Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling
|
|
- Karen Aronsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kap 4 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE Eksempler
2 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Kurveintegraler framstilles ganske likt med MAT1100, men vi har litt andre type og tolkninger. I kompediet i MEK1100 er kurveintegraler diskutert kort i kap. 6. Forelesningsnotater: Stoffet er pesentert fyldigere og sammen med kap. 4. Numerisk vinkling på definisjon. Fysisk inspirerte utledninger av viktige derivasjonsoperatorer Eksempler
3 ... Struktur 1 Kurver 2 Utvikling av kurveintegral av skalarprodukt. Utgangspunkt i diskretisering Midtpunktmetode formuleres og egenskaper diskuteres Relasjon til vanlig integral Notasjoner 3 Fluksintegral 4 Trykkintegral 5 Sirkulasjon og nettofluks 6 Divergens 7 Virvling Eksempler
4 Kurver Uttrykt som likning R 2 : Kommentar: ekviskalarlinjer er definert slik. f (x, y) = 0, (1) R 3 : f (x, y, z) = 0 definerer flate, f (x, y, z) = 0 og g(x, y, z) = 0 skjæring av to flater; dvs. kurve Uttrykt ved parameterisering r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, (2) t er parameter og x(t), y(t) og z(t) er skalarfunksjoner av t. Mange valg og tolkninger for t. Eksempler
5 ... Spesialtilfelle, x som parameter r(x) = xi + y(x)j + z(x)k. Spesialtilfelle, y som parameter r(y) = x(y)i + yj + z(y)k. Eksempler
6 Rett linje Likning Parmeterisering ax + by + c = 0, x(t)i + y(t)j = r(t) = r 0 + vt = (x 0 + v x t)i + (y 0 + v y t)j Må ha (hvorfor?) v normal på ai + bj og ax 0 + by 0 + c = 0. Stor valgfrihet, untatt hvis feks. r=posisjon og t=tid. Eksempler
7 Derivering av r(t) dr dt = lim r(t+ t) r(t) t 0 t ( x(t+ t) x(t) t = lim t 0 = x (t)i + y (t)j + z (t)k, der x er det samme som dx dt. dr dt er tangent til kurven i + y(t+ t) y(t) t Hvis r= posisjonsvektor og t=tid er dr dt =hastighet ) j + z(t+ t) z(t) t k (3) Eksempler
8 y dr dt r/ t x r/ t og dr/dt. Lengde av derivert avhenger av enheter/skalering. Eksempler
9 Kurvegeometri Differensial dr = dr dt dt = x dti + y dtj + z dtk = dxi + dyj + dzk Buelengdedifferensial ds = dr dt dt = dr = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dvs. og enhetstangent (x ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2 dt s (t) = dr dt (x = ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2, (4) t = 1 dr s (t) dt. Eksempler
10 Enhetsnormal i R 2 N = dr dt k = y i x j. Fordi N = dr dt = s (t) blir enhetsnormalen n er også enhetsnormal n = N s (t) = y i x j s = (t) y i x j (x ) 2 + (y ) 2. Enhetsnormaler er viktige og ofte dårlig forstått Eksempler
11 NYTT TEMA Kurveintegraler Eksempler
12 Definisjon Akkumulering (summering) av en størrelse langs en kurve Viktig tilfelle Akkumulering av arbeid på partikkel langs en kurve Arbeid Arbeid = kraft ganger vei, benevning J = N m W = F s Vektorform; bare komponent av F langs vei gjør arbeid. W = F r (5) Uttrykk gjelder for F=konstant og rettlinjet vei. Hva er arbeid når F(r) og veien er en kurve?. Eksempler
13 Diskretiseringer (eksempler) y polygon r n y tangenter r(t 5 ) C C r(t 1 ) r(t 2 ) r 1 x x Ide: Estimerer arbeid ved at W = F r brukes på hvert rett linjestykke med passende konstant verdi for F. Eksempler
14 Bruk av tangenter Parameterisering: r(t), t [a, b] n delintervaller: [0, h], [h, 2h],..,[(n 1)h, nh] der h = (b a)/n Midtpunkt i intervall i : t i = (i 1 2 )h Hvert intervall tilnærmet kurvebit r i = r (t i )h r(t i h) r(t i 1 2 h) På hvert intervall F F(r(t i )) = F i Arbeid på intervall i: F i r i Estimat av totalt arbeid W(n) = n F i r i = n i=1 i=1 F(r(t i )) dr(t i) dt h Eksempler
