En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

Transkript

1 Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom en funksjon bare er gitt ved en formel, antas definisjonsmengden å være den største mengden der formelen gir mening. Dette kalles den naturlige definisjonsmengden. Verdimengden (eng.: range) til en funksjon f med definisjonsmengde D er gitt ved V = {f (x) x D}.

2 Grafen til en funksjon Grafen til en funksjon f med definisjonsmengde D er punktene i det kartesiske planet gitt ved {(x, f (x)) x D}. Merknad Ikke alle kurver er grafer til funksjoner, f.eks. er ikke en sirkel grafen til noen funksjon (vertikal linje-test). La f være en funksjon og k et tall. Definer g og h ved at g(x) = f (x) + k og h(x) = f (x k). Da gir g en vertikal forskyvning av grafen til f, mens h gir en horisontal forskyvning av grafen til f, i begge tilfeller med k enheter.

3 Noen typer funksjoner Identitetsfunksjonen I gitt ved I (x) = x. Lineære funksjoner L gitt ved L(x) = ax + b. Polynomfunksjoner P gitt ved P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0. Trigonometriske funksjoner (kap 1.3) Eksponensialfunksjoner (kap 1.4) Logaritmiske funksjoner (kap 1.5)

4 Noen egenskaper ved funksjoner En funksjon f kalles: voksende hvis f (x) < f (y) når x < y. avtagende hvis f (x) > f (y) når x < y. jevn hvis D f er symmetrisk og f ( x) = f (x). odde hvis D f er symmetrisk og f ( x) = f (x). periodisk hvis det finnes et tall p slik at f (x + p) = f (x).

5 Operasjoner med funksjoner La f og g være to funksjoner med definisjonsmengder D f og D g. Da er også f + g, f g, fg og f /g funksjoner. Disse er gitt ved punktvise operasjoner, f.eks. er (f + g)(x) = f (x) + g(x), D f +g = D f D g (f /g)(x) = f (x)/g(x), D f /g = D f {x D g g(x) 0} La f og g være to funksjoner med definisjonsmengder D f og D g. Da er sammensetningen f g definert ved (f g)(x) = f (g(x)) og har definisjonsmengde D f g = {x D g g(x) D f }.

6 Trigonometriske funksjoner La θ være en sentralvinkel i en sirkel med radius r og la s være buelengden som vinkelen utspenner. Da er vinkelen θ i radianer gitt ved forholdet θ = s/r. Vi bruker (i dette kurset) alltid radianer som vinkelmål! Tre viktige trigonometriske identiteter: Pytagoras: cos 2 θ + sin 2 θ = 1 Addisjon: cos (α + β) = cos α cos β sin α sin β sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β Cosinus-setningen: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos θ, der θ er den motstående vinkelen til c. Minner dessuten om at: cos ( θ) = cos θ og sin ( θ) = sin θ. En rekke andre identiteter kan utledes fra disse.

7 Eksponensialfunksjoner Eksponensialfunksjoner er på formen f (x) = k a x, der a er positiv. Den naturlige eksponensialfunksjonen er gitt ved f (x) = e x. Grafen til en eksponensialfunksjon skjærer aldri x-aksen. Merknad Definerer a p/q = q a p = ( q a) p. Dermed er f, gitt ved f (x) = a x, definert for alle rasjonale verdier av x. Vi kan (ved hjelp av grenseverdier) definere f også for irrasjonale x slik at f blir kontinuerlig overalt. Noen regneregler: a x a y = a x+y (a x ) y = a xy a x b x = (ab) x a x = 1 a x

8 Invertible funksjoner En funksjon f kalles en-til-en (eller injektiv) dersom f (x) f (y) når x y. La f være en en-til-en funksjon. Den inverse funksjonen f 1 er da definert ved at f 1 (y) = x hvis f (x) = y. Merknad Dersom f ikke er en-til-en, eksisterer heller ikke noen invers funksjon for f. (horisontal linje-test blir til vertikal linje-test hos den inverse). Merknad Dersom en funksjon er voksende eller avtagende, så er den en-til-en.

9 Mer om invertible funksjoner Merknad Dersom f er en-til-en så er D f 1 = V f og V f 1 = D f. Merknad Dersom f er en-til-en så er f 1 f = I på D f og f f 1 = I på D f 1. (Husk at identitetsfunksjonen I er definert ved at I (x) = x på et område D.)

10 Logaritmer Hvis a > 0, a 1 og f (x) = a x så er f 1 (x) = log a x. Det vil si at a log a x = log a a x = x for x > 0. (Logaritmer er definert som inverser til eksponensialfunksjoner.) Vi skriver log e = ln og log 10 = log. Noen regneregler: ln ab = ln a + ln b ln a x = x ln a log a x = ln x ln a Inverse trigonometriske funksjoner: Les selv!

11 Motivasjon for grensebegrepet Den gjennomsnittelige vekstraten til en funksjon f over et intervall [x 1, x 2 ] er lik der x 2 x 1 = h 0. y x = f (x 2) f (x 1 ) = f (x 1 + h) f (x 1 ), x 2 x 1 h Hvordan finner vi den momentane vekstraten? en over gir ingen mening når h = 0.

