Brukerkurs i Gauss feilforplantning

Transkript

1 Brukerkurs i Gauss feilforplantning Knut S. Gjerden <knut.gjerden@ntnu.no> 9. august 2011 evt. gaussisk feilforplantning eller bruk av Gauss lov for feilforplantning. Samt litt generelt om fysikkting.

2 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [1] Derivasjon er et verktøy integrasjon er en kunst. Vær glad for at det bare er derivasjon i feilforplantning.

3 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [2] Praktisk utledning av formen på feilforplantningsloven Dette er et lite matematisk avsnitt, men jeg vil fortelle om min måte å se Gauss feilforplantningslov på. I to dimensjoner har vi f.eks. hvor alt det vanlige gjelder, spesielt at f(x) y = ax + b, a = f x. a er som kjent stigningstallet til funksjonen f, og inneholder dermed informasjon om forholdet mellom x og y, eller med en liten generalisering, vektorene x og y. Skulle vi

4 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [3] gjort dette makroskopisk, hadde vi hatt at a = y x. Tolker vi nå x og y til å være mål på en usikkerhet eller feil, kan vi gå a x langs x-aksen for komme en avstand bort fra origo. Denne avstanden kan vi nå tolke som et mål på feilen i y = f på bakgrunn i feilen i x. Når vi snakker om feil og usikkerheter, liker vi å holde oss til positive verdier, og derfor bruker vi gjerne, eller heller 2. Oppsummerer vi, så har vi altså funnet at f = (a x) 2 = ( f ) 2 x x.

5 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [4] 2,5 a x -2,5 0 2,5 5 f Figur 1: Feilen i f fra x.

6 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [5] Utvider vi argumentasjonen vår til tre dimensjoner 1, f(x, y) z = ax + by + c, må vi gå a x langs x-aksen og b y i y-retning for å komme feilen i f unna origo. Denne avstanden er selvfølgelig, ved f.eks. Pytagoras læresetning, f = (a x) 2 + (b y) 2 = ( f ) 2 x x + ( ) 2 f y y. 1 Selve feilanalysen er forøvrig i n dimensjoner, hvor n er antall variable.

7 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [6] 2,5 f b y a x -2,5 0 2,5 5 Figur 2: Feilen i f fra x og y.

8 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [7] Generaliserer vi til vilkårlig mange dimensjoner, har vi f.eks. f(x, y, z,...) = ax + by + cz +..., eller med litt mer effektiv notasjon, f(x 1, x 2,...) = a 1 x 1 + a 2 x , får vi med en gang at f(x 1, x 2,...) = ( ) 2 f x 1 + x 1 ( ) 2 f x , x 2 som er Gauss feilforplantningslov!

9 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [8] Merk Formen på f spiller allerede ingen rolle, da vi startet med -operatoren og ikke d- operatoren. Mer om dette straks, men poenget nå er at denne operatoren dekomponerer, eller henter ut, bidraget fra hver enkelt variabel og at man slik bygger opp en n- dimensjonal sfære hvor radien angir størrelsen på feilen. Slik liker i alle fall jeg å tenke på det.

10 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [9] Figur 3: Feilen i f fra x, y og z. Med tre variable danner f radien i en sfære. Med flere variable generaliseres dette til radien i en (n 1)-sfære (husk at en sfære, et kuleskall, er et to-dimensjonalt objekt i tre dimensjoner, så en vanlig sfære er en 2-sfære).

11 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [10] og andre operatorer En operator er noe som opererer på noe. +,,, /,, etc. er vanlige, velkjente d operatorer. dx,,,, etc. er mindre vanlige og kanskje ikke velkjente enda. I dag x skal vi se nærmere på, eller egentlig, i og med at man alltid må presisere hvilken x variabel man partiellderiverer med hensyn på 2. Enkelt sagt er forskjellen mellom og d at vanlig derivert går inn i alle ledd og sjekker både implisitte og eksplisitte avhengigheter av variabelen vi er ute etter, mens partiellderivert bare ser etter eksplisitte avhengigheter. Se det! Partiellderivasjon er enklere en vanlig derivajon. 2 I enkelte fagfelt bruker man notasjonen x.

12 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [11] Det dette betyr er at i uttrykket y = ax + b, vil y x finne b ax + x x = a x x + 0 = a = a. Akkurat som vanlig altså. Saken er at det er vanlig derivasjon som er spesiell. I det samme eksempelet vil dy dx finne d db ax + dx dx = da dx x + a dx dx + db dx = a + x da dx + db dx.

