Oppfriskningskurs dag 2

Transkript

1 Grafer og Oppfriskningskurs dag 2 Grafer og Steffen Junge Oppfriskningskurs i matematikk august 2009

2 Grafer og Outline 1 Grafer og

3 Outline Grafer og 1 Grafer og

4 Grafer og Vi ser på ligninger av to variable x og y. Et tallpar (x 0, y 0 ) som innsatt i ligningen gjør denne sann kalles en løsning av ligningen. Mengden av alle løsninger kalles grafen for ligningen. Grafen kan være tom eller bestå av enkelte punkter, men vil typisk beskrive en kurve i planet.

5 Grafer og Vi ser på ligninger av to variable x og y. Et tallpar (x 0, y 0 ) som innsatt i ligningen gjør denne sann kalles en løsning av ligningen. Mengden av alle løsninger kalles grafen for ligningen. Grafen kan være tom eller bestå av enkelte punkter, men vil typisk beskrive en kurve i planet.

6 Grafer og Vi ser på ligninger av to variable x og y. Et tallpar (x 0, y 0 ) som innsatt i ligningen gjør denne sann kalles en løsning av ligningen. Mengden av alle løsninger kalles grafen for ligningen. Grafen kan være tom eller bestå av enkelte punkter, men vil typisk beskrive en kurve i planet.

7 Grafer og Vi ser på ligninger av to variable x og y. Et tallpar (x 0, y 0 ) som innsatt i ligningen gjør denne sann kalles en løsning av ligningen. Mengden av alle løsninger kalles grafen for ligningen. Grafen kan være tom eller bestå av enkelte punkter, men vil typisk beskrive en kurve i planet.

8 Grafer og Vi ser på ligninger av to variable x og y. Et tallpar (x 0, y 0 ) som innsatt i ligningen gjør denne sann kalles en løsning av ligningen. Mengden av alle løsninger kalles grafen for ligningen. Grafen kan være tom eller bestå av enkelte punkter, men vil typisk beskrive en kurve i planet.

9 Grafer - eksempler Grafer og Tegn grafen for xy = 1 Tegn grafen for x 2 + y 2 = 1 Tegn grafen for x y 2 = 1 Tegn grafen for x + y = 1 Tegn grafen for x = y 2

10 Grafer - eksempler Grafer og Tegn grafen for xy = 1 Tegn grafen for x 2 + y 2 = 1 Tegn grafen for x y 2 = 1 Tegn grafen for x + y = 1 Tegn grafen for x = y 2

11 Grafer - eksempler Grafer og Tegn grafen for xy = 1 Tegn grafen for x 2 + y 2 = 1 Tegn grafen for x y 2 = 1 Tegn grafen for x + y = 1 Tegn grafen for x = y 2

12 Grafer - eksempler Grafer og Tegn grafen for xy = 1 Tegn grafen for x 2 + y 2 = 1 Tegn grafen for x y 2 = 1 Tegn grafen for x + y = 1 Tegn grafen for x = y 2

13 Grafer - eksempler Grafer og Tegn grafen for xy = 1 Tegn grafen for x 2 + y 2 = 1 Tegn grafen for x y 2 = 1 Tegn grafen for x + y = 1 Tegn grafen for x = y 2

14 Grafer - eksempler Grafer og Tegn grafen for xy = 1 Tegn grafen for x 2 + y 2 = 1 Tegn grafen for x y 2 = 1 Tegn grafen for x + y = 1 Tegn grafen for x = y 2

15 Sirkler Grafer og Sirkelen med radius r og sentrum i (a, b) er gitt som grafen til ligningen (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Eksempel: Hva er ligningen for sirkelen med radius 3 og sentrum i (0, 1)? Eksempel: Hva er radius og sentrum i x 2 + y x 6y = 0?

16 Sirkler Grafer og Sirkelen med radius r og sentrum i (a, b) er gitt som grafen til ligningen (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Eksempel: Hva er ligningen for sirkelen med radius 3 og sentrum i (0, 1)? Eksempel: Hva er radius og sentrum i x 2 + y x 6y = 0?

17 Sirkler Grafer og Sirkelen med radius r og sentrum i (a, b) er gitt som grafen til ligningen (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Eksempel: Hva er ligningen for sirkelen med radius 3 og sentrum i (0, 1)? Eksempel: Hva er radius og sentrum i x 2 + y x 6y = 0?