15 Konvergens W(n) avhenger av diskretisering Oppløsning: valg av n og h. Type av diskretisering. Polygonapproksimasjon (tidligere lysark) gir annet svar enn tangent/midtpunkt for samme oppløsning. Dersom alle fornuftige diskretiseringer gir W(n) som nærmer seg den samme verdi når h 0, dvs. n mm., ville denne verdien være en fornuftig definisjon av arbeid. Eksempler
16 Eksempel y C x r = cos ti + sintj, t [0, π 2 ] F = 1 4 (x y)i + (1 2 x y2 )j (6) Et lite program som beregner W(n) gir n W(n) Ser ut til å nærme seg når h 0. Eksempler
17 Relasjon til ordinært integral Definerer vanlig funksjon : g(t) = F(r(t)) r (t) Da følger W(n) = n i=1 F(r(t i )) dr(t i) h = dt n g(t i )h, (7) i=1 som svarer til midtpunktmetoden (MAT-INF1100) for W = b a g(t)dt. (8) Grenseverdien for (7), når n blir stor, må da svare til integralet i (8). Eksempler
18 Midtpunktmetode for 1 2 π 0 g(t)dt for n = 7 g(t) 0 t π t Eksempler
19 Integrasjon i formel Innsetting r = cos ti + sintj, t [0, π 2 ] F = 1 4 (x y)i + (1 2 x y2 )j b g(t)dt = a = 1 2 π π 0 =... F(r(t)) r (t)dt ( 1 4 (cos t sint)( sint) + (1 2 cos t sin2 t)cos t ) dt = π Stemmer med numerisk beregnet W(n). Eksempler
20 Feilestimat for midtpunktmetode Feil for enkelt intervall E i = t i h t i 1 2 h g(t)dt g(t i )h MAT-INF1100 og forelesningsnotater K en konstant, M maksimum av g Viktig: feil proposjonal med h 3 E i Kh 3 M, (9) Total feil (M er nå maks. i [a, b]) b n g(t)dt g(t i )h (b a)kh2 M (10) a i=1 Eksempler
21 Kurveintegral Definisjon W = b a F(r(t)) dr(t) dt. (11) dt r dt = dr parameteruavhengig notasjon W = F dr, (12) C Komponenter F = F x i + F y j og dr = dxi + dyj W = F dr = (F x dx + F y dy) = F x dx + C C C C F y dy. (13) Eksempler
22 ... NB Det er viktig å huske at feks. C F x(x, y)dx ikke kan integreres ved å antiderivere med hensyn på x og sette inn endepunktene i C. Både x og y vil variere langs C. Dette blir tydelig hvis vi innfører parameteren t i integralene C C b F x dx = F x (x(t), y(t))x (t)dt, F y dy = a b a F y (x(t), y(t))y (t)dt. Eksempler
23 Feilestimat til senere C F dr = F(r(ˆt)) dr(ˆt ) h + Rh 3, (14) dt der C er kurvebiten parameterisert over intervallet [ˆt 1 2 h,ˆt + 1 2h] og R er begrenset av en konstant ganger ekstremverdiene av d2 (F dr dt 2 dt ) på dette intervallet. Eksempler
24 Når F er en gradient Anta det eksisterer en β(x, y, z) slik at Kurveintegralet blir b a F = β. F(r(t)) dr(t) b dt = dt a β(r(t)) dr(t) dt. dt Kjederegelen gir β(r(t)) r (t) = d dt { β(r(t)) } og b a F(r(t)) dr(t) b dt = dt a Integralet er uavhengig av veien. dβ(r(t)) dt = β(r(b)) β(r(a)). dt Eksempler
25 ... Vi skriver utregningen mer direkte ved dβ = β dr: β dr = dβ = β b β a, (15) C C Analogi til analysens fundamentalteorem d c f (x)dx = f (d) f (c). Eksempler
26 Potensiell energi Dersom F = β er et kraftfelt vil β svare til minus den potensielle energien: V = F. Endringen i potensiell energi er da lik minus det arbeidet som kraften F utfører langs C V b V a = F dr. Hvis arbeidet går til endring av kinetisk energi vil summen av potensiell og kinetisk energi holde seg konstant. C Eksempler
27 Arbeid med t som parameter Når tiden er parameter W = C F dr = b a F dr b dt dt = a F vdt, der v er hastigheten. F v = arbeid per tid = effekt Eksempler
28 NYTT TEMA Fluks- og trykkintegraler Eksempler
