Så kaster neste spiller og gjør det samme. Den som kommer nærmest får 1 poeng. Er begge like nært får ingen poeng.

Transkript

1 REGNING DE FIRE REGNINGSARTENE: Når tallbegrepet er godt innarbeidet, og elevene forstår posisjonssystemet, begynner arbeidet med de fire regningsartene: sum (+), differens (-), multiplikasjon ( ) og divisjon(:). Det er viktig å arbeide med disse begrepene og forståelse av sammenhengen mellom dem på varierte måter og i ulike kontekster. Veldig mange lærere (og foreldre) lar for eksempel ta bort og minus og differens være synonymer. Dette kan skape forvirring hos elevene. Det å ta bort er bare ett tilfelle der vi har bruk for denne regneoperasjonen. Vel så ofte er det snakk om forskjell mellom to størrelser. Hvis jeg er 8 år, og en av mammaene er år, hvor mye eldre er jeg enn henne? Ingen blir tatt bort i denne sammenhengen! Elevene skal utvikle forståelse for hva regneoperasjonene gjør, i hvilke sammenhenger de må anvendes, og de skal lære metoder for å regne med dem. Elevene bør få arbeide mye med konkrete, utvikle sine egne metoder, og utfordres til å forstå hvordan andre tenker. Hoderegning er en veldig fin måte å øve opp tallforståelse på. Elevene skal oppdage og utvikle hensiktsmessige regnemetoder, eller algoritmer. Hvem bestemmer hva som er lettvindt og tungvindt? For hvem? Det kan variere både med oppgaven og personen. Stikkord for hva vil skal arbeide med i denne sammenheng er: Hoderegningsstrategier ulike metoder for ulike tall. 10-ervenner dobling og halvering gangetabellen og algebra multiplikasjon som gjentatt addisjon eller som areal? Spill: De fire regningsartene. Midt i blinken. Utstyr: Terninger Beskrivelse: Førstemann kaster terningene. Tallene spilleren får brukes til å lage et regnestykke. Målet er å få et svar som ligger så nær 8 (blinken!) som mulig. Det er lov å bruke alle regnearter. Så kaster neste spiller og gjør det samme. Den som kommer nærmest får 1 poeng. Er begge like nært får ingen poeng. Ny runde, men nå kaster den som var først i runde 1 sist. Den spilleren som først har poeng, vinner. Dere kan også velge et nytt tall som blink. Variasjonsmuligheter 1. Begrens eller utvid hvilke regnearter det er lov å bruke.. Kast med flere terninger.. Kast med minst 7 terninger og la det være lov å lage flersifra tall. La 1000 være blink.

2 . La spilleren som ikke kaster bestemme blinken. Tall mellom og 0, ikke lov å tenke mer enn 10 sekunder etter kastet. Addisjon og subtraksjon - Utføre addisjon og subtraksjon. Bevisstgjøre på hvilke situasjoner det er naturlig å velge det ene framfor det andre. Sentrale begreper: til sammen, i tillegg, forskjell, mer enn, mindre enn, pluss, minus Det er viktig at barna får møte ulike strategier for addisjon og subtraksjon, slik at de får erfaringer med varierte situasjoner der ulike strategier og fremgangsmåter er hensiktsmessig. Mange vil føle det trygt å støtte seg til konkreter, for eksempel: - Cuisenairestaver - Base 10 med posisjonsark - pinner, 10 er-bunter og 100- poser.

3 Eksempel: 18 + Noen barn vil se på dette regnestykket slik: 18 + = = = 1 En annen fremgangsmåte er å bruke Åpen tall-linje. Hoderegning - Utvikle egne regneteknikker(hoderegningsstrategier og overgang fra hoderegning til skriftliggjøring av egne metoder og strategier) Etter hvert utvikler vi våre egne strategier for å regne i hodet. Det er veldig individuelt hva man synes er mest effektivt, og vi kan ofte oppleve at andre synes våre strategier er vanskelige og tungvinte. Men det er opp til hver enkelt å finne et effektivt system for seg. Det kan være veldig spennende å forklare for andre hvordan man tenker når man regner i hodet. I tillegg varierer det fra person til person hvor mye data/informasjon vi klarer å holde oversikten over. Når blir det for mye å huske på en gang, og hvordan kan vi skriftliggjøre tankene våre? Du skal altså finne gode måter for DEG å regne riktig og effektivt i hodet. Sum og differens med ensifrede tall MÅ automatiseres, dette er like viktig som gangetabellen! Lag regler og øv til det sitter. ( + =, = 1, 9 + = 1 osv) Aktivitet: Vi leste opp noen addisjons- og subtraksjonsstykker, og lærerne fikk i oppdrag å regne ut svarene i hodet. Det var ikke lov til å skrive ned regnestykkene, bare svaret skulle noteres

