Obligatorisk oppgave 2
|
|
- Marthe Carlsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Obligatorisk oppgave 2 Oppgave a) Vi kan beregne vektorfluksen Q = F ndσ gjennom en kuleflate σ gitt vektorfeltet σ F = xi + 2y + z j + z + x 2 k. Ved å bruke Gauss sats kan vi skrive om uttrykket Q slik at det blir lettere å løse. Dermed får vi at Q = F ndσ σ Hvis vi nå løser dette får vi at Q = Fd = Fd. = F d hvor F = x F i + y F j + z F k F = x + 2y + z + x y z F = = 4 z + x2 Q = d hvor d Q = 4 4πr 3 3 Q = 6πr 3 3 = V kule = 4πr 3 3 Vi har med dette funnet at vektorfluksen Q = 6πr 3 gjennom en kuleflate σ, hvor r er radiusen 3 av kulen. b) Da divergensen til vektorfeltet F er konstant, vil ikke resultatet endre seg dersom sentrum av kulen flyttes fra origo til et annet punkt i feltet F. Dette er fordi F uttrykker volumstrømmen, slik at divergensen til vektorfeltet F forblir 4 for alle punkter i vektorfeltet. Dersom σ flyttes til et annet punkt, vil utgående og inngående strømning endre seg, men på en slik måte at divergensen forblir 4 og vektorfluksen Q = 4V = 6πr 3. 3 c) Vi kan beregne sirkulasjonen C = F dr omkring en lukket sirkel i xy-planet ved å parameterisere kurvene. For en sirkel med radius a i xy-planet har vi at r(t) = x t y t z t = acos t asin(t) asin(t) og dr = acos t dt dr = asin(t) acos t dt. Fra dette får vi at
2 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim C = F dr = x 2y + z z + x 2 asin(t) acos t dt = x t 2y(t) + z(t) z(t) + x t 2 asin(t) acos t dt C = acos t 2 asin(t) + + acos 2 t asin(t) acos t dt = acos t asin(t) + 2 asin(t) acos t dt C = a 2 cos t sin(t) + 2a 2 sin(t) cos t dt C = 2 a2 sin(t) cos t + sin(t) cos t dt = a 2 sin(t) cos t dt = 2 a2 sin(t + t) dt = 2 a2 sin(2t) dt C = a 2 2 sin(2t) dt = a 2 2 sin(u) dt, hvor u = 2t slik at du dt = 2 dt = du 2 C = a 2 2 sin(u) du 2 = a 2 4 sin(u) du = a 2 4 cos u = a 2 4 cos 2t C = a 2 4 = a 2 a C = Vi har med dette at sirkulasjonen omkring en lukket sirkel i xy-planet med radius a er. d) Vi kan bruke Strokes sats til å kontrollere resultatet i punkt c). Strokes sats sier at σ F ndσ = Fdr λ slik at C = F ndσ, hvor n = k da k σ F = i j k x y z x 2y + z z + x 2 F = y z + x2 z 2y + z i + z x x z + x2 j + x 2y + z y x k F = i + 2x j + k = i + 2x j + k C = F ndσ = σ 2x dσ = dσ σ σ C = Dette viser at sirkulasjonen C =. 2
3 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Oppgave 2 a) Vi kan finne hastighetsvektoren v gitt hastighetspotensialet φ slik at v = φ, hvor hastighetspotensialet φ = 2 x2 xy 2 y2. v = φ v = φ + φ + φ x y z v = x 2 x2 xy 2 y2 + y v = x y i + x y j + k v = x y x y 2 x2 xy 2 y2 + z 2 x2 xy 2 y2 Nå som vi har v kan vi lage et pilplott hvor x, y = (,) og x, y = (,) er tegnet inn. Anta at vi skriver et program oppave2a.m for et todimensjonalt felt. % Beregner hastigheter x=linspace(-,,5); [x,y] = meshgrid(x,x); u=x-y; v=-x-y; % Tegner vektorplott av hastighetsfeltet quiver(x,y,u,v); xlabel('x-akse'); ylabel('y-akse','fontsize',); title('oppgave 2a, vektorplott av hastighetsfeltet v','fontsize',); % Marker (,) og (,) xp=[,]; yp=[,]; hold('on'); plot(xp,yp, 'or'); Dersom vi nå kjører dette programmet vil vi få en figur hvor punktene x, y = (,) og x, y = (,) er markert med røde ringer. >> run('c:\users\nicolai Solheim\Desktop\Obliger\MEK\25 OBLIG2\oppgave2a.m') Figur : Plott av hastighetsvektoren v hvor punktene x, y = (,) og x, y = (,) er markert med røde ringer. 3