18 Sirkler Grafer og Sirkelen med radius r og sentrum i (a, b) er gitt som grafen til ligningen (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Eksempel: Hva er ligningen for sirkelen med radius 3 og sentrum i (0, 1)? Eksempel: Hva er radius og sentrum i x 2 + y x 6y = 0?

19 Rette linjer Grafer og Alle par av punkter (x 0, y 0 ) og (x 1, y 1 ) i planet definerer en entydig rett linje i planet. Denne har stigningstall α = y x = y 1 y 0 x 1 x 0 Linjen med stigningstall α som skjærer punktet (x 0, y 0 ) har ligning y y 0 = α(x x 0 ) Eksempel: Finn ligningen for linjen som skjærer punktene (1, 2) og ( 2, 5).

20 Rette linjer Grafer og Alle par av punkter (x 0, y 0 ) og (x 1, y 1 ) i planet definerer en entydig rett linje i planet. Denne har stigningstall α = y x = y 1 y 0 x 1 x 0 Linjen med stigningstall α som skjærer punktet (x 0, y 0 ) har ligning y y 0 = α(x x 0 ) Eksempel: Finn ligningen for linjen som skjærer punktene (1, 2) og ( 2, 5).

21 Rette linjer Grafer og Alle par av punkter (x 0, y 0 ) og (x 1, y 1 ) i planet definerer en entydig rett linje i planet. Denne har stigningstall α = y x = y 1 y 0 x 1 x 0 Linjen med stigningstall α som skjærer punktet (x 0, y 0 ) har ligning y y 0 = α(x x 0 ) Eksempel: Finn ligningen for linjen som skjærer punktene (1, 2) og ( 2, 5).

22 Rette linjer Grafer og Alle par av punkter (x 0, y 0 ) og (x 1, y 1 ) i planet definerer en entydig rett linje i planet. Denne har stigningstall α = y x = y 1 y 0 x 1 x 0 Linjen med stigningstall α som skjærer punktet (x 0, y 0 ) har ligning y y 0 = α(x x 0 ) Eksempel: Finn ligningen for linjen som skjærer punktene (1, 2) og ( 2, 5).

23 Rette linjer Grafer og Alle par av punkter (x 0, y 0 ) og (x 1, y 1 ) i planet definerer en entydig rett linje i planet. Denne har stigningstall α = y x = y 1 y 0 x 1 x 0 Linjen med stigningstall α som skjærer punktet (x 0, y 0 ) har ligning y y 0 = α(x x 0 ) Eksempel: Finn ligningen for linjen som skjærer punktene (1, 2) og ( 2, 5).

24 Outline Grafer og 1 Grafer og

25 Funksjon Grafer og En funksjon f er en maskin som tar inn tall x og spytter ut nøyaktig ett tilhørende tall f (x) Mengden av tall f kan ta inn kalles definisjonsmengden. Mengden av funksjonsverdier f (x) kalles verdimengden. En funksjon som bare sender een x-verdi til hvert element i verdimengden kalles en-til-en eller injektiv.

26 Funksjon Grafer og En funksjon f er en maskin som tar inn tall x og spytter ut nøyaktig ett tilhørende tall f (x) Mengden av tall f kan ta inn kalles definisjonsmengden. Mengden av funksjonsverdier f (x) kalles verdimengden. En funksjon som bare sender een x-verdi til hvert element i verdimengden kalles en-til-en eller injektiv.

27 Funksjon Grafer og En funksjon f er en maskin som tar inn tall x og spytter ut nøyaktig ett tilhørende tall f (x) Mengden av tall f kan ta inn kalles definisjonsmengden. Mengden av funksjonsverdier f (x) kalles verdimengden. En funksjon som bare sender een x-verdi til hvert element i verdimengden kalles en-til-en eller injektiv.

28 Funksjon Grafer og En funksjon f er en maskin som tar inn tall x og spytter ut nøyaktig ett tilhørende tall f (x) Mengden av tall f kan ta inn kalles definisjonsmengden. Mengden av funksjonsverdier f (x) kalles verdimengden. En funksjon som bare sender een x-verdi til hvert element i verdimengden kalles en-til-en eller injektiv.

