Funksjoner, M1 høst 2007

Transkript

1 Funksjoner, M1 høst 2007 Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 10. september 2007 Innhold 1 Innføring Entydighet Hvordan funksjoner presenteres Kontinuitet Lineære funksjoner og polynomer Lineære funksjoner Annengradfunksjoner Tredjegradfunksjoner Polynomer Rasjonale funksjoner Omvendt proporsjonalitet Rasjonale funksjoner Asymptoter Eksponentialfunksjoner Fordoblingstid Innføring En dag drar jeg innom Kiwi og kjøper noen brød til 16kr hver. Da er det en sammenheng mellom de følgende størrelsene: antall med brød jeg får kjøpt penger betalt 1

2 Denne sammenheng er lett å beskrive: jeg betaler 16kr antall med brød kjøpt. Slike sammenheng er sentralbegrepet i funksjonslære. Noen sammenheng, i matematikken og i hverdagslivet, er så tett at dersom man kjenner bare én av størrelsene, kan man regne ut den andre, som vi da sier er en funksjon av den første. Nærmere presist: Definisjon: En funksjon er en regel som tar inn noen data (funksjonens såkalte argument) og gir ut noen andre (funksjonens verdier) som er entydig bestemt av argumentene. I eksemplet ovenfor er penger betalt en funksjon av antallet brød kjøpt. Når data vi putter inn kan uttrykkes matematisk, f. eks. med tall eller geometri, så finnes det en haug matematisk verktøy som kan brukes til interessante og nyttige analyser. Vi skal studere tre typer funksjoner: polynom-, rasjonale og eksponentielle funksjoner. Med disse typene kan vi dekke en god del av funksjoner som framtrer i livet og i matematikken. Vi skal se på mange eksempler og gi motivasjon fra hverdagslivet for hvorfor disse funksjonene er definert som de er. I en matematisk kontekst skriver man ofte f for en funksjon, x for et argument og f(x) for verdien av f i x. Vi skriver av og til y = f(x), særlig når vi skal fremstille funksjonen visuelt. Vi tenker på x som en fri variabel, som kan gjennomløpe fritt alle mulige argumentene, og da er y en avhengig variabel, siden y-verdien er bestemmt av x-en. Nesten alle våre funksjoner tar inn tall som argument. Vi kan tenke på en funksjon som en maskin som tar inn et tall, bearbeider det og gir ut et nytt tall: Funksjonsmaskin For eksempel, vi kan lage en regel som tar opp x, ganger det med 2 og legger 3 til resultaten. Da er f(x) = 2x

3 Definisjon: Mengden med mulige argument kalles for funksjonens definisjonsområde, og mengden med verdiene funksjonens verdiområde. Eksempler (i) Definisjonsområdet til f(x) = 2x + 3 er den hele réelle linja, siden vi kan kjøre oppskriften 2x + 3 for ethvert tall x. Verdiområdet er og så den hele réelle linja. (ii) La f være funksjonen som tar inn et réelt tall x og gir ut 4 x 2, dersom dette er et réelt tall. Hvis x [ 2, 2] da er 4 x 2 ikke negativ, så er f(x) definert. For alle x utenfor [ 2, 2] er det ingen réel kvadratrot av 4 x 2. Derfor er definisjonsområdet til f lik [ 2, 2]. Verdiområdet til denne funksjonen er intervallet [0, 2] (iii) Vi definerer en funksjon på en gruppe av tre av mine venner, Ole, Arvid og John, som tar inn et menneske og som gir ut hårfargen til det mennesket. Men siden Arvid har barbert hodet sin for to dager siden, har han foreløpig ikke hår, så er funksjonen bare definert på Ole (sorte hår) og John (lyse hår). Derfor er definisjonsområdet til funksjonen lik {Ole, John} og verdiområdet {sort, lys}. 1.1 Entydighet Et viktig poeng med funksjoner er at argumentene bestemmer verdiene entydig. Til hvert argument må svare én og bare én verdi, ellers er regelen ikke en funksjon. Denne entydigheten er faktisk viktig i hverdagen. For eksempel, på websiden kan vi finne lønnstabellen for statsansatte i Norge i året. Regelen som tar et lønnstrinn til den lønnen tjent av alle på det lønnstrinnet, er en funksjon. Men tenk om lønnstabellen hadde stått slik: Da ville folk være misfornøyd om ikke alle på trinn 53 fikk samme lønn! Slik ser vi hvor viktig er det at bare én verdi svarer til hvert argument. Et eksempel fra selve matematikken: det å si x det tallet y slik at y y = x 3

