Mer om likninger og ulikheter

Transkript

1 Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere grad sette opp fortegnsskjema for polynomer og rasjonale uttrykk løse irrasjonale likninger

2 5.1 Polynomdivisjon Uttrykket P(x) = 2x 3 6x 2 2x + 48 er et eksempel på et polynom. Uttrykket er av tredje grad. Vi sier derfor at P(x) er et tredjegradspolynom. Tallene 2, 6, 2 og 48 kaller vi koeffisientene i polynomet. Tallet 2 kaller vi tredjegradskoeffisienten, tallet 6 er andregradskoeffisienten, 2 er førstegradskoeffisienten, og tallet 48 er konstantleddet. Vi multipliserer uttrykket (2x 4)(x + 4) og får (2x 4)(x + 4) = 2x 2 + 8x 4x 16 = 2x 2 + 4x 16 Dermed er 2x 2 + 4x 16 = (2x 4)(x + 4) Da er 2x 2 + 4x 16 = (2x 4)(x + 4) = 2x 4 x + 4 (x + 4) I stedet for brøkstrek bruker vi ofte divisjonstegn. Med den skrivemåten blir (2x 2 + 4x 16) : (x + 4) = 2x 4 Vi skal nå lære å dividere to polynomer uten å faktorisere først. Metoden likner på den vi bruker når vi dividerer tall. ➊ ➍ (2x 2 + 4x 16) : (x + 4) = 2x 4 ➋ 2x 2 + 8x ➌ 4x 16 ➎ 4x 16 ➏ Her er en forklaring av de seks punktene ovenfor: ➊ Vi må multiplisere x med 2x for å få 2x 2. ➋ Vi regner ut (x + 4) 2x og får 2x 2 + 8x. ➌ Vi regner ut (2x 2 + 4x) (2x 2 + 8x) og får 4x. Deretter flytter vi ned leddet 16. ➍ Vi multipliserer x med 4 for å få 4x. ➎ Vi regner ut (x + 4) ( 4) og får 4x 16. ➏ Til slutt regner vi ut ( 4x 16) ( 4x 16) og får resten, som her blir. Vi kan dividere et tredjegradspolynom med et polynom av første grad på tilsvarende måte. 146 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

3 Utfør divisjonen. (2x 3 6x 2 2x + 48) : (2x 4) (2x 3 6x 2 2x + 48) : (2x 4) = x 2 x 12 2x 3 4x 2 2x 2 2x 2x 2 + 4x 24x x + 48 Begge divisjonene foran gav resten. I slike tilfeller sier vi at divisjonen går opp. Men det er mange divisjoner som ikke går opp. Vi utfører divisjonen (4x 2 2x + 1) : (2x 2). (4x 2 2x + 1) : (2x 2) = 2x + 1 4x 2 4x 2x + 1 2x 2 3 Her fikk vi resten 3. Dermed står vi igjen med 3 : (2x 2), som er det 3 samme som. Divisjonen gir da dette svaret: 2x 2 (4x 2 3 2x + 1) : (2x 2) = 2x x 2 Dette kan vi kontrollere ved multiplikasjon. 3 ( 2x x 2 ) (2x 2) = (2x + 1) (2x 2) + (2x 2) (2x 2) = 4x 2 4x + 2x = 4x 2 2x + 1 Utfør divisjonen. (x 3 4x 2 8x + 13) : (x 1) 147

4 (x 3 4x 2 8x + 13) : (x 1) = x 2 3x 11 + x 3 x 2 3x 2 8x 3x 2 + 3x 11x x x 1? Oppgave 5.1 Utfør polynomdivisjonene. a) (x 2 5x + 4) : (x 1) b) (2x 2 4x + 2) : (x 3) c) (3x 2 + 5x 2) : (3x 1) d) (2x 2 + 4x + 3) : (4x + 2) Oppgave 5.11 Utfør polynomdivisjonene. a) (x 3 + x 2 5x + 3) : (x 1) b) (x 3 + x 2 5x + 3) : (x + 2) c) (8x 3 4x 2 16x 6) : (2x 5) d) (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) : (x 1) Vi kan også dividere med polynomer av andre grad eller høyere. Utfør divisjonen. (2x 3 x 2 4x 4) : (2x 2 + 3x + 2) (2x 3 x 2 4x 4) : (2x 2 + 3x + 2) = x 2 2x 3 + 3x 2 + 2x 4x 2 6x 4 4x 2 6x Før vi gjør en slik divisjon, må vi ordne polynomene slik at ledd med høy grad står først. Det kan også lønne seg å sette inn ledd med koeffisient der det mangler ledd. Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