4 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim b) Vi kan videre vise at φ oppfyller Laplacelikningen dersom 2 φ =. 2 φ = v = 2 x 2 2 x2 xy 2 y2 + 2 x y 2 2 x2 xy 2 y2 + 2 x y i + x y j + k = y z + + = = = z 2 2 x2 xy 2 y2 = Dette viser at φ oppfyller Laplacelikninge, da 2 φ =, og vi kan med dette si at hastighetsfeltet er et Laplaceisk felt og at selve strømningsformen er potensialstrømning. c) Da φ oppfyller Laplacelikningen, er feltet divergensfritt som betyr at det finnes det en strømfunksjon ψ. Vi kan fra de tidligere resultatene se at at dette dreier seg om et todimensjonalt felt slik at at v = v i, v j T. Fra dette har vi at v i = ψ y og v j = ψ x ψ = v idy og ψ = v j dx. Løser vi fra dette utgangspunktet får vi at ψ = x y dy ψ = y x dy ψ = 2 y2 xy + f x ψ = x y dx ψ = x y dx ψ = 2 x2 xy + f y Hvor f x er en vilkårlig funksjon av x og f(y) er en vilkårlig funksjone av y. Skal disse to uttrykkene for ψ gi identisk resultat må f y = 2 y2 xy f x = 2 x2 xy Dette gir at ψ = 2 y2 xy + 2 x2 xy = 2 x2 xy + 2 y2 xy ψ = 2 y2 xy 2 x2 xy = 2 y2 x 2 2xy ψ = 2 y2 x 2 2xy Vi har med dette funnet at ψ = 2 y2 x 2 2xy. d) Strømmens stagnasjonspunktet kan finnes ved å regne ut x- og y-verdiene der v =. Dette gir v = x y x y =. Dette gir oss to likninger (I) x y = og (II) x y = Løser vi dette likningssettet vil vi finne strømmens stagnasjonspunkt. I x y = 4
5 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim x = y II x y = y y = 2y = y = I x y = x = x = Ved å løse likningssettet har vi funnet at strømmens stagnasjonspunkt er,. Da vi har løst dette kan vi videre finne strømlinjene gjennom dette punktet ved å finne én eller flere funksjoner for y. ψ, = 2 y2 x 2 2xy = 2 y2 2 x2 2xy = y 2 4xy = x 2 Vi legger deretter til 4x 2 for å lettere kunne faktorisere uttrykket. y 2 4xy + 4x 2 = x 2 + 4x 2 y 2 4xy + 4x 2 = 5x 2, hvor y 2 4xy + 4x 2 kan faktoriseres på formen slik at y 2 2xy 2xy + 2x 2 a 2 ab ab + b 2 = a b 2 Hvor y = a og b = 2x slik at y 2 2xy 2xy + 2x 2 = y 2x 2 y 2x 2 = 5x 2 y 2x = ± 5x 2 y = ± 5x + 2x Vi har med dette funnet at strømlinjene er y = 5x + 2x og y = 2x 5x. Vi kan skrive et program oppgave2d.m som sjekker dette. % Beregner hastigheter x=linspace(-,,5); [x,y] = meshgrid(x,x); v=/2*(y.^2 - x.^2)-2.*x.*y; % Beregne data for strømningslinjene som går gjennom (,) xl=linspace(-,,5); l=sqrt(5)*xl+2*xl; l2=2*xl-sqrt(5)*xl; % Tegner konturplott contour(x,y,v); xlabel('x-akse'); ylabel('y-akse','fontsize',); title('oppgave 2d, konturplott av strømningsfeltet','fontsize',); colorbar(); % Konturplott med strømlinjene tegnet inn figure(); contour(x,y,v); xlabel('x-akse'); ylabel('y-akse','fontsize',); title('oppgave 2d, konturplott av strømningsfeltet med strømlinjer','fontsize',); 5
6 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim colorbar(); hold('on'); plot(xl,l2, 'black'); plot(xl,l, 'black'); legend('contour','sqrt(5)x+2x','2x-sqrt(5)x'); Dersom vi nå kjører dette programmet vil vi få to figurer. En figur som bare viser konturene til strømningsfeltet, og en figur med strømningsfeltet samt de to strømningslinjene som ble funnet. >> run('c:\users\nicolai Solheim\Desktop\Obliger\MEK\25 OBLIG2\oppgave2d.m') Figur 2: Konturplott av strømningsfeltet Figur 3: Konturplott av strømningsfeltet med strømningslinjene for stagnasjonspunktet Vi kan fra figurene ovenfor se at strømlinjene gjennom stagnasjonspunktet vi har funnet er korrekt. e) Videre kan vi beregne fluksen langs en kurve λ, der kurven er det rette linjestykket langs med x-aksen som ligger mellom x = og x =. Normalvektoren, n, har et positiv komponent i y- retning, slik at n = j = T. Med dette har vi at Q = v nds, hvor ds = dx og y = da vi kun er interessert i fluksen av λ langs λ med x-aksen. Dette gir Q = x y x y dx = x + y dx = 2 x2 + xy = 2 y = 2 Q = 2 Fra dette har vi funnet at fluksen Q = langs linjestykket λ. 2 6