4 danner ingen funksjon, fordi det finnes to slike tall for de fleste x. Men x det ikke-negative tallet y slik at y y = x gir en funksjon, fordi at vi har fjernet en av de to mulige valgene. 1.2 Hvordan funksjoner presenteres Det finnes mange forskellige måter å presentere funksjoner på. Vi skal se på fire: tabeller, grafer, formler og situasjoner. 1. Tabell Vi legger opp en tabell med to støyler, og skriver funksjonens argument til venstre, og dens verdier til høyre. Eksempler: Vi så i sted at lønnstrinnstabellen danner en funksjon. En annen fins hos portotabellen. Denne er litt annerledes, fordi definisjonsområdet sitt består ikke av diskrete tall, men et linjestykk: alle mulige vekter på pakker som sende i posten. Denne kalles for en trappfunksjon. Et annet eksempel [BV2, s ]: Kari ble etter en ulykke lagt inn i sykehus. Blant annet ble kroppstemperaturen hennes observert over 18 timer: Her er Karis temperatur en funksjon av tiden, som vi representerer med tabellen. 2. Graf Når både argumentene og verdiene er réelle tall, da kan vi representere funksjonen veldig visuelt. Hvert argument x danner et punkt i planet med koordinater (x, f(x)). Slik får vi en kurve i planet som bilder funksjonen. Og siden f(x) er y-koordinaten til punktet bestemt av x, så er det naturlig å skrive y = f(x). Vi representerer Karis temperatur grafisk, ved å trekke rette linjer mellom naboliggende punkt fra tabellen ovenfor: 4

5 Slik kan vi anslå hvordan temperaturen endret seg kontinuerlig over tid. I praksis, for å lage en graf, så må vi ofte først legge opp en tabell med noen verdier. Slik får vi noen punkt på grafen, som vi da trekker en kurve gjennom. En graf har myet pedagogisk verdi, fordi at den viser klart flere egenskaper av en funksjon: Definisjons- og verdiområdene Kontinuitet: fins det en sprang i grafen eller ej? hvor/om verdiene stiger og avtar maksimum- og minimumpunkt Derfor er det nyttig å kunne skissere og gjenkjenne grafer. 3. Formel Det kan hende at fenomenet vi undersøker kan beskrives med en formel, det vil si en matematisk regel eller uttrykk. Hvis funksjonen heter f, da har vi f(x) = et uttrykk i x. Eksempel: Hvis jeg går på 5km/time, da er strekningen s jeg tilbakelegger en enkel funksjon av den tiden t jeg går: s(t) = 5km/time t. For eksempel, går jeg to timer da tilbakelegger jeg 10km, og går jeg en halv time da tilbakelegger jeg ( ) 1 5km/time 2 time = 2, 5km. (Merk hvordan enhetene stemmer: timene annulerer med hverandre, og det er bare kilometer igjen.) Eksempel: Funksjonen T som tar et positivt heltall n og gir ut det n-te trekanttallet T (n) = n kan beskrives av en pen formel: T (n) = n(n+1) 2. Vi bare skisserer bevisen grafisk: 5