4 Klarte vi å henge med? Når følte vi behov for å begynne å skrive regnestykkene? Når tyr vi til algoritmer. Vi fikk en fin diskusjon rundt ulike strategier, og de fleste konkluderte med at det er vanskelig å holde oversikten når man bare hører tallene. Vi viste forskjellige kjente strategier: - dobling og halvering: Regnestykket er Vet at =0, og at vi skal legge til til, så det blir. - oppfylling til 10 : Regnestykket er 8 +. Tar fra, og legger til 8. Får da = 71 Multiplikasjon og divisjon - Forstå multiplikasjon som gjentatt addisjon og som areal Når elevene skal begynne å jobbe med multiplikasjon av desimaltall er det ikke lenger nok å forstå multiplikasjon som gjentatt addisjon. Da er det viktig at de har en forståelse av multiplikasjon som areal.

5 Demonstrasjon: Ruteark og kvadratiske brikker. Her ser vi tydelig, og at det dekker et areal på 1. Å forstå multiplikasjon med heltall som areal, og ikke bare som gjentatt addisjon, gjør overgangen til multiplikasjon med desimaltall enklere for elevene. Eksempel:,, Da kan man ikke si at det er, hauger med, i. Her må vi ty til areal, og at det er flaten som dekkes ved at vi merker av, horisontalt og, vertikalt. - Beherske den lille multiplikasjonstabellen. Aktivitet: Fyll ut den lille multiplikasjonstabell Trenger vi å fylle ut hele tabellen? Multiplikasjonstabellen er symmetrisk om diagonalen skrevet inn. Derfor trenger vi på en måte bare å fylle ut halve tabellen. Tallene i diagonalen kalles kvadrattallene. Hva er spesielt med dem? Let etter mønster og spesielle egenskaper i multiplikasjonstabellen.

6 Praktiske delingsoppgaver KAFFE OG KAKER Noen venner var på kafé. Alle bestilte det samme. Til sammen betalte de 9 kroner. Kaffen kostet 1 kr per kopp. Hvert kakestykke kostet 1 kr. Hva bestilte de, og hvor mange var de? DROPS OG KJÆRLIGHET Noen venner var i kiosken. Alle kjøpte drops og kjærlighet, lik fordeling. Til sammen betalte de 1 kr. Dropsene kostet kr og kjærligheten kr. Hva kjøpte de, og hvor mange var de? Forklaring Noen prøver å løse disse oppgavene ved å sette opp ligning, men oppdager at de har en opplysning for lite til det. Andre prøver seg frem med antall kaffe og kaker slik at de får en sum som går opp i 9. Det spesielle med disse to oppgavene er at de har summer som bare kan primtallfaktoriseres. (Primtall er tall som bare er delelig på seg selv og 1.) 9 = 7 7. Dette er den eneste måten 9 kan skrive som et produkt, fordi både 7 og 7 er primtall. Det betyr at det var 7 venner som var på kafe og alle kjøpte for 7 kroner, dvs en kaffe og to kaker. Denne oppgaven har bare denne ene løsningen. 1 = Her ser vi at vi det er mulig å kjøpe for både 7 og 19 kroner, slik at det kan være 7 venner som kjøper for 19 kroner eller 19 venner som kjøper for 7 kroner. Vi får altså flere løsninger: 1 kr + 8 = 19 kr + = 19 kr + = 19 1 kr + = 7 Hva er en brøk? Hvorfor trenger vi brøk? Desimaltall er spesialtilfeller av brøk. Vi trenger brøk for å uttykke størrelser/tall mellom 0 og 1, altså når vi ønsker å regne med deler av 1 hel. En brøk er en eksakt verdi, mens et desimaltall ofte er en tilnærming.

