EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene til funksjonen og bestem residuene i disse. z +6z + b) Ved hjelp av substitusjonen z = e iθ skal en beregne det reelle integralet Oppgave B- a) Finn Laurentrekkene til funksjonen om z =. 3+cosθ. z 5 ( + z) b) Beregn det komplekse linjeintegralet dz z =a z 5 ( + z) for <a< og a> der sirkelen z = a gjennomløpes en gang i positiv omløpsretning. Oppgave B-3 a) Finn polene til funksjonen z 4, og vis at dersom z er en pol for f(z), så er residuet i z lik z 4. Side av 6 5. juni 3 TMA4 Matematikk 4K H-3 b) Regn ut verdien av integralet hvor er ) sirkelen z = i positiv retning ) sirkelen z = i positiv retning 3) sirkelen z ++i = i positiv retning 4) sirkelen z + i = 3 i postitiv retning. dz z 4 Oppgave B-4 Bestem funksjonene f(y) og g(y) slik at den komplekse funksjonen blir analytisk og F () =. F (z) =U(x, y)+iv (x, y) =(x x + f(y)) + i(xy ++g(y)) Oppgave B-5 La s>oga> være gitt og definer e isz (z ai). 3 a) Finn de singulære punkter for f. Bestem type og beregn residuet. b) La Γ R betegne halvsirkelen med radius R i øvre halvplan. Vis at lim f(z) dz =. Γ R c) Bestem e isx i (x ai) dx 3 for s>, a>. Hva blir verdien av dette integralet når s<oga>? Oppgave B-6 La R være rektangelet med hjørner ( K, ), (K, ), (K, b), ( K, b). a) Vis at integralene e z dz langs de vertikale sidene i rektangelet går mot null når K. b) Vis at e (x+ib) dx = e x dx for vilkårlig b. (auchys sats) Side a

2 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 3 av 6 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 4 a c) Finn Fourier-transformen til f(x) =e x gitt at e x dx =. Oppgave B- Bestem v(x, y) slik at den komplekse funksjonen Oppgave B-7 dz a) Bestem integralet der er enhetssirkelen med positiv omløpsretning i (z k)(z /k) og k er et positiv reelt tall, k. b) Bruk resultatene under a) til å beregne integralet +k k cos θ (Vink: bruk substitusjon z = e iθ.) der k er et positivt reelt tall, k. Oppgave B-8 Vis at en analytisk (holomorf) funksjon i enhetsdisken ( z < ) som har konstant imaginærdel må være en konstant. (Vink: auchy-riemann ligningene.) Oppgave B-9 Hvilke verdier kan integralet dz z + anta når er en vilkårlig sirkel (positiv orientering) som ikke går gjennom z = ±i? Oppgave B- a) Hva er verdien av det komplekse integralet R e iz z + dz når R (med R>) er den lukkede konturen påfiguren? R y e b) La Γ R være halvsirkelen z = R, Imz>, og vis at lim ΓR iz dz =. z + R x x + x y + iv(x, y) blir analytisk og f() =. Uttrykk også f(z) som et polynom i z. Oppgave B- La betegne sirkelen z = (positivt orientert). Finn verdien av integralet z n e /z dz der n er et helt tall. Bruk så Maclaurinrekken til e z, og lovlighet av den leddvise integrasjonen som trengs, til åeta formelen e z+/z dz =i n!(n +)!. Oppgave B-3 For hvilken verdi av konstanten a er funksjonen n= u(x, y) =ax 4y + e x cos y harmonisk? La a være lik denne verdien, og finn alle analytiske funksjoner f(x + iy) har u(x, y) som realdel. Oppgave B-4 La være kurven gitt ved z(t) =x(t)+iy(t) for t, der Beregn integralene x(t) =t og y(t) = arctan t. Re zdz og z dz. Oppgave B-5 Vis at dersom f(z) er en analytisk funksjon med Re Imf(z) for alle z, så er f(z) kons c) Bruk resultatene i a) og b) til å finne verdien av integralet cos x x + dx. Oppgave B-6 Finn alle verdier av fjerderoten 4 i +i.