6 4. Situasjoner Av og til gir vi funksjoner retorisk, altså beskriver situasjonen med enkle ord. Eksempel: Vi husker at et positivt heltall kalles primtall dersom det er ikke delelig med noen heltall annet enn seg selv og 1. For eksempel, 2, 3, 5, 7,... 97,... er primtall. (Vi betrakter ikke 1 som primtall.) Nå betrakter vi en funksjon p, som er bare definert på de positive heltallene: p(n) = det n-te primtallet For eksempel p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5, p(4) = 7,... p(25) = 97. Denne funksjonen kan beskrives med en formel: 2 n ln(n) +1 p(n) = 1+ 1 k 1 + ( k 2 j=2 1 + j ( j 1 j s=1 s j s ) ) n k=1 men for meg er begrepet klarere fra beskrivelsen :-). Det å kunne flytte mellom disse måtene å presentere en funksjon er viktig, fordi hver måte har sine egene fordeler og ulemper. Fordeler Ulemper Tabell Lett å legge opp Tar myet plass Bare få verdier tilgjengelig Graf Veldig godt oversikt Vanskelig å få nøyaktig til Formel Tar lite plass Ikke alltid godt oversikt Mest matematisk nyttig Situasjon Bedre oversikt enn formel Vanskelig å bruke i i kompliserte tilfell matematiske sammenhenger 1.3 Kontinuitet Hvis en funksjon er definert på et linjestykk, altså en undermengde av de réelle tallene, så kan vi undersøke dens kontinuitet. Denne egenskapen er naturlig beskrevet i forhold til grafen: Definisjon: En funksjon er kontinuerlig dersom dens graf er sammenhengende. 6

7 En kontinuerlig funksjon Denne funksjonen er ikke kontinuerlig: grafen er skilt i to forskjellige greiner. Eksempler: Hvis f(x) er konstant da er det kontinuerlig. Hvis { 1 hvis x = 3 f(x) = 2 ellers da er det kontinuerlig unntatt ikke i punktet 3: 2 Lineære funksjoner og polynomer 2.1 Lineære funksjoner Som motivasjon skal vi først se litt på proporsjonalitet. Når jeg kjøper bensin, så er prisen jeg betaler avhengig av mengden bensin jeg får: pris betalt = (pris per liter) (mengde bensin). For eksempel, kjøper jeg dobbelt så myet bensin, da fordobles prisen. Mer generelt: Definisjon: Hvis to variable størrelser y og x er slik at y = ax for et fast tall a, da sier vi at y er proporsjonal med x. Tallet a kalles for proporsjonalitetskonstanten. Vi merker at y er en funksjon av x. 7

8 Eksempel: Omkretsen av en sirkel er proporsjonal med dens radius r: det er lik 2πr. Her er proporsjonalitetskonstanten a lik 2π 6, Grafen til en proporsjonalitet er ei rett linje, gitt av likningen y = ax. Stigningsforholdet til ei linje: La oss tegner flere ulike linjer i planet: Noen av disse linjene er brattere en noen andre. Vi vil gjerne ha en måte å måle hvor bratt ei linje er. Vi gjør dette begrepet presis med: Definisjon: Stigningsforholdet av ei linje er distansen linja stiger i y-retningen når man forflytter seg 1 enhet til høyre i x-retningen: Kikker vi på linjene ovenfor, innser vi at de som etter vår mening var bratteste skårer høyst med dette systemet. Obs: Hvis linja er loddrett, da kan vi ikke forflytte oss langs det i x-retningen. Derfor sier vi at stigningsforholdet til ei loddrett linje er uendelig, eller, mer 8