7 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Oppgave 3 a) Da vi er gitt et hastighetsfelt i sylinderkoordinater ønsker vi å konvertere hastighetsfeltet til kartesiske koordinater. Hastighetsfeltet vi har er v = A ri r + (z + b)k, hvor b og A er konstanter, og r = x 2 + y 2. k-leddet er det eneste som forblir konstant, så det eneste vi trenger å endre er i r. Videre kan vi tenke oss i r = cos θ i + sin θ j slik at ri r = r cos θ i + r sin θ j = xi + yj. Med dette har vi at v = A xi + yj + (z + b)k. Vi kan med disse kartesiske koordinatene finne divergensen og virvlingen til v. Divergensen til feltet er v og virvlingen er v. div v = v = Ax + Ay + x y z div v = 3A Az + Ab = A + A + A curl v = v = i j k x y z Ax Ay A z + b curl v = A z + b Ay i + Ax A z + b j + Ay Ax k y z z x x y curl v = i + j + k curl v = Vi har med dette funnet at div v = 3A og curl v =. b) Vi ønsker nå finne volumstrømmen gjennom σ B ogσ T. Volumstrømmen Q B og Q T er gitt ved Q B = v ndσ og Q σ B T = v ndσ, hvor n = k = σ T. Vi bruker her de polare koordinatene slik at dσ = rdrdθ og Q B = Q T = a a Az + Ab rdrdθ, hvor z = Az + Ab rdrdθ, hvor z = h Dette gir at Q B = πa 2 Ab og Q T = πa 2 A h + b. c) Videre kan vi parameterisere σ s i z og θ slik at volumfluksen ut gjennom Q S kan beregnes som et flateintegral. Vi velger en enhetsnormalen med et positivt i r -komponent. Vi kan 7
8 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim parameterisere til z cos θ + sin θ, hvor z b, h og hvor θ,. Fra dette kan vi regne ut integralet som er Q s = h b v nrdθdz, hvor n i polare koordinater er. Dette gir oss at Q s = Q s = h b h b h b Ar A z + b rdθdz Ar 2 dθdz Q s = Ar 2 θ dz = 2Aπr 2 dz b Q s = 2Aπr 2 h b = 2Aπr 2 h b, hvor r = a Q s = 2Aπa 2 h b Dette viser at Q s = 2Aπa 2 h b. h d) Vi kan ved å bruke Gauss sats finne Q S. Gauss sats er definert ved Q = vd, hvor divergensen og volumet er v = Ax + Ay + x y z Az + Ab = A + A + A = 3A d Q = 3Aπha 2 = V σ = πhr 2, hvor r = a Vi har med dette at volumstrømmen gjennom sylinderen er 3Aπha 2, slik at Q B + Q T + Q S = 3Aπha 2. Fra dette kan vi finne σ S. Q S = 3Aπha 2 Q B Q T Dersom vi setter inn verdiene for Q B og Q T som vi fikk i oppgave 3b) finner vi volumstrømmen gjennom σ S. Dette gir Q S = 3Aπha 2 πa 2 Ab πa 2 A h + b = Aπa 2 3h b h b Q s = Aπa 2 2h 2b Q s = 2Aπa 2 h b Vi har fra dette funnet at Q s = 2Aπa 2 h b. e) 8
9 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Oppgave 4 a) Vi kan uttrykke potensialene φ u = Ux og φ k = m ln x2 + y 2 i polarkoordinater gitt at x = r cos θ og y = r sin θ. Dette gir φ u = Ux φ u = Ur cos θ φ k = m ln x2 + y 2 φ k = m ln r2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ φ k = m ln r2 cos 2 θ + sin 2 θ φ k = m ln r2 φ k = m ln r Vi får med dette at φ u = Ur cos θ og φ k = m ln r. b) Bygger vi videre på dette kan vi finne den totale utstrømningen fra origo ved å integrere volumstrømmen over en sirkel om origo med radius r. Potensialfunksjonen, φ k, for kilden er gitt slik at φ k = m ln x2 + y 2 = m ln r. Vi kan med dette integrere med polare koordinater over en sirkel for å finne den totale utstrømningen. Q = v r da, hvor da = rdθ slik at Q = A v r rdθ, hvor vi finner volumstrømmen gitt at v = φ k v = φ k = φ k m r + φ k r θ v = ln r i r r + r v = m i r r + i θ v r = m, v r θ = θ m ln r i θ Q = Q = Q = m m r m dθ rdθ = m θ Vi har med dette vist at den totale utstrømningen fra kilden er lik m. c) Videre kan vi regne ut hastighetsfeltet v = φ u + φ k. v = φ u + φ k = φ u +φ k r + r φ u +φ k θ, hvor φ u + φ k er φ u + φ k = Ux + m ln x2 + y 2 = Ur cos θ + m ln r v = U cos θ + m r v = U cos θ + m r i r + r Ur sin θ + i θ i r U sin θ i θ 9
10 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim For å kunne bestemme strømstyrken U som en funksjon av kildestyrken m slik at stagnasjonspunktet ligger i x = og y =, må vi se på informasjonen rundt et stagnasjonspunkt. For et stagnasjonspunkt har vi at: v = U cos θ + m r i r U sin θ i θ = v r = U cos θ + m r = og v θ = U sin θ = Vi kan nå konvertere til det kartesiske systemet gitt at r = x 2 + y 2, x = r cos θ og y = r sin θ. v r = Ux + x 2 +y 2 m x 2 +y 2 = og v θ = Uy x 2 +y 2 = Da vi ønsker stagnasjonspunktet i x = og y =, får vi at U + m U = og = = U = m Vi har med dette at strømstyrken U = m dersom stagnasjonspunktet ligger i = og y =. d) For å finne strømfunksjonen ψ, sjekker vi først divergensen for å se om det eksisterer en strømfunksjon. Vi har fra tidligere