Formelsamling Kalkulus

Transkript

1 Formelsamling Kalkulus Martin Alexander Wilhelmsen December 8, 009 En liten formelsamling for MAT00 ved UiO. Vennligst meld fra om feil til Dette dokumentet er publisert på Komplekse tall z = a + ib z a = a + b i b a + b De Moivres formel: e z = e a (cos b + i sin b) (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ). Røtter r = a + b w n = z w k = r n e i (θ+kπ) n = r n (cos θ + kπ n + i sin θ + kπ ) n Grenser Eksempel lim n 3n 4 n 4 5n 3 + n = /n 4 3 5/n + /n 3 5/n x når n går mot uendelig er 0 og x >=. lim x a f(x) = F, lim x a g(x) = G. 3 = 3

2 lim [f(x) + g(x)] = F + G x a lim [f(x) g(x)] = F G x a lim f(x)g(x) = F G x a f(x) lim x a g(x) = F G, G 0 Ovenfra: lim x a + f(x) = b hvor a < x < a + δ Nedenfra:lim x a f(x) = b hvor a δ < x < a Funksjonen f : [a, c] R er kontinuerlig i et indre punkt c i (a, b) hvis og bare hvis lim x c f(x) = f(c). 3 Kontinuitet f : D f V f En funksjon er kontinuerlig i punktet a i D f dersom: For enhver ɛ, finnes det en δ > 0, slik at når x i D f og x a < δ, så er f(x) f(a) < ɛ. Hvis f og g er kontinuerlig i a er f + g, f g, fg og f g, g 0 kontinuerlig. En funksjon er kontinuerlig om f : D f R kalles kontinuerlig dersom f er kontinuerlig i alle punkter i D f. 3. Skjæringssetningen f : [a, b] R er en kontinuerlig funksjon hvor a og b har forskjellig fortegn, da finnes det et punkt c slik at f(c) = 0. g : [a, b] R, h : [a, b] R er to kontinuerlige funskjoner slik at g(a) < h(a) og g(b) > h(b). Da finnes det en c i (a, b) slik at g(c) = h(c). 3. Ekstremalverdier En funksjon f : A R er begrenset dersom det finnes et reelt tall M slik at f(x) M for alle x. Altså at det finnes et punkt hvor det ikke er absoluttverdier som overgår det. En kontinuerlig funksjon som er definert på et lukket, begrenset interval er alltid begresent. Denne har også et minimums og maksimumspunkt.

3 4 Derivasjon Dersom grenseverdien lim x a f(x) f(a) x a = f (a) eksisterer er f deriverbar i a. D[a] = 0 D[x a ] = ax a D[a x ] = a x ln a, a > 0 D[e x ] = e x D[ln x ] = x D[sin x] = cos x D[cos x] = sin x D[tan x] = cos x D[ln f(x) ] = f (x) f(x) D[arcsin x] = D[arccos x] = x x D[arctan x] = + x D[sinh x] = cosh x D[cosh x] = sinh x 4. Regler (cf) (a) = cf (a) (f + g) (a) = f (a) + g (a) (f g) (a) = f (a) g (a) (fg) (a) = f (a)g(a) + f(a)g (a) ( ) f = f (a)g(a) f(a)g (a) g g(a) (f[g(x]) = f [g(a)]g (a) f (x) = f(x)(ln f(x) ) 4. L Hopitals for 0/0 f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) 3

4 4.3 Kurvedrøfting f : [a, b] R. Anta at f har et lokalt maksimumspunkt eller minimumspunkt i c. Da er enten: c et av endepunktene a og b f (c) = 0 f ikke deriverbar i c a < c < b Konveks: a < c < b Konkav: f(c) f(a) c a f(c) f(a) c a f(b) f(c) b c f(b) f(c) b c 4.4 Asymptoter Vertikal: Dersom lim x a +f(x) er lik ± sier vi at funksjonen har en vertikal asymptote ovenfra. Dersom lim x a f(x) er lik ± sier vi at funksjonen har en vertikal asymptote nedenfra. Dersom både nedenfra og ovenfra har en asympote sier vi at funksjonen har en asymptote. 5 Hyperbolske funksjoner 6 Integrasjon sinh x = ex e x cosh x = ex + e x sinh x = sinh x cosh x cosh x = cosh x + sinh x M i = sup f(x) : x [x i, x i ] m i = inf f(x) : x [x i, x i ] (Π) = Σ n i=m i (x i x i ) N(Π) = Σ n i=m i (x i x i ) 4