9 presist, ikke definert. Vi kan beregne stigningsforholdet på et par forskjellige måter. Gitt to punkt (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) på linja, da erstigningsforholdet lik antall stigning i y-retningen antall stigning i x-retningen = y 2 y 1 x 2 x 1. Hvorfor gir dette stigningsforholdet? La oss tegne situasjonen: Punktet d er valgt slik at avstanden ad er lik 1. Her har vi to formlike trekanter abc og ade. Derfor har vi en likhet av forholdene y 2 y 1 x 2 x 1 = de ad = de. Men de er akkurat avstanden linja stiger i y-retningen når vi forflytter oss 1 til høyre langs x-aksen, altså selve stigningsforholdet. Stigningsforholdet kan gjerne være negativ: (1) Ei linje som peker nedover har negativ stigningsforholdet. Som spesielt tilfell, ei vannrett linje har stigningsforhold 0. Bemerkning: Det finnes et begrep som svarer til stigningsforholdet for grafer og kurver som er ikke linjer. Dette er fokuset når man studerer derivasjon. 9

10 Nå går vi tilbake til proporsjonalitetsbegrepet: La y = f(x) = a x være en proporsjonalitet, med grafen som i (1). Vi merker at stigningsforholdet til grafen er lik proporsjonalitetskonstanten. La (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) være to punkt på linja. Da har vi y 2 y 1 x 2 x 1 = ax 2 ax 1 x 2 x 1 = a(x 2 x 1 ) (x 2 x 1 ) = a. Proporsjonaliteter er et spesielt tilfell av et annet begrep, en viktig klasse funksjoner: Definisjon: En funksjon f(x) er lineær dersom det kan uttrykkes som f(x) = ax + b hvor a og b er faste tall; med andre ord, dersom f(x) er (en fast tall) x + (et konstant ledd). Merk at a og b er faste, mens x kan variere. Navnet lineær kommer fra at grafen til en slik funksjon er ei rett linje. Vi noterer to ting: Stigningsforholdet til linja er lik a. La oss ta to forskjellige verdier av x, som vi kaller for x 1 og x 2. De tilsvarende punktene på grafen er (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ), hvor Derfor er stigningsforholdet lik y 1 = ax 1 + b og y 2 = ax 2 + b. (ax 2 + b) (ax 1 + b) x 2 x 1 = ax 2 ax 1 + b b x 2 x 1 = a(x 2 x 1 ) x 2 x 1 = a. Grafen skjærer y-aksen i (0, b). Dette, fordi f(0) = a 0 + b = b, slik at (0, b) hører til grafen. Eksempel: Omregning av temperatur fra Celsius til Fahrenheit: Det å ta en temperaturmåling i Celsius til den tilsvarende målingen i Fahrenheit danner en funksjon, fordi en måling i Celsiusgrader danner en entydig måling i Fahrenheitgrader. La oss skrive c for antallet Celsiusgrader og f(c) for Fahrenheitmålingen, som er en funksjon av c gitt ved f(c) = 9c

11 Slik ser vi at f er en lineær funksjon av c. Her er a = 9/5 og b = 32. En viktig egenskap av lineære funksjoner er at de veldig ofte kan snus. I forhold til eksemplet med temperaturene er dette klart: vi kan like godt gå fra Fahrenheitgrader til Celsiusgrader og skrive c(f). Det er en morsom måte å se dette, nemlig med flytdiagrammer. Hvis funksjonen er lineær, så hender der ofte at man kan snu på pilene og rygge fra funksjonsverdien tilbake til argumentet vi startet med. 2.2 Annengradfunksjoner Et typisk begrep hvor annegradfunksjoner havner opp er når man skal beregne areal. For eksempel, vi kan legge opp en regel som tar inn et ikke-negativt tall x og gir tilbake arealet av et kvadrat x cm på sidene. Denne regelen danner faktisk en funksjon f på de positive réelle tallene. Den kan uttrykkes som f(x) = x 2 cm 2. Her er et annet eksempel. Se på disse figurene: Arealet i hvert tilfell er lik 2x 2 + 5x 2. Slik ser vi at funksjoner havner opp naturlig som kan uttrykkes med en formel som inneholder et ledd med x 2. Derfor sier vi: Definisjon: En annengradfunksjon er en funksjon som kan uttrykkes på formen f(x) = ax 2 + bx + c der a, b og c er faste tall, og a ikke er nul. 11

