STATISTIKK FRA A TIL Å

Transkript

1 STATISTIKK FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I KLASSE EMNER Side 1 Innledning til statistikk S Grunnleggende om statistikk S Statistisk analyse S Gjennomsnitt S Å regne ut gjennomsnittet S Variasjonsbredde S Median S Typetall S - 13

2 Innledning til statistikk 1 INNLEDNING TIL STATISTIKK Statistikk omgir oss på alle kanter. Det er en viktig del av informasjonsflommen som møter oss i det daglige. På nyheter, i reklame og i TV-debatter. Det føres statistikk innenfor alle samfunnsområder og av alle foreninger og organisasjoner. De er ikke grenser for hva man har av statistisk materiale innenfor handel, politikk og ikke minst idrett. Mange mener at statistikk kun brukes til å føre folk bak lyset, for å villede og jukse. «Det er tre former for løgn. Hvit løgn, svart løgn og statistikk» skal Mark Twain ha uttalt i en sammenheng. Vel ingen debattant trekker frem statistikk som kan bidra til å svekke hans egne argumenter. Samtidig er det vel ofte slik at data som kan hentes ut av statistisk materiale kan brukes på flere måter. Poenget er å kunne lese statistikk. Vi finner statistikk i form av tabeller, diagrammer og andre grafiske fremstillinger. Det er viktig å kunne finne frem riktige statistiske data og å kunne forstå hvilken informasjon de faktisk gir og hvordan de skal tolkes. På barnetrinnet i grunnskolen begynner man å lære om statistikk og data allerede i første klasse. Først og fremst innsamling av data (informasjon), føring av data inn i tabeller og presentasjon av data i form av diagrammer. På skolen lærer elevene også enkle analyseverktøy som f.eks. å finne gjennomsnitt, typetall og median. Innsamling, lagring og presentasjon av data er presentert i et eget kapittel, «Data, tabeller og diagrammer». Dette kapitlet vil handle om de analyseverktøyene elevene lærer om i grunnskolen, fra klassetrinn og oppover. Nært beslektet med data og statistikk er sannsynlighet og kombinatorikk. Det behandles i et eget kapittel. S - 2

3 2 GRUNNLEGGENDE OM STATISTIKK Statistikk er et eget fag, som på høyt nivå er svært omfattende og som krever gode kunnskaper både i matematikk og flere andre fagområder. I barneskolen er man stort sett opptatt av de helt grunnleggende tingene, med tanke på to ting: Grunnleggende om statistikk 1. Elevene skal forstå hvordan man skal hente ut data av enkel statistisk materiale. 2. Elevene skal selv kunne presentere statistiske data Den beste måte å lære å presentere egen informasjon på i form av statistikk, er å lære å samle inn data til eget bruk. Dette er forklart i kapitlet «Data, tabeller og diagrammer» Når det gjelder å forstå statistikk, gjelder det ikke bare å lese data rett ut av en tabell eller et søylediagram. Det er viktig at man også klarer å analysere den informasjonen man finner. Hensiktsmessige analyseverktøy kan gi bredere kunnskap, og bidra til å få bedre oversikt over grunnlaget for statistikk, og gi erfaring i å både forstå statistikken bedre, men også til å være i stand til å finne mangler og svakheter i det statistiske materiale. 3 STATISTISK ANALYSE De verktøyene elevene lærer opp til 7. klassetrinn er å finne gjennomsnitt og variasjonsbredde, og å finne median og typetall. Mye av dette er spesielle ord og uttrykk. Statistikkfaget er fullt av slike ord. De vil bli forklart i tur og orden. Statistisk analyse Vi begynner med det mest vanlige, nemlig gjennomsnitt: S - 3