3 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 5 av 6 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 6 a Oppgave B-7 Oppgave B-8 Betrakt uttrykket cos θ=? (Hint: Eulers formel) z z z = c n z n. n= b) La Γ R vere halvsirkelen gjeven ved z = Re iθ, θ og la kurva R vere samanse intervallet [ R, R] ogkurvaγ R, positivt gjennomløpt. Finn verdien av integralet R f(z) dz, R >. Vis ved direkte estimering at c) Finn verdien av integralet lim f(z) dz =. Γ R x 4 (x 6 +) dx. a) Bestem rekkens konvergensradius. b) Finn en ligning for koeffisienten c n og beregn c 5. Oppgave B-9 Finn integralet der a) er sirkelen z = 4. b) er sirkelen z =. z 998 dz i z i Oppgave B- Funksjonen f(z) er definert ved z iz +3 (z )(z +). a) Finn løysingane til likninga z iz +3=. Finn den Laurentrekka til f(z) omz = som gjeld nærast z =, og finn konvergensomr for rekka. b) La og vere sirklane z =og z =3. Finn verdien av integrala f(z) dz og f(z) dz. Oppgave B- Finn Laurentrekka til funksjonen e (z+)/(z ) om punktet z =, og finn verdien av integralet f(z) dz, der er sirkelen gjeven ved z =, gjennomløpt i positiv retning. Oppgave B- a) Finn nullpunkta til polynomet z 6 + =. La funksjonen f(z) vere definert ved z4 z 6 +. Finn dei singulære punkta til f(z), og vis at residuet til f(z) i eit singulært punkt z er 6z. Oppgave B-3 a) Funksjonen f er definert ved Finn dei singulære punkta, og rekn ut residua. b) Finn verdien av integralet ved å bruke substitusjonen z = e iθ. z + z(z +3z +). cosθ 3+cosθ

4 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 7 av 6 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 8 a Oppgave B-4 Funksjonen f(z) er definert ved (z )(z ). Finn residuet til f(z) i punktet z =. Finn Laurentrekka til f(z) omz =iområdet z >. Finn verdien av integralet f(z) dz, der er sirkelen definert ved z = (positivt orientert). Oppgave B-5 a) Finn Taylorrekka til funksjonen e 3iz 3e iz +omkringz =. Finn deretter Laurentrekka til funksjonen g(z) = [ e 3iz 3e iz + ] omkring z =. z 3 Kva er konvergensområdet for denne rekka? b) La Γ R vere halvsirkelen definert ved z = Re iθ θ, positivt orientert. Vis at lim g(z) dz =. Finn verdien av lim g(z) dz. Γ R R Γ R c) Finn verdien av integralet Oppgave B-6 Bestem konstanten A slik at funksjonen I = sin 3x 3sinx dx. x 3 u(x, y) = arctan x y + A(x + y ), x >, y> blir harmonisk. Finn dei konjugert harmoniske funksjonane v(x, y). Oppgave B-7 a) Finn dei singulære punkta til funksjonen b) Finn verdien av integralet I =, og rekn ut residua. z +4iz +sinθ. Oppgave B-8 Finn de to Laurentrekkene om z = for funksjonen. Bestem verdien av z 3 ( z)( + z) integralene f(z) dz f(z) dz når og betegner sirklene z = og z = 3 (begge positivt orientert). Oppgave B-9 a) Sett e iz og la Γ R betegne sirkelbuen z = Re iθ, θ /4. Vis at lim Γ R f(z) dz =. (Hint: sin θ 4θ/ når θ /4.) b) La R betegne den lukkede kurven bestående av intervallet [,R]på x-aksen, sirkelbue og det rette linjestykket fra Re i/4 til. Finn verdien av integralene cos(t ) dt og sin(t ) dt ved å integrere f(z) en gang r R og deretter la R. Det oppgis at e t dt =. Oppgave B-3 a) Gitt funksjonen (z +) 6 /z 7. Hvilken type singularitet har f(z) i punktet z = Begrunn svaret. Finn residuet til f(z) i z =. b) Finn verdien av integralet ved residuregning. cos 6 θ Oppgave B-3 Finn alle Laurentrekkene til funksjonen (z +)(z +z) om punktet z =, og an åpne konvergensområdene for rekkene. Bestem verdien av integralet f(z) dz der er en sirkel i positiv omløpsretning med sentrum i ogradius. Oppgave B-3 La a>ogω> være gitt. La R>a,ogla R være den enkle lukkede kurven i det komp plan som består av det reelle intervallet fra R til R og halvsirkelbuen z = Re iθ for θ (positiv omløpsretning). Beregn R e iωz a + z dz og vis at cos ωx a + x dx = a e aω for alle a>ogω>.