7 Med brøksirkler: 1 hel delt i. Hver bit er eksakt 1/. Hvis vi skal skrive det med desimaltall blir det 0,..., og det er ikke eksakt. I dagligtalen bruker vi brøker om hulmål, penger, volum, tid, måling osv. For eksempel ¼ liter, et kvarter osv. Hva er størst, 1 eller? Vi legger brøksirkel-bitene oppå hverandre og ser. Da kommer det tydelig fram at størst. På samme måten ser vi også at = 1 Det er veldig viktig at vi innfører skrivemåten samtidig. Da innfører vi notasjonen og symbolbruken på en naturlig måte! Mange elever tror at 1 er større enn 1 fordi er større enn. Derfor er det viktig å bruke konkretene for å fysisk se at jo større nevneren er, jo mindre er brøken fordi nevneren forteller hvor mange deler den hele er delt i = Legg konkreter og skriv symbolene samtidig!

8 NB! Vi må ikke gå i den fella å droppe konkretene for tidlig! Da vil elevene gjøre feil oftere. Elevene kan godt jobbe samtidig med flere visuelle former og oppdeling av dem. Aktivitet: Legg strikk på geobrettet for å vise 1. Oppgaven var ikke definert nærmere. Skal 1 se lik ut, eller er det arealet vi mener? Løsninger med lik form: Hvis vi ikke tenker lik form finnes flere. Det er nok at det er ruter.

9 Utgangspunktet for denne oppgaven var brøk som del av 1 hel, og hele geobrettet var 1 hel. I denne oppgaven kommer det altså an på om vi mener formen eller størrelsen. Unger blir ikke forvirra av å møte brøk på flere måter. Det er tvert imot viktig at de blir vant med å se at den hele de skal finne brøkdeler av kan variere. Eksempel: Når formen er ulik blir ikke brøkdelen eksakt lenger. Det går for eksempel ikke an å sammenligne 1 av ei lita pære med 1 av ei stor pære. Og det går heller ikke å sammenligne en brøkdel av en banan med en brøkdel av ei pære. For at vi skal kunne sammenligne brøker må den hele vi starter med være lik! Øvelse hjemme: Tegn et kvadrat, og be ungene dele det inn i ulike brøkdeler. Se hvordan de tenker, og få dem til å forklare hvordan de tenker. Symboler Det er viktig at barna tidlig blir vant med å se symbolbruken parallelt med bildene vi gir av brøker. Eksempel: Vis at er mer enn. (Mange barn tror at blir fordi de legger sammen teller + teller, og nevner + nevner. Med brøksirklene er det lett å innse at dette ikke stemmer.) Når nevneren er lik som i dette tilfellet beholder vi nevneren når vi adderer. Vi jobber med biter og må huske hva bitene symboliserer.

10 Likeverdige brøker 1 og Hvorfor er de like? Sammenlign og se. Vi deler i dobbelt så mange biter: 1 = Regneteknisk betyr dette å gange med 1. Aktivitet På hvor mange måter kan vi illustrere 1 med brøksirklene?

11 1 1 + = = = Hver tredel er delt i, og vi har av dem. 1 Det finnes flere måter å lage 1 på hvis vi tillater at vi kan blande farger. Hva med ? Blir det også 1? Vi setter sammen til en sirkel og ser at vi får en hel. Det er ofte vanskelig å sammenligne brøker med ulik nevner. For å kunne gjøre det må vi finne fellesnevneren = 1 1 = = + = =

12 En må innse at brøker som skal adderes må ha samme nevner. Ferdighetsmessig kan et interessert barn lære dette teknisk. Spør ungene hvorfor og få dem til å forklare. Still spørsmålet Kan ikke du vise meg? i stedet for å gi dem ei forklaring. Av og til må man gå bakover for å finne ut hva barna eventuelt gjør feil. Hva har de skjønt, og når har de mista oversikten? Be dem tegne 1 eller 1. Noen gjør feil på grunn av slurv, andre fordi de vil det skal gå fort å bli ferdig. Eksempel: Vi må finne en oppdeling som går opp i alle bitene. Bildet til høyre viser at vi har lagt oppå, og at det blir det samme som Kanskje er det 1-deler vi skal bruke da? Hva er fellesnevner, også kalla minste felles multiplum? Vi kan gange sammen alle nevnerne, men da får vi veldig store tall Vi må se på talla og faktorisere. Regn ut: Fordi vi kan gangetabellen ser vi at dette blir 0. Hadde vi multiplisert alle tallene ville vi fått 00 som fellesnevner. = 10 = = = = = 10 0 Dette er det samme som = = 1 1