5 Når graden til resten er lavere enn graden til det polynomet vi dividerer med, avslutter vi divisjonen som vist i eksempelet nedenfor. Utfør divisjonen (4x 3 2x 2 + 3) : (2 x 2 ) Vi ordner uttrykkene, setter inn ledd med koeffisient og utfører divisjonen. (4x 3 2x 2 + x + 3) : ( x 2 + x + 2) = 4x x 1 2 x 4x 3 + x 2 8x 2 2x 2 + 8x + 3 2x 2 + x + 4 8x 1 Når vi dividerer et polynom P(x) med et polynom Q(x), får vi en rest med lavere grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradspolynom, blir resten et tall.? Oppgave 5.12 Utfør polynomdivisjonene. a) (2x 3 + 3x 2 + 2x 1) : (x 2 + x 1) b) (2x 4 + 5x 3 x 2 6x) : (2x 2 + x 3) c) (x 3 + 3x 2 2x 6) : (x 2 2) d) (x 3 + x 2) : (x + 3) e) (2x 4 + 5x 2 + 2) : (2x + 1) f) (4x 4 + 3x 3 + x) : (x 2 1) Oppgave 5.13 Utfør polynomdivisjonen P(x) : (x 2) og finn resten r. Regn deretter ut P(2). Hva ser du? a) P(x) = x 2 + 4x + 3 b) P(x) = x 3 3x 2 + 2x + 3 c) P(x) = x 3 + 2x 2 6x 4 149

6 5.2 Resten ved en polynomdivisjon Når vi dividerer P(x) = x 2 + x 1 med x 2, får vi (x 2 + x 1) : (x 2) = x x 2 2x 3x 1 3x 6 5 Vi finner at resten r = 5. 5 x 2 Uttrykket x 2 har nullpunktet x = 2. Når vi regner ut P(2), får vi P(2) = = 5 Vi ser at P(2) er lik resten etter divisjon med (x 2). I slutten av delkapittelet viser vi at dette er en generell regel. Når vi dividerer polynomet P(x) med (x x ), blir resten r = P(x ). a) Finn resten ved divisjonen (x 2 2x + 1) : (x 3) uten å utføre divisjonen. b) Kontroller dette ved å utføre divisjonen. a) Her er P(x) = x 2 2x + 1 og x = 3. Vi får r = P(3) = = 4 Resten blir 4. b) (x 2 2x + 1) : (x 3) = x x 2 3x x + 1 x 3 4 Vi ser at resten er 4. Det stemmer. 4 x 3 15 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

7 ? Oppgave 5.2 Finn resten uten å dividere. Kontroller svaret ved å utføre divisjonen. a) (x 2 2x + 3) : (x 1) b) (2x 2 + 5x 7) : (x 2) c) (x 3 2x 2 + x 2 ) : (x + 3) d) (2x 3 + 2x 2 3x 3) : (x + 1) Når vi dividerer et polynom P(x) med (x x ), vet vi at resten er P(x ). At en divisjon går opp, er det samme som å si at resten er. Det er det samme som at P(x ) =. La P(x) være et polynom. Divisjonen P(x) : (x x ) går opp hvis og bare hvis P(x ) =. Avgjør om divisjonen (x 3 2x 2 7x 4) : (x 4) går opp uten at du gjør divisjonen. Kontroller dette ved å utføre divisjonen. Her er P(x) = x 3 2x 2 7x 4 og x = 4. P(4) = = = Ettersom P(4) =, går divisjonen med (x 4) opp. Vi utfører divisjonen. (x 3 2x 2 7x 4) : (x 4) = x 2 + 2x + 1 x 3 4x 2 2x 2 7x 2x 2 8x x 4 x 4 Divisjonen går opp. 151

8 I eksempelet på forrige side fant vi ut at divisjonen med (x 4) måtte gå opp fordi P(4) =. Vi så at Dermed er (x 3 2x 2 7x 4) : (x 4) = x 2 + 2x + 1 (x 3 2x 2 7x 4) = (x 4) (x 2 + 2x + 1) Vi ser at (x 4) er en faktor i polynomet. Hvis P(x) er et polynom slik at P(x ) =, går divisjonen P(x) : (x x ) opp. Dermed fins det et polynom Q(x) slik at P(x) : (x x ) = Q(x). Da er P(x) = (x x ) Q(x), og (x x ) er en faktor i P(x). Og omvendt: Hvis (x x ) er en faktor i P(x), så fins det et polynom Q(x) slik at P(x) = (x x ) Q(x). Da er P(x ) = (x x ) Q(x ) = Q(x ) = Vi har vist denne regelen: La P(x) være et polynom. P(x) har faktoren (x x ) hvis og bare hvis P(x ) =. Finn ut om (x + 2) er en faktor i polynomet P(x). a) P(x) = 2x 2 + 3x 2 b) P(x) = x 3 + 3x 2 + 2x + 4 a) Ettersom (x + 2) = (x ( 2)), må vi undersøke om P( 2) =. P( 2) = 2 ( 2) ( 2) 2 = = (x + 2) er en faktor. b) P( 2) = ( 2) ( 2) ( 2) + 4 = = 4 Fordi P( 2), er (x + 2) ikke en faktor i P(x). 152 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

