Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Transkript

1 Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe x dx = eu du = eu = e9 e b) Vi skal regne ut x cos x dx. Bruker delvis integrasjon med u = x og v = cos x. Da er u =, v = sin x, og vi får: x cos x dx = x sin x sin x dx = x sin x + cos x + C c) Det uegentlige integralet denne grenseverdien finnes. x(x+) dx er lik lim b b Vi ser derfor først på integralet b x(x+) dx dersom x(x+) Substituerer vi u = x, får vi x = u og dermed dx = u du. Grensene er gitt ved u() = = og u(b) = b. Dermed har vi = b b b u dx = x(x + ) u(u + ) du = (u + ) du = [ arctan u] b = arctan( b) π der vi har brukt at arctan = π. Dette gir b dx = lim x(x + ) b ) ( = lim arctan( b) π b x(x + ) dx = = π π = π Oppgave : Formelen for volumet til et omdreiningslegeme om y-aksen (se Kalkulus 8.6.5) forteller oss at volumet vårt er gitt ved V = π x arcsin x dx. Integralet x arcsin x dx kan naturlig angripes både ved delvis integrasjon og substitusjon. Begge deler fører til mål, men de fleste vil nok synes at vi får penest regninger om vi substituerer u = arcsin x. Da er x = sin u og dx = cos u du. De nye grensene er gitt ved u() = arcsin = og u() = arcsin = π. Dermed er x arcsin x dx = π sin u u cos u du = π u sin u cos u du For å komme videre må vi bruke delvis integrasjon, men regningene blir enklere om vi først observerer at sin u cos u = sin u (husk formelen for sinus til det dobbelte av en vinkel). Dermed har vi π u sin u du dx.

2 Bruker vi nå delvis integrasjon med U = u og V = sin u, får vi U = og V = cos u. Dette gir [ u cos u ] π π + [ ] π π 8 + sin u 8 Vi går tilbake til formelen for volumet og finner Oppgave : V = π cos u du = = π 8 + = π 8 x arcsin x dx = π π 8 = π a) Vi skal dele P (x) = x + x + x + 7x + på Q(x) = x + x + 6x +. Bruker vi polynomdivisjon, får vi: Dette betyr at x + x + x + 7x + : x + x + 6x + = x + (x + x + 6x + x) x + 6x + x + (x + x + 6x + ) x + 7x + x + x + x + 7x + x + x + 6x + = x + + x + 7x + x + x + 6x + b) For å vise at er en rot i polynomet Q(x), setter vi inn: O( ) = ( ) + ( ) + 6( ) + = = Dette betyr at x ( ) = x + er en faktor i Q(x). For å finne faktoriseringen til Q(x) deler vi derfor Q(x) på x + : x + x + 6x + : x + = x + x + (x + x ) x + 6x + (x + x) x + (x + ) Altså er x + x + 6x + = (x + )(x + x + )

3 Vi bruker løsningsformelen for annengradsligninger til å faktorisere x + x +. Annengradsligningen x + x + = har røttene: x = ± = ± = ± = ± i Dette betyr at (x + x + ) = (x ( + i ))(x ( i )) = (x + i )(x + + i ). Siden røttene i annengradsligningene er komplekse, ser vi at den reelle faktoriseringen til Q(x) er mens den komplekse faktoriseringen er c) Vi skal beregne Q(x) = (x + )(x + x + ) Q(x) = (x + )(x + i )(x + + i ) x + x + x + 7x + x + x dx + 6x + Fra punkt a) ser vi at (x + + x + 7x + x + x + 6x + ) dx = = x + x + x + 7x + x + x + 6x + dx For å beregne det gjenstående integralet x + 7x + I = x + x + 6x + dx bruker vi delbrøkoppspalting. Vi vet fra b) at x + x + 6x + = (x + )(x + x + ), så oppsettet blir x + 7x + x + x + 6x + = A x + + Bx + C x + x + Ganger vi med fellesnevneren x + x + 6x + = (x + )(x + x + ), får vi: x + 7x + = A(x + x + ) + (Bx + C)(x + ) = = (A + B)x + (A + B + C)x + (A + C) Sammenligner vi koeffisientene på venstre og høyre side, ser vi at vi må ha: A + B = A + B + C = 7 A + C = Fra den første ligningen får vi B = A og fra den siste får vi C = A. Setter vi dette inn i den midterste, får vi A + ( A) + ( A) = 7 som gir A =. Dermed er B = A = = og C = A = =. Delbrøkoppspaltingen blir dermed x + 7x + x + x + 6x + = x + + x + x + x +