4 Gjennomsnitt 3.1 Gjennomsnitt Tenk deg at du skal bake boller til et selskap. Det vil være ti gjester. Noen spiser lite, andre spiser mye. Så hvor mange boller skal du bake? Tja, det vil avhenge av mange ting. Skal du bare servere boller, eller skal det også serveres noe annet, flere kaker, kanskje? Hvor glad er gjestene i boller? En ting er i hvert fall sikkert alle de ti gjestene spiser ikke like mange boller. Så du må ta en sjanse. Du må beregne et bestemt antall på hver. La oss si at du regner 3 boller på hver. Da må du altså bake 30 boller. 3 boller på hver vil være et gjennomsnitt. Trine spiser kanskje bare én, mens Petter kanskje spiser fem. Det er ikke så viktig for deg akkurat der du står foran bakebordet. Det viktige er at du bestemmer deg for et gjennomsnitt som gir deg nok boller å servere. Så hva er egentlig et gjennomsnitt? Noen kaller gjennomsnitt også en middelverdi, altså en verdi som befinner seg midt imellom de virkelige verdiene. La oss se på Petter og Trine. Boller Petter Trine Gjennomsnittet vil værer middelverdien av disse to verdiene: Når Petter spiser 5 og Trine spiser 1 bolle, vil tallet midt imellom 1 og 5 være 3. Vi kan si at hvis Petter spiser 2boller færre og Trine spiser 2 boller mer, vil de spise 3 boller hver. Vi kan vise det i diagrammet slik: S - 4

5 Boller Petter Trine Så, dersom du bare skulle ha disse to gjestene, ville 3 boller til hver være akkurat passe. I et så lite utvalg, bare to tall, er det greit å finne gjennomsnittet. Men hvis utvalget er større trenger vi en teknikk for å kunne regne oss frem til gjennomsnittet. For lettere å forstå denne regneteknikken tar vi utgangspunkt i det enkle eksemplet. Vi skal finne gjennomsnittet av 1 og 5. UTVALG: De tallene som det statistiske materialet består av Å regne ut gjennomsnittet La oss først se på diagrammet igjen: Å regne ut gjennomsnitt Boller Petter Trine S - 5

6 Boller Hvis vi legger sammen de to søylene til bare én søyle, får vi: Petter og Trine Vi ser at de to til sammen spiser 6 boller. Og siden de er bare to personer som til sammen spiser 6 boller, blir det 3 boller på hver. Dette gir oss følgende regnestykke: Eksempel 1: 5 boller + 1 bolle = 6 boller 6 boller delt på 2 = 3 boller. Hva er det vi har gjort her? Jo, vi legger sammen de aktuelle verdiene (5 + 1), og deretter deler vi på 2, fordi det var to verdier. La oss sette inn to gjester til, og sjekke om vi kan bruke denne fremgangsmåte da også: Vi tar med Johan og Sølvi også. Johan spiser 4 boller og Sølvi spiser bare en. Da får vi dette søylediagrammet: S - 6

7 Boller Petter Trine Johan Sølvi Nå setter vi de fire søylene oppå hverandre: Boller Til sammen Vi vet at Petter og Trine spiser 6 boller til sammen. Johan og Sølvi spiser til sammen 5 boller. De fire spiser altså 11 boller til sammen. Når vi regner det ut får vi: Eksempel 2: 5 boller + 1 bolle + 4 boller + 1 bolle = 11 boller 11 boller : 4 = 2,75 boller S - 7

8 I eksempel 2 delte vi på 4, fordi vi hadde lagt sammen 4 tall. Vi ser at gjennomsnittet ble litt lavere (2,75 i stedet for 3). Det er jo naturlig, siden de to siste spiser litt færre boller enn de to første. Regelen blir altså: REGEL Vi finner gjennomsnittet ved å legge sammen tallene som finnes i utvalget, og dele på antallet som utvalget består av. La oss nå se på hvordan det blir å regne ut gjennomsnittet av hva alle gjestene dine spiser av boller: Petter Trine Johan Sølvi Tor Aud Kåre Ida Per Eva Vi legger først sammen alle tallene i utvalget: Eksempel 3a: = 27 Så deler vi på 10, fordi det er 10 tall i utvalget: Eksempel 3b: 27 : 10 = 2,7 Og da ser vi at gjennomsnittet blir 2,7. S - 8

