4. kurskveld: Brøk og geometri

Transkript

1 4. kurskveld: Brøk og geometri I dag skal vi se på begrepet brøk, regning med brøk, og hvorfor de ulike regnereglene fungerer. Mange har bedre grep om desimaltall fordi regnereglene er lik regnereglene vi har for hele tall. Det er relativt lett å forstå hva en brøk er, men det er vanskeligere med teknikker for å regne med brøk. Regnereglene for brøk er helt annerledes enn dem vi er vant med for heltallene. Det kan være verre å forstå hva et desimaltall er, men regnereglene er kjente. Brøk kommer litt inn på 3. og 4. trinn, og blir mer avansert på mellomtrinnet. Hva er en brøk? Hvorfor trenger vi brøk? Desimaltall er spesialtilfeller av brøk. Vi trenger brøk for å uttykke størrelser/tall mellom 0 og, altså når vi ønsker å regne med deler av hel. En brøk er en eksakt verdi, mens et desimaltall ofte er en tilnærming. Med brøksirkler: hel delt i 3. Hver bit er eksakt /3. Hvis vi skal skrive det med desimaltall blir det 0,333..., og det er ikke eksakt. I dagligtalen bruker vi brøker om hulmål, penger, volum, tid, måling osv. For eksempel ¼ liter, et kvarter osv. Hva er størst, 3 eller 4 2? Vi legger brøksirkel-bitene oppå hverandre og ser. Da kommer det tydelig fram at 4 2 størst.

2 På samme måten ser vi også at 4 2 = 2 Det er veldig viktig at vi innfører skrivemåten samtidig. Da innfører vi notasjonen og symbolbruken på en naturlig måte! Mange elever tror at 4 er større enn 3 fordi 4 er større enn 3. Derfor er det viktig å bruke konkretene for å fysisk se at jo større nevneren er, jo mindre er brøken fordi nevneren forteller hvor mange deler den hele er delt i. 2 + = Legg konkreter og skriv symbolene samtidig! NB! Vi må ikke gå i den fella å droppe konkretene for tidlig! Da vil elevene gjøre feil oftere. Elevene kan godt jobbe samtidig med flere visuelle former og oppdeling av dem. Aktivitet: Legg strikk på geobrettet for å vise 4. Oppgaven var ikke definert nærmere. Skal 4 se lik ut, eller er det arealet vi mener? Løsninger med lik form:

3 Hvis vi ikke tenker lik form finnes flere. Det er nok at det er 4 ruter. Utgangspunktet for denne oppgaven var brøk som del av hel, og hele geobrettet var hel. I denne oppgaven kommer det altså an på om vi mener formen eller størrelsen. Unger blir ikke forvirra av å møte brøk på flere måter. Det er tvert imot viktig at de blir vant med å se at den hele de skal finne brøkdeler av kan variere. Eksempel: Når formen er ulik blir ikke brøkdelen eksakt lenger. Det går for eksempel ikke an å sammenligne av ei lita pære med av ei stor pære. Og det går heller ikke å sammenligne 3 3 en brøkdel av en banan med en brøkdel av ei pære. For at vi skal kunne sammenligne brøker må den hele vi starter med være lik! Øvelse hjemme: Tegn et kvadrat, og be ungene dele det inn i ulike brøkdeler. Se hvordan de tenker, og få dem til å forklare hvordan de tenker. Symboler Det er viktig at barna tidlig blir vant med å se symbolbruken parallelt med bildene vi gir av brøker. 2 Eksempel: Vis at + er mer enn (M ange barn tror at + blir fordi de legger sammen teller + teller, og nevner + nevner. Med brøksirklene er det lett å innse at dette ikke stemmer.) Når nevneren er lik som i dette tilfellet beholder vi nevneren når vi adderer. Vi jobber med biter og må huske hva bitene symboliserer.

4 Likeverdige brøker 2 og Hvorfor er de like? 3 6 Sammenlign og se. Vi deler i dobbelt så mange biter: 2 2 = Regneteknisk betyr dette å gange med. Aktivitet På hvor mange måter kan vi illustrere 3 med brøksirklene?

