Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer

Transkript

1 Kapittel 2 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer I dette kapitlet skal vi blant annet innføre gradientvektoren for skalarfelter og diskutere viktige egenskaper ved denne. Gradientvektoren uttrykker den lokale variasjonen av skalarfelter og kan betraktes som en generalisering av den deriverte for vanlige funksjoner. Vi starter derfor med en rask repetisjon av derivasjon av reelle funksjoner av en variabel. 2.1 Skalarfunksjoner av en variabel Derivasjon og differensial For funksjoner f(x) er den deriverte endringsraten av f mhp. x. Den vanlige matematiske definisjonen av den deriverte kan vi skrive f (x) = lim Δx 0 f(x + Δx) f(x). (2.1) Δx Dersom x står for en avstand uttrykker f endring av f pr. lengdeenhet, dersom x er tid er f tidsendring etc. For endelige, men små, Δx kan en lineær tilnærmelse til endringen av f fra x til x + Δx skrives Δf = f(x + Δx) f(x) f (x)δx. (2.2) Innfører vi et feillledd, E, kan dette mer presist uttrykkes Δf = f(x + Δx) f(x) = f (x)δx + E(x Δx) (2.3) der E/Δx 0 når Δx 0. Dette betyr at det andre leddet på høyresiden i (2.3) går fortere mot null enn det første for små Δx. En mer kompakt skrivemåte for (2.2) og (2.3) er df = f (x)dx. (2.4) I forhold til (2.2) er de endelige differensene Δf og Δx byttet ut med differensialene df og dx, og feilleddet i (2.3) er underforstått og ikke skrevet ut. Innholdet i (2.4) kan 25

2 26 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer uttrykkes: når endringen av x er liten nok, kan vi sette endringen av f til den deriverte ganger endringen av x. Til slutt merker vi oss at bruken av differensialet slik vi har innført det her er konsistent med hvordan det brukes i notasjonen for integraler Taylorpolynom i en variabel Når vi bruker relasjoner som (2.4) vil vi som regel ikke bry oss med å regne ut det eksplisitte feilleddet for den tilhørende differensrelasjonen av typen (2.3); det er nok for oss å vite at feilen er liten nok. I det enkle eksemplet ovenfor kan vi likevel finne feilleddet dersom vi har en Taylorutvikling av f, f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n (2.5) n der vi har utviklet om x = x 0 og R n er restleddet. En populær form på restleddet er R n = f n+1) (c) (n + 1) (x x 0) n+1 der c ligger mellom x 0 og x. Vi merker oss at denne formen på restleddet er svært lik ledd n + 1 i Taylorutviklingen og ofte er det godt nok å bruke dette leddet som et mål på feilen. Vi ser nå at (2.3) tilsvarer en lineær Taylorutvikling om x med inkrement Δx. Feilleddet i (2.3) tilsvarer da restleddet i Taylorutviklingen og vi kan skrive E(x Δx) = f (c) 2 (Δx)2. Når f er endelig ser vi umiddelbart at E/Δx 0 når Δx Partiell derivasjon og retningsderiverte For enkelhets skyld ser vi på et skalarfelt β(x y) som avhenger av to frie variable, men mye av det vi gjør kan uten videre overføres til skalarfelter definert over flere variable Partiellderiverte Et skalarfelt vil endre seg ulikt i ulike retninger ut fra et punkt (x y). Langs koordinataksene kan vi definere partieltderiverte. Den partiellderiverte mhp. x finnes da ved å holde y konstant og derivere mhp. x som om β var en funksjon av en variabel. Tilsvarende finner vi den partiellderiverte mhp. y ved å holde x konstant. I følge definisjonen av den deriverte gitt i (2.1) kan vi da skrive β(x y) β(x + Δx y) β(x y) β(x y) β(x y + Δy) β(x y) = lim = lim. Δx 0 Δx Δy 0 Δy (2.6) Vi bruker bøyde derivasjonssymboler for å understreke at funksjonen avhenger av flere variable. Videre ser vi at de partiellderiverte β β og angir endringsraten av β