at v r = U cos θ + m r og v θ = U sin θ slik at divergensen er v = r r rv r + r θ rv θ. v = r v = r v = r r ru cos θ r ru cos θ + r m r ru cos θ + m U cos θ v = U cos θ U cos θ v = r θ r θ ru sin θ ru sin θ Vi ser fra dette at hastighetsfeltet er divergensfritt. Det finnes med andre ord en strømfunksjon ψ for feltet v. Denne strømfunksjonen kan vi finne på samme måte som når vi bruker kartesiske koordinater, da divergensen er lik, men siden vi nå bruker polare må vi gjøre følgende endring i uttrykket vårt: v x = ψ y v y = ψ x ψ v r = r θ v θ = ψ r Med dette er det mulig å finne strømfunksjonen da vi får to uttrykk. ψ = v θ r og ψ = v r rθ
11 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim ψ = v θ r = U sin θ r ψ = Ur sin θ + f v r ψ = v r rθ = U cos θ + m r ψ = Ur sin θ m θ + f v θ rθ = Ur cos θ + m θ Dette gir to uttrykk for ψ, hvor hvert uttrykk har et konstantledd. ψ = Ur sin θ m θ + f v θ og ψ = Ur sin θ + f v r For at disse uttrykkene for ψ skal være like, må f v θ = og f v r = m θ Dette gir at oss at strømfunksjonen ψ = Ur sin θ m θ. Vi kan videre vise at kurven som skiller de to strømningen er gitt ved θ + r sin θ = π. Vi kan anta at kurven er konstant, slik at ψ = Ur sin θ m θ = k, hvor k er en konsant. Vi har også tidligere regnet ut at U = m. Dette gir oss r sin θ θ = k m r sin θ + θ = k m = k, bytter vi fortegn får vi at m Altså må k være lik m 2. Dette viser at kurven som skiller de to strømningen er gitt ved r sin θ + θ = π.
12 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Oppgave 5) a) Vi kan forklar kort hvorfor varmeledningslikningen i dette tilfellet forenkler seg til T = κ 2 T t x 2 gitt at varmeledningslikningen er T t = κ 2 T, hvor 2 T = 2 T + 2 T x 2 y T 2 slik at = κ 2 T t + 2 T. x 2 y 2 Da temperaturen ikke varierer på tvers av staven i y-retningen, har vi at 2 T y 2 =. Dette gir at T = κ 2 T + t x 2 T = κ 2 T t x 2 Dette viser at T = t κ 2 T = κ 2 T x 2. Vi kan også finne en tidsuavhengig løsning T s x som overholder betingelsene ovenfor og de gitte randbetingelsene. Da løsningen T s x er tidsuavhengig har vi at T = κ 2 T = t x 2 κ 2 T = κ x 2 k 2 T s x 2 = Dersom vi nå integrerer uttrykket to ganger får vi at T S = Ax + B, hvor A og B er integrasjonskonstanter. Setter vi inn for x = og x = l får vi at T s = A + B = T B = T T s = Al + T = T l A = T l T l T s x = T l T l + T. Fra dette har vi at T s x = T l T l + T. b) c) Vi kan bestemme α, gitt et tidsavhengig temperaturfelt T x, t = T s x + A sin βx e αt der T s x er løsningen fra a) og A, k og α er konstanter. Vi antar at temperaturfeltet må oppfylle 2
13 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim T = κ 2 T t x 2 slik at T x, t er en løsning av varmeledningslikningen. Dette gir T t = αa sin βx e αt og 2 T t 2 = β2 A sin βx e αt. Dette gir oss at T = κ 2 T t x 2 αa sin βx e αt = κ β 2 A sin βx e αt αa sin βx e αt = κβ 2 A sin βx e αt α = κβ 2 Vi har med dette bestemt at α = κβ 2. d) 3
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 11 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 1 desember 29. Tid for eksamen: 14:3 17:3. Oppgavesettet er på 7 sider.
DetaljerFasit for eksamen i MEK1100 torsdag 13. desember 2007 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra 0 til 10 (10 for perfekt svar).
Fasit for eksamen i MEK torsdag 3. desember 27 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til ( for perfekt svar). Oppgave Vi har gitt to vektorfelt i kartesiske koordinater (x,y,z) A = yi+coszj +xy
DetaljerObligatorisk oppgave 1
Obligatorisk oppgave Oppgave a) Vi kan finne divergens og virvling av det todimensjonale hastighetsfeltet ved å finne v og v. Gitt at v = ui + vj, hvor u = cos x sin y og v = sin x cos y, får vi følgende:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 1100 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Fredag 29 mai 2009. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på 6 sider.