5 2 + = = = Hver tredel er delt i 4, og vi har 4 av dem Det finnes flere måter å lage 3 på hvis vi tillater at vi kan blande farger. H va med +? Blir det også? Vi setter sammen til en sirkel og ser at vi får en hel. Det er ofte vanskelig å sammenligne brøker med ulik nevner. For å kunne gjøre det må vi finne fellesnevneren. + = = = + = =

6 En må inn se at brøker som skal adderes må ha samme nevner. Ferdighetsmessig kan et interessert barn lære dette teknisk. Spør ungene hvorfor og få dem til å forklare. Still spørsmålet Kan ikke du vise meg? i stedet for å gi dem ei forklaring. Av og til må man gå bakover for å finne ut hva barna eventuelt gjør feil. Hva har de skjønt, og når h ar de mista oversikten? Be dem tegne eller. 3 4 Noen gjør feil på grunn av slurv, andre fordi de vil det skal gå fort å bli ferdig. Eksempel: 4 + Vi må finne en oppdeling som går opp i alle bitene. 3 Bildet til høyre viser at vi har lagt oppå, og at det blir det samme som Kanskje er det 2-deler vi skal bruke da? Hva er fellesnevner, også kalla minste felles multiplum? Vi kan gange sammen alle nevnerne, men da får vi veldig store tall Vi må se på talla og faktorisere. Regn ut: Fordi vi kan gangetabellen ser vi at dette blir 20. Hadde vi multiplisert alle tallene ville vi fått 200 som fellesnevner. 4 = = = = = = D ette er det samme som = 5 4 = 4

7 Fakta om brøker: Ekte brøk: mindre enn Uekte brøk: teller større enn nevner teller(antallet) nevner(benevnelse) 5 = = 4 4 Dette må vi øve på og lage oss huskeregler, men vi må forstå hva vi gjør! Det er fint å kunne forklare på mange ulike måter. Det er en balanse mellom konkreter, symboler og forståelse. Noen ganger lager barn seg teknikker som fungerer noen ganger, men som er feil noen ganger. Multiplikasjon av brøk 3 4 Du tar 3 og deler opp i fire biter. Her ser vi at 3 4 = 2 Samtidig har vi også plassert brøker på tall-linja.

8 Tangram Tangramlegenden For lenge, lenge siden, i det gamle Kina ville Keiseren at tjeneren hans skulle bringe ham et kvadratisk stykke jade. Den uheldige tjeneren mistet det kvadatformede jadestykket så det knuste i sju biter: to store trekanter, en mellomstor trekant, to små trekanter, et parallellogram og et kvadrat. Han var livredd for at Keiseren skulle bli rasende da han oppdaget hva som hadde skjedd, men keiseren ble glad! Han moret seg med å lage figurer av de sju bitene! Aktivitet Beskriv hvordan bitene ser ut. Hva er sammenhengen mellom alle bitene? Hvor mange av de minste trekantene består settet av til sammen? Legg bitene slik at de danner et kvadrat. Svar: Vi trenger 6 biter. Kvadratet: 2 Parallellogrammet: 2 Mellomstor trekant: 2 Stor trekant: 4 Danna av 2 rettvinkla, likebeina trekanter Danna av 2 rettvinkla, likebeina trekanter De to store trekantene er til sammen halvparten av hele kvadratet. Den mellomstore skal i det 4. hjørnet. Ikke si svaret, det er bedre å få noen hint/tips. Det føles godt å mestre! Målinger: lengdemål, areal og volum Hva trenger vi lengdemål til? Still spørsmål som hvor langt er det bort til døra? Mål opp ved å telle antall skritt. Får vi samme svar. Har vi gått med like lange skritt? Har noen målt med museskritt? På denne måten kan vi skape en felles forståelse for at vi behøver noe som er likt for alle. Samtidig kan det gi oss en naturlig anledning til å snakke om meter, desimeter og centimeter. Et målband kan virke uoversiktlig i begynnelsen, det er alt for mange streker der. La heller barna få erfare å bygge meteren. Kapp for eksempel opp lister i meter, og la barna få hver sin. Hvor langt når meteren på kroppen deres? Legg stokkene etter hverandre for å måle opp en avstand. Men hva skjer hvis det ikke blir et helt antall meter? Da må vi dele opp meteren i 0 like store biter. La elevene få sette et merke for hver 0 cm. Det går akkurat 0 ganger!! Da gjør de erfaringen med at det går 0 desimeter på meter. Mal annenhver desimeter rød og hvit. Hvis det ikke går opp med et helt antall desimeter må de dele hver desimeter i 0 like store deler. Dette er centimeter. Det går 0 tiere på hundre. Kanskje vil noen barn telle for å godta dette. Mange lærere spør seg om de har tid til sånt i skolen. Svaret er JA! Elevene får en helt annen følelse med hva de ulike målene, og regningen kommer av seg selv etterpå. Med meterstokken klar kan barna gå ut og gjette avtander, og deretter måle og sjekke. Dette gir erfaringsbasert måling, og den kunnskapen sitter på en helt annen måte.