9 ? Oppgave 5.21 Avgjør om divisjonen går opp uten å utføre divisjonen. a) (x 2 + 2x 3) : (x 1) b) (x 3 3x 2 + 2x + 2) : (x + 2) c) (2x 3 + 4x 2 1x 12) : (x 2) d) (x 4 1x 2 + 8) : (x + 3) Oppgave 5.22 Avgjør om (x 2) er en faktor i P(x) uten å dividere. a) P(x) = 2x 2 + 4x 6 b) P(x) = 2x 2 + 6x 2 c) P(x) = x 3 3x 2 + 3x 2 d) P(x) = x 4 3x 3 + 4x + 1 Oppgave 5.23 Avgjør om (x 1) og om (x + 2) er faktorer i P(x) når a) P(x) = x 2 4x + 3 b) P(x) = x 3 + 2x 2 x 2 c) P(x) = 2x 3 3x 2 + 2x + 1 d) P(x) = x 4 2x 3 + 2x 2 + x 2 Oppgave 5.24 Bestem tallet a slik at divisjonen går opp. a) (x 2 + ax 2) : (x 2) b) (x 2 + 3x + a) : (x + 5) c) (x 3 + ax 2 + ax + 4) : (x + 2) d) (ax 2 + ax + 2) : (x + 1) e) (x 2 5x + 6) : (x a) Bevis for at divisjonen P(x) : (x x ) gir resten r = P(x ) La P(x) være et polynom. Når vi utfører divisjonen, finner vi et polynom Q(x) slik at P(x) : (x x ) = Q(x) + r x x der tallet r er resten. Det er det samme som at P(x) x x = Q(x) + r x x Når vi multipliserer med (x x ) på begge sidene av likhetstegnet, får vi P(x) = (x x ) Q(x) + r Her skal høyre og venstre side av likhetstegnet være like for alle verdier av x, spesielt for x = x. Dermed er P(x ) = (x x ) Q(x ) + r = Q(x ) + r = r Dermed har vi vist at resten r = P(x ). 153

10 5.3 Faktorisering av polynomer Å faktorisere et polynom vil si å skrive polynomet som et produkt av polynomer av lavere grad. I kapittel 4 lærte vi å faktorisere andregradspolynomer ved hjelp av nullpunktene. Vi brukte denne regelen: Dersom andregradsuttrykket ax 2 + bx + c har de to nullpunktene x = x 1 og x = x 2, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) (x x 2 ) Dersom andregradsuttrykket har ett nullpunkt x = x 1, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) 2 Hvis andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, er det ikke mulig å faktorisere uttrykket i førstegradsfaktorer. Når vi skal faktorisere et tredjegradsuttrykk, må vi kjenne en førstegradsfaktor. Vi utfører en polynomdivisjon og skriver tredjegradsuttrykket som et produkt av et førstegradsuttrykk og et andregradsuttrykk. Til slutt undersøker vi om vi kan faktorisere andregradsuttrykket. Et polynom er gitt ved P(x) = x 3 2x 2 x + 2 a) Vis at (x + 1) er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig. 154 a) Vi må undersøke om P( 1) =. P( 1) = ( 1) 3 2 ( 1) 2 ( 1) + 2 = = Dermed er (x + 1) en faktor. b) Nå vet vi at divisjonen P(x) : (x + 1) går opp. (x 3 2x 2 x + 2) : (x + 1) = x 2 3x + 2 x 3 + x 2 3x 2 x 3x 2 3x 2x + 2 2x + 2 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

11 Dermed er x 3 2x 2 x + 2 = (x + 1)(x 2 3x + 2) Det neste er å faktorisere uttrykket x 2 3x + 2 dersom det lar seg gjøre. Likningen x 2 3x + 2 = har løsningene x = 1 og x = 2. Dermed er x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2) Innsatt i uttrykket ovenfor gir det faktoriseringen x 3 2x 2 x + 2 = (x + 1)(x 1)(x 2) Et polynom er gitt ved P(x) = x 3 x 2 4x 6 a) Vis at P(3) =. b) Faktoriser P(x) mest mulig. a) Vi regner ut P(3). P(3) = = = b) Ettersom P(3) =, vet vi at divisjonen P(x) : (x 3) går opp. Vi utfører polynomdivisjonen og får (x 3 x 2 4x 6) : (x 3) = x 2 + 2x + 2 Dermed er x 3 x 2 4x 6 = (x 3)(x 2 + 2x + 2). Det neste er å faktorisere uttrykket x 2 + 2x + 2 om mulig. Vi løser derfor likningen x 2 + 2x + 2 = 2 ± 2 x = ± = Andregradslikningen har ingen nullpunkter, og vi kan derfor ikke faktorisere andregradsuttrykket. Den beste faktoriseringen av tredjegradsuttrykket er dermed x 3 x 2 4x 6 = (x 3)(x 2 + 2x + 2) 155

12 ? Oppgave 5.3 Et polynom er gitt ved P(x) = x 3 + 4x 2 + x 6. a) Vis at (x 1) er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig. Oppgave 5.31 Et polynom er gitt ved P(x) = 2x 3 + 2x 2 16x 24. a) Vis at P(3) =. b) Faktoriser P(x) mest mulig. Oppgave 5.32 Et polynom er gitt ved P(x) = x 3 2x 2 3x + 1 a) Vis at (x + 2) er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig. Oppgave 5.33 Et polynom er gitt ved P(x) = x 4 5x 3 + 5x 2 + 5x 6 a) Vis at (x 1) og (x 2) er faktorer. b) Faktoriser P(x) mest mulig. 5.4 Likninger og ulikheter av høyere grad Det fins en formel som vi kan bruke til å løse tredjegradslikninger. Den lærer vi ikke i dette kurset. En tredjegradslikning kan ha inntil tre løsninger. Vi må kjenne en av dem for å kunne finne de to andre. a) Vis at x = 2 er en løsning av tredjegradslikningen x 3 + 2x 2 5x 6 = b) Løs tredjegradslikningen. c) Løs ulikheten x 3 + 2x 2 5x 6 < 156 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