3 2.2. PARTIELL DERIVASJON OG RETNINGSDERIVERTE 27 y f(x) f(x 0 ) df dx x (x x 0 ) x x 0 x Figur 2.1: En funksjon f(x) kan approksimeres i nærheten av et punkt x 0 med tangenten til f(x) i punktet x = x 0. i akseretningene. Geometrisk kan vi framstille et skalarfelt av to variable, x og y, som en flate F gitt ved z = β(x y) slik som skissert i figur 2.2. Vi forutsetter at flaten er glatt og sammenhengende uten skarpe sprang (diskontinuiteter). Eksempel Funksjonen z = z(x y) gitt ved z = 1 + x 2 + y 2 framstiller en parabolsk flate i rommet med laveste punkt z = 1 for x = y = 0. Partiellderivasjon gir: z = 2x z = 2y. For x = y = 0 er z = z verdier av x og y blir z og z Partiellderiverte av høyere orden = 0 slik at flaten tangerer planet z = 1 i origo. For store store og flaten stiger bratt for økende verdier av x og y. Dersom funksjonen f(x y) er tilstrekkelig glatt og kontinuerlig kan man definere høyere ordens partielle derivasjoner 2 f 2 2 f 2 f 2 f 2.

4 28 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer z T 2 K y F T 1 K x y y =y 0 x=x 0 Figur 2.2: En flate F i rommet. Kurven K x er gitt ved z = β(x y 0 ). T 1 er tangenten til K x i x 0 y 0 og har stigningstall β(x 0 y 0 ). Tilsvarende for K y og T 2. x Ved den første holdes y konstant ved begge derivasjoner. Ved den andre holdes først y konstant når det deriveres med hensyn på x og deretter holdes x konstant når det deriveres med hensyn på y. Tilsvarende for de to andre uttrykkene. Det kan vises at for glatte kontinuerlige funksjoner så er rekkefølgen av derivasjonene uten betydning slik at 2 f = 2 f. For funksjoner av flere enn to variable defineres partiell derivasjon på tilsvarende måte. Vi skal se eksempel på det i neste avsnitt Retningsderiverte For å beskrive endringen i andre retninger enn de som er parallelle med aksene definerer vi en enhetsretningsvektor, a der a = 1. En linje gjennom r = (x y) med retning a kan da beskrives ved r + as der s er avstanden langs linja fra r. Det vanlige derivasjonsbegrepet langs linjen gir den retningsderiverte β (r a) = lim Δs 0 β(r + aδs) β(r). (2.7) Δs Resultatet her avhenger retningen på a. På differensialform kan vi skrive (2.7) som dβ = β (r a)ds (2.8) i samsvar med (2.4). Denne dβ er altså endringen β får når posisjonen i (x y) planet endres ads. Vi kommer ikke til å benytte notasjonen β for retningsderivert mye, men vil knytte begrepet til gradienten.