4 Vi har altså I = ( x + + x + x ) dx = ln(x + ) + + x + For å løse det gjenstående integralet x + I = x + x + dx x + x + x + dx regner vi først ut den deriverte til nevneren N(x) = x + x +. Vi får N (x) = x +. Vi smugler nå N (x) inn i telleren: x + I = x + x + dx = x + x + x + dx = = (x + ) + x + x + dx = x + x + x + dx + x + x + dx I det første integralet setter vi nå u = x + x + og får du = (x + ) dx. Dermed er I = x + x + x + dx + x + x + dx = = du u + x + x + dx = ln u + x + x + dx = = ln(x + x + ) + x + x + dx Det gjenstår å regne ut: I = x + x + dx Gjør vi kvadratet i nevneren fullstendig, får vi x + x + = x + x + + = (x + ) +. Dermed er I = (x + ) + dx = (x+) + dx = ( x+ ) + dx Vi setter u = x+, og får du = dx. Dette gir I = u + du = arctan u + C = arctan x + + C Setter vi nå sammen alle bitene, får vi: x + x + ln(x + ) + ln(x + x + ) + arctan x + + C Oppgave : a) Vi skal regne ut sin x cos x dx. Her er sin x opphøyd i en odde potens, så vi bruker identiteten sin x = cos x til å kvitte oss med alle forekomster av sin x bortsett fra én: ( cos x) sin x cos x dx = (cos x cos x) sin x dx

5 Vi setter u = cos x og får du = sin x dx. Dermed er (u u ) du = u5 5 u + C = cos5 x cos x + C 5 b) I integralet cos x dx er alle potenser like. Vi må derfor skrive om ved hjelp av den velkjente formelen cos x = cos x som også kan skrives cos +cos x x =. Innsatt i integralet gir dette: ( ) + cos x dx = ( + cos x + cos x) dx = = x + sin x + cos x dx For å løse det gjenstående integralet I = cos x dx bruker vi det samme trikset på nytt. Vi skriver cos +cos x x = og får: + cos x I = dx = x sin x + + C 8 Samler vi våre resultater, får vi x + sin x + I = x + sin x + ( ) x sin x + + C = 8 = x 8 + sin x + sin x + C Oppgave 5: a) Det enkleste er å bruke cosinussetningen som sier at i en trekant med sider a, b og c er c = a + b ab cos C der C er den motstående vinkelen til siden c (se figuren). B c a 6 A b C I vårt tilfelle er a =, b = 5 og C = 8 6 =. Dermed er c = cos = ( ) = 9 Avstanden mellom skipene er altså 7 nautiske mil. Husker man ikke cosinussetningen, kan man resonnere geometrisk (dette er egentlig å gjennomføre beviset for cosinussetningen!): 5

6 B 6 A C D På figuren ovenfor er CD = CB cos 6 = cos 6 = og DB = CB sin 6 = sin 6 =. Bruker vi Pythagoras på trekanten ADB, får vi dermed AB = (5 + ) + ( ) = = 96 = 9 Altså er AB = 7. b) La x = x(t) være avstanden fra skipet A til punktet C ved et (generelt) tidspunkt t, la y = y(t) være avstanden fra skipet B til punktet C ved det samme tidspunktet, og la z = z(t) være avstanden mellom skipene ved dette tidspunktet (se figuren nedenfor): B z y 6 A x C Ved å resonnere på samme måte som i punkt a), ser vi at z = x + xy + y (Bruker du cosinussetningen, ser du dette slik: z = x + y xy cos = x + y xy( ) = x + xy + y ). Deriverer vi dette uttrykket mhp. t, får vi (husk kjerneregel og produktregel): Vi løser for z : zz = xx + x y + xy + yy z = xx + x y + xy + yy z I den situasjonen vi er interessert i, er x = 5, y = og ifølge punkt a) z = 7. Videre er x = (fortegnet er negativt siden skip A nærmer seg punkt C og avstanden derfor avtar) og y =. Dermed er z = 5 ( ) + ( ) = 9 Dette betyr at avstanden endrer seg med en fart på 9 nautiske mil i timen, og at den avtar (siden z er negativ). 6