29 Volumstrøm Hastighet v. Volumstrøm, per tid, gjennom flatelement normalt v, med areal dσ Benevning for dq 3 er m 3 / s. dq 3 = ± v dσ, Når flatenormal, n, danner vinkel med v er det bare normalkomponent, v n, som gir volumstrøm dq 3 = v ndσ, Tilsvarende massestrøm er ρv ndσ, der ρ er spesifikk masse. For en hel flate må fluksen integreres(summeres) over flaten flateintegral som gjennomgåes siden. Eksempler
30 2D variant: volumstrøm i skiver Studerer skiver, eller deler av slike, med grunnflate i xy-planet og konstant tykkelse B i z-retning. Hastighet v(x, y) uniform i z retning. Grunnflate begrenset av kurve, C, i xy-planet r(t) = x(t)i + y(t)j. dr langs C sideflatesegment med areal dσ = B dr = Bds Volumstrøm dq 3 = v ndσ = v nbds, 2D fluksbegrep: Volumstrøm per tid og per tykkelse med benevning m 2 / s. dq = dq 3 B = v nds, Eksempler
31 Geometrisk tolkning av 2D fluks (a) v n = (v n)n (b) v n ds n v s v ds n v dt v h = v n dt Segment, lengde ds, av skive sett ovenfra. Siden segmentet er lite ser det ut som en rett linje (a): Dekomponering av hastigheten (b): Skraverte parallelogram: volumstrøm ut i tiden dt. Arealet er hds = ds v n dt. Eksempler
32 Kurveintegralet for fluks dq summert over sidekant svarende til kurve C i xy-planet Q = v nds (16) Parameterisering r(t), innsetting ds = s dt Q = v(r(t)) n(t)s (t)dt C C Har fra før n = N/s ns = N = r k = y i x j Q = v nds = (v x y v y x )dt = (v x dy v y dx). (17) C C Må passe på at kurven gjennomløpes slik at n peker mot høyre, sett ovenfra.* C Eksempler
33 Trykkintegral langs kontur Trykk: kraft per flate, rettet normalt inn mot flaten. På flatesegment dσ, med enhetsnormal n, blir kraften df = pndσ. (18) Trykk har benevning N/ m 2. Trykk-kraft på flate flateintegral Igjen: ser på sidekanter av skive med tykkelse B. Da er dσ = Bds og df 2 = df/b = pndσ/b = pnds, der df 2 har bevevning N/ m dvs. kraft per lengde. Summert langs profil definert ved kurve c i x, y-planet F 2 = pnds. (19) C Eksempler
34 ... Dekomponering F 2 = F x i + F y j. F 2 = pns (t)dt = p(y i x j)dt = i dvs C C F x = C pdy, F y = C C pdx pdy + j C pdx. Nok en gang: må huske at både x og y varierer langs C; generelt er det feil å antiderivere p mhp. y og x. (20) Eksempler
35 Eksempel, trykk på dam y g p = p 0 x dr n v = 0 x = b(y) y = H Likevekt hydrostatisk trykk: p = p 0 ρgy (tas bare for gitt nå) Ex H08: finn kraften på profilen når. b(y) = αy 2 Eksempler
36 ... Bruker y som parameter Dette gir r(y) = b(y)i + yj = αy 2 i + yj. F x = p(y)dy = C = p 0 H 1 2 ρgh2, 0 H (p 0 ρgy)dy = [ p 0 y 1 2 ρgy2] 0 H F y = C p(y)dx = C p(y) dx dy dy = 0 H (p 0 ρgy)b (y)dy = 0 H (p 0 ρgy)2αydy = = [ α(p 0 y ρgy3 ) ] 0 H = α ( p 0 H ρgh3). Eksempler
37 NYTT TEMA Nettofluks, sirkulasjon divergens og virvling Eksempler
38 Sirkulasjon Sirkulasjon for en lukket kurve, λ Γ = v dr, (21) som har mening både i to og tre dimensjoner. integrasjonen omkring lukket kurve Omløpsretning må defineres I R 2 er omløpsretning vanligvis mot urviserne sett ovenfra (fra positive z verdier λ (21) er samme type integral som arbeidsintegralet, med F erstattet med v. Eksempler
39 Volumfluks ut av et lukket område Volumfluksen per tykkelse og tid ut av en lukket skive Q = v nds. (22) λ er skivens omriss i xy-planet n er rettet ut av området ds regnes positiv Q > 0 nettostrøm ut av området Q < 0 nettostrøm inn i området λ Eksempler
40 Divergens av vektorfelt λ snøres sammen til punkt, r 0 Q 0. Hva med netto relativ utstrømning? Q A = 1 v nds, A der A er arealet omsluttet av λ. λ snøres sammen til r 0 både Q og A 0 Divergens definert som grenseverdi Skalarfeltet v er divergensen λ Q v(r 0 ) = lim A 0 A. (23) Eksempler
