil være anvendt på området mellom punkt i og punkt i + for en rett linje. Videre kan vi løse for v r i og dr. I i = v dr = v r i dr I i = v r i dr I i = u i++u i I i = u i++u i r t = r i + t r i+ r i = r i + t dr, slik at dr = r i+ r i hvor komponentene er dx = x i+ x i dy = y i+ y i dr = dxi + dyj v r i = ui + vj, og da trapesmetoden bruker et midtpunkt vil v være gitt ved v = u i + v j = u i++u i i + v i++v i j i + v i++v i I i = u i++u i x i+ x i j dr = u i++u i x i+ x i + v i++v i (y i+ y i ) + v i++v i (y i+ y i ) 8 i + v i++v i I i = u i+ + u i x i+ x i + v i+ + v i (y i+ y i ) j x i+ x i i + (y i+ y i )j Vi har med dette vist at I i = u i+ + u i x i+ x i + v i+ + v i (y i+ y i ) for et linjestykke mellom punkt i og punkt i +. c) Vi kan nå skrive et program trapes.m som finner I i ved kallet >>[I]=trapes(x,y,u,v);. % Regner ut I function[i] = trapes(x,y,u,v) % Lager en array for I*-verdier n=length(x);i=zeros(,n-); % Finner I*-verdier for i=:(n-); dx=x(i+)-x(i); dy=y(i+)-y(i); up=u(i+)+u(i); vp=v(i+)+v(i);
9 end Ip =.5*up*dx+.5*vp*dy; I(i)=Ip; d) I i vil være nøyaktig i oppgave (3a) fordi vi kun anvender uttrykket på rette linjer, og vi vil derfor ikke få feil annet enn avrundingsfeil. Dersom vi hadde brukt dette på kurver istedenfor rette linjer ville I i vært en tilnærming av integralet. Vi kan med dette lage et skript, Itest.m, som bruker trapesfunksjonen for å finne I. % Punkter p=[,]; p=[,]; p3=[,]; % Dele punktene i x- og y-verdier x=[p(),p(),p3()]; y=[p(),p(),p3()]; % Regne ut ui og vj u=x+3.*y; v=3+y; % Kjøre trapesfunskjonen list = trapes(x,y,u,v); % Resultat I = sum(list) Hvis vi kjører Itest.m får vi I = 7. Dette kan vises ved: >> Itest.m I = 7 e) Vi kan vise at sirkulasjonen av v rundt enhetssirkelen gitt at v = yi + xj og de parametriske funksjonene for enhetssirkelen er: r t = cos t i + sin t j x t = cos t y t = sin t Dersom vi nå setter regner ut integralet fra til får vi følgende: v = v r t dr = v r t r t dt v = v = sin t i + cos t j sin t i + cos t j dt sin (t) + cos (t) dt v = dt = t = v = Vi har med dette vist at sirkulasjonen av v rundt enhetssirkelen. 9
10 Programmer og figurer Kode for strlin.m: % Oppgave a.i figure(); n=5; [x,y,psi]=streamfun(n); contour(x,y,psi); colorbar; xlabel('x-akse, [-.5\pi,.5\pi]'); ylabel('y-akse, [-.5\pi,.5\pi]','FontSize',); tit=sprintf('%s%d','oppgave a.i, n=',n);title(tit,'fontsize',); % Oppgave a.ii figure(); n=3; [x,y,psi]=streamfun(3); contour(x,y,psi); colorbar; xlabel('x-akse, [-.5\pi,.5\pi]'); ylabel('y-akse, [-.5\pi,.5\pi]','FontSize',); tit=sprintf('%s%d','oppgave a.ii, n=',n);title(tit,'fontsize',); Kode for velfield.m: % Beregner hastigheter function[x,y,u,v] = velfield(n) if nargin < ; n=5; end x=linspace(-.5*pi,.5*pi,n); [X,Y] = meshgrid(x,x); U=cos(X).*sin(Y); V=-sin(X).*cos(Y); Kode for vek.m: % Tegner vektorplott av hastighetsfeltet [x,y,u,v]=velfield(5); quiver(x,y,u,v); xlabel('x-akse, [-.5\pi,.5\pi]'); ylabel('y-akse, [-.5\pi,.5\pi]','FontSize',); title('oppgave b, vektorplott av hastighetsfeltet v','fontsize',); Kode for trapes.m: % Regner ut I function[i] = trapes(x,y,u,v) % Lager en array for I*-verdier n=length(x);i=zeros(,n-); % Finner I*-verdier for i=:(n-); dx=x(i+)-x(i); dy=y(i+)-y(i); up=u(i+)+u(i); vp=v(i+)+v(i); Ip =.5*up*dx+.5*vp*dy; I(i)=Ip; end
11 Kode for Itest.m: % Punkter p=[,]; p=[,]; p3=[,]; % Dele punktene i x- og y-verdier x=[p(),p(),p3()]; y=[p(),p(),p3()]; % Regne ut ui og vj u=x+3.*y; v=3+y; % Kjøre trapesfunskjonen list = trapes(x,y,u,v); % Resultat I = sum(list)
12
13 3
Obligatorisk oppgave 2
MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Obligatorisk oppgave 2 Oppgave a) Vi kan beregne vektorfluksen Q = F ndσ gjennom en kuleflate σ gitt vektorfeltet σ F = xi + 2y + z j + z + x 2 k. Ved
DetaljerMEK1100, vår Obligatorisk oppgave 1 av 2.
9. februar 2017 Innleveringsfrist MEK1100, vår 2017 Obligatorisk oppgave 1 av 2 Torsdag 2. mars 2017, klokken 14:30 i obligkassen, som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7. etasje i Niels Henrik Abels
