PRIMTALL FRA A TIL Å

Transkript

1 PRIMTALL FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I KLASSE EMNER Side 1 Innledning til primtall P Grunnleggende om primtall P Hvordan finne et primtall P - 5

2 Innledning til primtall 1 INNLEDNING TIL PRIMTALL Vi har uendelig mange tall. Tenk på det: Uansett hvor stort tall du kan tenke deg, vil du alltid kunne øke dette tallet med 1. Og uansett hvor lite tall du kan tenke deg, så kan du alltid trekke fra 1 (Det siste er kanskje enda vanskeligere å fatte.) Det er vanskelig å finne noen praktisk måte å bruke kunnskapen om primtall på i dagliglivet. Det er likevel en nyttig ting å kunne, fordi slik kunnskap blant annet kan være til stor hjelp når du skal regne i hodet, og det gjør du mer eller mindre hele dagen. Å beherske primtall øker tallforståelsen og dermed gir det også større grad av trygghet når du skal behandle tall. Grunnleggende om primtall 2 GRUNNLEGGENDE OM PRIMTALL Denne uendelige lange tallrekken kan vi dele inn etter ulike egenskaper. Det enkleste er kanskje partall og oddetall. Alle tall som kan deles på 2 er partall, og alle andre tall er oddetall. Vi kan dele inn tallene i positive og negative tall, heltall og desimaltall, og det finnes flere andre måter å dele tallene i grupper, klasser og egenskaper. I dette kapitlet skal vi se på primtallene. Mange blander sammen primtall og oddetall. Det kommer antagelig av at primtallrekken og oddetallrekken ser nesten like ut i starten. Kort fortalt er primtall alle tall som bare kan deles på 1 eller på seg selv. Alle andre tall kaller vi for sammensatte tall. Primtall: Alle tall som BARE kan deles på seg selv eller 1. Sammensatte tall: Alle tall som også kan deles på noe annet enn seg selv eller 1. La oss begynne med å se på en del av tallrekken. Den enkleste tallrekken begynner med 1: P - 2

3 11 Alle disse tallene kan deles på 1. 1 : 1 =1 2 : 1 =2 3 : 1 =3 4 : 1 =4 Svarene vil gi oss de samme tallene som vi startet med. Alle tallene kan også deles på seg selv: 1 : 1 =1 2 : 2 =1 3 : 3 =1 4 : 4 =1 Svarene vil alltid bli 1. Men hvis vi ser litt nøyere på 4-tallet, vil vi se begynnelsen til et nytt mønster. 4 kan nemlig også deles på 2. 4 : 2 =2 Og da blir svaret verken det vi startet med eller 1. Hvis vi lager et system av de tallene vi har tatt med i tallrekken vår, vil vi se at denne egenskapen, at et tall kan deles på noe annet enn seg selv, finner vi i flere av tallene: Tallrekke Deles på 1 Deles på seg selv Deles på et annet tall 1 : 1 = 1 : 1 = 1 : = 2 : 1 = 2 : 2 = 1 : = 3 : 1 = 3 : 3 = 1 : = 4 : 1 = 4 : 4 = 1 : 2 = 2 5 : 1 = 5 : 5 = 1 : = 6 : 1 = 6 : 6 = 1 : 2 = 3 7 : 1 = 7 : 7 = 1 : = 8 : 1 = 8 : 8 = 1 : 2 = 4 9 : 1 = 9 : 9 = 1 : 3 = 3 10 : 1 = 10 : 10 = 1 : 2 = 5 11 : 1 = 11 : 11 = 1 : = P - 3

4 Dette skjemaet hjelper oss til å se at enkelte tall BARE kan deles på 1 eller på seg selv. Det er dette vi kaller primtall. REGEL Primtall er hele tall som bare kan deles på 1 eller seg selv. Vi kan si at de tallene som ikke er primtall, vi kaller dem sammensatte tall, består av byggeklosser. 4-tallet består av 2 toere. 9-tallet består av 3 treere. Tallene 2 og 3 finner vi tidligere på tallinjen. Et sammensatt tall er altså et tall som består av to eller primtall som er ganget med hverandre. For tallrekken opp til 10 er dette kanskje oversiktelig og greit. La oss se på tallrekken fra 10 til Hvis vi setter disse tallene inn i skjemaet vårt, blir det slik: Tallrekke Deles på 1 Deles på seg selv Deles på et annet tall 10 : 1 = 10 : 10 = 1 : 2 = 5 11 : 1 = 11 : 11 = 1 : = 12 : 1 = 12 : 12 = 1 : 2 = 6 13 : 1 = 13 : 13 = 1 : = 14 : 1 = 14 : 14 = 1 : 2 = 7 15 : 1 = 15 : 15 = 1 : 3 = 5 16 : 1 = 16 : 16 = 1 : 2 = 8 17 : 1 = 17 : 17 = 1 : = 18 : 1 = 18 : 18 = 1 : 2 = 9 19 : 1 = 19 : 19 = 1 : = 20 : 1 = 20 : 20 = 1 : 2 = 10 P - 4