41 ... 1 Eksisterer grensen i det hele tatt? 2 Dersom den eksisterer er det klart den avhenger av feltet v og posisjonen r 0, men er det likegyldig hvordan vi snører sammen kurven λ? 3 Er det en mer direkte relasjon mellom vektorfeltet v og skalarfeltet v? 4 Hvorfor bruker vi den spesielle notasjonen? 1 og 2 kan besvares med ja når vi har gjennomgått integralsatsene. 3 skal vi besvare ved å se på grensen for enkle kurver λ 4 besvares vha. resultat i 3 Eksempler
42 Utstrømning av et rektangel v y n = j λ 2 n = i λ 1 h (x 0, y 0 ) v x λ 3 h n = i n = j Rektangel λ med enhetsnormaler og oppdeling, areal A = h 2. Vi lar område 0 ved h 0. Det fokuseres først på fluks gjennom λ 1 : Q 1. λ 4 Eksempler
43 Bruk av numerisk integrasjonsformel Q 1 = v ids = λ 1 y h y h v x (x h, y)dy 2 Når h er liten kan vi kanskje bruke midtpunktmetoden? F dr = F(r(ˆt)) dr(ˆt ) h + Rh 3, dt C gir her Q 1 = hv x (x h, y 0) + R 1 h 3 der R 1 er begrenset av M = 1 24 max 2 v x y 2 på λ 1 Vi kan ignorere feilledd R 1 h 3, hvorfor? Eksempler
44 ... Skal finne Q lim h 0 A = lim Q 1 + Q 3 + Q 2 + Q 4 h 0 h 2. Bidrag fra feilledd i Q 1 i siste brøk er R 1 h 3 h 2 = hr 1, som 0 når h 0. Feilledd kan sløyfes for alle fire sider (λ i, i = 1, 2, 3, 4). Deler opp Q lim h 0 A = lim Q 1 + Q 3 Q 2 + Q 4 h 0 h 2 + lim h 0 h 2. Dvs. tar λ 1 + λ 3 (parallelle med y-aksen) og λ 2 + λ 4 (parallelle med x-aksen) hver for seg. Eksempler
45 n = i λ 3 λ 2 h v y n = j (x 0, y 0 ) λ 1 v x n = i h n = j λ 4 y h 1 Q 3 = v ( i)ds = v x (x 0 2 h, y)dy hv x(x 0 1 h, y)h. 2 λ 3 y h Eksempler
46 Q 1 + Q 3 lim h 0 h 2 = lim h 0 = v x(x 0, y 0 ) x ( vx (x h, y 0) v x (x h, y ) 0) Dividert differanse svarer til midtpunktformelen for den deriverte. Q 1 + Q 3 kan leses som: fluks ut λ 1 - fluks inn λ 3, der fortegn kommer fra retning på n. h Eksempler
47 Samme behandling av Q 2 + Q 4 Q 2 = Q 4 = Midtpunktformel v jds = λ 2 Q 2 + Q 4 lim h 0 h 2 = lim h 0 x h x h v y (x, y h)dx, x h v ( j)ds = v y (x, y h)dx. x λ h = v y(x 0, y 0 ) y ( vy (x 0, y h) v y(x 0, y h) ) h Eksempler
48 Divergensen Q v = lim h 0 A = lim Q 1 + Q 3 + Q 2 + Q 4 h 0 Grenseovergang derivasjonsoperator Uttrykk for divergens (spørsmal 3) h 2 = v x(x 0, y 0 ) x v = v x x + v y y + v y(x 0, y 0 ). y Eksempler
49 Hvorfor notasjon v (spørsmål 4)? Skrivemåten v er motivert av den formelle regningen ( v = i x + j ) (v x i + v y j) y Tilsvarende i 3D: = i i v x x + j i v x y + i j v y x + j j v y y = v x x + v y y. Divergensen av v = v x i + v y j + v z k er v = v x x + v y y + v z z Eksempler
50 Hvorfor er divergens viktig? Divergens er utstrømning/innstrømning til et punkt. Begrepet er helt avgjørende for å forstå og beskrive oppførsel av væskestrøm. Divergens er viktig i andre sammenhenger enn væskestrøm Fluksregnskap for små rektangler (bokser, celler), med feks. midtpunktmetode for integraler langs sideflatene, er viktige i konstruksjon av modeller for feks. dynamikk i hav og atmosfære. Eksempler
51 Virvlingen til et 2D vektorfelt Som for relativ utstrømning ser vi på grenseovergangen Γ lim A 0 A = lim 1 v dr. (24) A 0 A For å slippe å gjenta utregningene innfører vi den roterte hastighet ṽ = v y i v x j = v k. v dr = (v x dx + v y dy) = ( ṽ y dx + ṽ x dy) = ṽ nds, λ Tidligere resultater gir λ λ λ Γ lim A 0 A = ṽ x x + ṽ y y = v y x v x y. (25) Siste uttrykket representerer størrelsen av virvlingen λ Eksempler
52 Virvlingen, notasjon og utregning Virvlingensvektoren i 2D i j k v = x y 0 v x v y 0 = Formell determinant i analogi med kryssprodukt Vi kan skrive 1 lim v dr = k v. A 0 A λ Eller si at for små A er v dr Ak v. λ Disse uttrykkene blir generalisert og skjerpet senere ( vy x v ) x k. (26) y Eksempler
