På samme måten er de spesielle trekantene likesidet, likebeint, rettvinklet.

Transkript

1 GEOMETRI GRUNNLEGGENDE GEOMETRI Geometriske former Trekant, firkant, sirkel. - Hva er det? Hvordan ser det ut? Deltakerne fikk i oppdrag å tegne: en firkant, en trekant og en runding. Som forventet, tegnet de aller fleste et kvadrat (evnt et rektangel), en likesidet trekant (evnt likebeint) og en sirkel. For bygging av riktige og hensiktsmessige begreper, er det viktig at vi også i dagligtale bruker de mest presise betegnelsene på de geometriske formene. Et kvadrat er den strengeste firkanten vi kan tenke oss. Bare vi vet sidelengden, er kvadratet bestemt. Men for en generell firkant kan alle sidene være ulike lange, alle vinklene forskjellige, og ingen sider behøver å være parallelle. De spesielle firkantene vi håndterer i skolen er kvadrat, rektangel, rombe, parallellogram, trapes. Men for ALLE firkanter er summen av vinklene 360º. På samme måten er de spesielle trekantene likesidet, likebeint, rettvinklet. Men for ALLE trekanter er vinkelsummen 180º. 2 og 3 dimensjoner I skolen har vi tradisjon for å presentere elevene for plangeometri før vi begynner med romgeometri. Barnas erfaringsverden er 3-dimensjoneal. De får befatning med klosser og baller fra de kan gripe. Dette er kanskje en av grunnene til at elevene bruker navn på 2- dimensjonale figurer når de skal beskrive 3-dimensjonale former. De blander begrepene og formene: Sirkel og kule (runding og ball), trekant og pyramide, firkant og kube

2 Elevene skal lære navn på og egenskaper ved - kvadrat, rektangel, parallellogram, generelle firkanter, likebeint og likesidet trekant, generelle trekanter De skal forstå hva som menes med hjørner, kanter og flater, og kunne beskrive figurene ut fra dette. AKTIVITET: DYNAMISKE MODELLER MED SUGERØR OG HYSSING 1) Klipp fire sugerør i like lange deler, ca 10 cm. Tre delene inn på en hyssing og knytt for endene så de danner en firkant. - Hva slags firkanter kan vi få fram med denne modellen? Vi ser at sugerørmodellen er fleksibel, og viser at vi kan få fram uendelig mange romber med denne omkretsen, men med forskjellig areal. - Hvordan ser figuren ut for at vi skal få størst mulig areal (størst plass inni firkanten)? Det er ikke vanskelig å innse at det blir kvadratet med denne omkretsen som gir det største arealet. Med denne lille øvelsen innser vi at selv om omkretsen er fast, kan arealet variere fra 0 til en bestemt maksimumsverdi.

3 2) Klipp av to av sugerørene like mye. Tre bitene på tråden igjen slik at to de to sugerørene som er klippet av, ligger ved siden av hverandre. Denne gangen kan vi også få ulike areal og ulike typer firkanter. Formen endrer seg fra drage til pil. 3) Jobb videre med to og to parvis like lange sugerør. Tre dem på hyssingen, annenhver kort og lang. Denne gangen ser vi at vi får fram parallellogrammer. Når vinklene er 90 grader, får vi et rektangel, og det er denne firkanten som har størst areal.

4 4) Klipp sugerørene slik at alle sidene får forskjellig lengder. Nå blir det helt uregelmessige firkanter med ulike arealer, men konstant omkrets. 5) Knytt opp knuten og ta av det ene sugerøret. Knytt en ny knute. Dette blir en stiv konstruksjon, en trekant, og det finnes bare EN trekant når alle sidene er bestemt. Trekanter er de mest stabile figurene vi har. Derfor brukes de til å lage stabile konstruksjoner. Legg merke til dette på broer og stillaser. Målinger: lengdemål, areal og volum Hva trenger vi lengdemål til? Still spørsmål som hvor langt er det bort til døra? Mål opp ved å telle antall skritt. Får vi samme svar. Har vi gått med like lange skritt? Har noen målt med museskritt? På denne måten kan vi skape en felles forståelse for at vi behøver noe som er likt for alle. Samtidig kan det gi oss en naturlig anledning til å snakke om meter, desimeter og centimeter. Et målband kan virke uoversiktlig i begynnelsen, det er alt for mange streker der. La heller barna få erfare å bygge meteren. Kapp for eksempel opp lister i meter, og la barna få hver sin. Hvor langt når meteren på kroppen deres? Legg stokkene etter hverandre for å måle opp en avstand. Men hva skjer hvis det ikke blir et helt antall meter? Da må vi dele opp meteren i 10 like store biter. La elevene få sette et merke for hver 10 cm. Det går akkurat 10 ganger!! Da gjør de erfaringen med at det går 10 desimeter på 1 meter. Mal annenhver desimeter rød og hvit. Hvis det ikke går opp med et helt antall