DetaljerMEK1100, vår Obligatorisk oppgave 1 av 2. Torsdag 28. februar 2019, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no).
28. februar 2019 Innleveringsfrist MEK1100, vår 2019 Obligatorisk oppgave 1 av 2 Torsdag 28. februar 2019, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om du skriver besvarelsen
DetaljerVektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen
Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui + vj + wk. Divergensen til v er definert som v = u + v + w z og virvlingen er gitt ved determinanten
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
DetaljerVektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen
Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt Divergensen til v er definert som v = ui+vj +wk. v = u x + v y + w og virvlingen er gitt ved determinanten
Detaljer= (2 6y) da. = πa 2 3
TMA45 Matematikk Vår 7 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete ourse.
DetaljerVektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen
Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui+vj +wk. Divergensen til v er definert som v = u x + v y + w z og virvlingen er gitt ved determinanten
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 11 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 1 desember 29. Tid for eksamen: 14:3 17:3. Oppgavesettet er på 7 sider.
DetaljerTillegg om strømfunksjon og potensialstrøm
Kapittel 9 Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm 9.1 Divergensfri strøm 9.1.1 Strømfunksjonen I kompendiet, kap. 4.6 og kap. 9, er det påstått at dersom et todimensjonalt strømfelt v(x y) = v x (x
DetaljerDivergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm
Kapittel 9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Oppgave Det eksisterer et hastighetspotensiale φ hvis feltet er virvelfritt. For et to-dimensjonalt felt v v x i+v y j er virvlingen gitt ved
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 1100 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 11 desember 2008. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på
DetaljerDivergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm
Kapittel 9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Oppgave Det eksisterer et hastighetspotensiale φ hvis feltet er virvelfritt. For et to-dimensjonalt felt v = v x i+v y j er virvlingen gitt ved
DetaljerAlternativ II: Dersom vi ikke liker å stirre kan vi gå forsiktigere til verks. Først ser vi på komponentlikninga i x-retning
Forelesning / 8 Finne skalarfunksjon når gradienten er kjent. Se GF kap..3.4. Ta som eksempel β = yi + xj + k. Vi vet at β = x i + j + z k og følgelig ser vi at vi må løse et system av tre likninger som
DetaljerEKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt)
EKSAMENSOPPGÅVE/EKSAMENSOPPGAVE EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag 17. 1.013 Tid: Kl 09:00 13:00 Stad: Åsgårdveien 9 Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling
DetaljerVirvelfrihet, potensialer, Laplacelikningen
Virvelfrihet, potensialer, Laplacelikningen Kap 10 og 9 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE Forelesninger NYTT TEMA Hvorfor snakker vi om virvelfri bevegelse? Forelesninger Todimensjonal
DetaljerKurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling
Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kap 4 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE Eksempler Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Kurveintegraler
DetaljerKurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft
Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,
DetaljerKurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft
Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,
DetaljerFasit for eksamen i MEK1100 torsdag 13. desember 2007 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra 0 til 10 (10 for perfekt svar).