5 2.3. GRADIENTVEKTOREN TIL ET SKALARFELT Gradientvektoren til et skalarfelt Vi vil nå se nærmere på grenseovergangen i (2.7). Når vi skriver a = a x i + a y j kan vi uttrykke endringen i posisjon i (2.7) ved aδs = Δr = Δxi + Δyj der Δx = a x Δs og Δy = a y Δs. Først deler vi veien fra r til r + Δr i en del parallell med x-aksen, fra r til r + Δxi, og en del parallell med y-aksen, fra r + Δxi til r + Δxi + Δyi = r + Δr. Den dividerte differansen i (2.7) kan da deles i to dividerte differanser som vi kan relatere til de partiellderiverte. β β(r + aδs) β(r) β(r + Δr) β(r) (r a) = lim = lim Δs 0 Δs Δs 0 Δs β(r + Δxi) β(r) + β(r + Δr) β(r + Δxi) = lim Δs 0 Δs β(x + Δx y) β(x y) β(x + Δx y + Δy) β(x + Δx y) = lim +. Δs 0 Δs Δs (2.9) Siden Δx Δy 0 når Δs 0 følger β β(x + Δx y) β(x y) (r a) = a x lim Δx 0 Δx + a y lim ΔxΔy 0 β(x + Δx y + Δy) β(x + Δx y). Δy (2.10) Det første leddet gir den partiellderiverte mhp. x. I det andre leddet har vi en dobbel grenseovergang. For fastholdt Δx får vi den partiellderiverte mhp. y i punktet x+δx y. Vi skal ikke diskutere formalitetene i detalj her, men dersom det antas kontinuitet av de partiellderiverte i en omegn omkring (x y) vil den andre grensen, som rimelig er, gi den partiellderiverte mhp. y i punktet (x y). Da følger β (r a) = β(x y) a x + Det er mer hensiktsmessig å skrive dette på vektorform der vi har innført gradienten til β ved Kombineres (2.8) og (2.12) kan vi skrive β(x y) a y. (2.11) β (r a) = β a (2.12) β = β i + β j. (2.13) dβ = β dr = β β dx + dy (2.14) der dr = ads. (2.14) sier at endringen i β tilnærmet er gradienten til β prikket med endringen i posisjon. Uttrykket lengst til høyre viser at denne endringen svarer til å legge sammen endringen i en forflytning dx i x-retning med endringen i en forflytning dy i y-retning. Dette er illustrert i figur 2.3 og svarer til omskrivningen av (2.7) til (2.9). Uttrykt med endelige differanser svarer (2.14) til der lim Δ 0 E/ Δr = 0. Δβ = β(r + Δr) β(r) = β Δr + E(r Δr) (2.15)

6 30 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer y dr dβ = dβ 1 + dβ 2 = β dr dx dβ 1 = β dx dy dβ2 = β dy x Figur 2.3: Forhold mellom retningsdifferensialer. Flere frie variable Dersom vi ser på et skalarfelt med tre frie variable, β(x y z), er partiellderiverte mhp. z definert på samme måte som for x og y. Retningsderivert kan stadig defineres ved (2.7) der retningsvektoren nå har tre komponenter a = a x i + a y j + a z k. Vi kan gjenta oppdelingen av veien fra r til r + dr i (2.9) ved å legge et tredje bidrag langs z aksen fra (x + Δx y + Δy z) til (x + Δx y + Δy z + Δz). Den videre utledning er som i to dimensjoner og leder til gradienten β = β i + β j + β k (2.16) z mens (2.12), (2.14) og (2.15) forblir uendret. Dersom skalarfeltet avhenger av tid og rom, slik at β(x y z t) kan vi definere partiellderiverte mhp. t slik som for romkoordinatene. Derimot vil vi ikke trekke den tidsderiverte inn i gradienten. Vi foretrekker å la gradienten beskrive utelukkende romlig endring. 2.4 Egenskaper og bruk av gradienten Dersom vi betegner vinkelen mellom gradienten og dr med θ kan (2.14) skrives dβ = β dr cos θ. (2.17) Vi ser at den største endringsrate av β (endringen pr. dr ) inntreffer i retningene parallelt med β. Dersom dr er normal på β (θ = 1 2π) blir endringsraten null. Flater med samme verdi av skalaren β(x y z) kalles ekviskalarflater og er gitt ved β(x y z) = β 0