5 Her ser vi at tallene 11, 13, 17 og 19 bare kan deles på 1 eller seg selv. De er altså primtall. For tallrekken fra 1 til 20 har vi altså følgende primtall: Men så begynner det å bli litt vanskeligere å vite hva som er primtall og hva som er sammensatte tall. Vi trenger noen hjelpemidler for å finne frem til dem. 3 HVORDAN FINNE ET PRIMTALL Vi kan uten videre lage en grunnleggende regel: Hvordan kjenne igjen et primtall REGEL Alle partall er sammensatte tall (bortsett fra 2). Dette er en grei og oversiktelig regel. Alle partall kan jo deles på 2, og derfor er de sammensatte tall. Men vi trenger litt mer enn dette. Siden primtall bare kan deles på seg selv og 1, vil alle tallene (svarene) i gangetabellen være sammensatte tall, bortsett fra 1-gangen. Vi skal derfor se litt på gangetabellen når vi leter etter primtallene. I gangetabellen på neste side har jeg merket alle tall som kan deles på 2. Jeg velger 2, fordi det er det minste primtallet, bortsett fra 1. Det vil ikke gi noen mening å dele på 1, siden ALLE tall kan deles på 1. P - 5

6 Her vil du se at vi står igjen med bare oddetall. Nettopp fordi alle partall kan deles på 2. Du vil også antagelig se at det ikke er så veldig mange tall igjen som kan være primtall. Nå skal jeg i tillegg ta bort alle tall som kan deles på det neste primtallet, som er P - 6

7 Ved hjelp av de to minste primtallene (2 og 3) har vi altså avslørt de aller sammensatte tall under 100. Ved å bruke de to neste primtallene, 5 og 7, finner vi resten: Vi ser at gangetabellen kan vise oss hvilke tall som er sammensatte tall. Men det er bare et hjelpemiddel, for alle de andre tallene er ikke primtall. For å vise det skal vi se på en annen tabell. En som viser alle tall fra 1 til P - 7

8 I denne nye tabellen merker jeg alle tallene fra gangetabellen. Med andre ord: De sammensatte tallene som gangetabellen hjalp til med å finne Det ble noe ganske annet. Hvis vi ser på de tallene som ikke er merket, vil vi finne igjen begynnelsen til primtallrekken som vi hadde for alle tall under 20: Men så skal vi passe på. Det neste tallet som ikke er merket er 22. Men 22 kan jo deles på 2. Da kan det ikke være et primtall. Så vi merker alle tallene som kan deles på 2: P - 8

9 og nå kan vi fortsette å bygge videre på primtallrekka: Nei, stopp litt! Kan ikke 33 deles på 3? Da er vel ikke 33 et primtall? Nei, ganske riktig. La oss få bort alle tall som kan deles på 3, også: Nå står vi igjen med ganske få tall som kan være primtall. Fremgangsmåten vi har brukt er å sjekke om noen tall kan deles med de primtallene vi allerede vet om, og vi begynte med det minste, nemlig 2. Deretter prøvde vi med 3. Å finne om et tall er primtall: Vi ser om tallet kan deles på et primtall. Først om det kan deles på 2, deretter 3, 5, 7 o.s.v. Nå er det kan hende ikke alle tallene som kan deles på 3 som er så lette å få øye på. For eksempel 51, 57 og 87. Her har jeg brukt en regel som sier at et tall kan deles på 3 dersom tverrsummen av tallet kan deles på 3. Dette er nærmere forklart i kapitlet Hoderegning. P - 9

10 Nå er det faktisk bare 2 tall igjen i tabellen vår som er sammensatte tall, alle andre er primtall. De to tallene er 77 og 91. Begge disse tallene kan deles på 7 (svarene blir 11 og 13). P - 10