Fasit for eksamen i MEK torsdag 3. desember 27 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til ( for perfekt svar). Oppgave Vi har gitt to vektorfelt i kartesiske koordinater (x,y,z) A = yi+coszj +xy
DetaljerVi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerNTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28.
NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren 2011 Maple-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid
DetaljerTillegg om flateintegraler
Kapittel 6 Tillegg om flateintegraler 6.1 Litt ekstra om flateintegraler I kompendiet har vi definert flateintegraler som grenseoverganger for diskretiseringer. Har vi en flate kan vi representere den
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte
Detaljery = x y, y 2 x 2 = c,
TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerTMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner
TMA 4105 Representasjoner Funksjoner Operasjoner Funksjoner f : D R m! f(d) R n reelle funksjoner kurver flater vektorfelt Funksjoner i) f : D R n! R reell funksjon av n variabler, f(x), f(x,y) eller f(x,y,z)
DetaljerSIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag
SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver
DetaljerØvelse, eksamensoppgaver MAT 1050 mars 2018
Øvelse, eksamensoppgaver MAT 5 mars 8 Oppgave. La f være funksjonen gitt ved f (x) = x 8 x, x a) Finn alle kritiske punkter for funksjonen f. f (x) = 8 x + x 8 x ( x) = (8 8 x x x ) = (4 8 x x ) = gir
DetaljerEKSAMEN I MATEMATIKK 1000
EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 47. Oppgaver til seminaret 24/11
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 47 På settet: S.1, S.2, S.3, S.4, S.5 Oppgaver til seminaret 24/11 Oppgaver til gruppene uke 48 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn. 6.6 3 Avsn. 6.7 3, 7 Avsn. 7.9 28, 29
DetaljerObligatorisk oppgåve 1
FYS112 Elektromagnetisme 214 Obligatorisk oppgåve 1 Innleveringsfrist 19. september kl. 23.59 Lars Kristian Henriksen 21. oktober 214 Obligar i FYS112 leverast elektronisk på Devilry http://devilry.ifi.uio.no/.
DetaljerMAT1100 - Grublegruppen Uke 36
MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)
DetaljerPartieltderiverte og gradient
Partieltderiverte og gradient Kap 2 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Struktur Mye er repitisjon fra MAT1100, litt
DetaljerEksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed
DetaljerMAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag Forelesning Vi har tidligere integrert funksjoner langs x-aksen, og vi har integrert funksjoner i flere variable over begrensede områder i xy-planet. I denne forelesningen skal
DetaljerOppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.
NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 1100 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Fredag 29 mai 2009. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på 6 sider.
DetaljerMAT 1110: Obligatorisk oppgave 1, V-07: Løsningsforslag
1 MAT 111: Obligatorisk oppgave 1, V-7: Løsningsforslag Oppgave 1. a) Vi deriverer på vanlig måte: ( e (sinh x) x e x ) = = ex + e x = cosh x, ( e (cosh x) x + e x ) = = ex e x = sinh x Enkel algebra gir
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl.10:00 og 12:00
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag 1.1.017 Klokkeslett: 09:00-13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Pedersen et al.: Teknisk
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Faglig kontakt under eksamen: Trond Digernes 7359357 Berner Larsen 73 59 35 5 Lisa Lorentzen 73 59 35 48 Vigdis Petersen
DetaljerFigur 1: Volumet vi er ute etter ligger innenfor de blå linjene. Planet som de røde linjene ligger i deler volumet opp i to pyramider.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Esse alculus: A omplete ourse. 5 Eercise 14.1.6
Detaljer1. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A =
1. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = ( ) 2 3. 1 4 Svar: λ = 5 med egenvektorer [x, y] T = y[1, 1] T og λ = 1 med egenvektorer [x, y] T = y[ 3, 1] T, begge strengt tatt med y 0. (b)
DetaljerEksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Oppgave 1. Eksamen IRF314, høsten 15 i Matematikk 3 øsningsforslag I denne oppgaven er det to løsningsforslag. Ett med asymptotene som gitt i oppgaveteksten. I dette første tilfellet blir tallene litt
DetaljerKurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling
Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kap 4 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Kurveintegraler
DetaljerF = x F 1 + y F 2 + z F 3 = y 2 z 2 + x 2. i j k F = xy 2 yz 2 zx 2 = i(0 ( 2yz)) j(2xz 0) + k(0 2xy) = 2yzi 2xzj 2xyk.