7 2.4. EGENSKAPER OG BRUK AV GRADIENTEN 31 hvor β 0 er konstant. Når dr ligger i tangentplanet til ekviskalarflaten er tilveksten dβ = 0 og fra (2.17) følger da at gradienten er normal til ekviskalarflaten i alle punkter. Enhetsnormalen til ekviskalarflaten β = konstant kan etter hva vi nå har lært skrives n = β β. z β β = β 0 y x Figur 2.4: Gradientvektoren til et skalarfelt β står normalt på ekviskalarflaten. Gradientvektoren har følgende viktige egenskaper: 1) Den står normalt ekviskalarflatene. 2) Den peker mot større verdier av skalaren. 3) Den angir økningen i skalarverdien pr. lengdeenhet i den retningen hvor økningen er størst Et uttrykk for flatenormalen Ovenfor så vi at gradienten til et skalarfelt er rettet normalt på ekviskalarflatene. Dette kan vi også benytte for å finne flatenormalen til en flate gitt på formen z = η(x y). Vi skriver om likningen til flaten ved å definere skalarfeltet β(x y z) β(x y z) z η(x y) = 0

8 32 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Poenget er at flaten nå har tolkning som en ekviskalarflate gitt ved β = β 0 =konst. for den spesielle verdien β 0 = 0. Gradienten til β er siden z z = 1. Videre er slik at flatenormalen blir: n = β = β = η i η j + k η 2 + η i η η j + k η η Dersom η bare varierer i to dimensjoner i xz-planet forsvinner variasjonen i y-retning og en får et noe enklere uttrykk for normalen til kurven z = η(x) i xz-planet n = η η 2 i + k Hvordan finne skalarfunksjonen når gradientvektoren er kjent Ofte får man behov for å finne funksjonen β når gradientvektoren β er kjent. Vi skal illustrere dette ved et eksempel hvor β er gitt ved Vi har da at β = y β = yi + xj + k. β = x β z = 1. Vi integrerer de tre likningene henholdsvis med hensyn på x, y og z og får β = yx + f 1 (y z) β = xy + f 2 (x z) β = z + f 3 (x y) hvor f 1 (y z), f 2 (x z) og f 3 (x y) er ubestemte funksjoner. Derivasjon av uttrykkene viser at vi har integrert riktig. Siden vi krever et entydig uttrykk for β(x y z) må vi velge f 1 (y z) = z, f 2 (x z) = z og f 3 (x y) = xy. Derved blir uttrykket for skalarfunksjonen β(x y z) = xy + z + konstant. For å kontrollere kan vi nå finne β og se at uttrykket stemmer med utgangspunktet.

9 2.5. TAYLORUTVIKLING I TO OG TRE VARIABLE Taylorutvikling i to og tre variable For funksjonen f(x) kan Taylorpolynomet av grad n, kalt p n (x), om punktet x 0 defineres ved å kreve at dj fx ) = dj p nx ) for j = 0 1..n. Dette betyr at funksjonsverdiene og de dx j dx j n 1 første deriverte faller sammen i x 0. Fra dette følger polynomdelen av (2.5), mens en annen analyse er nødvendig for å finne feilleddet. Ideen med å kreve sammenfalne deriverte kan uten videre overføres til en funksjon av to variable g = g(x y) om punktet x = x 0, y = y 0. Et førsteordens Taylorpolynom blir da g(x y) g g = g(x 0 y 0 ) + (x x 0 ) + (y y 0 ) + (2.18) x y x y hvor g er de partielt deriverte av funksjonen g henholdsvis med hensyn på x og y beregnet i punktet (x 0 y 0 ). Andre ordens tilnærming av en funksjon av to variable er g(x y) g g = g(x0 y 0 ) + (x x 0 ) + (y y 0 ) + x y x y og g g 2 (x x 0 ) x y 2 2 g (x x 0 )(y y 0 ). x y 2 g 2 (y y 0 ) 2 + x y Dersom vi partiellderiverer polynomet på høyre side finner vi raskt at det har de samme partiellderiverte som g tom. andre orden. Generalisering av (2.18) for funksjoner av tre romlige variable, x, y og z skulle være åpenbar. Et Taylorpolynom av første orden blir g(x y z) = g(x 0 y 0 z 0 )+ g (x x 0 )+ g (y y 0 )+ g (z z 0 )+ (2.19) z der det er underforstått at de partiellderiverte er evaluert i (x 0 y 0 ). Også i tilfellet med flere variable kan vi utlede et restledd for Taylorpolynomet, selv om det får en litt komplisert form. Dersom funksjonen er glatt nok viser restleddet at feilen ved å tilnærme en funksjon med et Taylorpolynom av grad n er proporsjonal med inkrementene i x, y og z i kombinasjoner av potenser med samlet grad n + 1. Vi skal ikke gå nærmere inn på restleddet og dets utledning her. På tilsvarende måte som det lineære Taylorplynomet i en variabel innholder (2.3) inneholder et lineært Taylorpolynom av flere variable den samme informasjon som gradienten. Dersom vi flytter over første ledd på høyre side i (2.19) og innfører Δx = x x 0, Δy = y y 0 og Δz = z z 0 blir resultatet Δg = g Δx + g g Δy + Δz = g Δr z der Δg = g(x 0 + Δx y 0 + Δy z 0 + Δz) g(x 0 y 0 z 0 ) er endringen av g når posisjonen endres Δr = Δxi + Δyj + Δzk. Tilnærmelesen ovenfor svarer altså til (2.14) og (2.15) bortsett fra at vi nå har tre frie variable.