13 a) Vi setter Da er P(x) = x 3 + 2x 2 5x 6 P(2) = = = x = 2 er en løsning av likningen. b) Ettersom P(2) =, er (x 2) en faktor i P(x). Vi vet da at denne polynomdivisjonen går opp: (x 3 + 2x 2 5x 6) : (x 2) = x 2 + 4x + 3 x 3 2x 2 4x 2 5x 4x 2 8x 3x 6 3x 6 Dermed er x 3 + 2x 2 5x 6 = (x 2)(x 2 + 4x + 3) Nå kan vi løse tredjegradslikningen. x 3 + 2x 2 5x 6 = (x 2)(x 2 + 4x + 3) = Når produktet av to tall er, må et av tallene være null. Det gir x 2 = eller x 2 + 4x + 3 = 4 ± 4 x = 2 eller x = ± 4 x = 2 eller x = 2 x = 2 eller x = 4 ± 2 2 x = 2 eller x = 1 eller x = 3 Likningen har løsningene x = 3, x = 1 og x = 2. c) Faktorisering av x 2 + 4x + 3 gir x 2 + 4x + 3 = (x ( 3))(x ( 1)) = (x + 3)(x + 1) Dermed kan vi faktorisere tredjegradsuttrykket P(x). 157

14 P(x) = x 3 + 2x 2 5x 6 = (x 2)(x 2 + 4x + 3) = (x 2)(x + 3)(x + 1) Ulikheten løser vi nå ved å lage fortegnslinjer for faktorene x x 2 x + 3 x + 1 P(x) x 3 + 2x 2 5x 6 < når x < 3 og når 1 < x < 2 a) Vis at x = 2 er en løsning av tredjegradslikningen x 3 x 2 3x + 6 = b) Løs tredjegradslikningen. c) Løs ulikheten x 3 x 2 3x + 6 > a) Vi setter P(x) = x 3 x 2 3x + 6 Da er P( 2) = ( 2) 3 ( 2) 2 3 ( 2) + 6 = = x = 2 er en løsning av likningen. b) Ettersom P( 2) =, er (x + 2) en faktor i P(x). Denne polynomdivisjonen går opp: (x 3 x 2 3x + 6) : (x + 2) = x 2 3x + 3 x 3 + 2x 2 3x 2 3x 3x 2 6x 3x + 6 3x Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

15 Dermed er x 3 x 2 3x + 6 = (x + 2)(x 2 3x + 3) Nå løser vi tredjegradslikningen. x 3 x 2 3x + 6 = (x + 2)(x 2 3x + 3) = x + 2 = eller x 2 3x + 3 = x = 2 eller x = 3 ± x = 2 eller x = 3 ± Andregradslikningen har ingen løsning, derfor er x = 2 den eneste løsningen av tredjegradslikningen. Likningen har løsningen x = 2. c) Ettersom x 2 3x + 3 ikke har nullpunkter, er uttrykket enten positivt for alle x eller negativt for alle x. Uttrykket er 3 når x =, dermed må x 2 3x + 3 være positivt for alle verdier av x. Nå kan vi lage fortegnslinje for P(x) = x 3 x 2 3x + 6 = (x + 2)(x 2 3x + 3) x x + 2 x 2 3x + 3 P(x) x 3 x 2 3x + 6 > når x > 2? Oppgave 5.4 a) Vis at x = 1 er en løsning av likningen x 3 4x 2 + x + 6 = b) Finn alle løsningene av likningen. c) Løs ulikheten x 3 4x 2 + x + 6 > 159

16 ? Oppgave 5.41 Polynomfunksjonen P er gitt ved P(x) = x 3 + 2x 2 3x 1 a) Vis at x 2 er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig. c) Finn nullpunktene til P ved regning. d) Finn ut ved regning for hvilke verdier av x grafen til P ligger under x-aksen. Oppgave 5.42 a) Bestem tallet a slik at x = 2 blir en løsning av likningen x 3 2x 2 + ax + 8 = b) Løs likningen for denne verdien av a. c) Bruk denne verdien av a og løs ulikheten x 3 2x 2 + ax + 8 Oppgave 5.43 Vi har gitt likningen x 4 6x 3 + 7x 2 + 6x 8 = a) Vis at x = 1 og x = 2 er løsninger av likningen. b) Finn de andre løsningene. c) Løs ulikheten x 4 6x 3 + 7x 2 + 6x Forkorting av rasjonale uttrykk Et rasjonalt uttrykk er på formen P(x), der P(x) og Q(x) er polynomer. Q(x) Vi skal nå lære å bruke polynomdivisjon til å forkorte noen slike uttrykk. Hvis det skal være mulig å forkorte det rasjonale uttrykket x2 5x + 6 x, må 2 (x 2) være en faktor i telleren x 2 5x + 6. Da må telleren x 2 5x + 6 = når x = 2. Vi undersøker det: = = Dermed kan vi forkorte uttrykket enten ved å utføre polynomdivisjonen (x 2 5x + 6) : (x 2) eller ved å faktorisere telleren ved hjelp av nullpunktene. 16 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

