Tallinjen FRA A TIL Å

Transkript

1 Tallinjen FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I KLASSE EMNER Side 1 Innledning til tallinjen T Grunnleggende om tallinjen T Hvordan vi kan bruke en tallinje T Tallinjen som tidslinje T Tallinje i statistikk T Tallinje i koordinatsystemer T Tallinje i kart T Positive og negative tall T Å regne med positive og negative tall T - 16

2 Innledning til tallinjen 1 INNLEDNING TIL TALLINJEN Tallinjen dukker opp overalt. Vi finner den i tabeller og diagrammer, i historiske oversikter og avstandsmålinger. Den er tilstede på termometre og kart. Noen ganger kalles den for tidslinje, men den kan brukes til å fremstille langt mer enn tid. Tallinjen kan brukes til nesten alt. Ved siden av å vise tiden, kan den illustrere avstand, størrelser, mengder og antall. Og så å si alt mulig annet også. De fleste vil forstå en tallinje når de ser den. Men ikke alle. Derfor er det all grunn til å ha med et kapittel om tallinjen og dens ulike egenskaper. Og for mange er tallinjens mange egenskaper nyttig for å forsterke forståelsen av tall, tallmengder og størrelser kort sagt: tallbehandling. Grunnleggende om tallinjen 2 GRUNNLEGGENDE OM TALLINJEN Vi vil alltid bare se et lite utsnitt av tallinjen. På samme måte som vi har uendelig mange tall, har vi en uendelig tallinje. Kort og godt fordi hele denne uendelige rekken med tall skal få plass Fra før kjenner vi tallrekken: Og vi vet at den fortsetter med 11, 12 o.s.v. Hvis vi nå fester den tallrekken til en linje, og lar alle tallene få sin faste plass på linja, får vi: T- 2

3 Sånn! Der er n! Hils på tallinjen!! Denne tallinjen har to viktige forutsetninger. De er så viktige at vi må kunne kalle dem for egenskaper altså kjennetegn på at dette er en tallinje. For det første står tallene etter hverandre i rekkefølge. Denne rekkefølgen må være fast det må være like stor verdi mellom tallene. I tallinjen overfor er verdien 1 mellom hvert tall. For det andre må tallene stå med nøyaktig like lang avstand. Hvis avstanden mellom tallene er forskjellige, kan den ikke lenger brukes som tallinje. Altså: En tallinje er en linje med tall, der det er like langt mellom tallene, og der verdien mellom tallene er den samme. Tallinje: En linje med tall, der tallene har samme avstand og verdien mellom tallene er lik. Vi kan godt tenke oss en tallinje med andre tall. Her er to eksempler: Her ser vi at verdien mellom tallene er lik. I det første eksemplet er verdien 2, og i det andre eksemplet er verdien 5. T- 3

4 Når vi skal lage en tallinje bestemmer vi altså selv hvilke tall vi vil ha med. Vi bestemmer også selv hvor stor avstand det skal være mellom tallene: Når vi skal lage en tallinje er det vanlig å la den være litt lenger enn vi trenger. Det er for å vise at den tallinjen vi lager egentlig fortsetter i begge retninger. Altså at tallinjen er uendelig og at vi bare tegner en liten del av linjen den delen som vi trenger. Hvordan vi kan bruke en tallinje 3 HVORDAN VI KAN BRUKE EN TALLINJE Vi kan med andre ord lage tallinjen akkurat som det passer oss, så lenge vi husker på de to egenskapene som gjelder for tallinjen: Like stor verdi mellom tallene og like stor avstand mellom dem. Så da blir jo spørsmålet: Hva kan vi bruke en slik tallinje til? Vel, det er særlig på fire områder vi bruker tallinjen. Det ene området er når vi skal vise en oversikt over hendelser knyttet til tid, for eksempel historiske perioder. Det andre er i statistikk, der vi vil vise en utvikling over tid. Det tredje området der vi bruker tallinjen er i sammenheng med koordinatsystemer, og det fjerde er når vi skal lage eller bruke kart (skjønt når det gjelder kart er det egentlig ikke en tallinje i ordets egentlig betydning vi bruker). De tre siste av disse bruksområdene er nærmere forklart i kapitlene Statistikk, Koordinatsystemer og kart. T- 4