10 34 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Eksempel på andre ordens Taylor-approksimasjon Vi ønsker å finne en andre ordens Taylor-approksimasjon for funksjonen g(x y) = e xy i omegn av punktet (0 0). Vi må da finne verdien på g/, g/, 2 g/ 2, 2 g/ 2 og 2 g/ i punktet (0 0). Disse er: g = yexy g = xexy 2 g 2 = y2 e xy 2 g 2 = x2 e xy 2 g = exy + xye xy Taylor-approksimasjonen blir dermed g(x y) = 1 + xy. g = 0 00 g = g 2 2 g 2 00 = 0 00 = 0 2 g = En topografisk anvendelse av gradientvektoren Den horisontale høydegradienten, dvs. endringen i høyde pr. meter i horisontalplanet, for en terrengform (se figur 1.7) gitt ved h = h x2 +y 2 R 2 kan finnes forholdsvis enkelt. Vi setter r 2 = x 2 + y 2. Da blir h = h(r) en funksjon av r. Nå er dh dr = h 0 2r 1 + r 2 2 R 2. R 2 Videre er og på tilsvarende måte r = 1 2 (x2 + y 2 ) 1 2 2x = x r r = y r.

11 2.7. VEKTORFELT. STRØMLINJER OG FELTLINJER 35 Høydegradienten er h = h i + h j = h r r i + h r r j = 2h 0 R r2 R 2 2 (xi + yj) 2h 0 r = R r2 2. R 2 Konturlinjer (høydekvoter) for h og gradientvektoren h er tegnet i samme figur (2.5) y x Figur 2.5: Konturlinjer for h og gradientvektoren h. x- og y-aksen er oppgitt i km. h 0 = 2277 m, R = 4000 m. Vi ser at høydegradientvektoren er størst der hvor høydekvotene ligger tettest og at gradientvektoren peker mot større verdier av h. 2.7 Vektorfelt. Strømlinjer og feltlinjer Vektorfeltet i figur 2.6 viser vindvariasjonen omkring den kraftige syklonen Floyd i Karibien ved et angitt tidspunkt, 10:48 UT (Universal time, også kalt verdenstid) den 13. september Lengden av vektorene angir vindstyrke og retningen angir vindretningen. Dette feltet representerer altså et øyeblikksbilde av vindvariasjonen omkring syklonsentret. Syklonsentret beveger seg samtidig med at styrken endres. Ved et senere tidspunkt har derfor vektorfeltet forandret seg. La oss, i første omgang, anta at vi har å gjøre med et to-dimensjonalt strømningsfelt. Strømhastigheten kan da beskrives ved en vektor v med komponenter {v x v y } henholdsvis i x- og y-retning v = v x (x y t)i + v y (x y t)j.