5 adx = ax + C x a dx = xa+ a + + C dx = ln x + C x e x dx = e x + C sin xdx = cos x + C cos xdx = sin x + C cos dx = tan x + C x sin dx = cot x + C x dx = arcsin x + C x dx = arctan x + C + x sinh xdx = cosh x + C cosh xdx = sinh x + C f : [a, b] R. K er antideriverte til f. 6. Regler b a f(x)dx = K(b) K(a) a er en konstant, f og g er kontinuerlig funksjoner. af(x)dx = a f(x)dx [f(x) + g(x)] = [f(x) g(x)] = f(x)dx + f(x)dx g(x)dx g(x)dx Dersom g er deriverbar, f er kontinuerlig og F er antideriverte av f: f[g(x)]g (x)dx = F [g(x)] + C 5

6 6. Omdreiningslegeme x-aksen: y-aksen: V = b a πf(x) dx V = b a πxf(x)dx 6.3 Buelengde L = b a + f (x) dx 6.4 Delvis integrasjon u(x) v(x) = u(x)v(x) u (x)v(x)dx. 6.5 Substitusjon f[g(x)]g (x)dx = F [g(x)] + C Eksempel: x + dx u = x +. x = (u ) dx. du = (u ). (u )du = u ( u ) 6.6 Delbrøksoppspalting (x r i ) ni = C C + x r i (x r i ) C ni (x r i ) ni (x +a j x+b j ) mj = Oppskrift: A x + B (x + a j x + b j ) + A x + B (x + a j x + b j ) A m j x + B mj (x + a j x + b j ) mj Sjekk at graden til teller er graden til nevner Utfør polynomdivisjon Faktoriser i reelle føste og andregradsuttrykk. Foreta delbrøksoppspalting. Integrer 6

7 7 Polynomdivisjon Eksempel: x 4 + 4x 3 3x + x + 4 : x x + 4 = x + 8x (x 4 4x 3 + 8x ) = 8x 3 x + x + 4 (8x 3 6x + 3x) = 5x 3x + 4 (5x 0x + 0) = x 6 8 Funksjoner av flere variable 8. Kontinuitet TOO LONG DID NOT READ. 8. Derivasjon av skalarfelt x 6 x x + 4 Anta at de partiellderiverte til f eksister i punktet a R n. Da er gradienten i punktet a. ( f f(a) = (a), f (a),... f ) (a) x x x n 9 Vektorer a = a 0 + a +...a n a b = a 0 b 0 + a b a n b n a b = a b cos v 9. 3-tupler a b = (a b 3 a 3 b, a 3 b a b 3, a b a b ) a b = (b a) Arealet av parallellogram utspent av to vektorer: A = a b Arealet av trekant: A = a b 7

8 Volumet til parallellpiped utspent av tre vektorer: V = (a b) c Volumet til pyramiden utspent av tre vektorer: V = (a b) c 6 9. Projeksjon a og b er i R n. Da er projeksjonen p av a ned på b: p = a b b b 9.3 Schwarz ulikhet 9.4 Trekantulikheten a b a b a + b a + b 0 Matriser a a a n a a a n A =..... a m a m a mn a a a m A T a a a m =..... a n a n a mn 0. Produkt ( ) ( ) a b e f Gang hver linje med soyle. Eksempel: A = og B = c d g h ( ) ae + bg af + bh AB = ce + dg cf + dh 0. Identititsmatrise I n = AI n = A, I n A = A. 8

9 0.3 Inversmatrise X er en invers matrise til A. Ikke alle matriser har en invers. AX = XA = I n (A ) = A Om A og B er inverterbar er også: (s er en konstant) sa for alle s 0. (sa) = s A AB. (AB) = B A A T. (A T ) = (A ) T 0.4 Determinanter ( ) e f g a b A =, B = h i j c d k l m det A = a b c d = ad bc e f g det B = h i j k l m = e i j l m f h j k m + g h k i l Nyttig 3MX cos(u v) = cos u cos v + sin u sin v cos(u + v) = cos u cos v sin u sin v sin(u v) = sin u cos v cos u sin v sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v sin v = sin v cos v cos v = cos v sin v = cos v = sin v tan v = tan v tan v sin( π v) = cos v cos( π v) = sin v cos v + sin v = 9

10 v sin v cos v tan v π π 4 π π 0 Arealet til en sirkelsektor er: A = r θ. Rekker Summen av en aritmetriske (rekke med fast differanse mellom leddene) s n = n(a + a n ) Summen av en geometrisk rekke (rekke hvor et ledd er et tall k multipliser med forrige ledd). s n = a k n k 0