Matematikk R1 Oversikt

Transkript

1 Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014

2 I. ALGEBRA

3 ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac = 0 (iii) 2 løsninger hvis b 2 4ac > 0.

4 2 LØSNINGER x**2+2*x b 2 4ac = ( 1) = 8 > 0

5 1 LØSNING x**2+2*x b 2 4ac = = 0

6 0 LØSNINGER x**2+2*x b 2 4ac = = 8 < 0

7 NULLPUNKTER OG FAKTORISERING Hvis p(a) = 0 så er x = a en faktor i p(x): p(x) = (x a)q(x), der q(x) er et polynom. For annengradspolynomer: Ingen nullpunkt Ingen faktorisering Ett nullpunkt x = x 1 ax 2 + bx + c = a(x x 1 ) 2. To nullpunkt x = x 1, x = x 2 ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) Nullpunktene finner vi ved annengradsformelen.

8 FAKTORISERING AV TREDJEGRADSPOLYNOM p(x) (i) Få tak i et nullpunkt x = x 1. (på en eller annen måte, f.eks. ved å gjette) (ii) Finn annengradspolynom q(x) slik at p(x) = (x x 1 )q(x) (Polynomdivisjon) (iii) Finn eventuelle nullpunkter for q(x). (0,1,2, ved annengradsformelen) (iv) Sett opp faktorisering: ax 3 + bx 2 + cx + d = a(x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) ax 3 + bx 2 + cx + d = a(x x 1 )(x x 2 ) 2 ax 3 + bx 2 + cx + d = a(x x 1 )p(x) OBS: 1, 2 eller 3 nullpunkter 1, 2, 3 faktorer.

9 HVORFOR FAKTORISERE? For å løse ulikheter x 3 + 2x 2 > 0, ved hjelp av fortegnsskjema. x 2x 2 3x Hvorfor løse ulikheter? Kurvedrøfting og optimalisering (i funksjonslære). Forenkling av rasjonale uttrykk uttrykk x 2 2x + 1 x 2 1 = (x 1) 2 (x 1)(x + 1) = x 1 x + 1

10 KURVEDRØFTING MONOTONIEGENSKAPER f(x) = x 3 6x 2 + 9x 2. Vi deriverer og faktoriserer f (x) = 3x 2 12x + 9 = 3(x 2 4x + 3) = 3(x 1)(x 3) Dette gir følgende fortegnsskjema 3 x 1 x 3 f (x) f(x) 1 3 T.P B.P x Her kan vi lese av monotoniegenskapene: Hvor vokser funksjonen? Hvor avtar funksjonen?

11 KRUMNINGSEGENSKAPENE Vi deriverer f (x) og får f (x) = 6x 12 = 6(x 2) Dette gir følgende fortegnsskjema: 6 x 2 f (x) f(x) 2 V.P x funksjonen er konkav for x < 2 konveks for x > 2. x = 2 er et vendepunkt.

12 II. DERIVASJON

13 DEN DERIVERTE OG TANGENTLINJEN Funksjonverdien til den deriverte f (x) i x = a representerer stigningstallet til tangentlinjen i punktet (a, f(a)). 8 6 x**2+2*x 2*x (Husk: Ettpunktsformelen.) Den deriverte forteller oss hvor bratt kurven er.

14 DEN ANNENDERIVERTE OG KRUMNING f (x) = (f (x)), altså den deriverte av den deriverte. Den annederiverte forteller oss hvordan brattheten endrer seg. Funksjonsverdien til den annenderiverte f (x) forteller oss om grafen krummer oppover eller krummer nedover.

15 VERKTØYKASSE FOR DERIVASJON: Leddvis derivasjon: (af(x) + bg(x)) = af (x) + bg (x). Produktregelen: (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x). Kvotientregelen: ( ) f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) (g(x)) 2 Kjerneregelen: (g(u(x)) = g (u(x)) u (x)

16 III. GEOMETRI

17 FORMLIKHET ABC A B C betyr: AB/A B = BC/B C = CA/C A. A = A B = B C = C BC/B C = AC/A C Hovedpoeng: Disse tre formuleringene er likeverdige. Vi kan gå frem og tilbake mellom de ulike formuleringene.

18 KONGRUENS ABC = A B C betyr: AB/A B = BC/B C = CA/C A = 1. A = A B = B og AB = A B C = C BC/B C = AC/A C = 1 Hovedpoeng: Disse tre formuleringene er likeverdige. Vi kan gå frem og tilbake mellom de ulike formuleringene.

19 PARALLELLITET a α = b β = To linjer er parallelle dersom samsvarende vinkler er like store.

20 IV. VEKTORGEOMETRI

21 GEOMETRISK FORSTÅELSE Vektoren AB representerer forflytningen fra A til B. AB + BC = AC Å addere vektorer er det samme som å sette sammen forflytninger. Vektorer hører ikke til i faste punkter: Hvis ABCD er et parallellogram, så er AB = DC.

22 ALGEBRAISK FORSTÅELSE: KOORDINATER Vi kan innføre koordinater. Basis: e 1, e 2. v = x e 1 + y e 2 = [x, y]. Addisjon av vektorer = Komponentvis addisjon Andre komponentvise operasjoner: subtraksjon. multiplikasjon med skalar (vanlig tall)

23 KOORDINATER FOR PUNKTER Origo: Et fritt valgt punkt i planet, vanligvis betegnet med O. Nå kan vi definere koorinatene til et punkt innenfor referansesystemet definert av basisvektorene e 1, e 2 og punktet O. Hvis OA = [x, y], så sier vi at A har koordinatene (x, y). Hvis A har koordinater (3, 2) og AB = [2, 3], så er OB = OA + AB = [3, 2] + [2, 3] = [5, 5] Følgelig har B koordinater (5, 5).

24 LENGDE OG AVSTAND Lengde av vektor: [x, y] = x 2 + y 2. (jfr. Pythagoras) Forflytning mellom punkter: A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ) AB = [x 2 x 1, y 2 y 1 ] Avstanden mellom A og B er dermed d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Vi kan nå glemme Pythagoras, siden han er innbakt i formelapparatet vårt. Men, det er dog Pythagoras.

25 SKALARPRODUKT Geometrisk: AB AC = AB AC cos ( BAC) Algebraisk: [x 1, y 1 ] [x 2, y 2 ] = x 1 x 2 + y 1 y 2. Hvis vi kjenner koordinatene til A, B, C, kan vi regne ut vinkelen BAC ved cos ( BAC) = AB AC AB AC

26 HVA VI IKKE HAR SNAKKET OM I DAG Algebraisk fremstilling av geometriske figurer Sirkelligningen: (x 2) 2 + (y + 1) 2 = 9 Ligning for linje:r 3x + 2y = 5 Parameterfremstilling: x(t) = 2t + 3, y(t) = 3t 1 Vektorfunksjoner, komponentvis derivasjon. Logaritmeregning (Kapittel 2) Sannsynlighetsregning (Kapittel 3) Grenseverdier, kontinuitet og asymptoter (Kap )

27 HVA VI HELLER IKKE HAR SNAKKET OM Ferdigheten det er å løse problemer ved å kombinere alt dette.