17 x 2 5x + 6 har nullpunktene x = 2 og x = 3. Dermed er x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3) Det gir x 2 5x + 6 (x 2) (x = 3) = x 3 x 2 (x 2) P(x) At vi kan forkorte uttrykket x x, er det samme som å si at (x x ) er en faktor i P(x). Det er det samme som at P(x ) =. La P(x) være et polynom. Da kan vi forkorte P(x ) =. P(x) x x hvis og bare hvis Forkort uttrykket x3 2x 2 5x + 6 x hvis det er mulig. 3 Først undersøker vi om det er mulig å forkorte uttrykket. Da må telleren P(x) = når x = 3. P(3) = = = Uttrykket kan forkortes, og vi utfører en polynomdivisjon: Dermed er (x 3 2x 2 5x + 6) : (x 3) = x 2 + x 2 x 3 3x 2 x 2 5x x 2 3x 2x + 6 2x + 6 x 3 2x 2 5x + 6 = (x 3)(x 2 + x 2) og x 3 2x 2 5x + 6 x 3 = (x 3)(x2 + x 2) = x x x 2 161

18 Undersøk om vi kan forkorte uttrykket x 3 x + 2 x + 2 Det er mulig å forkorte uttrykket hvis telleren P(x) = når x = 2. P( 2) = ( 2) 3 ( 2) + 2 = = 4 Det er ikke mulig å forkorte uttrykket.? Oppgave 5.5 Forkort uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) x2 + x 2 x 1 b) 2x2 + 4x 6 x + 3 c) x 2 + 5x 14 x 2 d) 2x2 + 6x 2 2x 6 Oppgave 5.51 Forkort uttrykkene om mulig. a) x3 + x 2 x 1 b) x3 + 6x x + 6 x + 3 c) x 3 9x 3x + 6 d) x + 1 x 3 + 2x 2 + 2x + 1 Oppgave 5.52 For hvilke a kan vi forkorte uttrykket x 2 + 5x + a x + 2 I de eksemplene og oppgavene vi har regnet til nå, har det vært et førstegradsuttrykk i nevneren eller telleren. Nå skal vi se på rasjonale uttrykk der vi ikke har noe førstegradsuttrykk. Forkort uttrykket x 3 3x 2 x + 3 x 2 5x Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

19 Vi faktoriserer nevneren. Likningen x 2 5x + 6 = har løsningene x = 2 og x = 3. Dermed er x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3) Nå undersøker vi om (x 2) eller (x 3) er faktorer i telleren, som vi setter lik P(x). (x 2) er en faktor hvis P(2) =. P(2) = = = 3 Dermed er (x 2) ikke en faktor. (x 3) er en faktor hvis P(3) =. P(3) = = = Altså er (x 3) en faktor, og denne divisjonen går opp: Etter dette er Det gir (x 3 3x 2 x + 3) : (x 3) = x 2 1 x 3 3x 2 x + 3 x + 3 (x 3 3x 2 x + 3) = (x 2 1) (x 3) x 3 3x 2 x + 3 x 2 5x + 6 Vi flytter ned to ledd fordi både andreog tredjegradsleddet forsvinner. = (x2 1)(x 3) (x 2)(x 3) = x2 1 x 2? Oppgave 5.53 Forkort uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) x3 2x + 4 x 2 4 b) x 2 + 4x + 3 x 3 + 3x 2 4x 12 Oppgave 5.54 For hvilke verdier av a kan vi forkorte uttrykket x 3 4x 2 + 6x + a x 2 4x

20 5.6 Rasjonale likninger En brøk er ikke definert når nevneren er null. I rasjonale uttrykk må vi derfor passe på at nevneren ikke blir null. I uttrykket x + 1 x(x 2) er nevneren null når x = og når x = 2. Det er ikke mulig å sette inn x = eller x = 2 i uttrykket. Derfor må vi forutsette at x og at x 2 når vi regner med dette uttrykket. Slike forutsetninger er svært viktige når vi løser likninger der den ukjente er med i nevneren. Løs likningen. 2 x 2 2x + 2 x = 1 x 2 Faktorisering av nevneren gir 2 x(x 2) + 2 x = 1 x 2 Nevneren er lik null når x = og når x = 2. Vi må derfor forutsette at x og at x 2. Nå multipliserer vi med fellesnevneren x(x 2) på begge sidene av likhetstegnet. 2 x(x 2) + x(x 2) 2 x(x 2) x (x 2) = 1 x 2 + 2x 4 = x 2x 2 = x 2x x = 2 x = 2 Ingen løsning 1 x(x 2) = (x 2) Likningen har ingen løsning fordi vi forutsatte at x 2. Det er ikke mulig å sette inn x = 2 i den likningen vi skulle løse. 164 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

21 Løs likningen x x 3 2 x 1 = 4 x 2 4x + 3 Først faktoriserer vi nevneren x 2 4x + 3. Andregradsuttrykket har nullpunktene x = 1 og x = 3. Dermed er x 2 4x + 3 = (x 1)(x 3) Likningen blir x x 3 2 x 1 = 4 (x 1)(x 3) I denne likningen må x 1 og x 3, for nevnerne kan ikke være lik null. Nå multipliserer vi med fellesnevneren (x 1)(x 3). x (x 1)(x 3) (x 3) 2 (x 1)(x 3) (x 1) = 4 (x 1)(x 3) (x 1)(x 3) x(x 1) 2(x 3) = 4 x 2 x 2x + 6 = 4 x 2 3x + 2 = Andregradsformelen eller lommeregneren gir x = 1 eller x = 2. Men x = 1 passer ikke inn i likningen i oppgaven. Dermed er løsningen x = 2? Oppgave 5.6 Løs likningene. a) 1 x + 1 x 2 = 2 x 2 2x 2 c) x 1 3 x + 1 = 4 x 2 1 Oppgave 5.61 Løs likningene. x a) x x 2 + 2x = 3 x x c) x x 2 2x 8 = 3 x 4 b) 2 x 3 4 x 2 3x = 1 x x b) x 3 2 x = 9 x 2 3x 3 d) x 2 4x x + 1 = x x 5 165

