dx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk vår 9 øsningsforslag til eksamen 15. august 9 1 Treghetsmoment med hensyn på x-aksen er gitt ved x [ ] y I x y x dy dx dx 1 [ x (8x + x 4 )dx x y x y x 4 ] 1 4. a F (x, y, z) x + y 1 z. a er hyperboloiden en nivåflate for F. erfor er F F (x, y, z) x, F y, F z en normalvektor til hyperboloiden i punktet (x, y, z). x, y, z 9 For (x, y, z) (, 1, ) er F (, 1, ) 1,,. Tangentplanet til hyperboloiden i (, 1, ) er derfor gitt ved 1,, x, y 1, z x + (y 1) (z ) x + y z a) Ved Newtons andre lov gjelder det at F ma mr (t) der r(t) cos t, sin t, t langs kurven C. Vi har r (t) sin t, cos t, og r (t) cos t, sin t, x, y,. et følger derfor at F G langs C. tarthastighet v() r () sin, cos,, 1,. b) Av a) ser vi at farten v(t) r (t) sin t + cos t + 5 er konstant under hele bevegelsen. Kraftfeltet G gir derfor bare retningsendring. et vil si, komponenten av G som gir fartsendring er lik og komponenten som gir retningsendring er G. Komponenten av G som gir fartsendring er gitt ved G T (eller (G T)T) der T r (t)/ r (t) ). iden r (t) r(t) for denne bevegelsen, er G T. Komponenten av G som gir retningsendring er derfor G G. 19. august 9 ide 1 av 5

2 øsningsforslag til eksamen 15. august 9 c) iden G r i hvert punkt på C, er arbeidet lik null. Arbeidet er gitt ved 4π G dr m cos t, sin t, sin t, cos t, dt C t 4π dt. 4 er en rotasjonsflate om z-aksen som ligger mellom de to planene z og z. Projeksjonen av ned i xy-planet er en kvart sirkelring R gitt ved 1 x + y e for x og y. Videre er ( ln(x dσ y ) ) ( ln(x + + y ) ) dx dy x y 1 + slik at arealet av er gitt ved A 4x (x + y ) + 4y (x + y dx dy, ) dσ Vi gjør om til sylinderkoordinater: A e r1 π/ R 1 + 4x (x + y ) + 4y (x + y dx dy. ) 1 + 4r r 4 r dr dθ π e 1 r + 4 dr. Ifølge Rottmann, formel (54) side 18, gjelder a + x dx x x + a + a ln C(x + x + a ). erved er A π [ r 4 + r + 4 (r ln + ) ] e 4 + r 1 π ( e 4 + e + ln(e e ) 1 ) 5 ln(1 + 5). Projeksjonen R av er gitt ved 1 r e for θ π/ i sylinderkoodinater. En parametrisering av er x r cos θ, y r sin θ, z ln(r ) ln r for (r, θ) R. Vi setter r(r, θ) r cos θ, r sin θ, ln r. a er dσ r r r θ dr dθ, der r r r θ cos θ sin θ r cos θ i sin θ j + rk r sin θ r cos θ 19. august 9 ide av 5

3 øsningsforslag til eksamen 15. august 9 og derved dσ r r r θ dr dθ eregningen av A går så videre som over. 4 cos θ + 4 sin θ + r dr dθ 4 + r dr dθ. 5 a) ivergensen til F er gitt ved div F(x, y, z) F(x, y, z) (ey sin z ) x + (y / + e x sin z ) y + y + z y z. + (z yz) z For å kunne bruke divergensteoremet, må vi lukke flaten. et gjør vi ved å sette på et lokk : z for x + y 1 og en bunn : z for x + y 4. e tre flatene, og danner tilsammen en stykkvis glatt, lukket flate som avgrenser et romlig område. Ved divergensteoremet er derfor F ndσ + F ( k)dσ + F kdσ div F dv. På og er dσ da, slik at fluksen ut gjennom og tilsammen er F ( k)dσ + F kdσ + ( r sin θ)r dθ dr + π 9r dr 9π. Fluksen ut gjennom er derfor F ndσ div F dv z dv 9π 4 r π π π z πr [z ] 4 r dr z u4 4 u ] 4 [ u π ( r sin θ)r dθ dr F ( k)dσ F kdσ zr dz dθ dr (4 r ) r dr π u du u du π π 4 u ] 4 [ u π 9u u4 4 r z πr [z ] 4 r dr 9π z ((4 r ) 9)r dr 9π (u 9) du (u 9)du 9π 9π zr dz dθ dr 9π ( 64 9π π 64 ) π. 19. august 9 ide av 5

4 øsningsforslag til eksamen 15. august 9 b) er en flate der randen består av de to sirklene og C 1 : x cos θ, y sin θ, z for θ π, C : x cos θ, y sin θ, z for θ π. Vi kan bruke tokes theorem til å beregne integralet i oppgaven. Men siden n peker vekk fra z-aksen, er orienteringen til C gitt ved vår parametrisering, i gal retning. erfor er curl G n dσ G dr C 1 G dr C cos θ, sin θ, + 1 cos θ sin θ, cos θ, dt cos θ, sin θ, cos θ sin θ, cos θ, dt dt dt. For dette feltet gjelder det at curl G(x, y, z) G(x, y, z) x y z x y x z + 1 i z + 1 j + k. Projeksjonen av ned i xy-planet er ringområdet R gitt ved R : 1 x + y 4. Flaten kan beskrives ved parametriseringen erved er : x x, y y, z f(x, y) 4 x y for (x, y) R. curl G n dσ, z + 1, f x, f y, 1 dx dy z + 1 y da og curl G n dσ y (4 x y ) + 1 da. R Vi gjør om integralet til polarkoordinater: curl G n dσ r sin θ (4 r ) + 1 r dθ dr r1 1 dr. Vi finner curl G som i alternativet over, men parametriserer flaten ved : x r cos θ, y r sin θ, z 4 r for 1 r, θ π. 19. august 9 ide 4 av 5

5 øsningsforslag til eksamen 15. august 9 kriver vi r(r, θ) r cos θ, r sin θ, 4 r, får vi dσ r r r θ dr dθ, der r r r θ cos θ sin θ r r sin θ r cos θ r cos θ i + r sin θ j + rk og derved dσ r r r θ dr dθ eregningen av A går så videre som over. 4r 4 cos θ + 4r 4 sin θ + r dr dθ 4r + 1 r dr dθ. 6 Anslag for maksimal feil: f(1, ln, 8) 1 8 e ln 8. F f f f (1, ln, 8) x + (1, ln, 8) y + (1, ln, 8) z x y z (ze y ).1 + (xze y ).1 + (xe y ).1 (1,ln,8) (1,ln,8) (1,ln,8) august 9 ide 5 av 5