DetaljerTillegg om strømfunksjon og potensialstrøm
Kapittel 9 Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm 9.1 Divergensfri strøm 9.1.1 Strømfunksjonen I kompendiet, kap. 4.6 og kap. 9, er det påstått at dersom et todimensjonalt strømfelt v(x y) = v x (x
DetaljerVektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen
Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt Divergensen til v er definert som v = ui+vj +wk. v = u x + v y + w og virvlingen er gitt ved determinanten
DetaljerKurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft
Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,
DetaljerVektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen
Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui + vj + wk. Divergensen til v er definert som v = u + v + w z og virvlingen er gitt ved determinanten
DetaljerFasit til eksamen i MEK1100 høst 2006
Fasit til eksamen i MEK11 høst 26 Det er tilsammen 1 delspørsmål. Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til 1 (1 for fullstendig svar, for blank). Maksimal oppnåelig poengsum er 1. Kontroller at
DetaljerKurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft
Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,
DetaljerVektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen
Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui+vj +wk. Divergensen til v er definert som v = u x + v y + w z og virvlingen er gitt ved determinanten
DetaljerOppgavehefte for Mek 1100
Oppgavehefte for Mek 1100 Geir Pedersen Høst 2009 Oppg. 1 Normal til bane i planet. Vi har gitt en posisjonsvektor som funksjon av t på dimensjonsløs form r(t) = (5 + t)i + t 2 j. a) Finn hastigheten,
DetaljerVirvelfrihet, potensialer, Laplacelikningen
Virvelfrihet, potensialer, Laplacelikningen Kap 10 og 9 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE Forelesninger NYTT TEMA Hvorfor snakker vi om virvelfri bevegelse? Forelesninger Todimensjonal
Detaljerβ = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1) = 2rcosθsinθi r +r( sinθsinθ+cosθcosθ)i θ
Kapittel 8 Polarkoordinater Oppgave 1 Vi har gitt skalarfeltet β(x, y) = xy i kartesiske koordinater. a) For polarkoordinater (r,θ) og kartesiske koordinater (x,y) har vi sammenhengen x = rcosθ og y =
Detaljerβ = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1)
Kapittel 8 Polarkoordinater Oppgave 1 Vi har gitt skalarfeltet β(x, y) = xy i kartesiske koordinater. a) For polarkoordinater (r, θ) og kartesiske koordinater (x, y) har vi sammenhengen x = rcosθ og y
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8
LØNINGFORLAG TIL ØVING, TMA45, V8 Oppgave 4.5.9. Parametrisering: x = r cos θ, y = r sin θ, z = r for θ π, r 6. r(r, θ) = r cos θ, r sin θ, r. N = r r r θ = cos θ sin θ = r cos θ, r sin θ, r. r sin θ r
DetaljerIntegralsatser: Green, Stokes og Gauss
Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v = ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v = ω 2 y 2 +ω 2 x 2 = ωr, r = x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 = x 2 +y
DetaljerEksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Oppgave 1. Fra ligningen Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag x 2 64 y2 36 1 finner vi a 64 8 og b 36 6. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a 2 + b 2 64 + 36 1 1. Dermed er fokuspunktene
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 1100 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 11 desember 2008. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på
DetaljerDivergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm
Kapittel 9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Oppgave Det eksisterer et hastighetspotensiale φ hvis feltet er virvelfritt. For et to-dimensjonalt felt v v x i+v y j er virvlingen gitt ved
DetaljerTillegg om flateintegraler
Kapittel 6 Tillegg om flateintegraler 6.1 Litt ekstra om flateintegraler I kompendiet har vi definert flateintegraler som grenseoverganger for diskretiseringer. Har vi en flate kan vi representere den
DetaljerOppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.
NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
DetaljerDivergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm
Kapittel 9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Oppgave Det eksisterer et hastighetspotensiale φ hvis feltet er virvelfritt. For et to-dimensjonalt felt v = v x i+v y j er virvlingen gitt ved
DetaljerSIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag
SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver
DetaljerLøsning til eksamen i ingeniørmatematikk
Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk 3 78 Oppgave Vektorfeltet har komponenter og er funksjon av variable Jacobimatrisen er av type ( xy) ( xy) x y ( yx) ( yx) xy x y xy Innsatt finner vi JF ( x, y)
DetaljerLøsning IM
Løsning IM 6 Oppgave x + y Grensen lim er ubestemt da både teller og nevner blir Vi skal vise at grensen ( xy, ) (,) x + y ikke eksisterer og bruker rette linjer inn mot origo De enkleste linjene er koordinataksene
Detaljerdx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk vår 9 øsningsforslag til eksamen 15. august 9 1 Treghetsmoment med hensyn på x-aksen er gitt ved x [ ] y I
DetaljerOppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel
DetaljerIntegralsatser: Green, Stokes og Gauss
Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v ω 2 y 2 +ω 2 x 2 ωr, r x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 x 2 +y 2 er r konstant
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 14 1.4.5: Vi skal finne fluksen ut overflaten til den solide ballen B med sentrum = (2,, 3) og radius r = 3, av vektorfeltet F = x 2 i + y 2
DetaljerRandkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.
