Flervariable funksjoner: Kjerneregel og retningsderiverte

Transkript

1 Flervariable funksjoner: Kjerneregel og retningsderiverte Forelest: 5. Nov, 2004 Først skal vi ta for oss kjerneregelen for funksjoner av flere variable. Se metodeark 7 og 8 for flervariable funksjoner. Så skal vi se på den retningderiverte. Vi husker at den partielt deriverte av f med hensyn på y simpelthen er hvor bratt grafen til f er i y-retningen, og at den partielt deriverte med hensyn på x er hvor bratt grafen til f er i x-retningen. Men hva med de adre retningene? Grafen har jo en bratthet i retningen som går midt mellom x- og y-retningen, for eksempel. For å finne denne brattheten: Se metodeark 9 for flervariable funksjoner. 1

2 Flervariable funksjoner: Metode 7, Kjerneregel 1 I boka: Kapittel 11.4, Theorem 5, s Regel/Formel: Når vi har en funksjon av to variable, f = f(x, y), og de to variablene x, y selv er funksjoner av en annen variabel, slik at x = x(t) og y = y(t), og f, x, y er differensierbare, så er w(t) = f(x(t), y(t)) en differensierbar funksjon, og dw dt = dx dt + dy y dt Eksempel: På den lille øya Sodor har de en kraftkapasitet på 1000 enheter fra kullkraftverk, og så har de en variabel kraftkapasitet fra solenergi som er proporsjonal med Solmengden s, slik at kraftkapasiteten er x(t) = s. Men husholdningene på Sodor etterspør 1000-s kraftenheter til fyring - altså mindre jo mer sola skinner - og 500 enheter til annet bruk. Så kraftbehovet er y(s) = 1500 s. På Small Islands kraftbørs har følgende formel for kraftpris blitt etablert, uansett kraftkilder: f(x, y) = etterspørsel kapasitet = y x. Oppgave: Finn ut den deriverte av Sodors kraftpris med hensyn på solmengden. Løsning: Vi kan enten... løse dette problemet direkte: w(s) = f(x(s), y(s)) = y x = 1500 s s. dw ds = 8500 (Vi hopper over mellomregningene her.) ( s) 2 løse problemet ved å bruke kjerneregelen: dw = dx + dy ds ds y ds = ( y ) d x ds = y ( 1) x 2 x = 5y x 2 1 x = 5(1500 s) (1000+5s) s = 8500 (1000+5s) 2 ( s) + y ( y x ) d ds (1500 s) 2

3 Flervariable funksjoner: Metode 8, Kjerneregel 2 I boka: Kapittel 11.4, Theorem 5, s Regel/Formel: Når vi har en funksjon av tre variable, f = f(x, y, z), og de tre variablene x, y, z selv er funksjoner av to andre variable, slik at x = x(s, t), y = y(s, t) og z = z(s, t), og f, x, y, z er differensierbare, så er w(s, t) = f(x(s, t), y(s, t), z(s, t)) en differensierbar funksjon, og w = w + w y + w z s s y s z s w = w + w y + w z t t y t z t Bruksområde: Tilsvarende kjerneregler gjelder hvis du har et annet antall mellomvariable (slik som x,y og z er over) og et annet antall uavhengige variable (slik s og t er over). Metode: tre-diagram: 1 For å slippe å huske formlene over, kan det være nyttig å tegne seg et Eksempel: ( ) Finn w u og w v w = f(x, y, z) = ln(x 2 + y 2 + z 2 ) x = x(u, v) = ue v sin u y = y(u, v) = ue v cos u z = z(u, v) = ue v når 1 Dette er kun en huskeregel, ikke noe dere er nødt å memorere til eksamen. 3

4 Løsning: = (ln(x2 + y 2 + z 2 )) = y = y (ln(x2 + y 2 + z 2 )) = z = z (ln(x2 + y 2 + z 2 )) = u = v = u = v = u = v = 1 x 2 + y 2 + z 2 2x = 1 x 2 + y 2 + z 2 2y = 1 x 2 + y 2 + z 2 2z = 2x x 2 + y 2 + z 2 2y x 2 + y 2 + z 2 2z x 2 + y 2 + z 2 4