12 36 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Kjenner en funksjonen i et utvalg punkter (x y) ved en gitt t kan man tegne opp vektorfeltet på en tilsvarende måte som vist i figur 2.6. Hastigheten angir forflytingsraten til en partikkel som følger med væskestrømmen. Velger vi en slik partikkel og betegner posisjonen med (x p (t) y p (t)) vil relasjonen mellom hastighet og posisjon bli dx p dt dy p dt = v x (x p (t) y p (t) t) = v y (x p (t) y p (t) t). (2.20) Dette er et sett av differensiallikninger for x p og y p som i prinsippet kan løses dersom vi spesifiserer x p (0) og y p (0), dvs. hvor partikkelen kommer fra. Vi skal nå innskrenke oss til å se på et stasjonært strømningsfelt som altså ikke forandrer seg i tiden v = v x (x y)i + v y (x y)j. Ser vi på en fast posisjon x 0 y 0 vil ulike partikler være i denne posisjonen ved ulike tider. Etter at de har passert x 0 y 0 vil alle partiklene følge samme bane videre. Vi har altså sekvenser av partikler som som følger de samme linjene, kalt strømlinjer, som har strømhastighetsvektoren som tangent (se figur 2.7). For å få et visuelt bilde av feltet er det ofte hensiktsmessig å tegne strømlinjene for feltet. Når feltet er stasjonært kan vi dele de to likningene i (2.20) på hverandre og få dy p = v y(x p y p ) (2.21) dx p v x (x p y p ) som er en ordinær differensiallikning for y p betraktet som en funksjon av x p. Denne kan inneholde singulæriteter dersom strømlinjene har en komplisert form slik at det ikke er en entydig sammenheng fra x p til y p. Ganger vi med dx p v x vil vi få en likning på differensialform som svarer til (2.22). La oss betrakte strømlinjene på en alternativ, mer geometrisk måte. Vi betegner et vektorelement i tangentretning av strømlinjen med dr = dxi + dyj. Da må vektorene dr og v være parallelle og det kan uttrykkes ved kravet v dr = 0. Dette vektorproduktet kan regnes ut på vanlig måte i j k v dr = v x v y 0 dx dy 0 = (v x dy v y dx)k = 0 hvor k er enhetsvektoren normalt på xy-planet. Av dette ser vi at langs en strømlinje må v x dy = v y dx. (2.22) Dette er en viktig relasjon som kan brukes til å finne strømlinjene. Det er viktig å merke seg at x og y begge varier langs strømlinjene. I alminnelighet blir det derfor feil å antiderivere v x i (2.22) med mhp. y og v y mhp. x og sette resultatene lik hverandre, men i en del tilfeller kan vi gjenkjenne (2.22) som en separabel likning og løse den slik.

13 2.7. VEKTORFELT. STRØMLINJER OG FELTLINJER 37 Figur 2.6: Vind- og nedbørsfeltet i syklonen Floyd i Mexico Gulfen 13. september Vindretning og styrke er markert med piler, nedbørsintensitet (millimeter per time) med fargeskala. Syklonen Floyd fora rsaket stor skade da den kom innover land de følgende dagene.

14 38 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer På tilsvarende måte kan en for et vilkårlig vektorfelt finne et sett av linjer som har som tangent. Linjene kalles feltlinjer. Slik kan en for eksempel visualisere elektriske eller magnetiske felt (se figur 2.8). y dr v v dr x Figur 2.7: En strømlinje har strømvektoren som tangent Eksempler på strømlinjer Eksempel 1 Vi vil se på strømfeltet v = ωyi + ωxj hvor ω er en konstant. Ved innsetning i (2.22) får vi y dy = x dx. Vi merker oss at likningen er separert og har formen funksjon(y)dy = funksjon(x)dx. Derfor kan vi integrere venstresiden av denne likningen med hensyn på y og høyresiden med hensyn på x y dy = x dx får vi 1 2 y2 = 1 2 x2 + C hvor C er en konstant. Dette kan skrives x 2 + y 2 = 2C. Dette er kurven for en sirkel med sentrum i origo og radius 2C. Strømlinjene er altså i dette tilfellet sirkler. Vi ser at strømvektorene er tangenter til strømlinjen og rotasjonen i feltet er slik som angitt på figur 2.9 når ω > 0. Siden feltet i dette tilfellet er stasjonært, uavhengig av tiden, vil partikler som flyter i feltet bevege seg langs strømlinjene altså i sirkelbaner.