12 Grafen til en annengradfunksjon heter en parabel. La oss se på grafene til x 2 og x 2 x + 2, for eksempel: Generelt, så er det at fortegnet til x 2 -leddet bestemmer om grafen har et maksimum eller et minimum. En annen situasjon hvor annengradfunksjoner framtrer naturlig er når vi betrakter akselerasjon. Dette sier vi litt mer om i oppgavene. 2.3 Tredjegradfunksjoner På samme måten som areal førte til annengradfunksjoner, så gir volum innledning til tredjegradfunksjoner. Vi kan lage en funksjon f ved å sette f(x) lik volumen av en kubisk eske x cm på kantene. Denne funksjonen kan vi uttrykke som f(x) = x 3 cm 3. Slik havner opp den tredje potensen av x. En annen eksempel er kulen: en kule på radius x cm har volum 4π 3 x3 cm 3. Denne motiverer den følgende definisjonen: Definisjon: En tredjegradfunksjon er en funksjon som kan uttrykkes på formen f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d der a, b, c og d er faste tall og a ikke er nul. Grafen til en generell tredjegradfunksjon ser slik ut: Grafen til f(x) = x 3 + x = x(x 1)(x + 1) 12

13 Denne bytter retning to ganger. Men det er en annen mulighet: for eksempel, f(x) = x 3 ser slik ut: 2.4 Polynomer Vi kan godt fortsette og definere fjerde-, femte-, sjettegradfunksjoner osv. Alle disse er eksempler av polynomfunksjoner, nemlig, funksjoner som kan uttrykkes som summer av potenser av en variabel x. Definisjon: En polynomfunksjon er en funksjon som kan uttrykkes som f(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 der n er et ikke-negativt heltall og a n, a n 1..., a 2, a 1, a 0 er faste tall med a n ikke nul. Her kalles n-en for graden til polynomen. Slike funksjoner har mange nyttige egenskaper. For eksempel, de er kontinuerlige og kan brukes til å anslå andre funksjoner som hadde ellers vært vanskelig å studere, på samme måte som rasjonale tall kan brukes til å anslå irrasjonale tall. Grafer til generelle polynomer har en interessant egenskap: antall med ganger at grafen bytter retning er én mindre en graden. For eksempel, en lineær funksjon bytter alldri, en annengradfunksjon én gang og så videre. 3 Rasjonale funksjoner Som innføring til rasjonale funksjoner skal vi se på omvendt proporsjonalitet. 3.1 Omvendt proporsjonalitet Hvis jeg kjører bil 2km til kontoret kl. halv ni om morningen, så kan det ta 10 minutter fordi det er masse trafikk. Kjører jeg tilbake hjem kl. halv tolv for å hente ei bok som jeg glemte for min M1 undervisningen, da tar det bare 5 minutter fordi effektive folk jobber på kontoret istedenfor å rote med bøker. Når jeg skal tilbake kl. ti over halv tolv, er det flere folk på veien fordi 13

14 det er snart matpause, og jeg kjører 8 minutter. Nå lurer jeg på hastigheten min i løpet av disse tre turer. Vi kjenner formlen: tilbakelagt strekning gjennomsnitthastighet =. (2) tid Ved hjelp av denne regner jeg ut at de respektive gjennomsnitthastigheter i løpet av mine turer var 2km 10 min, 2km 5 min og 2km 8 min, altså 0, 2km/min, 0, 4km/min og 0, 25km/min. Ser vi bare på de første to turene, legger vi merke til at mens tiden ble halverte, så fordoblet hastigheten. Vi kan tenke på flere eksempler på slike fenomener: hvis du bruker halvannen time alene til å male 10m 2 med vegg, og da stikker to venner innom og hjelper, så tar de neste 10m 2 omtrent bare 30 minutter. Poenget er at når én av størrelsene vokser, så avtar den andre. Definisjon: To størrelser er omvendt proporsjonale hvis den ene er proporsjonal med den inverse av den andre. En annen måte å si det er at produkten av størrelsene er konstant. Eksempel: Formlen (2) gir direkt at med en fast strekning, så er gjennomsnitthastigheten proporsjonal med inversen av tiden, med proporsjonalitetskonstant lik strekningen. Eller vi kan omgjøre (2) til gjennomsnitthastighet tid = [den konstante] strekning. Hvis vi betrakter tiden som funksjon av hastigheten, altså skriver vi t = s/h, da får vi en graf som ser slik ut: En slik graf heter en hyperbel. Det å dele med variablen er det vesentlige med rasjonale funksjoner. 14