9 3.2 Variasjonsbredde Når man skal vurdere et statistisk materiale er variasjonsbredden en av de enkle, og viktige, analyseverktøyene. Variasjonsbredden er kort fortalt differansen, eller forskjellen på den største og minste verdien i et utvalg. VARIASJONSBREDDE: Differansen mellom den største og minste verdien i et utvalg. Variasjonsbredde Ser vi på utvalget vi hadde av de bollespisende gjestene, ser vi at den minste verdien var 1 og den største verdien var 4. Da blir variasjonsbredden: Eksempel 4: 4 1 = 3 I forhold til tallmaterialet vårt, er en slik variasjonsbredde grei nok. Den viser at gjennomsnittsverdien kan fungere som et uttrykk for hvor mange boller gjestene spiser i gjennomsnitt. Det må være en sammenheng mellom tallmaterialet, antall data i utvalget, gjennomsnittet og variasjonsbredden. Et eksempel vil vise det. Sett at gjennomsnittsalderen i en familie er 35 år. Ved første øyekast kan det se ut som at det er flest voksne i en slik familie. Men se nå på disse 4 familiene, alle med gjennomsnittsalderen 35 år: S - 9

10 Familie 1 Familie 2 Familie 3 Familie 4 Mor Far Sønn Sønn Datter Datter 2 Bestefar Bestemor 68 Gjennomsnitt Det blir jo nesten meningsløst å snakke om noen gjennomsnittsalder i familie 4. La oss finne variasjonsbredden i disse utvalgene, og sammenligne med gjennomsnittet: Familie 1 Familie 2 Familie 3 Familie 4 Eldst Yngst Variasjonsbredde Gjennomsnitt Da ser vi at variasjonsbredden er omtrent like stor i familie 2 som i familie 4. Men det er ikke like lett å oppdage, fordi utvalget er større. For at gjennomsnittet skal ha noen mening, bør variasjonsbredden ikke skille seg så veldig fra gjennomsnittet. Jo større avstand, jo mindre betydning får gjennomsnittet. Vi ser også at antallet i et utvalg har betydning for at gjennomsnittsberegning skal gi noen mening. S - 10

11 Median 3.3 Median Medianen kan også fortelle oss noe om hvor god gjennomsnittsberegningen er. For å finne medianen må vi ordne tallene i utvalget i stigende rekkefølge. Medianen blir det tallet som står i midten på denne tallrekken. MEDIAN: Det midterste tallet i et utvalg der tallene er ordnet i stigende rekkefølge. La oss ta et par eksempler: Se på familie 2. Der er alderen på familiemedlemmene: Eksempel 5a: Når vi ordner disse tallene i stigende rekkefølge får vi: Eksempel 5b: Vi finner medianen som det midterste tallet i denne tallrekken: Eksempel 5c: Median S - 11

12 Vi ser at medianen er temmelig lik gjennomsnittstallet, noe som kan fortelle oss at gjennomsnittet treffer ganske godt. Ofte vil antall tall i et utvalg være et partall. Da blir det to tall i midten på tallrekken. I slike tilfeller må vi finne gjennomsnittet mellom de to midterste tallene: I det bollespisende selskapet hadde vi følgende tall: Petter Trine Johan Sølvi Tor Aud Kåre Ida Per Eva Hvis vi ordner disse tallene i stigende rekkefølge får vi: Eksempel 6a: Det er ti tall i tallrekken. De to midterste er 2 og 3. Hvis vi ordner disse tallene i stigende rekkefølge får vi: Eksempel 6b: Median For å finne medianen, må vi altså finne gjennomsnittet mellom 2 og 3. Vi legger de to tallene sammen og deler på 2: Eksempel 6c: Median = = = 2,5 2 2 S - 12

13 3.4 Typetall Typetall Med typetall mener vi det mest typiske tallet. Altså det tallet som forekommer flest ganger i et utvalg. TYPETALL: Det tallet i et utvalg som forekommer flest ganger. Det er ikke alltid at det er noe typetall. I de fire familiene forekommer alle tallene bare en gang. Men når det gjelder de ti som spiste boller finner vi: Petter Trine Johan Sølvi Tor Aud Kåre Ida Per Eva Her ser vi at: Tallet 1 forekommer 2 ganger Tallet 2 forekommer 3 ganger Tallet 3 forekommer 3 ganger Tallet 4 forekommer 2 ganger Tallet 5 forekommer 1 gang Her er det altså 2 som er typetall, fordi det forekommer flest ganger. S - 13