13 Fakta om brøker: Ekte brøk: mindre enn 1 Uekte brøk: teller større enn nevner teller(antallet) nevner(benevnelse) 1 1 = 1 1 = Dette må vi øve på og lage oss huskeregler, men vi må forstå hva vi gjør! Det er fint å kunne forklare på mange ulike måter. Det er en balanse mellom konkreter, symboler og forståelse. Noen ganger lager barn seg teknikker som fungerer noen ganger, men som er feil noen ganger. Multiplikasjon av brøk 1 1 Du tar 1 og deler opp i fire biter. Her ser vi at 1 1 = 1 1 Samtidig har vi også plassert brøker på tall-linja.

14 Tangram Tangramlegenden For lenge, lenge siden, i det gamle Kina ville Keiseren at tjeneren hans skulle bringe ham et kvadratisk stykke jade. Den uheldige tjeneren mistet det kvadatformede jadestykket så det knuste i sju biter: to store trekanter, en mellomstor trekant, to små trekanter, et parallellogram og et kvadrat. Han var livredd for at Keiseren skulle bli rasende da han oppdaget hva som hadde skjedd, men keiseren ble glad! Han moret seg med å lage figurer av de sju bitene! Aktivitet Beskriv hvordan bitene ser ut. Hva er sammenhengen mellom alle bitene? Hvor mange av de minste trekantene består settet av til sammen? Legg bitene slik at de danner et kvadrat. Svar: Vi trenger 1 biter. Kvadratet: Parallellogrammet: Mellomstor trekant: Stor trekant: Danna av rettvinkla, likebeina trekanter Danna av rettvinkla, likebeina trekanter De to store trekantene er til sammen halvparten av hele kvadratet. Den mellomstore skal i det. hjørnet. Ikke si svaret, det er bedre å få noen hint/tips. Det føles godt å mestre! PROSENTREGNING Prosent er brøk regnet om til hundredeler. For å kunne regne med prosent og regne over til 100-deler er det en forutsetning å være trygg på likeverdige brøker. For eksempel er 1 det samme som 0 %. Da må vi gjøre om 1 til Prosentregning blir vanskelig hvis en ikke er trygg på brøkregning. Mange voksne har lært prosentregning etter en bestemt formel. Denne blir de ofte hengende med hele livet, og klarer ikke å regne prosent på en rask og enkel måte, avhengig av situasjonen og tallene. Oppgaver - 1) En vare koster 1000 kr. Så øker prisen med 0 %, deretter avtar prisen med 0 %. Er prisen igjen 1000 kr? - ) En vare koster 0 kroner. Ny pris er 80 kr. Hvor stort er avslaget? Svar:

15 1) Når prisen øker med 0 % prosent på varen som kostet 1000 kr blir ny pris 100 kroner. Når prisen deretter avtar med 0 % vil det si 0 % av 100 kr slik at avslaget blir 0 kroner. Den nye prisen blir da = 90 (0 80) 70 1 ) Kan regnes på mange måter. For eksempel: = = = 0% 0 0 Aktivitet: To spillere med hvert sitt geobrett og mange strikk. Bruk %-terninger. Kast terningene hver sin gang, og marker så stort område på geobrettet som det terningen viser. Førstemann til å fylle brettet har vunnet. Spørsmål som spillerne må avgjøre: Skal vi regne prosent av området som er igjen, eller av hele brettet? Hvis vi gjør det første, hva skal til for å vinne (det finnes 100 % på terningen)? Sannsynlighet og kombinatorikk Sannsynlighet er noe vi omgir oss med nesten daglig. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner. Men hvor stor er sannsynligheten for å vinne i ulike spill? Og hva er egentlig sannsynlighet? På barnetrinnet er det viktig at elevene blir presentert for sannsynlighet og kombinatorikk på en sånn måte at de forstår at dette er logisk. Med utgangspunktet at sannsynlighet er antall gunstige delt på antall mulige, kan vi nå ganske langt hvis vi skal løse kombinatoriske problemer. Formler for sannsynlighet er ikke nødvendig eller ønskelig på barnetrinnet. Vi må