22 a) Vis at x = 1 er en løsning av likningen x 2 x x 6 x 2 + 5x + 6 = 8x x + 2 b) Finn de andre løsningene. a) Vi setter inn x = 1 på venstre og på høyre side av likhetstegnet og sammenlikner. 1 V.s. = = = = = 8 3 H.s. = = 8 3 x = 1 er en løsning. b) Nå faktoriserer vi nevneren x 2 + 5x + 6. Nullpunktene er x = 2 og x = 3. Dermed er x 2 + 5x + 6 = (x ( 2))(x ( 3)) = (x + 2)(x + 3) Likningen blir x 2 x x 6 (x + 2)(x + 3) = 8x x + 2 Her må x 2 og x 3. Fellesnevneren er (x + 2)(x + 3). Vi ganger med den på begge sidene av likhetstegnet. x 2 (x + 3) (x + 2)(x + 3) + 35x 6 (x + 2)(x + 3) (x + 2)(x + 3) = 8x (x + 2)(x + 3) (x + 2) x 2 (x + 2) + 35x 6 = 8x (x + 3) x 3 + 2x x 6 = 8x x x 3 6x x 6 = x = 1 er en løsning av likningen og må derfor også være et nullpunkt for dette tredjegradsuttrykket. Denne divisjonen må da gå opp: (x 3 6x x 6) : (x 1) = x 2 5x + 6 x 3 x 2 5x x 5x 2 + 5x 6x 6 6x 6 Dermed er x 3 6x x 6 = (x 1)(x 2 5x + 6) 166 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

23 Likningen blir (x 1)(x 2 5x + 6) = x 1 = eller x 2 5x + 6 = Andregradslikningen har løsningene x = 2 og x = 3. Det gir løsningene x = 1, x = 2 og x = 3? Oppgave 5.62 a) Vis at x = 2 er en løsning av likningen 1x + 4 x 2 + 2x 3 = x 2 x x x 1 b) Finn de andre løsningene. 5.7 Rasjonale ulikheter Ulikheten x x > kaller vi en rasjonal ulikhet. Vi kan ikke multiplisere med 4 2x på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis vi multipliserer med et negativt tall på begge sidene av ulikhetstegnet, må vi snu tegnet. Uttrykket 4 2x er positivt for noen verdier av x og negativt for andre verdier. Hvis vi multipliserer med 4 2x, vet vi ikke lenger hvilken vei ulikhetstegnet skal vende. Derfor må vi lage fortegnsskjema. Vi lager fortegnslinjer for telleren og for nevneren hver for seg x x x x x Hvis telleren og nevneren har samme fortegn, blir brøken positiv. Hvis telleren og nevneren har motsatt fortegn, blir brøken negativ. Brøken er null når telleren er null (x = 3). Brøken er ikke definert når nevneren er null (x = 2). Det punktet markerer vi ved å la to pilspisser møtes. Slike punkter ligger alltid under nullpunktene til nevneren. 167

24 ! Vi skal finne ut når uttrykket er positivt. Svaret finner vi der fortegnslinja er heltrukket. x + 3 > når 3 < x < 2 4 2x Fortegnslinjemetoden fungerer bare når vi har null på høyre side av ulikhetstegnet. Hvis vi har andre tall eller uttrykk på høyre side, må vi ordne uttrykket vårt slik at vi får null på høyre side. Løs ulikheten x x 2 < 2. x x 2 < 2 x x 2 2 < x x 2 2(x 2) < x 2 x (2x 4) < x 2 x 2x + 4 < x 2 x + 4 x 2 < Nå kan vi lage fortegnsskjema. Legg merke til hvordan vi gjør om tallet 2 til en brøk med x 2 som nevner x x + 4 x 2 x + 4 x 2 Her skal vi finne ut når uttrykket er negativt. Svaret finner vi der vi har stiplet linje. x + 4 x < når x < 2 og når x > 4. 2 x < 2 når x < 2 og når x > 4 x 2! 168 Multipliser aldri begge sidene av et ulikhetstegn med et uttrykk som kan være både positivt og negativt. Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