12 Grensebegrepet (Uformell) La f være definert på et åpent intervall som inneholder x 0, bortsett muligens fra x 0 selv. Dersom vi kan få f (x) vilkårlig nær L for alle x tilstrekkelig nær x 0, så skriver vi lim f (x) = L. x x 0 (Formell, epsilon-delta ) La f være definert på et åpent intervall som inneholder x 0, bortsett muligens fra x 0 selv. Dersom det for hver ε > 0 eksisterer en δ > 0 slik at f (x) L < ε når 0 < x x 0 < δ, så skriver vi lim x x 0 f (x) = L.

13 Mer om grenser Når eksisterer grensen ikke? Funksjonen vokser og oppnår vilkårlig store verdier nær x 0. Funksjonen gjør et hopp i x 0. Funksjonen oscillerer for mye nær x 0. Oppgave Bruk definisjonen til å vise at lim x c (ax + b) = ac + b for alle a, b, c. Setning Dersom P er et polynom, er lim x xo P(x) = P(x 0 ) for alle x 0. Hvilke andre funksjoner har denne egenskapen, dvs at lim x x0 f (x) = f (x 0 ) for alle x 0? (Svaret kommer i kap. 2.6)

14 Grenselover Anta at lim x x0 f (x) = L og lim x x0 g(x) = M. Da gjelder at lim x x0 (f (x) + g(x)) = L + M lim x x0 (f (x) g(x)) = L M lim x x0 (k f (x)) = k L ( ) lim f (x) x x0 g(x) = L M hvis M 0 lim x x0 (f (x) p ) = L p hvis L p eksisterer

15 To teoremer Teorem (Skviseteoremet, The Sandwich Theorem ) Anta g(x) f (x) h(x) for alle x i et åpent område som inneholder x 0, bortsett fra muligens i x 0 selv. Anta også at Da er lim x x0 f (x) = L. lim g(x) = lim h(x) = L x x 0 x x 0 Teorem Anta f (x) g(x) for alle x i et åpent område som inneholder x 0, bortsett fra muligens i x 0 selv. Anta også at grenseverdiene til f og g eksisterer når x x 0. Da er lim x x 0 f (x) lim x x 0 g(x).

16 Ensidige grenser La f være definert på et åpent intervall som inneholder x 0, bortsett muligens fra x 0 selv. Dersom det for hver ε > 0 eksisterer en δ > 0 slik at f (x) L < ε når 0 < x x 0 < δ, så skriver vi lim f (x) = L. x x 0 + Tilsvarende definisjon for venstregrenser. Merk: Grenselovene gjelder også for ensidige grenser. Teorem Grenseverdien lim x x0 f (x) eksisterer hvis og bare hvis både lim x x + f (x) og lim 0 x x f (x) eksisterer og disse er lik hverandre. 0

17 Endelige grenser når x ± La f være en funksjon med (oppover) ubegrenset definisjonsmengde. Dersom det for hver ε > 0 eksisterer en N > 0 slik at f (x) L < ε når x > N, så skriver vi lim f (x) = L. x Tilsvarende definisjon for x. Merk: Grenselovene gjelder også i dette tilfellet. En linje y = b er en horisontal asymptote for grafen til en funksjon y = f (x) hvis enten lim f (x) = b eller lim x f (x) = b. x

18 Uendelige grenser La f være definert på et åpent intervall som inneholder x 0, bortsett muligens fra x 0 selv. Dersom det for hver B > 0 eksisterer en δ > 0 slik at f (x) > B når 0 < x x 0 < δ, så skriver vi lim f (x) =. x x 0 Tilsvarende definisjon for. Merk: I dette tilfelle eksisterer ikke grensen. Grenselovene gjelder dermed ikke her! En linje x = c er en vertikal asymptote for grafen til en funksjon y = f (x) hvis enten lim f (x) = ± eller lim x c + f (x) = ±. x c

19 Oppsummering Grensedefinisjoner. Hva betyr det at: lim x x0 f (x) = L lim x x + 0 f (x) = L lim x f (x) = L lim x x0 f (x) = Asymptoter: Horisontale asymptoter (ifm tredje punkt ovenfor) Vertikale asymptoter (ifm siste punkt ovenfor) Har også skrå asymptoter (eng.: oblique asymptote). Trenger teknikken polynomdivisjon for å behandle disse.

20 Kontinuitet i et punkt En funksjon f er kontinuerlig i et indre punkt x 0 D dersom lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 En funksjon f er kontinuerlig i et venstre endepunkt x 1 D dersom lim f (x) = f (x 1 ), x x 1 + og kontinuerlig i et høyre endepunkt x 2 D dersom lim x x 2 f (x) = f (x 2 ). Hvis f ikke er kontinuerlig i et punkt, sier vi at den er diskontinuerlig i punktet.

21 Mer om kontinuitet En funksjon er høyre- eller venstrekontinuerlig i et indre punkt dersom lim x x + f (x) = f (x 0 ) eller lim 0 x x f (x) = f (x 0 ), 0 henholdsvis. En funksjon er kontinuerlig på et intervall I dersom funksjonen er definert på hele I og er kontinuerlig i alle punkter i I. En funksjon er kontinuerlig dersom den er kontinuerlig i alle punktene i definisjonsmengden.

22 Egenskaper ved kontinuerlige funksjoner Anta at f og g er kontinuerlige i x = c. Da er følgende funksjoner også kontinuerlige i x = c: f + g f g k f f /g, hvis g(c) 0 f p, hvis den er definert på et åpent intervall rundt c