TMA415 Matematikk 2 Vår 215 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 12 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 14 1.4.5: Vi skal finne fluksen ut overflaten til den solide ballen B med sentrum = (2,, 3) og radius r = 3, av vektorfeltet F = x 2 i + y 2
DetaljerArne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til
DetaljerOppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel
DetaljerKurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling
Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kap 4 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE Eksempler Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Kurveintegraler
DetaljerNTNU. MA1103 Flerdimensjonal analyse våren Maple/Matlab-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag
NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal analyse våren 2012 Maple/Matlab-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid
Detaljer(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT1050, vår 2019
Løsningsforslag til prøveeksamen i MT15, vår 19 Oppgave 1. a) Vi har sinx + y) d R cosx + y) sinx + π) + sin x siden alle fire leddene er. yπ y π dx sinx + y) dy dx cosx + π) + cos x) dx sin π + sin π)
DetaljerNavn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut):
MA1103 vår 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving 10M Navn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut): 1. 2. 3. 4. 5.
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 917 44 Eksamensdato: 22. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA3 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 97 44 Eksamensdato: 22. mai 28 Eksamenstid (fra til): 9: 3: Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerMatematikk 4, ALM304V Løsningsforslag eksamen mars da 1 er arealet av en sirkel med radius 2. F = y x = t t r = t t v = r = t t
Oppgave r( t) v( t) dt t dt, t dt, t dt t +, t +, t +. d d d a( t) v '( t) t, t, t,6 t,t dt dt dt F ma m t t Gitt en hastighetsvektor v( t) t, t, t.,6, Oppgave Greens setning: δq δ P I ( Pdx + Qdy) ( )
DetaljerIntegraler. John Rognes. 15. mars 2011
15. mars 2011 forener geometrisk målbare områder Ω og skalarfelt f : Ω R definert på disse områdene. Vi danner produktet f (Ω) Ω av verdien f (Ω) av funksjonen og størrelsen Ω av området. Mer presist deler
DetaljerObligatorisk oppgave 1
Obligatorisk oppgave 1 a) Oppgaveteksten oppgir et vektorfelt f(x, y) F x, y = g x, y der f og g er oppgitt ved f x, y = x 3 3xy 1 og g x, y = y 3 + 3x y. Vi kan med dette regne ut Jacobimatrisen F x,
DetaljerFYS1120 Elektromagnetisme
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo FY112 Elektromagnetisme Løsningsforslag til ukesoppgave 1 Oppgave 1 a i Her er alternativ 1 riktig. Hvis massetettheten er F, vil et linjestykke
DetaljerLøsning IM
Løsning IM 6 Oppgave x + y Grensen lim er ubestemt da både teller og nevner blir Vi skal vise at grensen ( xy, ) (,) x + y ikke eksisterer og bruker rette linjer inn mot origo De enkleste linjene er koordinataksene
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter Ingen
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: 11.12.2018 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Tillatte hjelpemidler: KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter
DetaljerEksamen IRF30014, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Oppgave 1. Eksamen IRF314, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag Ellipsen vil skal finne er på standardform x a + y b 1 der a > b for styrelinjene er vertikale linjer. Formelen for styrelinjene er x
DetaljerPrøve i R2 Integrasjonsmetoder
Del 1 Hjelpemidler: ingen 1 Oppgave 1 Prøve i R Integrasjonsmetoder Caspar W. Hatlevik 19. oktober 1 Finn de ubestemte integralene og regn ut det bestemte integralet a. x + x + 1dx b. e 4x + x dx c. 1
DetaljerLøsningsforslag Øving 5
