Tall. Regneoperasjoner med naturlige tall har til alle tider fascinert både ung og gammel.

Transkript

1 Tall Regneoperasjoner med naturlige tall har til alle tider fascinert både ung og gammel. Når vi skal arbeide med hele tall på ClassPad 300, bør vi først gå inn i SetUP og foreta følgende innstilling: Vi velger Fix 0 og antall desimaler i alle tall blir lik null. Etter denne innstillingen vil ClassPad 300 kun operere med hele tall. Hvis et regnestykke gir et desimaltall til svar, vil ClassPad 300 etter innstillingen Fix 0 runde av svaret til nærmeste hele tall. Arbeid med store tall La oss starte med den velkjente historien om oppfinnelsen av sjakkspillet. Herskeren av India ble meget begeistret over oppfinnelsen av sjakkspillet som ble gjort av en av de vise menn i herskerens palass. Herskeren proklamerte at vismannen selv kunne velge belønning for oppfinnelsen. Oppfinneren av sjakkspillet var en dyktig matematiker. Han foreslo for sin herre at han gjerne ville ha ett riskorn i den første ruten på sjakkbrettet, det dobbelte antall riskorn i neste rute og så videre med dobling av antall riskorn for hver rute utover på brettet i de neste 62 rutene på sjakkbrettet. Herskeren syntes dette var en beskjeden belønning. Han beordret sine tjenere til å skaffe riskornene og oppfylle vismannens ønske. Men herskeren ble svært forbauset over hvor fort sjakkbrettet ble dekket av riskorn og hvor fort det gikk før hele palasset var fylt. Antall riskorn i siste rute på sjakkbrettet kan vi 63 skrive som 2 opphøyd i 63 eller som 2 Hvor mange riskorn blir det til sammen? Vi summerer antall riskorn i alle de 64 rutene på sjakkbrettet. Da får vi = 2 n n= 0 Det finnes en spesiell teknikk for å finne et enklere uttrykk for denne summen. Vi kaller summen for s. Da får vi at s= = s 1+ 2 altså s = 2 1 Men hvor stort er egentlig dette tallet? 133

2 Vi skriver inn både summen og det forenklede uttrykket på ClassPad 300. Her ser vi at ClassPad 300 er i stand til å beregne denne summen med et meget stort antall siffer hele 20 siffer. Er antallet siffer korrekt? Følgende enkle test vil gi oss en ide om akkurat det. Vi får nemlig 64 at log 2 = 64 log 2 = 64 0,3010. Vi husker definisjonen av logaritmen til et tall og repeterer at logaritmen med grunntall 10 til for eksempel tallet 2, blir skrevet lg(2) eller log(2) som er Vi runder av logaritmen til tallet nedover til nærmeste hele tall. Så legger vi til 1 og får antall siffer i tallet. Vi runder av svaret til nærmeste hele tall og ser at dette svarer til én mindre enn antall siffer i svaret ovenfor Det betyr altså at 2 har samme antall siffer som 10. Et naturlig spørsmål melder seg som følge av dette. Hvordan kan vi få helt nøyaktige, store tall på ClassPad 300? La oss innledningsvis eksperimentere litt. Vi prøver med potenser med grunntall 2 og oppdager eksepsjonelle resultater på ClassPad

3 Ifølge vårt estimat vil det første tallet ha rundt 600 siffer. Disse sifrene vil komme til syne ved at vi peker gjentatte ganger på pil høyre ( ). I det andre forsøket ser vi at vi har passert kapasiteten til ClassPad 300. Utforskning Finn det største tallet som ClassPad 300 er i stand til å presentere ved å skrive ut alle sifrene. (Bemerkning: Selv om svaret på dette spørsmålet er å finne i brukerveiledningen, ber vi deg om å eksperimentere litt på egen hånd). Vi kan også presentere store tall ved hjelp av fakultetsfunksjonen på ClassPad 300. Vi repeterer at n! = 1 2 (n 1) n. Hvor mange siffer har tallet 297!? For å anslå antall siffer benytter vi igjen logaritmen med grunntall 10. Siden logaritmen til et produkt er summen av logaritmen til hver av faktorene, finner vi summen som vist på figuren ovenfor (vi merker oss imidlertid at maksimalt antall ledd vi kan summere på ClassPad 300, er 256). Vi ser her at det største antallet siffer som ClassPad 300 kan mestre, ligger på omtrent 600. Men et tall med så mange siffer må sies i denne sammenhengen, kun å være av teoretisk interesse. 135