16 øve oss, og møte ulike problemstillinger i kombinatorikk og sannsynlighetsregning på varierte måter. Vi kan oppgi sannsynlighet som en brøk mellom 0 og 1, eller som prosent. Aktivitet Alle tar 1 terning hver. Velg favoritt-tallet ditt på terningen, og kast 10 ganger. Tell hvor mange ganger du fikk tallet ditt på de 10 kastene. - Hvem fikk sitt tall flest ganger? Alle på gruppa sier tallet de har valgt og hvor mange ganger det forekom. Man kan gjerne lage en stor felles-tabell på overheaden eller på tavla der resultatene samles. - Er det et tall det er mer sannsynlig å få enn de andre? Kan vi si det etter 10 kast? - Hva hvis vi kaster 100 ganger? - Hva hvis vi kaster 1000 ganger? Diskusjon: Barn tror ofte det er vanskeligst å få på terningen. De ønsker så sterkt å få, men får følelsen av at de aldri får det. Hvorfor? Jo, fordi terningen har sideflater, og tallet er bare på en sideflate. På de andre sideflatene er det tall de ikke ønsker å få. Det betyr at de ganger så ofte får et tall de ikke vil ha. Sannsynligheten for ikke + sannsynligheten for er alltid 1 Alle tar terninger hver. Bruk to farger på terningene slik at det er enklere å skille dem. Vi er nå ute etter summen av antall øyne. Velg en sum, kast begge terningene samtidig, legg sammen antall øyne og se om du får summen du har valgt. Kast 10 ganger og tell hvor mange treff du får. - Hvem fikk flest treff? - Lag en felles tabell med resultatene. Hvilket tall forekommer flest ganger? - På 10 kast er det vanskelig å bedømme. Det er i alle fall umulig å få 1. - Alle kaster 10 ganger til. Før disse resultatene inn i tabellen også. Ser vi en tendens? - Fins det flere måter å få ulike summer på? - Hvilket tall tror vi forekommer flest ganger? Finn alle måtene/ kombinasjonene vi kan få de ulike summene på.

17 Tabell over terningkast som gir de ulike summene: Sum Rød terning Hvit terning Mulige kombinasjoner Tabellen viser alle kombinasjonene for summene vi får ved å kaste med terninger og legge sammen antall øyne. 1 er det umulig å få. Vi ser at tabellen er symmetrisk. Det er like sannsynlig å få summen som å få summen 1, og det er like sannsynlig å få summen som å få summen 11. Slik fortsetter det inn mot midten, og vi ser at det er mest sannsynlig å få summen 7. Dette kan gjøres på måter. - Stemmer resultatene våre med tabellen? - Hvorfor/ hvorfor ikke? - Tabellen viser at vi kan få 11 ulike summer.

18 Diskusjon/ Oppsummering: - Sannsynlighet går ut på å finne hvor mange mulige utfall vi har, og deretter se hvor mange av disse som er gunstige i akkurat vårt tilfelle. Eksempel: Hva er sannsynligheten for å få ved kast med én terning? Ettersom terningen har sideflater har vi mulige utfall. Tallet finnes bare på 1 sideflate, slik at 1 utfall er gunstig for gunstige 1 oss. Det gir: s = = mulige - Fra tabellen ovenfor ser vi at sannsynligheten for å få summen 7 ved kast med to gunstige terninger er: s = = mulige 11 - For å finne alle mulige kombinasjoner må vi ta i bruk kombinatorikk. Det er det vi har gjort i tabellen ovenfor for å finne alle mulige kombinasjoner av summer. - Sannsynlighet er en veldig teoretisk verdi. Det sier noe om hvor sannsynlig noe er, vi kan ikke si det helt sikkert, i den forstand at jo flere kast vi foretar, desto nærmere den teoretiske sannsynligheten vil antall gunstige kast delt på antall kast vi har foretatt bli. - I forsøkene vi har gjort kan resultatene stemme dårlig overens med den teoretisk beregnede sannsynligheten. Dette kommer av tilfeldighet, og at med noen få forsøk så kan tilfeldigheten gjøre at vi får et annet resultat enn forventet. Men i det lange løp, med mange forsøk vil resultatene gå mot det teorien tilsier. Dette kalles Store Talls Lov. Det viser seg at man ofte må opp i forsøk for at resultatene skal stemme, men noen ganger kan 1 kast gi akkurat seksere. Da er det tilfeldigheten som rår.. - Man kan bruke digitale verktøy som pc og kalkulator for å simulere forsøk. Da får man raskt ut veldig mange forsøk. Men det har vist seg at det er veldig vanskelig å programmere en datamaskin til å simulere tilfeldig tall. - Hvordan ville forsøket ovenfor bli med, eller terninger? Hvis vi brukte terninger ville vi få summene til og med 18. Vi må sette opp en lignende tabell for å finne ut hvor mange muligheter det er for å få de ulike summene. - Få med barna og lek med terninger og mulige kombinasjoner. La barna erfare at det er like sannsynlig å få Yatzy med -ere som det er å få det med -ere. Men så fort vi er ute etter summer spiller det en rolle hva vi velger som sum. Da kommer det an på hvor mange muligheter det er for å få denne summen med terningene. Bruk dette til å finne ulike kombinasjoner for å samme sum i Hus i Yatzy. Aktivitet A) Til denne aktiviteten bruker vi runde tellebrikker. Hver person velger seg brikker i en farge og 1 brikke i en annen farge. Vi velger lilla og 1 grønn. Trekk 1 brikke i gangen og legg tilbake. Trekk 10 ganger. Hva er sannsynligheten for å få grønn, og hva er sannsynligheten for lilla? - Alle på gruppa sier resultatene sine høyt. Resultatene samles i en tabell? - Hva hadde vi forventa å få? Stemmer resultatene vi fikk med det vi hadde forventa? Hvorfor/ hvorfor ikke? - 1 av brikker er grønn, mens av brikker er lilla. Det kan være lurt å bruke av, slik at elevene ser