Ma - Løsningsforslag til uke 17 i 7 Eks. mai 1999 oppgave 4 ylinderen x + y = 1 skjærer ut ei flate av planet z = x + 1 dvs. x + z = 1 med enhetsnormal i positiv z-retning lik n= 1 [ 1 1]. Flata blir en
DetaljerAlternativ II: Dersom vi ikke liker å stirre kan vi gå forsiktigere til verks. Først ser vi på komponentlikninga i x-retning
Forelesning / 8 Finne skalarfunksjon når gradienten er kjent. Se GF kap..3.4. Ta som eksempel β = yi + xj + k. Vi vet at β = x i + j + z k og følgelig ser vi at vi må løse et system av tre likninger som
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske
DetaljerTMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner
TMA 4105 Representasjoner Funksjoner Operasjoner Funksjoner f : D R m! f(d) R n reelle funksjoner kurver flater vektorfelt Funksjoner i) f : D R n! R reell funksjon av n variabler, f(x), f(x,y) eller f(x,y,z)
Detaljery = x y, y 2 x 2 = c,
TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerSIF5005 MATEMATIKK 2 VÅR r5 drdθ = 1 m. zrdzdrdθ = 1 m. zrdzdrdθ =
SIF55 MAEMAIKK Å 3 Løsningsforslag Hjemmeøving 5 Oppgave. Ser at massen fordeler seg symetrisk om z-aksen, derfor vil tyngdepunktet ligge på z-aksen. Det eneste vi da trenger å regne ut er z. zδd = m π
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
DetaljerLøsning, Stokes setning
Ukeoppgaver, uke 4 Matematikk, tokes setning 1 Løsning, tokes setning Oppgave 1 a) b) c) F x y z x y z F x x + y y + z z 1+1+1 iden F er feltet konservativt. ( z y y ) ( x i z z z ) ( y x x x ) k i +k
DetaljerSIF 5005 Matematikk 2 våren 2001
IF 55 Matematikk våren Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Diverse løsningsforslag 75 Matematikk B, mai 994 (side 77 79) 6 a) Vi finner en potensialfunksjon φ(x,
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Faglig kontakt under eksamen: Trond Digernes 7359357 Berner Larsen 73 59 35 5 Lisa Lorentzen 73 59 35 48 Vigdis Petersen
DetaljerMEK1100 Løsningsforslag til oppgavene i Feltteori og vektoranalyse
MEK11 Løsningsforslag til oppgavene i Feltteori og vektoranalyse av Gjevik & Fagerland Opprinnelig laget av Morten Wang Fagerland våren 5 Rettinger og oppdateringer ved Karsten Trulsen Takk til studenter,
DetaljerEksamen IRF30014, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Oppgave 1. Eksamen IRF314, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag Ellipsen vil skal finne er på standardform x a + y b 1 der a > b for styrelinjene er vertikale linjer. Formelen for styrelinjene er x
DetaljerThe full and long title of the presentation
The full and long title of the presentation Subtitle if you want Øistein Søvik Mai 207 Ø. Søvik Short title Mai 207 / 4 Innholdsfortegnelse Introduksjon Nyttige tips før eksamen Nyttige tips under eksamen
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir
LØNINGFOLAG IL EKAMEN I FAGE 55/7 MAEMAIKK. august Oppgave. (i Ja. (ii Ja. (iii Nei. Alternativt: (i Ja. (ii Ja. (iii Ja. Oppgave. curlf (x, y F i j k (x, y / x / y / z e y + ye x +x xe y + e x + Altså
Detaljera 2 x 2 dy dx = e r r dr dθ =
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien
DetaljerEksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed
DetaljerFeltlikninger for fluider
Kapittel 10 Feltlikninger for fluider Oppgave 1 Gitt et to-dimensjonalt strømfelt v = ωyi+ωxj. a) Den konvektive akselerasjonen for et to-dimensjonalt felt er gitt ved b) Bevegelseslikninga (Euler-likninga):
DetaljerNTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28.
NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren 2011 Maple-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid
DetaljerKurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling
Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kap 4 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE Eksempler Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Kurveintegraler
Detaljer(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y
DetaljerFYS1120 Elektromagnetisme
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo FY112 Elektromagnetisme Løsningsforslag til ukesoppgave 1 Oppgave 1 a i Her er alternativ 1 riktig. Hvis massetettheten er F, vil et linjestykke
DetaljerEKSAMEN i MATEMATIKK 30
Eksamen i Matematikk 3 1. desember 1999 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi EKAMEN i MATEMATIKK 3 1 desember 1999 kl. 9 14 Fagnummer: V139A Faglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA45 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 5.5.: Kulen er grafen til rφ, θ) asinφ) cosθ)i + sin φ sinθ)j + cosφ)k), φ π, θ < π. Vi har slik at φ θ acosφ) cosθ)i + sinφ) sinθ)j + cosφ)k)
DetaljerLøsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatister eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6524 Matematikk MX Elever - 05.12.2007 AA6526 Matematikk MX Privatister - 05.12.2007 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk
DetaljerMEK1100, vår Obligatorisk oppgave 1 av 2.