53 Virvlingensvektoren i 3D A = = i j k x y z A x A y A z ( ) ( ) ( ) A z y Ay A z i + x z Az A x j + y x Ax y k. (27) Eksempler
54 v funnet ved Taylorutvikling n = i λ 3 λ 2 h v y n = j (0, 0) λ 1 v x h n = i n = j Forenkling: x 0 = y 0 = 0. Fluks gjennom λ 1 : Q 1 = v x ( 1 2h, y)dy 1 2 h Setter inn v x ( 1 2 h, y) = v x(0, 0) + vx x λ 4 h 2 + vx y y +... Igjen h 2 (Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 ) vx x + vy y 1 2 h når h 0. Hvorfor kan vi kutte ut fom. andreordens ledd i Taylorpolynomet? Eksempler
55 Andre enkle kurver n = i n = 1 2 (i + j) v n = 1 2 (v x + v y ) v x λ2 h v y λ 1 (x 0, y 0 ) n = j Analyse med midtpunktintegrasjon eller Taylorutvikling kan lett gjøres også for, feks., triangel. Konsistent definisjon av divergens og virvling i hht. generelle kurver innbakt i integrasjonssatser i kap. 6. λ 3 Eksempler
Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling
Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kap 4 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE Eksempler Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Kurveintegraler
DetaljerKurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling
Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kap 4 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Kurveintegraler
DetaljerPartieltderiverte og gradient
Partieltderiverte og gradient Kap 2 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Struktur Mye er repitisjon fra MAT1100, litt
DetaljerTillegg om flateintegraler
Kapittel 6 Tillegg om flateintegraler 6.1 Litt ekstra om flateintegraler I kompendiet har vi definert flateintegraler som grenseoverganger for diskretiseringer. Har vi en flate kan vi representere den
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 1100 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 11 desember 2008. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på
DetaljerFeltteori og vektoranalyse. Forelesningsnotater
Feltteori og vektoranalyse Forelesningsnotater av Geir Pedersen og Bjørn Gjevik Avdeling for mekanikk Matematisk institutt Universitetet i Oslo 2009 Forord Dette dokumentet er utfyllende forelesningsnotater
DetaljerOppgavehefte for Mek 1100
Oppgavehefte for Mek 1100 Geir Pedersen Høst 2009 Oppg. 1 Normal til bane i planet. Vi har gitt en posisjonsvektor som funksjon av t på dimensjonsløs form r(t) = (5 + t)i + t 2 j. a) Finn hastigheten,
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
DetaljerTillegg om strømfunksjon og potensialstrøm
Kapittel 9 Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm 9.1 Divergensfri strøm 9.1.1 Strømfunksjonen I kompendiet, kap. 4.6 og kap. 9, er det påstått at dersom et todimensjonalt strømfelt v(x y) = v x (x
DetaljerVirvelfrihet, potensialer, Laplacelikningen
Virvelfrihet, potensialer, Laplacelikningen Kap 10 og 9 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE Forelesninger NYTT TEMA Hvorfor snakker vi om virvelfri bevegelse? Forelesninger Todimensjonal
DetaljerObligatorisk oppgave 2
MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Obligatorisk oppgave 2 Oppgave a) Vi kan beregne vektorfluksen Q = F ndσ gjennom en kuleflate σ gitt vektorfeltet σ F = xi + 2y + z j + z + x 2 k. Ved
DetaljerIntegraler. John Rognes. 15. mars 2011
15. mars 2011 forener geometrisk målbare områder Ω og skalarfelt f : Ω R definert på disse områdene. Vi danner produktet f (Ω) Ω av verdien f (Ω) av funksjonen og størrelsen Ω av området. Mer presist deler
DetaljerVektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen
Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui + vj + wk. Divergensen til v er definert som v = u + v + w z og virvlingen er gitt ved determinanten
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 11 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 1 desember 29. Tid for eksamen: 14:3 17:3. Oppgavesettet er på 7 sider.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 1100 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Fredag 29 mai 2009. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på 6 sider.
DetaljerKurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft
Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,
DetaljerRandkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.
Ma - Løsningsforslag til uke 17 i 7 Eks. mai 1999 oppgave 4 ylinderen x + y = 1 skjærer ut ei flate av planet z = x + 1 dvs. x + z = 1 med enhetsnormal i positiv z-retning lik n= 1 [ 1 1]. Flata blir en
DetaljerKurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft
Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,
DetaljerVektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen
Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt Divergensen til v er definert som v = ui+vj +wk. v = u x + v y + w og virvlingen er gitt ved determinanten
Detaljer(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392).
Ma - Løsningsforslag til uke 5 i 7 Eks. mai 994 oppgave Romkurva er parametrisert for t [, π] ved r (t) = [ + cos t, + sin t, + t ] Hastighets- og akselerasjonsvektorene blir v = r (t) = [ sin t, cos t,
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
DetaljerObligatorisk oppgåve 1
FYS112 Elektromagnetisme 214 Obligatorisk oppgåve 1 Innleveringsfrist 19. september kl. 23.59 Lars Kristian Henriksen 21. oktober 214 Obligar i FYS112 leverast elektronisk på Devilry http://devilry.ifi.uio.no/.
Detaljer(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y
DetaljerLøsning IM
Løsning IM 6 Oppgave x + y Grensen lim er ubestemt da både teller og nevner blir Vi skal vise at grensen ( xy, ) (,) x + y ikke eksisterer og bruker rette linjer inn mot origo De enkleste linjene er koordinataksene
DetaljerDifferensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning
Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning
DetaljerVektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen
Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui+vj +wk. Divergensen til v er definert som v = u x + v y + w z og virvlingen er gitt ved determinanten
DetaljerIntegralsatser: Green, Stokes og Gauss
Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v ω 2 y 2 +ω 2 x 2 ωr, r x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 x 2 +y 2 er r konstant
DetaljerArne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til
DetaljerOppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel
DetaljerIntegralsatser: Green, Stokes og Gauss
Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v = ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v = ω 2 y 2 +ω 2 x 2 = ωr, r = x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 = x 2 +y
DetaljerVi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerTillegg om kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling
Kpittel 4 Tillegg om kurveintegrler, fluks, sirkulsjon, divergens, virvling 4. Representsjon v kurver Kurveintegrler spiller en viktig rolle i mnge grener v fysikken. Senere skl vi se eksempler på integrler
Detaljer= (2 6y) da. = πa 2 3
TMA45 Matematikk Vår 7 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete ourse.