5 I det følgende vil du få se alle disse bruksområdene forklart, med mest fokus på det første bruksområdet, nemlig oversikt over hendelser knyttet til tid. 3.1 TALLINJEN SOM TIDSLINJE Det er utallige forhold du kan vise på en tidslinje. Her er ett eksempel: Tallinjen som tidslinje Lille Petter ble født i Han begynte på skolen da han var 6 år, ungdomsskolen da han var 13, videregående da han var 16 og på høyskole da han var 19. Skal du legge dette inn på en tidslinje, trenger du altså en linje som i hvert fall går fra 0 år til 19 år. Du kan selvsagt velge hvilke tall du vil ha med. Her har jeg valgt å merke av hvert annet år. Eksempel 1: Trinn a Men denne tallinjen sier jo ingenting om hva den vil vise. Den bør ha en overskrift en tittel. Jeg kaller denne for Petters skolegang. I tillegg må vi fortelle hva tallene betyr. I dette eksemplet betyr de Petters alder. Eksempel 1: Trinn b PETTERS SKOLEGANG Alder T- 5

6 Og nå må jeg sette inn de opplysningene jeg har om Petters skolegang: Eksempel 1: Trinn c PETTERS SKOLEGANG Alder Barneskolen Ungdomskolen Videregående Høyskolen Her har jeg satt inn de fire skoleslagene. Det vil være vanlig å sette inn en pil mot et bestemt tall. Da kan det bli slik: Eksempel 1: Trinn d PETTERS SKOLEGANG Alder Barneskolen Ungdomskolen Videregående Høyskolen Her ser vi at Ungdomsskolen og Høyskolen ikke peker mot noe tall. Det er fordi tallene 13 og 19 (den alderen Petter hadde da han begynte på ungdomsskolen og Høyskolen) ikke står på tidslinjen. Men de fleste vil forstå at de befinner seg midt mellom to tall. T- 6

7 Det er flere andre måter å vise det samme på. Her ser du to andre modeller: Eksempel 1: Trinn d-2 PETTERS SKOLEGANG Alder Barneskolen Ungdomskolen Videregående Høyskolen I dette eksemplet har jeg trukket forklaringene inn i selve tallinjen i stedet for å ha dem i bokser. Da slipper jeg å bruke piler, og samtidig får jeg vist hvor lenge de går på de forskjellige skolene på en tydeligere måte. I den neste modellen viser ikke tallene Petters alder, men hvilke årstall han går på de ulike skolene. Tidslinjen starter det året han blir født. Eksempel 1: Trinn d-3 PETTERS SKOLEGANG År Barneskolen Ungdomskolen Videregående Høyskolen T- 7

8 Tallinjen i statistikk 3.2 TALLINJEN I STATISTIKK I statistikk hender det ofte at man ønsker å vise en utvikling over tid. Vi fortsetter å bruke Petter også i neste eksempel: Hvert år ble Petters høyde målt, for å se hvordan dette utviklet seg. Målingene ble satt inn i en tabell. Da han ble 15, ville han sette dette inn i et diagram, for lettere å se utviklingen: Om bruk av tabeller og diagrammer kan du se i kapitlet Statistikk. Her er først tabellen: Eksempel 2: Trinn a År H Og her er diagrammet: Eksempel 2: Trinn b T- 8

9 For at søylene skal gi noen mening er det viktig å bruke samme måleenhet på alle søyler. I virkeligheten har vi innført en tallinje til, nemlig en som går loddrett. Den viser høyden. Her er det satt inn hjelpelinjer for hver 50 cm. Da er det lettere å lese diagrammet. Eksempel 2: Trinn c TALLINJEN I KOORDINATSYSTEMER Når vi nå er kommet så langt at vi har to tallinjer en vannrett og en loddrett, er det all grunn til å gå et skritt videre til koordinatsystemet. Tallinjen i koordinatsystemer I koordinatsystemet kalles tallinjene for akser den vannrette kalles førsteakse, og den loddrette for andreakse. Koordinatsystem er nøye forklart i kapitlet om koordinatsystemer. T- 9

10 De to aksene er altså i virkeligheten to tallinjer som står vinkelrett på hverandre. Eksempel 3: Trinn a T- 10

11 Trekker vi opp hjelpelinjer til alle tallene, får vi et rutemønster: Eksempel 3: Trinn b og her er et koordinatsystem, fullt ferdig til bruk, laget av to tallinjer. Når du skal lage et koordinatsystem er det vanlig at rutene er kvadratiske. Det får du til ved å ha samme avstand mellom tallene på begge aksene. T- 11