13 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [12] Merk at det er kun når vi vet at a og b er konstanter, eller på annen måte uavhengig av x, at y x = dy dx. Partiell derivasjon går altså bare på overflaten, mens vanlig derivasjon sjekker alle ledd for alle mulige avhengigheter av derivasjonsvariabelen! Dette skal vi bruke til å gjøre bruken av Gauss ffp enda enklere.

14 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [13] Trenger vi enkle hjelpeformler? Nei, klart ikke. Derivasjon har man jo kontroll på. Hva er da alt dette med de forenklede formene av Gauss ffp? La oss ta en tilfeldig funksjon med flere variable, f(x, y, z) = kx2 z 5 3aπy 4, og si at vi vil finne feilen i f, f, som funksjon av usikkerhetene/feilene i de tre variablene. Vi begynner med f x = 2kxz5 3aπy 4.

15 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [14] Dette er jo vel og bra, men hva om vi skriver f x = 2kxz5 x 3aπy 4 x Hmm, dette betyr at ( f ) 2 f f = x x = f = kx2 z 5 3aπy 4 2 x = f 2 x. ( f 2 ) 2 x x = f (2 x ) x Så lenge variabelen vi bryr oss om i øyeblikket kun er et produkt/eksponent, ikke f.eks. en sum, oppfører alle seg likt. Over eller under brøkstreken betyr bare at man får et

16 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [15] negativt fortegn, men så lenge vi bare er interessert i roten av kvadratsummen av elementene, spiller det ingen rolle. Ergo, trenger vi ikke regne på resten, fordi vi vet at alt på formen αx n gir bidrag på formen n x. Hele uttrykket for f blir da x f f = (2 x ) 2 + x ( ) 2 4 y + y ( ) 2 5 z. z Nå, hva skal vi med f, det var da f vi var ute etter? Ja, det er sant, men: For f det første, ofte er det nettopp verdien for f vi har målt i forsøket, så om vi multipliserer med den til sist, så sitter vi igjen med akkurat f. For det andre, den relative feilen, nettopp f, er ofte mer interessant enn feilen i seg selv, så vi er gjerne mer ute etter f den uansett.

17 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [16] Hva med summer og sånt da?! Vel, ingenting i livet kommer gratis og slikt, så det er bare å derivere i vei. Det finnes likevel noen måter man kan gjøre livet lettere på: Husk kun produktregelen Bruk hjelpestørrelser

18 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [17] Anta at g(k, l, θ) = 4π2 l 2 sin θ 3k 4 ( 1 + l 2) 3/2, eller verre. () kommer til å bli skrevet mange ganger, så la oss si α = (), og vi kan døpe om resten også, slik at vi heller skriver g = βl 2 sin θα 3/2. Det ser ikke så ille ut lenger. Vi kan nå direkte lese ut g θ = βl2 α 3/2 cos θ = βl 2 α 3/2 cos θ sin θ sin θ = g cot θ,

19 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [18] og ikke sant? Til slutt må vi finne g l = 2βlα3/2 sin θ+βl 2 sin θ 3 2 α1/21 2 = g k = 4g k, ( 2 l + 3 ) βl 2 α 3/2 sin θ = 4α ( 2 l + 3 ) g. 4α Alt som gjenstår er å kombinere resultatene (var det ikke fint når det ble lett å sørge for at alle delresultatene hadde g som en faktor?): g g = (4 k ) 2 + k ([ 2 l + 3 ] 2 l) + (cot θ θ) 2. 4α Vi kan selvfølgelig skrive ut for α i dette uttrykket, hvis vi vil det.

20 Brukerkurs i feilforpl. Gauss [19] Noen flere tips: Begynn gjerne med det som ser vanskeligst ut, da blir det ofte lettere å se hvilke ledd det er lurt å gi nye navn til. Produktregelen fører automatisk til at deler og deriverte av disse delene blir skrevet flere ganger, disse er gode kandidater til å få nye navn. [Slik som () = α.] Hvis summer er involvert slik som med l i eksempelet over, kommer alltid(?) resultatet til å reduseres til det forventede hvis man tar bort summen. Altså, hadde () = 1, ville vi kun ha sittet igjen med det første leddet i resultatet, 2/l. Legg merke til at β ble valgt til å ikke inkludere variabler som er med i summer eller andre funksjoner som sin, cos, etc. (gjelder ikke e x, da denne funksjonen er sin egen deriverte).