5 desimeter må de dele hver desimeter i 10 like store deler. Dette er centimeter. Det går 10 tiere på hundre. Kanskje vil noen barn telle for å godta dette. Mange lærere spør seg om de har tid til sånt i skolen. Svaret er JA! Elevene får en helt annen følelse med hva de ulike målene, og regningen kommer av seg selv etterpå. Med meterstokken klar kan barna gå ut og gjette avtander, og deretter måle og sjekke. Dette gir erfaringsbasert måling, og den kunnskapen sitter på en helt annen måte. Demonstrasjon Kan også lage meterstokk ved å sette sammen centikuber. Centikubene er 1 cm 1 cm 1cm. Sett sammen 10 og 10 av samme farge etter hverandre og lag meterstokken på denne måten. Det samme kan man gjøre med multilink, men disse er 2 cm 2 cm 2cm, og derfor trenger vi bare 5 for å lage en desimeter. Areal Å anslå et areal er vanskelig. Hvilken målenhet skal vi bruke til det? Vi kan bruke både sugerør og tau, og erfare hvordan arealet forandrer seg selv om omkretsen er konstant. Et annet ord for areal er flateinnhold. Også her må vi ha et felles mål for å kunne forklare for andre hvor stort arealet er. Aktivitet Legg handa oppå et blankt ruteark og tegn omrisset. Gjett hvor stort arealet er. Legg en transparent med rutenett på 1 cm 1 cm oppå og tell antall ruter. Hvor mange kvadratcentimeter er håndflata? Tegn det rektangelet som passer best til omrisset. Hvis vi tegner et inni vil arealet bli for lite. Hvis vi tenger et utapå vil arealet bli for stor. Det som passer best vil kanskje være et rektangel som av og til stikker litt utafor omrisset og av og til er inni. Vi vil kanskje få noen halvruter også. Tell sammen. Dette er et kvadrat med sider 1 cm. Derfor navnet KVADRATCENTIMETER Geobrettet Vi vet hvordan vi hvordan vi regner arealet av et rektangel. Parallellogrammet er den figuren som ligner mest på rektanglet. Hvordan regner vi arealet av det?

6 Finn et rektangel som er like stort. Konkret oppdrag. Hva er høyden i parallellogrammet? Lager et rektangel: Ser at vi får med en trekant for mye i forhold til parallellogrammet på høyre side, men denne trekanten er like stor som den på venstre side vi ikke får med. Derfor er arealet av parallellogrammet og rektanglet vi har laget like stort. Arealet blir altså grunnlinje høyde, der høyden er avstanden mellom de to parallelle linjene. Rettvinkla trekant Igjen tar vi utgangspunkt i arealet av rektangelet. Ved å bruke geobrettet kan vi lett se at arealet av den rettvinkla trekanten er halvparten av arealet av rektanglet. Vi får derfor: grunnlinje høyde 2 grunnlinje høyde Hva med en ikke-rettvinkla trekant? Er arealet fortsatt? 2 Vi kan lage høyden i trekanten og se at den er satt sammen av 4 trekanter. Vi kan altså dele opp i kjente figurer og finne formelen. Det samme kan vi gjøre med for eksempel trapeset.