25 ? Oppgave 5.7 Løs ulikhetene. a) x 3 x + 1 > b) 2x + 4 x 1 < c) 2 x + 3 > d) 4 + x 3 2x Oppgave 5.71 Løs ulikhetene. a) x 1 x + 1 > 1 b) 2x 4 x 1 3 c) 2 x 1 < 2 d) 2x 4 x 2 > 3 Ulikheten i eksempelet på forrige side kan vi også løse på lommeregneren. ON CASIO Vi velger GRAPH, trykker på TYPE, F6 og F1 (Y>) og legger inn uttrykket Y1 > ( X + 4)/(X 2) Deretter trykker vi på TYPE, F6 og F2 (Y<) og legger inn uttrykket Y2 < Nå trykker vi på V-Window og velger vindu bestemt ved at x [ 3, 7] og y [ 5, 5]. Vi trykker på EXIT og på F6 (DRAW). Lommeregneren skraverer da først alle punkter som ligger over grafen. Deretter fjerner den skraveringen som ikke ligger under x-aksen. Vi kan da lese av løsningen på det skjermbildet vi får fram. TEXAS Vi trykker på Y= og legger inn uttrykket Y1 = ( X + 4)/(X 2) < Tegnet < finner vi ved å trykke på TEST og velge 5: <. Lommeregneren setter Y1 lik 1 hvis X passer i uttrykket ( X + 4)/(X 2) <. Hvis X ikke passer, blir uttrykket satt lik. Nå velger vi et vindu bestemt ved at x [ 5, 5] og y [ 5, 5]. Når vi så trykker på GRAPH, får vi dette skjermbildet: OFF Ulikheten har løsningen x < 2 eller x > 4 Ulikheten har løsningen x < 2 eller x > 4 169

26 ? Oppgave 5.72 Løs oppgave 5.71 ved hjelp av lommeregneren. Noen ganger må vi faktorisere andre- eller tredjegradsuttrykk når vi løser rasjonale ulikheter. Løs ulikheten x + 1 > 5x 1 x + 1 Vi flytter brøkuttrykket over på venstre side og setter alt på felles brøkstrek. x + 1 > 5x 1 x + 1 (x + 1)(x + 1) 5x 1 x + 1 x + 1 > (x 2 + 2x + 1) (5x 1) > Pass på parentesen om (5x 1). x + 1 x 2 + 2x + 1 5x + 1 > x + 1 x 2 3x + 2 > x + 1 Telleren x 2 3x + 2 har nullpunktene x = 1 og x = 2. Dermed er x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2) Innsatt i ulikheten gir det (x 1)(x 2) > x + 1 Nå lager vi fortegnslinjer: x x 1 x 2 x + 1 (x 1)(x 2) x + 1 x + 1 > 5x 1 x + 1 når 1 < x < 1 og når x > 2 17 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

27 ? Oppgave 5.73 Løs ulikheten. 8 6x 1 x > x + 2 Oppgave 5.74 Løs ulikhetene. x(x 2) a) x + 1 > b) x x 3 > x 1 3x c) > x d) 3x + 1 x 2 x + 1 > 2x 3 Oppgave 5.75 a) Vis at x = 2 er en løsning av likningen x 3 4x 2 + x + 6 = 2x 2 b) Finn alle løsningene av likningen. c) Løs ulikheten x 3 4x 2 + x + 6 < 2x Irrasjonale likninger Nå skal vi gjøre oss kjent med noen av symbolene fra logikken. Vi vet at hvis 2x + 1 = 4, er alltid 2x = 3. Med bruk av symboler fra logikken skriver vi 2x + 1 = 4 2x = 3 Tegnet er en implikasjonspil som vi leser fører til at, medfører at eller impliserer at. Vi bruker denne pila mellom to likninger, påstander eller utsagn. Skrivemåten A B betyr at hvis påstanden A er riktig, så er også påstanden B riktig. 171

28 Slike påstander trenger ikke være matematiske. Vi kan for eksempel skrive Personen heter Ola Personen er en gutt Det er en riktig påstand. Men påstanden Personen er en gutt Personen heter Ola er ikke riktig. Hvis x = 2, fører det til at x 2 = 4. Med symboler skriver vi x = 2 x 2 = 4 Men hvis x 2 = 4, trenger ikke x = 2. Det riktige kan være at x = 2. Derfor kan vi ikke skrive at x 2 = 4 x = 2. Det riktige er x 2 = 4 x = 2 eller x = 2 Likningene 2x 2 = 8 og x 2 = 4 har nøyaktig de samme løsningene, nemlig x = 2 og x = 2. Vi sier at de to likningene er ekvivalente (likeverdige) og skriver 2x 2 = 8 x 2 = 4 Tegnet kaller vi et ekvivalenstegn. Vi leser er ekvivalent med, har samme løsning som eller hvis og bare hvis. Vi kan også skrive x 2 = 4 x = 2 eller x = 2 To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. Når vi løser en likning, gjør vi om likningen på en slik måte at vi får en ny likning med den samme løsningen. Vi kan for eksempel flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet når vi samtidig skifter fortegn på leddet. Vi kan også multiplisere eller dividere på begge sidene av likhetstegnet med tall som ikke er null. Når vi omformer en likning på denne måten, får vi en ekvivalent likning som har nøyaktig de samme løsningene som den likningen vi begynte med. Da kan vi bruke ekvivalenstegnet mellom likningene. Når vi flytter et ledd over på det andre siden av likhetstegnet og skifter fortegn på leddet, får vi en ekvivalent likning. Når vi dividerer eller multipliserer på begge sidene av likhetstegnet med et tall som ikke er null, får vi en ekvivalent likning. 172 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