29 Funksjon Grafer og En funksjon f er en maskin som tar inn tall x og spytter ut nøyaktig ett tilhørende tall f (x) Mengden av tall f kan ta inn kalles definisjonsmengden. Mengden av funksjonsverdier f (x) kalles verdimengden. En funksjon som bare sender een x-verdi til hvert element i verdimengden kalles en-til-en eller injektiv.

30 Grafer og Funksjoner - Eksempler Hva er definisjonsmengden til f (x) = x 1? Hva er definisjonsmengden til g(x) = 1 x 2 1? Hva er verdimengden til h(x) = 1 x Hva er verdimengden til f (x) = x 2 + 2x + 2? Er g(x) = x 3 x 2 injektiv?

31 Grafer og Funksjoner - Eksempler Hva er definisjonsmengden til f (x) = x 1? Hva er definisjonsmengden til g(x) = 1 x 2 1? Hva er verdimengden til h(x) = 1 x Hva er verdimengden til f (x) = x 2 + 2x + 2? Er g(x) = x 3 x 2 injektiv?

32 Grafer og Funksjoner - Eksempler Hva er definisjonsmengden til f (x) = x 1? Hva er definisjonsmengden til g(x) = 1 x 2 1? Hva er verdimengden til h(x) = 1 x Hva er verdimengden til f (x) = x 2 + 2x + 2? Er g(x) = x 3 x 2 injektiv?

33 Grafer og Funksjoner - Eksempler Hva er definisjonsmengden til f (x) = x 1? Hva er definisjonsmengden til g(x) = 1 x 2 1? Hva er verdimengden til h(x) = 1 x Hva er verdimengden til f (x) = x 2 + 2x + 2? Er g(x) = x 3 x 2 injektiv?

34 Grafer og Funksjoner - Eksempler Hva er definisjonsmengden til f (x) = x 1? Hva er definisjonsmengden til g(x) = 1 x 2 1? Hva er verdimengden til h(x) = 1 x Hva er verdimengden til f (x) = x 2 + 2x + 2? Er g(x) = x 3 x 2 injektiv?

35 Grafer og Funksjoner - Eksempler Hva er definisjonsmengden til f (x) = x 1? Hva er definisjonsmengden til g(x) = 1 x 2 1? Hva er verdimengden til h(x) = 1 x Hva er verdimengden til f (x) = x 2 + 2x + 2? Er g(x) = x 3 x 2 injektiv?

36 Outline Grafer og 1 Grafer og

37 Grafer og f er alle punkter av formen (x, f (x)) der x løper over hele definisjonsmengden. Eller ekvivalent grafen til ligningen y = f (x). Ofte vil vi for eksempel behandle funksjonen f (x) = x 2 + x og ligningen y = x 2 + x synonymt da de har samme graf. Grafer gir en meget god intuitiv oppfattelse av. MEN en skal være varsom med a dra for vide konklusjoner basert på graf-observasjoner alene.

38 Grafer og f er alle punkter av formen (x, f (x)) der x løper over hele definisjonsmengden. Eller ekvivalent grafen til ligningen y = f (x). Ofte vil vi for eksempel behandle funksjonen f (x) = x 2 + x og ligningen y = x 2 + x synonymt da de har samme graf. Grafer gir en meget god intuitiv oppfattelse av. MEN en skal være varsom med a dra for vide konklusjoner basert på graf-observasjoner alene.

39 Grafer og f er alle punkter av formen (x, f (x)) der x løper over hele definisjonsmengden. Eller ekvivalent grafen til ligningen y = f (x). Ofte vil vi for eksempel behandle funksjonen f (x) = x 2 + x og ligningen y = x 2 + x synonymt da de har samme graf. Grafer gir en meget god intuitiv oppfattelse av. MEN en skal være varsom med a dra for vide konklusjoner basert på graf-observasjoner alene.

40 Grafer og f er alle punkter av formen (x, f (x)) der x løper over hele definisjonsmengden. Eller ekvivalent grafen til ligningen y = f (x). Ofte vil vi for eksempel behandle funksjonen f (x) = x 2 + x og ligningen y = x 2 + x synonymt da de har samme graf. Grafer gir en meget god intuitiv oppfattelse av. MEN en skal være varsom med a dra for vide konklusjoner basert på graf-observasjoner alene.