Løsningsforslag Øving 5 TEP41 Fluidmekanikk, Vår 216 Oppgave til forberedning til Lab x dx y y Figure 1 a) Oppdriftskraften på kvartsirkelen er F B = γu = γ π2 4 L der γ = ρg er den spesifikke vekten av
DetaljerMEK1100 Løsningsforslag til oppgavene i Feltteori og vektoranalyse
MEK11 Løsningsforslag til oppgavene i Feltteori og vektoranalyse av Gjevik & Fagerland Opprinnelig laget av Morten Wang Fagerland våren 5 Rettinger og oppdateringer ved Karsten Trulsen Takk til studenter,
DetaljerOblig 2 MEK1100, vår 2016
Oblig 2 MEK1100, vår 2016 Krav til innlevering og godkjenning Hvert punkt gir makismalt 10 poeng. I alt kan du oppnå 100 poeng. Vi krever minimum 70 prosent, eller 70 poeng for å få godkjent. Dersom dette
DetaljerLøsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT
Løsningsforslag for MAT-1, desember 29, UiT av Kristian Hindberg Oppgave 1 a) Bestem grenseverdien e x 1 x lim x x 2 e x 1 x lim x x 2 = lim x e x 1 2x e = x lim x 2 = 1 2 b) Finn det ubestemte integralet
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Trond Digernes 75957 Berner Larsen 7 59 5 5 Lisa Lorenten 7 59 5 8 Vigdis Petersen 75965 ide av Vedlegg: Formelliste IF55 Matematikk ide av Oppgave Et plant
Detaljer1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii)
1 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 1 Regn ut 3 7 + 1 2. i) 13 14 ii) 11 14 iii) 9 14 2 Regn ut 8 9 + 3 4. i) 57 36 ii) 59 36 iii) 61 36 3 Regn ut 1 4 + 1 8. i) 3 16 ii) 3 8 iii) 5 8 4 Regn ut 1 8 + 1 16.
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT 1110, våren 2006
Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT, våren 6 Oppgave : a) Vi har C 5 3 II+( )I a + 3a 3a III+I 3 II 3 3 3 3 a + 3a 3a 3 a + 3a 3a III+II I+( ))II 3 3 3 a + 3a 3a 3 3 3 a + 3a 4 3 3a a + 3a 4 3 3a b)
DetaljerMAT1110 Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim
MAT Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Obligatorisk oppgave 2 ) Det første vi gjør er å lage et diagram over spillet, for å få en oversikt over spillets gang. Hver gang vi i andre runde kommer
DetaljerFasit til eksamen i MEK1100 høst 2006
Fasit til eksamen i MEK11 høst 26 Det er tilsammen 1 delspørsmål. Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til 1 (1 for fullstendig svar, for blank). Maksimal oppnåelig poengsum er 1. Kontroller at
DetaljerFeltteori og vektoranalyse. Forelesningsnotater
Feltteori og vektoranalyse Forelesningsnotater av Geir Pedersen og Bjørn Gjevik Avdeling for mekanikk Matematisk institutt Universitetet i Oslo 2009 Forord Dette dokumentet er utfyllende forelesningsnotater
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Fredag. mars Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerGradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer
Kapittel 2 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Oppgave Gitt funksjonen f(x,y,z) = x 2 y+z 2 x. Vi regner først ut de partielt deriverte med hensyn på x, y og z: f x = 2xy f +z2, = f x2,
DetaljerTMA Tanker omkring innlevering 3 fra en studentassistents perspektiv
TMA15 - Tanker omkring innlevering 3 fra en studentassistents perspektiv April 7, 15 Mesteparten av dere har klart denne øvingen langt bedre enn de to forregående øvingene selv om denne var hakket vanskeligere.
DetaljerFeltlikninger for fluider
Kapittel 10 Feltlikninger for fluider Oppgave 1 Gitt et to-dimensjonalt strømfelt v = ωyi+ωxj. a) Den konvektive akselerasjonen for et to-dimensjonalt felt er gitt ved b) Bevegelseslikninga (Euler-likninga):
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47. Oppgaver til seminaret 25/11
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47 Avsn. 7.1: 1, 11 På settet: S.1, S.2, S.3, S.4 Oppgaver til seminaret 25/11 Oppgaver til gruppene uke 48 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn. 6.6 3 Avsn. 6.7 3, 7 Avsn.