15 2.7. VEKTORFELT. STRØMLINJER OG FELTLINJER 39 Figur 2.8: Visualisering av elektriske feltlinjer med linfrø som flyter i en oppløsning. Frøene er elektrisk ladet og retter seg derfor inn etter kraftlinjene. Foto: Ørjan Martinsen, Fysisk institutt, UiO. y x Figur 2.9: Strømlinjene for feltet v = ωyi + ωxj er sirkler med sentrum i origo og radius 2C. Her er strømlinjene for C = 1/2, C = 1 og C = 3/2 tegnet.

16 40 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Eksempel 2 Et annet strømningsfelt er gitt ved v = A(x + y)i + A(x y)j der A er en konstant. Dette feltet beskriver en mulig strøm rundt et punkt der hastigheten er null. I et senere kapittel skal vi behandle slike felter i en større sammenheng. Bruk av (2.22) gir nå (x + y)dy = (x y)dx. Denne likningen er ikke på separabel form og det blir galt å antiderivere venstresiden mhp. y og høyresiden mhp. x. Etter ordning vil denne gale framgangsmåten gi 1 2 (x2 y 2 ) 2xy = C NB : FEIL. (2.23) Det er en rekke tilgjengelige framgangsmåter for å finne strømlinjene i dette tilfellet. For eksempel vil (2.20) nå gi lineære likninger med konstante koeffisienter som kan løses greit. Vi foretrekker i stedet å bruke et knep i forbindelse med innsetting i likning (2.21) dy dx = v y = x y v x x + y. Dessverre er denne likningen ikke separabel, men ved å legge til 1 på begge sider får vi d(x + y) dx = dy dx + 1 = x y x + y + 1 = 2x x + y. Når vi innfører z = x + y som ny ukjent blir denne likningen separabel i z og x og kan lett løses. Etter at vi har satt inn for z blir løsningen som er uforenelig med (2.23) Magnetiske feltlinjer 1 2 (x2 y 2 ) xy = C NB : RIKTIG (2.24) På tilsvarende måte som for strømningsfelt kan man tegne opp tangentlinjene til et vektorfelt som representerer kraftfeltet omkring en magnet eller magnetfeltet omkring en strømførende ledning. I disse tilfellene er det vanlig å bruke betegnelsene kraftlinjer eller feltlinjer som altså kan finnes på tilsvarende måte som strømlinjene Hastighetsfeltet i en skive som roterer La oss anta at en sirkulær skive roterer om en akse gjennom sentrum av skiven med en vinkelhastighet ω (radianer/sekund). Farten på et sted P i avstand r fra sentrum er da ωr. I løpet av en viss tid har skiven dreid seg en vinkel θ. Regnet fra et fast aksekors xy har punktet P hastighetskomponenter v x = ωr sin θ = ωy v y = ωr cos θ = ωx.

