Kjerneregelen. variabelbytte. Retningsderivert MA1103. gradienter 7/2 2013

Transkript

1 MA1103 7/2 2013

2 U R n åpen V R m åpen g : U R n R m g : V R m R p g(u) V (dermed er f g = f (g) definert)

3 U R n åpen V R m åpen g : U R n R m g : V R m R p g(u) V (dermed er f g = f (g) definert) x 0 U og y 0 = g(x 0 ) V g deriverbar i x 0 f deriverbar i y 0

4 U R n åpen V R m åpen g : U R n R m g : V R m R p g(u) V (dermed er f g = f (g) definert) x 0 U og y 0 = g(x 0 ) V g deriverbar i x 0 f deriverbar i y 0 Da er f g = f (g) deriverbar i x 0 og D(f g)(x 0 ) = Df (y 0 )Dg(x 0 ) = Df (g(x 0 ))Dg(x 0 )

5 varianter n = m = p = 1 Dette er den gode gamle kjerneregelen fra VGS og MA1101

6 varianter n = m = p = 1 Dette er den gode gamle kjerneregelen fra VGS og MA1101 c en kurve, og f en funksjon på denne kurven c : R R 2 en kurve (her i planet) f : R 2 R h(t) = f c(t) = f (c(t)) = f (c 1 (t), c 2 (t))

7 varianter n = m = p = 1 Dette er den gode gamle kjerneregelen fra VGS og MA1101 c en kurve, og f en funksjon på denne kurven c : R R 2 en kurve (her i planet) f : R 2 R h(t) = f c(t) = f (c(t)) = f (c 1 (t), c 2 (t)) dh dt = df dc 1 dx dt + df dc 2 dy dt

8 varianter n = m = p = 1 Dette er den gode gamle kjerneregelen fra VGS og MA1101 c en kurve, og f en funksjon på denne kurven c : R R 2 en kurve (her i planet) f : R 2 R h(t) = f c(t) = f (c(t)) = f (c 1 (t), c 2 (t)) dh dt = df dc 1 dx dt + df dc 2 dy dt = f (c(t)) c (t) = Df (c(t))dc(t)

9 flere varianter f en funksjon, g et f : R 2 R g : R 2 R 2, g(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) h = f g = f (g) h x = f u u x + f v v x h y = f u u y + f v v y

10 flere varianter f en funksjon, g et f : R 2 R g : R 2 R 2, g(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) h = f g = f (g) h x = f u u x + f v v x h y = f u u y + f v v y Eks: Polarkoordinater f (r, θ) = 1/r (r(x, y), θ(x, y)) = ( x 2 + y 2, arctan(y/x)) h(x, y) = f (r(x, y), θ(x, y))

11 et eksempel f (x, y) = x 2 + y 2 f (x, y) = (2x, 2y)

12 et eksempel f (x, y) = x 2 + y 2 f (x, y) = (2x, 2y) 1 Skisser nivåkurver til f. 2 Skisser f.

13 et eksempel f (x, y) = x 2 + y 2 f (x, y) = (2x, 2y) 1 Skisser nivåkurver til f. 2 Skisser f. 3 Velg et punkt i planet. 4 Tegn inn en vilkårlig retning i punktet. Beskriv for deg selv hvor bratt det er i denne retningen, i dette punktet.

14 et eksempel f (x, y) = x 2 + y 2 f (x, y) = (2x, 2y) 1 Skisser nivåkurver til f. 2 Skisser f. 3 Velg et punkt i planet. 4 Tegn inn en vilkårlig retning i punktet. Beskriv for deg selv hvor bratt det er i denne retningen, i dette punktet. 5 Tegn inn retningen det er brattest oppover. 6 Tegn inn retningen det er brattest nedover.

15 et eksempel f (x, y) = x 2 + y 2 f (x, y) = (2x, 2y) 1 Skisser nivåkurver til f. 2 Skisser f. 3 Velg et punkt i planet. 4 Tegn inn en vilkårlig retning i punktet. Beskriv for deg selv hvor bratt det er i denne retningen, i dette punktet. 5 Tegn inn retningen det er brattest oppover. 6 Tegn inn retningen det er brattest nedover. 7 Tegn inn retningene du må gå for å beholde høyden/funksjonsverdien.

16 et eksempel f (x, y) = x 2 + y 2 f (x, y) = (2x, 2y) 1 Skisser nivåkurver til f. 2 Skisser f. 3 Velg et punkt i planet. 4 Tegn inn en vilkårlig retning i punktet. Beskriv for deg selv hvor bratt det er i denne retningen, i dette punktet. 5 Tegn inn retningen det er brattest oppover. 6 Tegn inn retningen det er brattest nedover. 7 Tegn inn retningene du må gå for å beholde høyden/funksjonsverdien. 8 Tegn inn en retning som er brattere enn den du tegnet først, og der det går nedover. 9 Tegn inn en retning som er slakere enn den du tegnet først, og der det går oppover.

17 f : R n R (tenk n = 2 eller 3) x et punkt v en vektor Den retningsderiverte til f

18 f : R n R (tenk n = 2 eller 3) x et punkt v en vektor Den retningsderiverte til f i x

19 f : R n R (tenk n = 2 eller 3) x et punkt v en vektor Den retningsderiverte til f i x langs vektoren v

20 f : R n R (tenk n = 2 eller 3) x et punkt v en vektor Den retningsderiverte til f i x langs vektoren v Er d dt f (x + tv) t=0

21 f : R n R (tenk n = 2 eller 3) x et punkt v en vektor Den retningsderiverte til f i x langs vektoren v Er d dt f (x + tv) f (x + hv) f (x) t=0 = lim h 0 h

22 f : R n R (tenk n = 2 eller 3) x et punkt v en vektor Den retningsderiverte til f i x langs vektoren v Er d dt f (x + tv) f (x + hv) f (x) t=0 = lim h 0 h Den retningsderiverte til f i x i retning v Som over, men med lengde en på retningsvektoren, v = 1

23 Hvordan finne retningsderiverte?

24 Hvordan finne retningsderiverte? f : R n R deriverbar Da finnes alle retningsderiverte og Den retningsderverte til f i et punkt x = (x 1,..., x n ), i retning v = (v 1,..., v n ), der v = 1, kan da regnes ut med D v f (x) = Df (x)v = f (x) v

25 Hvordan finne retningsderiverte? f : R n R deriverbar Da finnes alle retningsderiverte og Den retningsderverte til f i et punkt x = (x 1,..., x n ), i retning v = (v 1,..., v n ), der v = 1, kan da regnes ut med D v f (x) = Df (x)v = f (x) v Konsekvenser Gradienten peker i retningen som f vokser raskest. Gradienten står normalt på nivåmengder. Så vi kan bruke gradienten til å finne tangentlinjer/tangentplan/tangent??? til nivåmengder!