Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave

Transkript

1 Høgskolen i Bergen Formelsmling for ingeniørutdnningen FOA5 høsten 6 fellespensum. 3.utgve

2 Funksjoner. Elementære regneregler og funksjoner: y = y, ( ) =, y y =,, =, = ) = ) = = log = ln ln c) ln y = y = e = = log = ln ln ( ) = e ln d) ln(ab) = ln A ln B, ln A B = ln A ln B ln Au = uln A e) sin cos = tn = sin cos cot = tn f) sin( ± y) = sin cos y ± cos sin y, cos( ± y) = cos cos y sin sin y g) sin = sin cos cos = cos sin = cos = sin tn ± tn y h) tn( ± y) = tn tny i) cosu cosv = (cos(u v) cos(u v)) sinusin v = (cos(u v) cos(u v)) j) sinu cosv = (sin(u v) sin(u v)) e e e e k) definisjon: cosh( ) =, sinh( ) =, cosh sinh =. Derivsjon og integrsjon, generelle regler: ) ( ku)' = ku', ( uv)' = u' v u v', ( u / v)' = ( u' v u v')/ v d d f( g( )) = f ( ) ( ) df du g g =, u= g( ) (kjerneregel) du d ) ( ) c) df ( ) = y= f d f ( y) der ( ) (derivert v invers funksjon) d d) f() t dt= f( ) d ( g h) d= gd hd e) ( ) ( ) ( ) ( )

3 (k er en konstnt) f) kg( ) d = k g( ) d g) ( ) f( g ) g ( ) d= f( u) du deretter u= g( ) h) u() v ()d = u()v() v() u ()d c i) f ( ) d = f ( ) d f ( ) d c 3. Derivsjon og integrsjon, spesielle regler: f( ) f ( ) r A rctn Arcsin A rccos r r ln e e ln cosh( ) sinh( ) sinh( ) cosh( ) sin cos cos sin tn = tn cos cot = tn sin f( ) f( ) d n n nårn n ln e e ln cosh( ) sinh( ) sinh( ) cosh( ) cos sin sin cos cos tn cot = sin tn A rctn Arcsin 4 cos sin 4 tn tn sin sin 4. Funksjoner diverse: ) Tylorpolynomet v grd n til en funksjon f i punktet er definert slik: n ( k) f ( ) ( ) k k! k= ) Middelverdien til f over intervllet [,] er definert slik: ( ) f d

4 c) l Hopitls regel: dersom ) funksjonene f og g hr grenseverdi i, og '( ) ) lim f = L, så lir g '( lim f( ) = L. ) g ( ) Her kn vi også h = eller =. Ellers gjelder regelen også hvis g eller g. 5. Diverse formler: y'( t) ) For en kurve på formen, ( t ( ), yt ( )), kn stigningstllet skrives '( t) ) f f f f Retningsderivert: (, ) ( cosα, sin α) = cosα sinα y y c) n n n k n k n def nn ( )( n ) ( n k ) n! ( ) = med k= k = = k k! k!( n k)! n def, = d) Volum v rotsjonslegeme ved dreining om -ksen: π f ( ) d (flte A mellom -ske og grf roteres 36 grder om -ksen) e) Arel mellom kurver kn regnes slik: hd ( ), hvor h() = vstnden mellom kurvene. f) cosinussetningen: c = cos( ) sinusproporsjonen: sin( A) sin( B) sin( ) = = c g) cos forskjøvet π / til høyre gir sin: cos( π /) = sin( ) h) liten tell for sinus og cosinus: sin cos π 6 3 π 4 π 3 3 π π

5 6. Numeriske metoder ) Rektngel- (midtpunkt-) formel: steglengde h. h f( ) d h ( y y yn), yk = f( (k ) ) ) Trpesformelen: steglengde h. f ( ) d h ( y yn y y yn ), yk = f ( kh) c) Simpsons formel: h f( ) d ( y 4y y 4 yn yn), yk = f( kh) 3 d) Newtons metode: f( n ) Velg slik t f( ) L n = n, n =,,... f ( n ) Hvis lim n = så er f () = n e) Eulers metode for løsning v differensilligningen dy = f (, y): d =, y = og = h, y = y f(, y ) h, n=,,... n n n n n n 7. Lineære inhomogene differensillikninger.. ordens: y ' y = g( ). ordens: y y cy = g( ) Løsningsformel: y ( ) = yh( ) yp( ) der yp( ) er en fritt vlgt løsning v likningen mens yh ( ) er den generelle løsningen v den tilhørende homogene likningen. 8. Lineære homogene differensillikninger v. orden med konstnte koeff. Differensillikningen y y cy =, der, og c er (reelle) konstnter og hr den generelle løsningen ) y = e r e r hvis λ λ c = hr to ulike reelle røtter r og r ) y = ( )e r hvis λ λ c = hr doelroten r c) α y = e ( cosβ sin β) hvis λ λ c = hr komplekse røtter α ± iβ

6 9. Komplekse tll ) Norml-form: z = iy. Her er = Re(z) (reldelen) og y = Im(z) (imginærdelen) ) z = iy (konjugert), z = y (modul) c) Avstnden mellom z og z : z z d) Eksponensiell form, (polrform): z = re iθ der r = z og θ = rg z e) Eulers formel: e iθ = cosθ i sinθ f) De Moivres formel: (cosθ i sinθ) n = cos nθ i sinnθ. Vektorlger. ) Sklrprodukt mellom to vektorer, definisjon: = cosθ derθ er vinkelen mellom vektorene, ( θ π) = i j k og = i j k, får vi = 3 3 Når 3 3 ) Vektorprodukt mellom to vektorer,, definisjon: lengde: = sinθ retning: ) vinkelrett på og, ),, dnner høyresystem. i j k og = i j k, får vi: i j k = i( 3 3 ) j( 3 3) k ( ) = 3 Når = c) Normlprojeksjonen v vektor inn på linje definert ved : proj =. Linjer og pln i rommet For et punkt P på en rett linje gjennom P med retningsvektor u gjelder OP = OP t u. For et punkt P i et pln gjennom P prllelt med vektorene u og v gjelder OP = OP t u sv. Ligningen PP N= er nødvendig og tilstrekkelig for t punktet P ligger i plnet som går gjennom P og som hr normlvektor N. Plnets likning hr formen: A ) B( y y ) ( z z ) ( = Avstnd fr punkt P, y, ) i rommet til pln A By z = D d = A By A B z ( z D