17 2.8. OPPGAVER 41 y ω v v y j θ v x i P x y θ r θ v = ωr P Figur 2.10: Skive som roterer om en akse normalt xy-planet. r x På vektorform får vi v = ωyi + ωxj Hvis vi skriver vinkelhastigheten som en vektor ω = ωk hvor k er enhetsvektor i z-retning normalt skiven, kan hastigheten av punkt P skrives ved vektorproduktet v = ω r = ωk (xi + yj). Sjekk at dette er riktig 2.8 Oppgaver 1. Gitt funksjonen f(x y z) = x 2 y + z 2 x. Finn de partielt deriverte 2 f og 2 f z og vis at de er lik henholdsvis 2 f og 2 f z. 2. Finn Taylor-approksimasjonen av første orden: a) f(x) = sin x om punktet x 0 = 0 b) f(x) = cos x om punktet x 0 = 0 c) f(x) = e x2 om punktene x 0 = 0 og x 0 = 1 d) f(x) = sin x om punktet x 0 = π 2 e) g(x y) = sin x cos y om punktet (x 0 y 0 ) = (0 0) f) g(x y) = xy 2 e x+y om punktet (x 0 y 0 ) = (1 1) g) g(x y) = xy 1 + x 2 + y 2 om punktet (x 0 y 0 ) = ( 1 2)

18 42 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer 3. Finn Taylor-approksimasjonen av andre orden: a) f(x) = sin x om punktet x 0 = 0 b) f(x) = cos x om punktet x 0 = 0 c) f(x) = ln x om punktet x 0 = 2 d) f(x) = 1 2 e x om punktet x 0 = 1 4. Finn Taylor-approksimasjonen til andre orden for funksjonen f(x) = ln(x + 1) sin x. Bruk dette til å finne en tilnærmet verdi for ln(1.01)/ sin Sammenlikn resultatet med eksakt verdi. (Hint: Rekkeutvikle først teller og nevner hver for seg.) 5. Regn ut gradientvektoren til skalarfeltet β: a) β(x y z) = x 2 + xy + z 2 b) β(x y z) = e xy+z) c) β(x y z) = x 2 + y 2 + z 2 d) β(x y z) = 1 x 2 + y 2 + z 2 e) β(x y z) = β(r) hvor β er en funksjon av r = x 2 + y 2 + z 2 1/2. Kontroller svaret ved å sammenligne med resultatene fra c) og d). 6. Finn skalarfeltet β(x y z) når gradienten til skalarfeltet er gitt ved: a) β = yzi + xzj + xyk b) β = cos(yz)i xz sin(yz)j xy sin(yz)k c) β = e x i e y j e z k 7. La α(x y z) og β(x y z) være to skalarfelt og la c være en konstant skalar. Benytt definisjonen av gradientvektoren (??) til å vise: a) (α + β) = α + β b) (cβ) = c β c) (αβ) = α β + β α 1 d) = 1 β β 2 β

19 2.8. OPPGAVER 43 R 8. Vi antar at temperaturfeltet i atmosfæren tilnærmet kan skrives T = T 0 r hvor r = x 2 + y 2 + z 2 1/2 er avstanden fra origo som ligger i jordens sentrum. R er jordens radius og T 0 er temperaturen ved jordens overflate. a) Finn temperaturgradientens størrelse og retning ved jordoverflaten. b) Velg passende skalering og skriv likningen på dimensjonsløs form. 9. Terrengformen i et fjellpass kan beskrives ved h(x y) = h 0 + a R 2 xy hvor h er høyden over et definert nullnivå og h 0, R og a er konstanter. a) Tegn opp høydekonturene når h 0 = 1200 m, a = 250 m og R = 2 km. b) Hvor i terrenget er det brattest stigning og fall? c) Velg hensiktsmessig skalering og transformer likningen for terrengformen over på dimensjonsløs form. 10. Finn og skisser strømlinjene for følgende hastighetsfelt: a) v = ai + bj b) v = ayi + bxj c) v = ai + bxj hvor a og b er positive konstanter. Hva blir resultatet for b) dersom a er negativ? 11. Finn strømlinjene når v = cy x 2 + y 2 i + cx x 2 + y 2 j hvor c er en konstant. 12. Finn strømlinjene når v = k β β = β(x y). 13. Gitt hastighetsfeltet a) Finn strømlinjene i xz-planet. v = 2kxi + 2kyj 4kzk k > 0. b) Vis at strømmen er aksesymmetrisk og skisser strømlinjene.