Detaljery = x y, y 2 x 2 = c,
TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerFYS1120 Elektromagnetisme
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo FY112 Elektromagnetisme Løsningsforslag til ukesoppgave 1 Oppgave 1 a i Her er alternativ 1 riktig. Hvis massetettheten er F, vil et linjestykke
DetaljerØvelse, eksamensoppgaver MAT 1050 mars 2018
Øvelse, eksamensoppgaver MAT 5 mars 8 Oppgave. La f være funksjonen gitt ved f (x) = x 8 x, x a) Finn alle kritiske punkter for funksjonen f. f (x) = 8 x + x 8 x ( x) = (8 8 x x x ) = (4 8 x x ) = gir
DetaljerObligatorisk oppgave 1
Obligatorisk oppgave Oppgave a) Vi kan finne divergens og virvling av det todimensjonale hastighetsfeltet ved å finne v og v. Gitt at v = ui + vj, hvor u = cos x sin y og v = sin x cos y, får vi følgende:
DetaljerEksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Oppgave 1. Eksamen IRF314, høsten 15 i Matematikk 3 øsningsforslag I denne oppgaven er det to løsningsforslag. Ett med asymptotene som gitt i oppgaveteksten. I dette første tilfellet blir tallene litt
DetaljerAlternativ II: Dersom vi ikke liker å stirre kan vi gå forsiktigere til verks. Først ser vi på komponentlikninga i x-retning
Forelesning / 8 Finne skalarfunksjon når gradienten er kjent. Se GF kap..3.4. Ta som eksempel β = yi + xj + k. Vi vet at β = x i + j + z k og følgelig ser vi at vi må løse et system av tre likninger som
DetaljerVår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
TMA415 Matematikk 2 Vår 217 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 11.1.9: Den aktuelle kurven er gitt ved r(t) (3 cos t, 4 cos t, 5 sin t).
DetaljerTMA4105 Matematikk2 Vår 2008
TMA4105 Matematikk2 Vår 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 11.4.1 Vi ser på kurven i xy-planet gitt ved r(t) ti + (ln(cos t))j π/2
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien
DetaljerVelkommen til Eksamenskurs matematikk 2
Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 12.-13. mai 2010 Introduksjon Begin with the end in mind - The 7 Habits of Highly Effective People (Stephen R. Covey)
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA113 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: 5. Juni 19 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEksamensoppgaver og Matematikk 1B
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B Samlet for SIF5005 Matematikk våren 00 Samlingen inneholder utvalgte oppgaver gitt i 7500 og 750 Matematikk B ved NTH/NTNU i tiden 993 997. Oppgaver eller punkter
DetaljerOppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.
NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For
DetaljerMAT jan jan jan MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive
DetaljerVår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 6. 5 Exercise Exercise
TMA405 Matematikk 2 Vår 205 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A Complete
DetaljerNewtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:
DetaljerLøsning til eksamen i ingeniørmatematikk
Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk 3 78 Oppgave Vektorfeltet har komponenter og er funksjon av variable Jacobimatrisen er av type ( xy) ( xy) x y ( yx) ( yx) xy x y xy Innsatt finner vi JF ( x, y)
Detaljerv(t) = r (t) = (2, 2t) v(t) = t 2 T(t) = 1 v(t) v(t) = (1 + t 2 ), t 2 (1 + t 2 ) t = 2(1 + t 2 ) 3/2.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA40 Matematikk, øving, vår 0 Løsningsforslag Notasjon og merknader Hvis boken skriver en vektor som ai + bj + ck hender det at jeg skriver den som a, b, c). Jeg benytter
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske
DetaljerSIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag
SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver
DetaljerMAT jan jan feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis
DetaljerLøsning IM3 15.06.2011.
Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen
DetaljerFasit for eksamen i MEK1100 torsdag 13. desember 2007 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra 0 til 10 (10 for perfekt svar).
Fasit for eksamen i MEK torsdag 3. desember 27 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til ( for perfekt svar). Oppgave Vi har gitt to vektorfelt i kartesiske koordinater (x,y,z) A = yi+coszj +xy
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter Ingen
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: 11.12.2018 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Tillatte hjelpemidler: KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter
DetaljerDifferensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning
Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MEK1100 Differensiallikninger Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning i formel 3-4 spesielle
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl.10:00 og 12:00
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag 1.1.017 Klokkeslett: 09:00-13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Pedersen et al.: Teknisk
DetaljerEksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Oppgave 1. Fra ligningen Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag x 2 64 y2 36 1 finner vi a 64 8 og b 36 6. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a 2 + b 2 64 + 36 1 1. Dermed er fokuspunktene
DetaljerDen deriverte og derivasjonsregler
Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)
DetaljerBYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)
Detaljerdx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk vår 9 øsningsforslag til eksamen 15. august 9 1 Treghetsmoment med hensyn på x-aksen er gitt ved x [ ] y I
DetaljerOppsummering MA1101. Kristian Seip. 23. november 2017
Oppsummering MA1101 Kristian Seip 23. november 2017 Forelesningen 23. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i MA1101 noen tips for eksamensperioden
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
Detaljerf =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.
MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt
DetaljerMAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag Forelesning Vi har tidligere integrert funksjoner langs x-aksen, og vi har integrert funksjoner i flere variable over begrensede områder i xy-planet. I denne forelesningen skal
DetaljerFigur 1: Volumet vi er ute etter ligger innenfor de blå linjene. Planet som de røde linjene ligger i deler volumet opp i to pyramider.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Esse alculus: A omplete ourse. 5 Eercise 14.1.6
DetaljerGradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer
Kapittel 2 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer I dette kapitlet skal vi blant annet innføre gradientvektoren for skalarfelter og diskutere viktige egenskaper ved denne. Gradientvektoren
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
DetaljerOppgaver og fasit til seksjon
1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for
DetaljerMAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430
MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.
DetaljerNumerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m
Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers midtpunktmetode, Runge Kuttas metode, Taylorrekkeutvikling* og Likninger av andre orden MAT-INF1100 Diskretsering Utgangspunkt: differensiallikning
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. desember 27. Tid for eksamen: 9: 12:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerMAT1100 - Grublegruppen Uke 36
MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir
LØNINGFOLAG IL EKAMEN I FAGE 55/7 MAEMAIKK. august Oppgave. (i Ja. (ii Ja. (iii Nei. Alternativt: (i Ja. (ii Ja. (iii Ja. Oppgave. curlf (x, y F i j k (x, y / x / y / z e y + ye x +x xe y + e x + Altså
DetaljerLøsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i MAT111
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: Eksamensdag: Fredag 1. april 2011 Tid for eksamen: 15.00 17.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998
Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim
DetaljerThe full and long title of the presentation
The full and long title of the presentation Subtitle if you want Øistein Søvik Mai 207 Ø. Søvik Short title Mai 207 / 4 Innholdsfortegnelse Introduksjon Nyttige tips før eksamen Nyttige tips under eksamen
DetaljerMatematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag
Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner
DetaljerSom vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerTegn en skisse som tydelig viser integrasjonsområdet og grensene: = 1 3. dy = 1 3
Integral y x Vi har integralet e x dxdy yx y Tegn en skisse som tydelig iser integrasjonsområdet og grensene: Integrassjonsområdet bestemmes a øre og nedre grenser i integralene Integranten har ingen betydning
DetaljerKapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon
Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerLitt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11)
Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11) Knut Mørken 22. november 2004 Vi har tidligere i kurset sett litt på numerisk derivasjon
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 00, HØSTEN 06 DEL.. Hvilken av funksjonene gir en anti-derivert for f(x) = (x + )? Løsning. Vi setter u = x +, som gir du = dx, (x + ) dx = u du = u = (x + ) = x + a) x+ b)
DetaljerLøsningsforslag, Øving 10 MA0001 Brukerkurs i Matematikk A
Løsningsforslag, Øving MA Brukerkurs i Matematikk A Læreboka s. 9-95 8. Anta at en endring i biomasse B(t) vei, t [, ], følger ligningen for t. d B(t) = cos ( ) πt 6 (a) Tegn grafen til d B(t) som funksjon
Detaljere y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0
LØNINGFORLAG TIL EKAMEN I FAGET 55/7 MATEMATIKK. august Oppgave. (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Nei. Alternativt: (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Ja. Oppgave. a) curlf (x, y) F i j k (x, y) / x / y / z e y + ye x +x xe
DetaljerEksamen. Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 6. desember 2006. Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II
Eksamen Fag: AA654/AA656 Matematikk 3MX Eksamensdato: 6. desember 006 Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Elevar/Elever Privatistar/Privatister
DetaljerOppsummering matematikkdel
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 5, 2014 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 5, 2014 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er
DetaljerLøsning IM
Løsning IM Oppgave Den retningsderiverte er D f ( a) u f ( a), når funksjonen er deriverbar i punktet u f f ( y ) ( y ) Innsatt f,, ( y, y ) Den derivertes verdi i punktet er f (,) ( ( ),( ) ) (,) (,)
Detaljer