19 sammenhengen mellom antall gunstige og antall mulige. Sannsynligheten for å trekke en grønn brikke er 1 og sannsynligheten for å trekke en lilla brikke er. Summen av sannsynlighetene er 1 (siden du trekker alltid enten en grønn eller en lilla). B) Bruker de samme brikkene som i A), men nå skal vi trekke brikker. - Hva er sannsynligheten for at begge er lilla? - Spiller det noen rolle om vi trekker 1 først, så en til (uten å legge tilbake imellom), eller om vi trekker med en gang? Oppsummering: Resultatet blir det samme om vi trekker 1 først, så en til (uten å legge tilbake imellom), eller om vi trekker med en gang. Men det kan være enklere å lage et oppsett slik at vi tydelig kan se hvor stor sannsynlighet det er for lilla hvis vi trekker først 1 og deretter 1 til. Vi vil vise to mulige framgangsmåter:

20 A) Når første brikke skal trekkes er det 1 av som er grønn, derfor 1 sjanse for grønn, mens det er sjanse for lilla. Hvis første brikke var grønn, er det bare lilla igjen, og det er sjanse for å trekke en lilla i neste trekk. Hvis første brikke var lilla, er det nå 1 av som er grønn, mens av gjenværende som er lilla. Det gir 1 sjanse for grønn, og sjanse for lilla.

21 Dette gjør at vi kan sette opp et valgtre for å systematisere: Valgtreet kan vi bruke til å regne ut sannsynligheten for at begge er lilla. 1) Sannsynligheten for at begge er lilla: ) Sannsynligheten for en av hver: 1 = 1 = Vi kan også finne sannsynligheten for en av hver slik: + = = B) Kan også sette opp tabell med mulige kombinasjoner av brikker: Vi nummererer de lilla brikkene fra 1 til, og setter bokstaven G på den grønne.

22 Alle kombinasjonene blir: G, 1 1,,,, G, 1,,, G, 1,, G, 1, G, Totalt er det altså 1 mulige, og vi ser at det er 10 gunstige, dvs lilla. Det gir: gunstige 10 s = = = mulige 1 Aktivitet Hver person har lilla og grønne brikker. Trekk brikker. Hva er sannsynligheten for å få alle ensfarga? Gjør eksperimentet, og sett opp valgtre eller tabell. Lag fordelingstre:

23 Sannsynlighet for bare ensfarga: = 10 Eller tabell: Merk brikkene A, B, C og 1, og Antall gunstige: A, B, 1 A, 1, A, B, A, 1, A, B, A,, A, C, 1 B, 1, A, C, B, 1, A, C, B,, B, C, 1 C, 1, B, C, C, 1, B, C, C,, A, B, C 1,, Her ser vi totalt antall mulige er 0. Antall gunstige er (A, B, C) og (1,, ). gunstige 1 Det gir: s = = = mulige 0 10 Ulike kombinasjoner Til denne aktiviteten har hver deltaker brikker i ulike farger. Gul, grønn, blå, rød og lilla. A) Hvor mange ulike fargekombinasjoner kan du lage når du skal trekke ut to brikker? Vi setter opp tabell: Gul, grønn grønn, blå blå, lilla lilla, rød Gul, blå grønn, lilla blå, rød Gul, rød grønn, rød Gul, lilla Dette gir oss: = 10 Dette er trekanttallene, og de går ofte igjen i ulike mønster. B) På hvor mange ulike måter kan vi plassere brikkene i båser? Eller sagt på en annen måte; hvor mange ulike fargemønster får vi hvis vi skal tre perler med ulik farge på en snor? Den gule kan plasseres på ulike steder. Når den er plassert er det bare steder den grønne kan plasseres.

24 Når disse to fargene er det bare steder å plassere den blå: Da er det mulig å plassere den røde på steder: Når alle de første er plassert er det bare en mulighet for å plassere den lilla: Mulige fargemønster: 1 = 10 Diskusjon: - Hva med bankkoder? Er det så få kombinasjoner? - Hva med LOTTO? Hvor sannsynlig er det å vinne? Oppsummering: Det er mange flere kombinasjoner med en bankkode. Der brukes sifrene fra 0 til 9, og i tillegg kan samme siffer brukes flere ganger. Det er veldig liten sjanse for å vinne i LOTTO. En matematiker har regna på det og kommet fram til følgende: Du reiser med toget fra Trondheim til Oslo. En eller annen har plassert en søppeldunk et eller annet sted på ruta. Du kaster tilfeldig en ting ut gjennom vinduet et tilfeldig sted underveis fra Trondheim til Oslo. Sjansen for at du da treffer søppeldunken er større enn at du vinner i LOTTO!

25 TREKANTER I en pose er det pinner som er buntet sammen tre og tre. Lengdene til alle pinnene er et helt antall centimeter. Summen av lengden av pinnene i hver bunt er 1 cm, og alle mulige kombinasjoner av slike treerbunter finnes i posen. Alle buntene er forskjellige. Dere trekker en tilfeldig bunt fra posen. Hvor stor er sannsynligheten for å trekke en bunt med pinner som kan danne en trekant? Løsning: Sannsynligheten er %. Buntene består av disse kombinasjonene av pinner: 1cm 1cm 10cm 1cm cm 9cm 1cm cm 8cm 1cm cm 7cm 1cm cm cm cm cm 8cm cm cm 7cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm Oppsummering: av 1 bunter inneholder pinner som kan danne en trekant. Det vil si at sannsynligheten for å trekke en slik bunt er /1=1/ (summen av de to korteste pinnene må være større enn den lengste pinnen). Denne oppgaven går både på geometri, sannsynlighet og kombinatorikk. Farget eller fargeløs? Dere har tre pinner. En er farget i begge ender. En er farget i én ende. En er ikke farget.

26 Pinnene er skjult slik at du ikke ser dem. Du griper en tilfeldig ende på en av pinnene uten å se. Du kan da bare se den andre enden på pinnen du har grepet. Du skal nå gjette hvilken farge det er på den enden som er skjult. Er det størst sjanse for å få rett hvis du gjetter A. Samme type ende som du ser (farget hvis du ser en farget ende, ikke farget hvis du ser en ikke farget ende) B. Motsatt type av det du ser. (farget hvis du ser en ikke faget ende, ikke farget hvis du ser en farget ende) C. Eller er det like stor sjanse for å få rett uansett hva du velger? Løsning: Svaralternativ A er rett. A C La oss si at du ser en farget ende. Da har vi garantert ikke tatt pinnen uten farge. Vi ha enten tatt den med to røde ender eller den med én rød ende. Vi holder da på én av tre ender, enten A, B eller C. Holder vi på A, er skjult ende lik den vi ser. Holder vi på B, er skjult ende lik den vi ser. Holder vi på C, er skjult ende IKKE lik den vi ser. B D I to av tre tilfelle vil skjult ende være lik den vi ser. Det er,7 % sjanse for at den skjulte enden er lik den vi ser.