29 Løs likningen 3x 2 2x + 3 = 4x + 3 3x 2 2x + 3 = 4x + 3 3x 2 2x + 3 4x 3 = 3x 2 6x = 3x(x 2) = 3x = eller x 2 = x = eller x = 2 I eksempelet ovenfor var løsningene x = og x = 2. Vi sier også at løsningsmengden er {, 2}.! I denne boka kommer vi normalt ikke til å skrive ekvivalenstegnet når vi løser likninger. Vi forutsetter vanligvis at likningene er ekvivalente når det ikke står noe symbol mellom dem. Når vi multipliserer begge sidene av likhetstegnet i en likning med et tall som ikke er null, forandrer vi ikke løsningsmengden. Nå vil vi undersøke om vi kan kvadrere hver side uten å endre løsningsmengden. Likningen 2x = 4 har bare den ene løsningen x = 2. Men når 2x = 4, er (2x) 2 = 4 2 4x 2 = 16 Vi løser denne likningen og får 4x 2 = 16 x 2 = 4 x = 2 eller x = 2 173

30 Vi ser at vi har fått en løsning x = 2 i tillegg til den riktige løsningen x = 2. Løsningen x = 2 er feil og passer ikke i den likningen vi begynte med. Likningene 2x = 4 og (2x) 2 = 4 2 har ikke de samme løsningene, og likningene er ikke ekvivalente. Dermed kan vi ikke bruke ekvivalenstegnet mellom dem. Det riktige er 2x = 4 (2x) 2 = 4 2 Hvis vi kvadrerer en likning, får vi vanligvis ikke noen ekvivalent likning. Vi må derfor alltid sette prøve på de svarene vi får når vi har kvadrert en likning. Når vi kvadrerer begge sidene av en likning, kan vi få falske løsninger. Vi må derfor sette prøve på de svarene vi får. En likning der den ukjente står under et rottegn, kaller vi en irrasjonal likning. Når vi løser slike likninger, må vi som oftest kvadrere begge sidene av likhetstegnet og må dermed sette prøve på svaret. Løs den irrasjonale likningen 8 x = x 2 Vi kvadrerer begge sidene av likningen og må da sette prøve på de svarene vi får. 8 x = x 2 ( 8 x ) 2 = (x 2) 2 8 x = x 2 4x + 4 = x 2 3x 4 x 2 3x 4 = x = 3 ± x = 3 ± 5 2 x = 4 eller x = 1 Nå må vi sette prøve på svaret: 174 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

31 x = 4 Venstre side: 8 x = 8 4 = 4 = 2 Høyre side: x 2 = 4 2 = 2 x = 4 passer i likningen. x = 1 Venstre side: 8 x = 8 ( 1) = 9 = 3 Høyre side: x 2 = 1 2 = 3 x = 1 passer ikke i likningen. Likningen har løsningen x = 4.? Oppgave 5.8 Løs likningene. a) 2x 3 = x 3 b) 2x + 12 = x + 6 c) 14x 6 = x 3 Når vi løser irrasjonale likninger, er det viktig å ordne likningen slik at rotuttrykket står alene på den ene siden av likhetstegnet før vi kvadrerer. Løs likningen x = 3x Først ordner vi likningen slik at rotuttrykket står alene på den ene siden av likhetstegnet. x = 3x x + 1 = 3x + 7 (x + 1) 2 = ( 3x + 7 ) 2 x 2 + 2x + 1 = 3x + 7 x 2 x 6 = x = 1 ± x = 1 ± 5 2 x = 2 eller x = 3 Her kvadrerer vi, og vi må sette prøve på svaret. 175

32 Vi setter prøve på svaret: x = 2 Venstre side: x = 2 Høyre side: 3x = 3 ( 2) = 1 1 = x = 2 passer ikke i likningen. x = 3 Venstre side: x = 3 Høyre side: 3x = = 16 1 = 4 1 = 3 x = 3 passer i likningen. Likningen har løsningen x = 3.? Oppgave 5.81 Løs likningene. a) 2 2x = 2x b) 8x x + 5 = c) 4 x 2 x + 3 = 176 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

33 SAMMENDRAG Polynomdivisjon Når vi dividerer et polynom P(x) med et polynom Q(x), får vi en rest med lavere grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradsuttrykk, blir resten et tall. Resten ved en polynomdivisjon Når vi dividerer polynomet P(x) med (x x ), blir resten r = P(x ). Divisjonen P(x) : (x x ) går opp hvis og bare hvis P(x ) =. Faktor i et polynom (x x ) er en faktor i polynomet P(x) når og bare når P(x ) =. Rasjonale uttrykk Et rasjonalt uttrykk er på formen P(x), der P(x) og Q(x) er polynomer. Q(x) Forkorting av rasjonale uttrykk Vi kan forkorte P(x) x x hvis og bare hvis P(x ) =. Rasjonale ulikheter Når vi løser ulikheter som inneholder rasjonale uttrykk, ordner vi dem først slik at vi har ett rasjonalt uttrykk på venstre side og på høyre side av ulikhetstegnet. Deretter lager vi fortegnslinje for telleren og for nevneren. Vi bruker så dem til å lage ei fortegnslinje for det rasjonale uttrykket. Ekvivalente likninger To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. Når vi flytter et ledd over på den andre siden av likhetstegnet og skifter fortegn på leddet, får vi en ekvivalent likning. Når vi dividerer eller multipliserer på begge sidene av likhetstegnet med et tall som ikke er null, får vi en ekvivalent likning. Kvadrering av likninger Når vi kvadrerer begge sidene av likhetstegnet i en likning, kan vi få falske løsninger. Vi må sette prøve på svaret. 177