9. februar 2017 Innleveringsfrist MEK1100, vår 2017 Obligatorisk oppgave 1 av 2 Torsdag 2. mars 2017, klokken 14:30 i obligkassen, som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7. etasje i Niels Henrik Abels
Detaljer(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392).
Ma - Løsningsforslag til uke 5 i 7 Eks. mai 994 oppgave Romkurva er parametrisert for t [, π] ved r (t) = [ + cos t, + sin t, + t ] Hastighets- og akselerasjonsvektorene blir v = r (t) = [ sin t, cos t,
Detaljere y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0
LØNINGFORLAG TIL EKAMEN I FAGET 55/7 MATEMATIKK. august Oppgave. (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Nei. Alternativt: (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Ja. Oppgave. a) curlf (x, y) F i j k (x, y) / x / y / z e y + ye x +x xe
DetaljerEksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Oppgave 1. Eksamen IRF314, høsten 15 i Matematikk 3 øsningsforslag I denne oppgaven er det to løsningsforslag. Ett med asymptotene som gitt i oppgaveteksten. I dette første tilfellet blir tallene litt
DetaljerVi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerLøsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
DetaljerMEK1100, vår Obligatorisk oppgave 1 av 2. Torsdag 28. februar 2019, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no).
28. februar 2019 Innleveringsfrist MEK1100, vår 2019 Obligatorisk oppgave 1 av 2 Torsdag 28. februar 2019, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om du skriver besvarelsen
DetaljerØving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)
Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen
DetaljerEksamensoppgaver og Matematikk 1B
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B Samlet for SIF5005 Matematikk våren 00 Samlingen inneholder utvalgte oppgaver gitt i 7500 og 750 Matematikk B ved NTH/NTNU i tiden 993 997. Oppgaver eller punkter
DetaljerMatematikk 4, ALM304V Løsningsforslag eksamen mars da 1 er arealet av en sirkel med radius 2. F = y x = t t r = t t v = r = t t
Oppgave r( t) v( t) dt t dt, t dt, t dt t +, t +, t +. d d d a( t) v '( t) t, t, t,6 t,t dt dt dt F ma m t t Gitt en hastighetsvektor v( t) t, t, t.,6, Oppgave Greens setning: δq δ P I ( Pdx + Qdy) ( )
DetaljerEKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.)
KANDIDANUMME: EKAMEN FAGNAVN: Matematikk 3 FAGNUMME: EA32 EKAMENDAO: 1. desember 26 KLAE: Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ID: kl. 9. 13.. FAGLÆE: Hans Petter Hornæs ANALL IDE ULEVE: 5 (innkl. forside
DetaljerObligatorisk oppgåve 1
FYS112 Elektromagnetisme 214 Obligatorisk oppgåve 1 Innleveringsfrist 19. september kl. 23.59 Lars Kristian Henriksen 21. oktober 214 Obligar i FYS112 leverast elektronisk på Devilry http://devilry.ifi.uio.no/.
DetaljerF = x F 1 + y F 2 + z F 3 = y 2 z 2 + x 2. i j k F = xy 2 yz 2 zx 2 = i(0 ( 2yz)) j(2xz 0) + k(0 2xy) = 2yzi 2xzj 2xyk.
TMA415 Matematikk 2 Vår 215 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 12 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT1050, vår 2019
Løsningsforslag til prøveeksamen i MT15, vår 19 Oppgave 1. a) Vi har sinx + y) d R cosx + y) sinx + π) + sin x siden alle fire leddene er. yπ y π dx sinx + y) dy dx cosx + π) + cos x) dx sin π + sin π)
DetaljerLøsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 13, (16).
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel, (6) Oppgave 7 ( 67 ) Kurven rt () (, t,), t t ligger i - planet Dette gir alternativ b eller f Setter inn t som gir punktet (, ) som bare er med i alternativ
DetaljerOppgaver og fasit til kapittel 6
1 Oppgaver og fasit til kapittel 6 Mange av oppgavene i dette kapitlet brukes for første gang, og det er sannsynligvis flere fasitfeil enn normalt. Finner du en feil, så send en melding til lindstro@math.uio.no.
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Trond Digernes 75957 Berner Larsen 7 59 5 5 Lisa Lorenten 7 59 5 8 Vigdis Petersen 75965 ide av Vedlegg: Formelliste IF55 Matematikk ide av Oppgave Et plant
DetaljerOppgaver og fasit til seksjon
1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: MAT-1003 Dato: Tirsdag 15. desember 2015 Tid: Kl 15:00 19:00 Sted: Åsgårdvegen 9
EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-13 Dato: Tirsdag 15. desember 215 Tid: Kl 15: 19: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Pedersen et al.: Teknisk formelsamling med tabeller, Rottmanns formelsamling,
DetaljerLøsning IM3 15.06.2011.
Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen
DetaljerKurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling
Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kap 4 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE Eksempler Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Kurveintegraler
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter Ingen
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: 11.12.2018 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Tillatte hjelpemidler: KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Fredag. mars Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerOblig 2 MEK1100, vår 2016
Oblig 2 MEK1100, vår 2016 Krav til innlevering og godkjenning Hvert punkt gir makismalt 10 poeng. I alt kan du oppnå 100 poeng. Vi krever minimum 70 prosent, eller 70 poeng for å få godkjent. Dersom dette
DetaljerLøsningsforslag Øving 5
Løsningsforslag Øving 5 TEP41 Fluidmekanikk, Vår 216 Oppgave til forberedning til Lab x dx y y Figure 1 a) Oppdriftskraften på kvartsirkelen er F B = γu = γ π2 4 L der γ = ρg er den spesifikke vekten av
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerTFE4120 Elektromagnetisme
NTNU IET, IME-fakultetet, Norge teknisk-naturitenskapelige uniersitet TFE412 Elektromagnetisme Løsningsforslag repetisjonsøing Oppgae 1 a) i) Her er alternati 1) riktig. His massetettheten er F, il et
DetaljerLøsning, Trippelintegraler
Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler Løsning, rippelintegraler Oppgave a) b) c) 6 x + + ) d d dx x + +/) d dx x) d d dx x + + /] d dx x + /+/] dx x +6)dx 8 6 d ) ) d xdx 6 ) ) ) d d xdx 6 8
DetaljerEKSAMEN. 3. klassene, ingenørutdanning. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og formelark)
KANDIDATNUMME: EKAMEN EMNENAVN: Matematikk 3 EMNENUMME: EA32 EKAMENDATO: 8.desember 28 KLAE: 3. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 13.. EMNEANVALIG: Hans Petter Hornæs ANTALL IDE UTLEVET: 5 (innkl.
DetaljerNY Eksamen i matematikk III, 5 studiepoeng. August 2007
NY Eksamen i matematikk III, 5 studiepoeng. August 7 Oppgave a. Regn ut gradienten til funksjonen f(x, y) = x +y +xy. I hvilken retning øker f mest når x = og y =? b. Regn ut kurveintegralet f(x, y) ds
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24
DetaljerEksamen i V139A Matematikk 30
Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Eksamen i V139A Matematikk 3 4. juni 22 9. 14. Fagnummer: V139A Faglærere: Hans Petter Hornæs. Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator, Formelsamling. Oppgavesettet
DetaljerKap. 22. Gauss lov. Vi skal se på: Fluksen til elektrisk felt E Gauss lov. Elektrisk ledere. Integralform og differensialform
Kap. 22. Gauss lov Vi skal se på: Fluksen til elektrisk felt E Gauss lov Integralform og differensialform Elektrisk ledere. E-felt fra Coulombs lov: E k q r 2 r E k n q r n 2 0n r 0n dq E k r 2 r tot.
DetaljerPlan. I dag. Neste uke
Plan I dag Referansegruppe... Ta opp igjen kurvelengde Areal bestemt av en kurve En annen måte å beskrive punkt i planet Kurver med denne beskrivelsen Tangenter, kurvelengde og areal Neste uke Kjeglesnitt
Detaljer= (2 6y) da. = πa 2 3
TMA45 Matematikk Vår 7 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete ourse.
DetaljerKurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling
Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kap 4 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Kurveintegraler
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 917 44 Eksamensdato: 22. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00
DetaljerMa Flerdimensjonal Analyse II Øving 9
Ma23 - Flerdimensjonal Analyse II Øving 9 Øistein Søvik 2.3.22 Oppgaver 4.5 Evaluate the triple integrals over the indicated region. Be alert for simplifications and auspicious orders of integration 3.
DetaljerForeta omskrivninger av den stedsderiverte av et produkt som forekommer i den vanlige formen:
. 2 65 Løsning E.1 Foreta omskrivninger av den stedsderiverte av et produkt som forekommer i den vanlige formen: Dette er den søkte formen. " Løsning E.2 %'& Legg en -akse i # s retning, dvs. # () -,&
DetaljerEKSAMEN. 3. klassene, ingenørutdanning. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.)
KANDIDATNUMME: EKAMEN FAGNAVN: Matematikk 3 FAGNUMME: EA32 EKAMENDATO: 13. desember 25 ENUFIT: 3. januar 26 KLAE: 3. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 13.. FAGLÆE: Hans Petter Hornæs ANTALL IDE UTLEVET:
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA3 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 97 44 Eksamensdato: 22. mai 28 Eksamenstid (fra til): 9: 3: Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerOppgaver for Mek 3220
Oppgaver for Mek 322 Geir Pedersen Høst 213 Oppgavene som følger kommer i tillegg til oppgaver i kompendiet og gamle eksamensoppgaver på nettet. Nye oppgaver vil kunne komme til i løpet av semesteret og
DetaljerNTNU. MA1103 Flerdimensjonal analyse våren Maple/Matlab-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag
NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal analyse våren 2012 Maple/Matlab-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid
Detaljer