12 Tallinjen i kart 3.3 TALLINJEN I KART På en måte er kart bygget opp akkurat på samme måte som et koordinatsystem, men i kart er det ofte rutene som har navn, og ikke linjene. Vi skal se på dette, men først må vi ha et kart: Eksempel 4: Trinn a Dette er kart over Småøy. Vi ser at det er et hus på øya, og en vei fra huset til brygga. Siden det ikke ligger noen båt ved brygga kan vi regne med at det akkurat nå ikke er folk på øya. Vi ser et lite vann og en bekk som renner fra vannet og ut i havet. Dessuten ser vi at det bare er to trær på øya, og tre kjempestore steiner. T- 12

13 Men å angi akkurat hvor de ulike tingene befinner seg på øya er litt vanskelig. Derfor tegner vi inn et rutenett på kartet. Eksempel 4: Trinn b Nå kan vi f.eks si at de tre steinene ligger 6 ruter til venstre for huset, og at øya er 12 ruter bred. Selv om vi ikke vet hvor lang eller stor en rute er, er det litt lettere å orientere seg. Enda lettere blir det hvis vi gir rutene navn: T- 13

14 Eksempel 4: Trinn c Nå kan vi lett se at brygga ligger i den ruta som heter (13,7), og veien går fra (11,4) til (12,7). Du kan finne ut mer om å tegne og lese kart i kapitlet Kart. Det som er viktig i denne sammenhengen er at vi også her bruker to tallinjer for å gjøre det enkelt å lese kart. Ofte vil du i kart se at den ene tallinjen er byttet ut med bokstaver, men poenget vil være det samme. T- 14

15 4 POSITIVE OG NEGATIVE TALL Tallrekken fortsetter i det uendelige. Men ikke bare med større og større tall. Her er tallrekken, slik du så den i avsnitt 2: Positive og negative tall Som du ser fortsetter den etter 10. Men den fortsetter den andre veien også! Fra null og mot venstre. Hvis du teller mot venstre fra 10, ser du at tallene blir mindre og mindre: Men hva skjer hvis vi fortsetter å telle mot venstre fra null? Da blir tallene fortsatt mindre og mindre Vi kaller tallene som er mindre enn null for negative tall, og viser det ved å sette (minus) foran. Som du kan se er -1 og 1 like langt fra 0, men de er ikke like mye verdt. -1 har en verdi på 1 mindre enn null. T- 15

16 Mange kjenner dette fra gradestokken: Her er tallinjen reist opp i loddrett stilling, i stedet for slik vi har blitt vant til at den ligger i vannrett stilling. På en gradestokk er ofte kuldegradene (minusgradene) markert med blått og varmegradene (plussgradene) med rødt. Den røde stolpen som viser gradene er kvikksølv, som utvider seg ved varme og trekker seg sammen ved kulde. Slike gradestokker var vanlige i de fleste hjem tidligere. Etter hvert ble de avløst av andre typer uten kvikksølv. I moderne tid er det mer og mer vanlig med digitale temperaturmålere. Men uansett om man tenker seg tallinjen vannrett eller loddrett, er det slik at den er uendelig i begge retninger. Tallene som er større enn 0 kalles positive tall, og tallene som er mindre enn 0 kalles negative tall. Positive tall: Tall som er større enn 0. Negative tall: Tall som er mindre enn 0. Å regne med positive og negative tall 4.1 Å REGNE MED POSITIVE OG NEGATIVE TALL I de voksnes verden kjenner vi til negative tall i en annen sammenheng, nemlig når det er snakk om gjeld. Gjeld oppstår når du kjøper noe du i grunnen ikke har penger til. Hvis du kjøper noe som koster 10 kroner, selv om du bare har 5 kroner, skylder du kjøpmannen de siste fem kronene. T- 16

17 Rent tallmessig vil det se slik ut: Varen koster 10 kroner Du har 5 kroner Gjeld: 5 kroner Setter vi det opp på en tallinje kan det se slik ut: Varen koster 10 kroner Gjeld: 5 kroner Du har 5 kroner Når du skal bruke tallinjen til å regne en slik oppgave tar vi utgangspunkt i det du har: Så setter vi inn det varen koster: T- 17

18 Og da vil du se at pilen stopper på -5: Skriver vi det som et regnestykke, vil det se slik ut: 5 10 = -5 Tallinjen kan brukes til å forklare både pluss- og minusstykker, med både positive og negative tall. Dette er nøye forklart i kapitlet om addisjon og subtraksjon. Til slutt: Det er viktig å skille mellom tegnet minus (-) som operatør og som fortegn. Minus som operatør i subtraksjonsoppgaver forteller at du skal trekke et tall fra et annet, mens minus som fortegn viser til tallets verdi (for eksempel tallets plass på tallinjen). Dette er også nærmere forklart i kapitlet om addisjon og subtraksjon. T- 18