15 3.2 Rasjonale funksjoner En rasjonal funksjon er en funksjon som kan uttrykkes som en brøk der variablen framtrer i nevneren. Nærmere presist, Definisjon: En rasjonal funksjon f(x) er en funksjon som kan uttrykkes som f(x) = g(x) h(x) der g(x) og h(x) er polynomer i x. Vi merker at telleren trenger ikke å inneholde x: for eksempel, f(x) = 1/x er en rasjonal funksjon. Eksempel: 1/x og 2x x 3 er rasjonale funksjoner. Grafene ser slik ut: Obs: Definisjonsområdet til en rasjonal funksjon er ofte ikke like stor som det til en polynom. Dersom h(x) har et nullpunkt i x = a, så forsvinner nevneren i funksjonens uttrykk i a, og funksjonen har ingen verdi i x = a. For eksempel, 1/x er ikke definert i x = 0. Eksempel: Vi betrakter en rekke med rektangel som alle har areal 40. La oss skrive x for lengden til en av de lange sidene. Da blir lengden til de andre sidene lik 40/x: Omkretsen til rektanglet er da x x Dette kan vi uttrykke som x x 2x + 80 x = 2x2 x + 80 x = 2x x 15

16 Slik ser vi at omkretsen er en rasjonal funksjon av lengden til de langste sidene. La oss se på dens graf: Denne ser ut som det har et minimum i x = 40, nemlig, når rektanglet har alle fire sider like lange, altså når det er en kvadrat. Dette stemmer, og kan bevises ordentlig med derivasjon. 3.3 Asymptoter Vi betrakter videre f(x) = 1/x. Vi merker at jo nærmere x kommer til 0 fra høyre, desto større blir f(x). Ved å velge x liten nok, så kan vi nå så høy en verdi av funksjonen som vi vil. Hvis vi nærmer oss 0 fra venstre siden istedenfor, kan vi på samme måte få til en så stor negativ verdi av f(x) som vi ønsker. Og jo nærmere vi kommer fra enhver side, desto brattere stiger grafen: det nærmer seg hele tiden til den loddrette linja x = 0. Til gjengjeld, hvis vi tar x veldig stor eller veldig stor negativ, så kan vi nå en verdi av x som er så nær med 0 som vi ønsker. Selv om vi alldri får det helt til, jo større blir x i den positive eller negative retningen, desto flatere blir kurven: det nærmer seg til den vannrette linja y = 0. Denne diskusjonen motiverer: Definisjon: En linje som en rasjonal funksjon nærmer seg når vi forflytter oss langs grafen kalles en asymptote. Eksempel: Asymptotene til 1/x er x = 0 (når x blir liten) og y = 0 2x (når x blir stor). Asymptotene til er x = 3 og y = 2. x 3 16