9 Demonstrasjon Kan også lage meterstokk ved å sette sammen centikuber. Centikubene er cm cm cm. Sett sammen 0 og 0 av samme farge etter hverandre og lag meterstokken på denne måten. Det samme kan man gjøre med multilink, men disse er 2 cm 2 cm 2cm, og derfor trenger vi bare 5 for å lage en desimeter. Areal Å anslå et areal er vanskelig. Hvilken målenhet skal vi bruke til det? Vi kan bruke både sugerør og tau, og erfare hvordan arealet forandrer seg selv om omkretsen er konstant. Et annet ord for areal er flateinnhold. Også her må vi ha et felles mål for å kunne forklare for andre hvor stort arealet er. Aktivitet Legg handa oppå et blankt ruteark og tegn omrisset. Gjett hvor stort arealet er. Legg en transparent med rutenett på cm cm oppå og tell antall ruter. Hvor mange kvadratcentimeter er håndflata? Teg n det rektangelet som passer best til omrisset. Hvis vi tegner et inni vil arealet bli for lite. Hvis vi tenger et utapå vil arealet bli for stor. Det som passer best vil kanskje være et rektangel som av og til stikker litt utafor omrisset og av og til er inni. Vi vil kanskje få noen halvruter også. Tell sammen. Dette er et kvadrat med sider cm. Derfor navnet KVADRATCENTIMETER Geobrettet Vi vet hvordan vi hvordan vi regner arealet av et rektangel. Parallellogrammet er den figuren som ligner mest på rektanglet. Hvordan regner vi arealet av det? Finn et rektangel som er like stort. Konkret oppdrag. Hva er høyden i parallellogrammet?

10 Lager et rektangel: Ser at vi får med en trekant for mye i forhold til parallellogrammet på høyre side, men denne trekanten er like stor som den på venstre side vi ikke får med. Derfor er arealet av parallellogrammet og rektanglet vi har laget like stort. Arealet blir altså grunnlinje høyde, der høyden er avstanden mellom de to parallelle linjene. Rettvinkla trekant Igjen tar vi utgangspunkt i arealet av rektangelet. Ved å bruke geobrettet kan vi lett se at arealet av den rettvinkla trekanten er halvparten av arealet av rektanglet. Vi får derfor: grunnlinje høyde 2 grunnlinje høyde Hva med en ikke-rettvinkla trekant? Er arealet fortsatt? 2 Vi kan lage høyden i trekanten og se at den er satt sammen av 4 trekanter. Vi kan altså dele opp i kjente figurer og finne formelen. Det samme kan vi gjøre med for eksempel trapeset. Hele tiden er det en sammenheng mellom forståelse og ferdigheter. Lekse: Vi legger ut oppgaver om primtallsfaktorisering på nettsidene våre.