DetaljerMa Flerdimensjonal Analyse Øving 11
Ma3 - Flerdimensjonal Analyse Øving Øistein Søvik 7.3. Oppgaver 5.3 5. Find the moment of inertie about the -axis. Eg the value of δ x + y ds, for a wire of constant density δ lying along the curve : r
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/
Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss
DetaljerTMA4105 Matematikk2 Vår 2008
TMA4105 Matematikk2 Vår 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 11.4.1 Vi ser på kurven i xy-planet gitt ved r(t) ti + (ln(cos t))j π/2
DetaljerGradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer
Kapittel 2 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Oppgave Gitt funksjonen f(x,y,z) = x 2 y + z 2 x. Vi regner først ut de partielt deriverte med hensyn på x, y og z: De dobbeltderiverte
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir
LØNINGFOLAG IL EKAMEN I FAGE 55/7 MAEMAIKK. august Oppgave. (i Ja. (ii Ja. (iii Nei. Alternativt: (i Ja. (ii Ja. (iii Ja. Oppgave. curlf (x, y F i j k (x, y / x / y / z e y + ye x +x xe y + e x + Altså
DetaljerVolum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 4. oktober 011 Kapittel 6.. Volum ved sylindriske skall 3 Skall-metoden z = g(x) 1 1 1 1 3 1 1 3 z
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerEksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Oppgave 1. Fra ligningen Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag x 2 64 y2 36 1 finner vi a 64 8 og b 36 6. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a 2 + b 2 64 + 36 1 1. Dermed er fokuspunktene
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: MAT-1003 Dato: Tirsdag 15. desember 2015 Tid: Kl 15:00 19:00 Sted: Åsgårdvegen 9
EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-13 Dato: Tirsdag 15. desember 215 Tid: Kl 15: 19: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Pedersen et al.: Teknisk formelsamling med tabeller, Rottmanns formelsamling,
DetaljerForeta omskrivninger av den stedsderiverte av et produkt som forekommer i den vanlige formen:
. 2 65 Løsning E.1 Foreta omskrivninger av den stedsderiverte av et produkt som forekommer i den vanlige formen: Dette er den søkte formen. " Løsning E.2 %'& Legg en -akse i # s retning, dvs. # () -,&
DetaljerLøsningsforslag MAT102 - v Jon Eivind Vatne
Løsningsforslag MAT02 - v203 - Jon Eivind Vatne. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = ( ) 4 2. 3 Svar: Fra den karakteristiske ligningen A λi 2 = λ 2 + 3λ + 2 = 0 får vi egenverdiene
DetaljerLøsning IM3 15.06.2011.
Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen
DetaljerIR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA1 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 1 Oppgave 1 Ligningen kan skrives 4 ln x 3 ln
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
DetaljerIntegralsatser: Green, Stokes og Gauss
Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v ω 2 y 2 +ω 2 x 2 ωr, r x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 x 2 +y 2 er r konstant
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9. Løsningsforslag
Matematikk 000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Løsningsforslag Oppgave Integral som en sum av rektangler a) 3 f(x) dx = 3 x 3 dx = [ ] 3 3 + x3+ = [ x 4 ] 3 4 = 34 = 20. 4 b) 0.5 f() + 0.5 f(.5) +
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene til funksjonen
DetaljerECON2130 Obligatorisk Oppgave
201303 ECON2130 Obligatorisk Oppgave Oppgave 1 Vi lar være uavhengige og normalfordelte,, setter og ønsker å vise at og at den teoretiske korrelasjonskoeffisienten mellom og er. Vi betrakter her en standard
DetaljerLøsningsforslag til Øving 9 Høst 2014 (Nummerne refererer til White s 6. utgave)
TEP45: Fluidmekanikk Oppgave 8. Løsningsforslag til Øving 9 Høst 4 (Nummerne refererer til White s 6. utgave Vi skal finne sirkulasjonen Γ langs kurven C gitt en potensialvirvel i origo med styrke K. I
Detaljer