4 Utforskning Når vi eksperimenterer med fakultetsfunksjonen for stadig større tall, ser vi at antallet nuller i slutten av tallet øker. Gjennomfør noen eksperimenter på egen hånd og prøv om du kan finne noe mønster. For noen tall kommer økningen av nuller i slutten av tallet i puljer på to og to nuller. For hvilke tall gjelder dette? Hvor mange nuller er det til slutt i 100!? Primtall Et primtall er et naturlig tall større enn 1 som bare er delelig (uten rest) med 1 og seg selv. Altså er 2, 3, 5, 7, 11, 13, primtall. For å undersøke om et tall er et primtall kan vi dele tallet med alle tall mindre enn tallet og studere divisjonsresten. Hvis alle restene er forskjellig fra null, er tallet et primtall. Vi kan vise at det er tilstrekkelig å kontrollere resten etter å ha delt med primtall mindre enn kvadratroten av selve tallet. For å avgjøre om for eksempel 200 er et primtall, er det altså tilstrekkelig å undersøke resten vi får ved å dele med henholdsvis 2, 3, 5, 7, 11 og 13. Ved hjelp av ClassPad 300 kan vi faktorisere et tall. I det siste eksemplet returnerer ClassPad 300 tallet vi forsøker å faktorisere. Det betyr at tallet er et primtall. Det finnes imidlertid en snarvei for å finne primtall på ClassPad 300. I eksemplet nedenfor har vi beregnet summen av logaritmer. 136

5 Dersom vi ikke har behov for desimaltall, lar vi ClassPad 300 regne eksakt. Summen av logaritmer skrives da om til multipler av logaritmer av primtall. I eksemplet vist til venstre ovenfor, finner vi alle primtall opp til 256. Vi kan fortsette med å summere fra for eksempel 257 opp til og med 512, men da får vi også skrevet ut noen av primtallene mindre enn 256. Hvorfor? Jakten på stadig større primtall har lenge vært en sport i matematikk. Fra tid til annen får vi høre om nye primtallsrekorder. Da har noen greid å finne et nytt primtall større enn noe annet kjent primtall. Jakten på store primtall fortsetter stadig. Mulige tall som kan være primtall, er ofte tall på formen 2 n 1. Slike tall kaller vi Mersennetall etter Marin Mersenne ( ). Tall på denne formen som faktisk viser seg å være primtall, kaller vi Mersenne-primtall. Mersenne viste at hvis n er et sammensatt tall, så må også 2 n 1 være et sammensatt tall. La oss granske dette. I det første og det tredje eksemplet gir ClassPad 300 et tall og ikke et produkt. Det må bety at tallet er et primtall. 137

6 Det siste tallet i eksemplet ovenfor har to store primtallsfaktorer. ClassPad 300 bruker ganske lang tid på å utføre faktoriseringen. Hvis du prøver neste kandidat som er , vil du se at ClassPad 300 arbeider svært lenge med faktoriseringen. Det kan indikere at er et primtall, men kan vi være helt sikker? Så sent som i 1883 ble det endelig vist at faktisk er et primtall. Det finnes andre funksjoner på ClassPad 300 som kan bli brukt til å undersøke i hvilken kategori et tall tilhører. Vi så ovenfor at kapasitetsproblemene starter rundt Vi kan imidlertid skaffe oss noe viten ved å teste for delelighet som vist i følgende eksempel. Tallfunksjoner ClassPad 300 er utstyrt med ulike tallfunksjoner som gcd (a,b) (greatest common divisor of a and b) største felles mål (divisor) for a og b lcm (a,b) (least common multiple of a and b) minste felles multiplum for a og b mod (a,b) (a modulo b, i.e. the remainder when a is divided by b) a modul b, dvs. resten når a blir dividert med b De engelske forklaringene begrunner forkortelsene. Disse funksjonene finner du i cat-katalogen. Tallfunksjonene fungerer som vist nedenfor. 138

7 I den første linjen ser vi at 18 er en faktor i 234. Dette blir bekreftet i linje nummer to. Disse funksjonene er nyttige å ha når vi arbeider med brøker. Hvis vi adderer a + c vil b d fellesnevneren bli lcm (b,d). Anvendelse av tallfunksjoner på ClassPad 300 kan hjelpe elevene med å opparbeide bedre tallforståelse og forståelse av begreper knyttet til tall. Utforskninger 1. Uttrykk matematisk på så mange måter som mulig at n er et oddetall. (Eksempel: n = 2k + 1 der k er et helt tall.) 2. Hva kan du si om produktet gcd (a,b) lcm (a,b)? Noen tallteoretiske funksjoner kan vi finne omtrent direkte på ClassPad 300. La d(n) være antall positive divisorer for n (som også omfatter 1 and n). Hvis n har faktoriseringen: ( ) e1 e2 e k 1 2 k 1 2 p p... p så er d n = ( e + 1)( e + 1)...( e + 1) Fra figuren nedenfor finner vi følgende: k 139