41 Grafer og f er alle punkter av formen (x, f (x)) der x løper over hele definisjonsmengden. Eller ekvivalent grafen til ligningen y = f (x). Ofte vil vi for eksempel behandle funksjonen f (x) = x 2 + x og ligningen y = x 2 + x synonymt da de har samme graf. Grafer gir en meget god intuitiv oppfattelse av. MEN en skal være varsom med a dra for vide konklusjoner basert på graf-observasjoner alene.

42 Grafer og f er alle punkter av formen (x, f (x)) der x løper over hele definisjonsmengden. Eller ekvivalent grafen til ligningen y = f (x). Ofte vil vi for eksempel behandle funksjonen f (x) = x 2 + x og ligningen y = x 2 + x synonymt da de har samme graf. Grafer gir en meget god intuitiv oppfattelse av. MEN en skal være varsom med a dra for vide konklusjoner basert på graf-observasjoner alene.

43 Grafer - Eksempler Grafer og Tegn grafen til f (x) = 1 + x + 2 Tegn grafen til g(x) = 1 x 2 1 Tegn grafen til h(x) = 1 x 2 Er grafen til y 2 = x grafen til en funksjon med variabel x? Tegn grafen til s(x) = x 2 +2x x+1

44 Grafer - Eksempler Grafer og Tegn grafen til f (x) = 1 + x + 2 Tegn grafen til g(x) = 1 x 2 1 Tegn grafen til h(x) = 1 x 2 Er grafen til y 2 = x grafen til en funksjon med variabel x? Tegn grafen til s(x) = x 2 +2x x+1

45 Grafer - Eksempler Grafer og Tegn grafen til f (x) = 1 + x + 2 Tegn grafen til g(x) = 1 x 2 1 Tegn grafen til h(x) = 1 x 2 Er grafen til y 2 = x grafen til en funksjon med variabel x? Tegn grafen til s(x) = x 2 +2x x+1

46 Grafer - Eksempler Grafer og Tegn grafen til f (x) = 1 + x + 2 Tegn grafen til g(x) = 1 x 2 1 Tegn grafen til h(x) = 1 x 2 Er grafen til y 2 = x grafen til en funksjon med variabel x? Tegn grafen til s(x) = x 2 +2x x+1

47 Grafer - Eksempler Grafer og Tegn grafen til f (x) = 1 + x + 2 Tegn grafen til g(x) = 1 x 2 1 Tegn grafen til h(x) = 1 x 2 Er grafen til y 2 = x grafen til en funksjon med variabel x? Tegn grafen til s(x) = x 2 +2x x+1

48 Grafer - Eksempler Grafer og Tegn grafen til f (x) = 1 + x + 2 Tegn grafen til g(x) = 1 x 2 1 Tegn grafen til h(x) = 1 x 2 Er grafen til y 2 = x grafen til en funksjon med variabel x? Tegn grafen til s(x) = x 2 +2x x+1

49 Grafer og Nyttige tips til tegning av grafer La f være en gitt funksjon. Grafen til g(x) = f (x) + a er grafen til f forskyvet a enheter i y-retning. Grafen til h(x) = f (x a) er grafen for f forskyvet a enheter i x-retning.

50 Grafer og Nyttige tips til tegning av grafer La f være en gitt funksjon. Grafen til g(x) = f (x) + a er grafen til f forskyvet a enheter i y-retning. Grafen til h(x) = f (x a) er grafen for f forskyvet a enheter i x-retning.

51 Grafer og Nyttige tips til tegning av grafer La f være en gitt funksjon. Grafen til g(x) = f (x) + a er grafen til f forskyvet a enheter i y-retning. Grafen til h(x) = f (x a) er grafen for f forskyvet a enheter i x-retning.

52 Outline Grafer og 1 Grafer og

53 Polynom Grafer og Et n te grads polynom har formen P(x) = A n x n + + A 1 x + A 0 Et n te grads polynom har høyst n nullpunkter eller røtter Dersom r er en rot i et n te gradspolynom P da er P(x) = (x r)q(x) der Q er et (n 1) te grads polynom. Q kan finnes ved polynomdivisjon

54 Polynom Grafer og Et n te grads polynom har formen P(x) = A n x n + + A 1 x + A 0 Et n te grads polynom har høyst n nullpunkter eller røtter Dersom r er en rot i et n te gradspolynom P da er P(x) = (x r)q(x) der Q er et (n 1) te grads polynom. Q kan finnes ved polynomdivisjon