17 4 Eksponentialfunksjoner Eksponentiell vekst er et kjent begrep i økonomi (f. eks. renter tjent på sparte penger) og så biologi, kjemi og fysikk. Vi begynner med et veldig kjent eksempel. Eksempel: (Renter tjent på penger i banken) Jeg investerer 1000kr i en bank der rentefoten er 3% i året. Hvor myet har jeg i banken etter (i) ett år, (ii) to år og (iii) fem år? Jo, etter ett år har jeg 1000kr + (3% av 1000kr), altså 1000kr + 30kr = 1030kr. Etter to år har jeg 1030kr + (3% av 1030kr) = 1030kr + 30, 9kr = 1060, 9kr. Nå legger vi merke til at vi kunne ha regnet dette slik: 1000kr 1, 03 1, 03 = 1000kr (1, 03) 2 = 1000kr 1, 0609 = 1060, 9kr. Vi kan beregne verdien etter fem år på samme måte: 1000kr 1, 03 5 = 1000kr 1, = 1158, 45kr. Egentlig er det ingen ting som forhindrer oss å gjøre dette veldig generelt. Hvis vi fortsetter som ovenfor, kommer vi snart på en formel som gir verdien av investeringen etter et vilkårlig antall med år, nemlig: Etter n år har jeg 1000kr 1, 03 1, 03 = 1000kr 1, 03 n. Dette er et eksempel på en eksponentialfunksjon. Det vesentlige med eksponentialfunksjoner er at den frie variablen oppstår som en potense. I vårt eksempel er n-en variablen. 4.1 Fordoblingstid Et viktig spørsmål om en funksjon som vokser stadig er hvor lang tiden den tar for å fordoble seg. Et typisk eksempel er befolkningsvekst i et land, som ofte oppholder seg eksponentielt: som en investering, det vokser en viss prosenttall hvert år. For eksempel, la oss si at befolkningen i Freedonia vokser 4% i hvert år, og at Statsministeren Rufus T. Firefly vil vite hvor lang tid før landet hans skal ha dobbelt så mange folk som det nå har. Ved hjelp av et regneark ser vi at etter omtrent år har befolkningen fordoblet seg. 17

18 La oss nå se på den på en annen måte: Hvis det nå bor 30 million mennesker i Freedonia, da etter n år skal det være (1, 04) n. Det vi vil vite er for hvilken n har vi (1, 04) n = Vi kan forkorte med , og spørsmålet er da for hvilken n har vi 1, 04 n = 2. Vi legger merke til at denne n-en er faktisk uavhengig av hvor stor befolkningen var i utgangspunktet: det er avhengig bare av vekstenshastighet. Denne er et interessant aspekt av eksponentialfunksjoner. For eksempel, med regneark kan vi se at selv om befolkningen hadde vært bare , da hadde fordoblingstiden vært akkurat like stor. På akkurat samme måten kan vi beregne fordoblingstiden for enhver eksponentialfunksjon f(x) = ba x der a > 1 (hvis a 1 da vokser funksjonen aldri). Vi vil vite hva er sammenheng mellom x og t dersom vi har f(x + t) = 2f(x), altså ba x+t = 2ba x. Vi forkorter med ba x og får a t = 2. Løser vi denne likningen for t, har vi fordoblingstiden til funksjonen f, og dette gjelder for alle verdier av x. (I vårt eksempel er a = 1, 04 og b = [For de fleste funksjoner er fordoblingstiden avhengig både av x og t. For eksempel, hvis f(x) = 2x + 3 og vi spør for hvilken t vi har f(x + t) = 2f(x), da får vi likningen 2(x + t) + 3 = 2(2x + 3), altså t = x + 3, som viser at fordoblingstiden t er avhengig av hvilken x vi 2 velger.] Referanser [BV1] T. Breiteig, R. Venheim: Matematikk for Lærere 1, 4. utgave, Universitetsforlaget, Oslo, [BV2] T. Breiteig, R. Venheim: Matematikk for Lærere 2, 4. utgave, Universitetsforlaget, Oslo, Avdeling for Lærerutdanning Høgskolen i Vestfold Grenaderveien Tønsberg Anne-Marit.L.Brun@hive.no, George.H.Hitching@hive.no 18