8 d(420) = = 24 d(4200) = = 48 d(16236) = = 36 Utforskning I 1644 søkte Mersenne etter tall med 60 divisorer. Prøv å finne ett som er mindre enn Det finnes i alle fall minst ett slikt tall. Et interessant område innen tallteori, som har kommet mer i fokus på grunn av bruken av IKT i diskret matematikk, er teorien om tallfølger. ClassPad 300 har et eget ikon i hovedmenyen for nettopp tallfølger, nemlig Sequence. Tallfølger Tallfølger spiller en sentral rolle innen matematikkutdanning. Studier av tallfølger kan være en innledning til rekursiv og iterativ tankegang i matematikk. Tallfølger kan sies å være grunnlag for problemorientert tilnærming innen matematikkdidaktikk. Når vi velger Sequence i hovedmenyen, kan vi få listet ut tallfølgen ved hjelp av for eksempel et av disse skjermbildene: 140

9 Vi får altså delt skjerm. I øvre halvdel kan vi definere tallfølgen. Tallfølgen blir listet ut i den nedre halvdelen av skjermen. Som vi ser av skjermbildet helt til høyre på figuren ovenfor, forutsatt at nedre del er aktiv, har vi muligheten til en grafisk presentasjon av tallfølgen. Det finnes mange ulike måter å definere en tallfølge. Vi vil her konsentrere oss om noen få eksempler og viser til User s Guide for den som ønsker å arbeide videre med temaet. Figurtall De såkalte figurtall har fått navn etter hvordan tallene kan illustreres ved hjelp av ulike figurer. Figuren nedenfor viser hvordan trekanttall konstrueres og illustreres. n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 (etc) La oss kalle det n-te trekanttallet for T n. Vi ser da at T n = T n-1 + n. Denne likheten er den rekursive definisjonen av et trekanttall. Vi kan også gi en eksplisitt definisjon av trekanttallene. Gjennom eksperimenter med uttrykket ovenfor, finner vi at ( + 1) n n Tn = n = 2 Dette uttrykket kan vi legge direkte inn i sequence editor. Vi bruker den såkalte eksplisitte editoren. Derfor ser vi en E etter a n. Etter at uttrykket er lagt inn, må vi trykke [EXE] for at ClassPad 300 skal lagre uttrykket. [Sequence Table Input] knappen gir oss en dialogboks hvor vi kan bestemme antall ledd som skal regnes ut. 141

10 Her har ClassPad 300 beregnet og skrevet ut de 20 første trekanttallene. Vi skal nå vise hvordan vi kan benytte den rekursive definisjonen T n = T n-1 + n for å skrive ut trekanttall. Når vi legger inn en rekursiv tallfølge har vi muligheten til å velge tidligere elementer i tallfølgen fra menyen. Vi bør imidlertid legge merke til følgende: Siden uttrykket er på formen a n = a n-1 + n, så får vi at a n+1 = a n + (n + 1). Dette blir det korrekte uttrykket å legge inn. Ved hjelp av ClassPad 300 kan vi finne det eksplisitte uttrykket dersom vi kjenner den rekursive formelen. Velg og fortsett med [Sequence RUN] [Calc] [rsolve]. Bruk knappene [n, a n ] og [a 0, a 1 ] øverst på skjermen for å legge inn uttrykket. Etter at vi trykker [EXE] får vi svaret.. 142

11 Dette svaret er det samme som det eksplisitte uttrykket selv om det ikke har nøyaktig samme form. Ved å bruke Simplify i Main-applikasjonen, får vi samme uttrykk som på forgående side. Utforskninger Trekanttallene er de første i en serie av planfigurative tall. Vi har: Kvadrattall: 1, 4, 9, 16, 25, Pentagonale tall: 1, 5, 12, 22, 35, Heksagonale tall: 1, 6, 15, 28, 45, Heptagonale tall: 1, 7, 17, 34, 55, Oktogonale tall: 1, 8, 21, 40, 65, 96,.. Konstruer figurene til de ulike figurtallene som er nevnt ovenfor. Forsøk å finne både eksplisitte uttrykk og rekursive formler for disse tallene. Bruk ClassPad 300 i utforskningene Det finnes også tredimensjonale figurtall, for eksempel pyramidetall. Studér disse ved hjelp av ClassPad