5 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 9 av 6 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side a Oppgave B-33 Løs ligningen sin z =. Oppgave B-38 La Γ R være halvsirkelbuen z = Re iθ for θ, derr er en positiv konstant. Vis at e lim ΓR iz dz =. z + Oppgave B-34 a) La R>, og la R være den enkle lukkede kurven i det komplekse plan som består av det reelle intervallet fra R til R og halvsirkelbuen z = Re iθ for θ (positiv omløpsretning). Bruk residuregning til å evaluere integralet Finn også e lim R + ΓR iz e dz og lim z + R + ΓR iz z(z +) dz. b) Finn verdien av det reelle integralet R z z 4 +6 dz. x x 4 +6 dx. Oppgave B-39 Bestem konstanten A slik at u(x, y) =e y (x cos x + Ay sin x) blir en harmonisk funksjon. Finn de analytiske funksjonene av z = x + iy som har u(x, y) realdel. Oppgave B-35 La f(z) være en hel funksjon, det vil si, analytisk for alle z. Vis at dersom f(z) M z k for alle z for en fast konstant M>ogetfastheltallk, så erf(z) etpolynompå formen cz k. Oppgave B-36 Bestem integralet ved å benytte substitusjonen z = e iθ. Oppgave B-37 Finn Laurentrekken(e?) om z = til funksjonen +cosθ sin θ ez z 3 og bestem { } Im f(z) dz der er det rette linjestykket som går fra til i. Oppgave B-4 Finn alle Laurentrekkene med sentrum i z = til funksjonen z 4z 4 og angi gyldighetsområdene til hver av dem. Oppgave B-4 Finn Fouriercosinustransformen f(w) =F{f(t)} = f(t)coswt dt til den jevne funksjonen f(t) = t + ved hjelp av residuregning. Forklar hvorfor f(w) erenjevnfunksjon. Oppgave B-4 Finn alle Laurentrekker med sentrum i punktet z = til funksjonen (z )(z 4). opp konvergensområdet for kvar rekke. Finn verdien av integralet f(z) dz, der er sir med radius 3 og sentrum i z =, orientert mot urvisaren.

6 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side av 6 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side a Oppgave B-43 a) Finn alle singulære punkt til funksjonen z. Teikn figur. Rekn ut residuet til f(z) z 5 + i punktet z = e i/5. xdx b) Rekn ut integralet x 5 + ved å integrere langs randa til sirkelsektoren z = reiθ, θ /5, r R, ogsåla. (Svaret skal skrivast på reell form.) b) Vis at lim f(z) dz =. Γ R Finn verdien av integrala (x ) cos ωx x sin ωx dx og (x +) x cos ωx +(x ) sin ωx (x +) dx. Oppgave B-44 Ved hjelp av substitusjonen z = e iθ og integrasjon rundt sirkelen z = skal ein rekne ut verdien av integralet,dera er eit vilkårleg positivt tal. a i sin θ Oppgave B-48 La ein funksjon f(z) haeinpolavordenm i punktet z. Vis at funksjonen ϕ(z) = f (z) f(z) ogs ein pol i z, og finn residuet av ϕ(z) iz. Oppgave B-45 La P (z) ogq(z) vere to polynom, der graden til Q(z) er større enn eller lik pluss graden til P (z). Vis at P (z) lim dz =, r Q(z) der r er sirkelen med sentrum i origo og radius r. La z,z,...,z m vere alle polane til r m P (z). Finn verdien av summen Q(z) P (z) Res z=z k Q(z). Oppgave B-46 Finn dei to Laurentrekkene til funksjonen omkring punktet z =,ogavgjer (i z)(z ) kvar rekkene konvergerer. Oppgave B-47 Funksjonen f(z) er definert ved eiωz (z i) k= Oppgave B-49 Funksjonen ϕ(z) erdefinertved ϕ(z) = i e. iz a) Finn alle singulære punkt til funkjonen ϕ(z), vis at desse er polar, og avgjer ordene polane. b) Rekn ut residuet til ϕ(z) i alle polane. La vere sirkelen om origo med radius 4 o sirkelen om origo med radius, begge positivt orientert. Finn verdien av integrala ϕ( og ϕ(z) dz. Oppgave B-5 Ved bruk av substitusjonen z = e iθ og residurekning skal ein finne verdien av integralet 3cosθ 5. der ω er eit positivt tall. La R vere eit reelt tal, R>, la Γ R vere halvsirkelen gjeven ved z = Re iθ, θ, ogla R vere kurva samansett av Γ R og intervallet frå R til R, med positiv orientering. a) Finn verdien av integralet R f(z) dz.

