TFY4115: Løsningsforslag til oppgaver gitt

Transkript

1 Institutt for fysikk, NTNU. Høsten. TFY45: Løsningsforslag til oppgaver gitt OPPGAVER 6.8. Vi skal estemme Taylorrekkene til noen kjente funksjoner: a c d sin x sin + x cos x sin 3 x3 cos +... x 3 x n ) n x n+ n + )! cos x cos x sin x cos + 3 x3 sin +... x +... ) n x n n)! n + x) α + xα + x αα ) + 3 x3 αα )α ) +... ) α x n n n ) α αα )α ) α n )) med n n! ln + x) ln + x + x + ) + 3 x3 + ) x x + 3 x3... ) n+ x n n n

2 Vi skal estemme Ω til andre orden i den lille parameteren ε/ω : Ω ε + Ω + ε ε + Ω + ε Ω Vi kan nå ruke c ovenfor, med α / og x ε /Ω, og skrive + ε Ω + ε Ω ) Dermed: Ω ε + Ω + Ω Ω ε + ε Ω Ω ε + Ω Neste ledd i summen vil være av orden ε 3 /Ω 3. ε Ω ε Ω )

3 OPPGAVER 3.8. Vi skal regne ut de fire andrederiverte av funksjonen fx, y) sinx + y ) og sjekke at de to kryssleddene er like: f x cosx + y ) f y y cosx + y ) f x sinx + y ) f y cosx + y ) 4y sinx + y ) f y cosx + y ) ) y sinx + y ) x y x f y x cosx + y ) ) y sinx + y ) y Vi ser at rekkefølgen ikke spiller noen rolle, dvs vi kan derivere først mhp y og deretter mhp x, eller omvendt, svaret lir det samme. Vi har et terreng omkring en fjelltopp som kan eskrives med høydefunksjonen hx, y) e x /a + y /a ) der er en konstant og lik høyden på fjelltoppen, mens a også er en konstant og angir en karakteristisk lengde for hvor raskt høyden endrer seg i dette terrenget. a Vi ser vel uten videre at maksimal høyde er i origo, h, ). Vi skal finne ut i hvilken retning terrenget er rattest i posisjonen a, a). Da må vi regne ut gradienten til h i a, a) siden gradienten nettopp peker i den retningen h øker raskest. Vi trenger da de partiellderiverte av h mhp x og y: h x h y x ) e x /a a y a + y /a ) e x /a + y /a ) 3

4 Vi setter inn x, y) a, a) og finner h ˆx h x + ŷ h y ) e a ˆx + ˆx + ŷ) ea ) e a 4 ŷ Det etyr at i posisjonen a, a) peker h i en retning gitt ved vinkelen tan α α arctan 7 3) i forhold til x-aksen som er f.eks. østover). Terrenget avtar raskest i denne retningen og stiger raskest i den motsatte retningen. c Vi skal vil slutt påvise at origo virkelig er en fjelltopp. Da må vi ha h i origo, samt at de andrederiverte må være negative. La oss ikke skrive alt dette ut i detalj, men derimot se litt nærmere på det vi har. Vi ser at x-komponenten av h er proporsjonal med x, og dermed lik null i x. Tilsvarende er y- komponenten av h proporsjonal med y, og dermed lik null i y. Altså er origo et stasjonært punkt. Videre ser vi at de andrederiverte mhp x og y, dvs det vi kalte kryssleddene, egge vil li proporsjonale med faktoren xy, slik at disse er lik null i origo. Vi står igjen med h/ x og h/ y : h x a ) h + x...), h y a ) h + y /a ) + y...) 4) Her overlever are de første leddene i origo, og første ledd er negativt i egge tilfeller. Følgelig har vi negativ krumning i origo, og det er et maksimumspunkt. Figuren nedenfor viser to snitt gjennom fjelltoppen, hhv xh-planet heltrukken linje) og yhplanet stiplet linje). Legg merke til at eksponentialfunksjonen går raskest mot null..9 hx,) h,y) h/h x/a,y/a 4

5 OPPGAVER.9. Newtons. lov gir diffligningen som skal løses: ma m dv dt v + mg sin θ Vi ganger med dt/mv mg sin θ/) på egge sider: Integrasjon fra t til t gir v ) mg sin θ dv v mg sin θ/ dt 6) m lnvt) mg sin θ/) lnv) mg sin θ/) t m Eksponentiering på egge sider gir så, med v), vt) mg sin θ/ mg sin θ/ 5) 7) e t/τ 8) der vi har innført tidskonstanten τ m/. Ordner vi litt finner vi endelig vt) τg sin θ e t/τ). 9) Merk at vi oppnår en maksimal hastighet etter lang tid, t τ. Da er friksjonskraften v og tyngdekraftens komponent langs skråplanet mg sin θ like store men motsatt rettet) slik at total kraft er null: mg sin θ v max τg sin θ. ) Posisjonen målt langs skråplanet) xt) finner vi ved å integrere hastigheten med x) ): xt) x) + t vt)dt τgt sin θ τ g sin θ e t/τ) Arealet mellom kurvene x, x π/4, y sin x og y cosx er: A π/4 π/4 dx cos x sinx dy dx cosx sin x) π/4 sin x + cos x) ) + 5

6 3 Arealet mellom de to paralene x 4 og x +4 skal estemmes. Vi innser at vi må integrere fra x til x : A dx x +4 x 4 dy dx8 x ) 8x 3 x3 ) 64 3 Til slutt skal vi finne volumet av ojektet vi får når dette dreies omkring y-aksen. Hvis vi tenker oss en tynn søyle i posisjon x, med redde dx og høyde 8 x, og roterer denne en hel runde rundt y-aksen, skulle vi få et tynt sylinderskall med volum ) dv dx 8 x ) πx ) Dette må integreres fra x til x for å få med hele volumet: V dv dx 8 x ) πx 6π 3).9., Jon Andreas Støvneng 6