5 Flervariable funksjoner: Metode 9, Retningsderiverte I boka: Kapittel 11.5, Definition + Theorem 9, s Definisjon 1 Vi angir en retning i xy-planet med en enhetsvektor 2 u. Definisjon 2 Den deriverte av f = f(x, y) i punktet 3 P 0 = (x 0, y 0 ) i retning enhetsvektoren u = u 1 i + u 2 j er ( ) df D u f P0 = = lim s 0 f(x 0 + su 1, y 0 + su 2 ) f(x 0, y 0 ) ds u,p 0 s når denne grensen eksisterer. Det som er viktig for oss i definisjonen over er skrivemåten. retningderiverte på en langt enklere måte. Vi skal regne ut den Definisjon 3 Gradientvektoren til en funksjon f(x, y) er f = i + y j Regel/Formel: Hvis f = f(x, y) er differensierbar i P 0 = (x 0, y 0 ), så er D u f(x 0, y 0 ) = ( f) P0 u Svar: De tilsvarende utregningene gjelder for funksjoner i 3, 4 og fler variable. Eksempel: (11.5.4) Finn gradientvektoren g til g(x, y) = x2 y2 i P = ( 2, 1). 1. Vi finner først g i P 0: g = (x2 2 y2 2 ) = x Så g ( 2, 1) = 2 2 En enhetsvektor er en vektor med lengde 1 3 Merk at boka skriver P (x, y) for å markere punktete med koordinater x og y, men P 0 (x 0, y 0 ) for å markere punktet med koordinater x 0 og y 0 ; jeg mener dette er tungvint, og bruker derfor den enklere notasjonen over. 5

6 2. Vi finner deretter g y i P 0: g y = y (x2 2 y2 2 ) = y Så g y ( 2, 1) = 1 3. ( g) P0 er simpelthen vektoren med disse to tallene som koordinater: ( g) ( 2,1) = ( g ( 2, 1), g y ( 2, 1)) = ( 2, 1) Eksempel: Finn den deriverte av f(x, y) = 2x 2 + y 2 i P 0 = ( 1, 1) i samme retning som A = (4, 3) Svar: Vi må først finne u, deretter f i P 0, og til slutt regne ut prikkproduktet u ( f) P0 : 1. u = A A = (4,3) = (4,3) 5 = ( 4 5, 3 5 ) 2. Vi regner som i forrige eksempel: (a) Vi finner først i P 0: = (2x2 + y 2 ) = 4x Så ( 1, 1) = 4 (b) Vi finner deretter i P y 0: y = y (2x2 + y 2 ) = 2y Så ( 1, 1) = 2 y (c) ( f) P0 er igjen vektoren med disse to tallene som koordinater: ( f) ( 1,1) = ( 4, 2) 3. Den retningsderiverte av f som vi var ute etter i oppgaven er da D u f P0 = ( 4 5, 3 ) ( 4, 2) = 2 5 6

7 Flervariable funksjoner: Metode 10, Maksimum Retningsderiverte I boka: Kapittel 11.5, Properties..., s Siden D u f = f u = f u cos θ = f cos θ, der θ er vinkelen mellom f og u, vet vi at Regel/Formel: 1. f = f(x, y) stiger raskest i retningen f. 2. For enhver retning u vinkelrett på f, er stigningen 0: D u = f cos( π 2 ) = f 0 = 0 Metode: 1. Retningen f stiger mest, i punktet P 0 = (x 0, y 0 ), er u = ( f) P 0 ( f) P0. Her er D uf(x 0, y 0 ) = ( f) P0 2. Retningen f stiger minst, i punktet P 0 = (x 0, y 0 ), er v = ( f) P 0 ( f) P0 D v f(x 0, y 0 ) = ( f) P0 = u. Her er 3. Retningene f har stigning 0, i punktet P 0 = (x 0, y 0 ), er de retningene w hvor w ( f) P0 = 0. Her er selvfølgelig D w f(x 0, y 0 ) = 0. For funksjoner av 2 variable er disse retningene (u 2, u 1 ) og ( u 2, u 1 ), der (u 1, u 2 ) = u fra punkt 1. De tilsvarende utregningene gjelder for funksjoner av 3, 4 og fler variable. Eksempel: ( ) Finn retningene for henholdsvis størst og minst stigning for g(x, y, z) = xe y + z 2 i P 0 = (1, ln 2, 1). 2 Svar: 1. Vi finner først ( g) P0 : (a) g = ey g (1, ln 2, 1) = 2 eln 2 = 2 (b) g = y xey g (1, ln 2, 1) = y 2 1eln 2 = 2 (c) g z = 2z g z (1, ln 2, 1 2 ) = = 1 7

8 2. Deretter regner vi ut maksimum retningsderiverte: u = (2, 2, 1) = (2 3, 2 3, 1 3 ) D u g(1, ln 2, 1 2 ) = ( g) P 0 = = 3 3. Så regner vi ut minimum retningsderiverte: v = u = ( 2 3, 2 3, 1 3 ) D v g(1, ln 2, 1 2 ) = ( g) P 0 = = 3 8