7 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 3 av 6 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 4 a Fasit B- a) z = 3, z = 3+, enkle poler Res z=z 8, Res z=z 8 b) B- a) ( ) n+ z n for < z <, ( ) n z n for z > n= 5 b) i for <a<, for a> B-3 a), -, i, i b), i, ( i), B-4 f(y) = y, g(y) = y B-5 a) z = ai, pol av orden 3; Res z=ai s e as c) s e as for s>, a>, for s<, a> n=6 B-3 a =4,4z + e z + i B-4 ( + i ), 4 ( +i ) ( B-6 /8 (8k +) cos + i sin 6 B-7 63/8 (8k +) ), k =,,, 3 6 B-8 a) ( 5 ) b) c n = c n + c n for n 3; c 5 =5 B-9 a) 998 B- b) n= 3 n e n!(z ) n for z > ; 6ie B- a) e (k+)i/6, k =,,...5 b) /3 c) /3 ( ±(,7 ±,i) ) B-6 c) e w /4 B-7 a) k k b) k B-9, ± 3i B- a) i, 3i ; i b) (4 + 7i)/5, i z +i ) B-3 a), ( 3 ± 5 ;, b) ( ) n= n (z )n ( ) ( i) n+ for < z < 5 B- a) /e c) /e B-4 ; ( ) n (z ) ; n n= B- v(x, y) =xy + y, z + z B- i (n +)! 3(3 n ) B-5 a) i n z n ; n! n= b) 3i c) 3/ n= 3(3 n+ ) i n+3 z n (n +3)! for < z <

8 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 5 av 6 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 6 a B-6, ln(x + y )+ B-7 a) ( ± 3)i; ± i 3 b) 3 B-4 B-4 e w n= (z ) n 3 n+ for < z < 3, n= 3 n for z > 3; i (z ) n 3 B-8 B-9 b) z n 3 for < z <, n=, B-3 a) Pol av orden 7; b) 5/8 z n 5 for z > ; i, n= B-43 a) e (k+)i/5, k =,,...4; 5 ei/5 b) 5sin(/5) B-44 +a B-45 B-46 (z ) n for < z < ; (i ) n+3 n= n=3 (i ) n 3 (z ) n for z > B-3 (z +) n for < z + <, n= (z +) n 3 for z + > ; n= B-3 a e ωa B-33 +k i ln( ± 3), k =,±, ±,... B-34 a) b) 4 B-47 a) ωe ω b) ωe ω, B-48 m B-49 a) /4+k, k =,±, ±,...; enkle polar b) ;, i B-5 /4 B-36 3 B-37 n= z n 3 e n! for z > ; e B-38, i B-39 A =, v(x, y) =e y (x sin x + y cos x)+, ze iz + i B-4 4 n( z 4n z 4n+) for z < / (, 4 n+ z ) for z > / 4n+3 z 4n+4 n= n=