7 Hele tiden er det en sammenheng mellom forståelse og ferdigheter. Lekse: Vi legger ut oppgaver om primtallsfaktorisering på nettsidene våre. MASSE Vi bruker skålvekter for å sammenlikne vekt. Aktivitet: Vi bruker skålveka og plastbamser i 3 forskjellige størrelser. Gjett på sammenhengen først, og bruk deretter skålvektene for å kontrollveie. - Hvilken sammenheng er det mellom vekta på bamsene? - Hvor mange små bamser veier en stor? - Hvor mange bamser veier mobilen din? - Vei ulike gjenstander. Oppsummering: I denne aktiviteten er bamsene måleenheten, og vi sier at den lille bamsen er 1 måleenhet. Det viser seg at det går 2 små bamser på en mellomstor bamse, og 3 små bamser (eller en liten og en mellomstor) på en stor bamse. Unger har i utgangspunktet ikke noe forhold til standard måleenheter. For dem kan det være like naturlig å veie noe i bamser som å veie i gram eller kilo.

8 Som en avslutning på aktiviteten måler de hvor mange centikuber bamsene veier. Centikubene veier nøyaktig 1 gram. Demonstrasjon: I den ene skåla har vi 3 centikuber, og i den andre har vi 8 centikuber. Deltakerne vet ikke hvor mange det er oppi. Hva er forskjellen? Hvor mange må vi legge til i den letteste for at det skal bli like mye i hver skål? Gjett og sjekk. Det er lov å ombestemme seg etter hvert som flere centicuber blir putta oppi. Legg oppi centikuber, en etter en, og tell. Dette kan bli trening i addisjon og subtraksjon. Når vi får grei på hvor mange det var i den ene skåla, kan vi regne ut hvor mange det var i den andre. Velg størrelse på tallene i forhold til alder. På et senere stadium kan man se på dette som ligninger.

9 TREDIMENSJONAL GEOMETRI Demonstrasjon Hvis vi fyller den kvadratiske pyramiden 3 ganger fyller vi akkurat kuben: Dette er sånn fordi grunnflata og høyden i den kvadratiske pyramiden og kuben er akkurat like store. Hvis vi fyller kjegla 3 ganger fyller vi akkurat sylinderen: Dette er sånn fordi grunnflata er lik i sylinderen og kjegla, og høyden er den samme i begge.

10 Senere lærer vi at volumet av en pyramide og en kjegle er 1 g h, der g er grunnflata og h er 3 høyden, mens sylinderen og kuben er g h. Nå har de erfart dette i praksis. Sylinderen og kuben har plass til 3 ganger så mye som de som ender i en spiss. Dette gjelde for alle romlegemer med samme grunnflat og høyde, der den ene er rett og dan andre ender i en spiss. Aktivitet Bygg med de 3-kanta jovobrikkene. Vi studerer de romlige figurene, og teller antall hjørner kanter flater. Tabellen viser egenskaper til noen figurer. Hjørner Kanter Flater Er det noen sammenheng mellom antall hjørner, kanter og flater? Hjørner Kanter Flater Hjørner + flater Av tabellen ser vi at hjørner + flater = kanter + 2 Det var den kjente matematikeren Euler som først fant denne sammenhengen. En annen måte å beskrive figurene på er å se på symmetriene. Hvis figuren ser lik ut fra alle hjørnene, er den regulær. 20 flater: ikosaeder 4 flater: tetraeder

11 8 flater: oktaeder Dette er de greske navnene på figurene, og disse 3 er de eneste regulære figurene vi kan lage med 3-kanter. Dette er platonske legemer. Fotballen er ikke et platonsk legeme, men et arkimedisk legeme. Dette fordi den er sammensatt av 2 sekskanter og 1 femkant i hvert hjørne. Hvis vi setter sammen kvadrater, hvilke figurer kan vi få da? Da kan vi kun lage terningen. Hvis vi skal sette sammen flere fyller vi planet, det vil si det blir ingen romlig figur, men helt flatt. Da sier vi at vi driver med fliselegging i stedet.

12 Videre: - Klarer vi å bygge regulære figurer med bare sekskanter? - Klarer vi å bygge regulære figurer med bare femkanter? Med bare sekskanter går det ikke. Men vi klarer å bygge et platonsk legeme med bare femkanter. Denne figuren har 12 flater. Det er en viktig del av matematikken å bli kjent med 2- og 3- dimensjonale figurer.