3 Største felles faktor og minste felles multiplum

Transkript

1 3 Største felles faktor og minste felles multiplum 3.1 Største felles faktor og minste felles multiplum. Metodiske aspekter Største felles faktor og minste felles multiplum er kjente matematiske uttrykk som også har med multiplikasjon og divisjon å gjøre. En møter dem gjerne i forbindelse med brøkregningen. Kjenner du begrepene bak ordene? Test deg selv! Hva er største felles faktor og hva er minste felles multiplum for tallene 12 og 18? Forklar hvordan du fant svarene. Vi kan knytte disse begrepene til gangetabellen, eller rettere til de ulike deltabellene i gangetabellen. I denne sammenheng vil vi trekke fram følgende formulering fra L-97: «Elever som strever med multiplikasjonstabellen, må likevel få arbeide videre med begreper og oppgaver som bygger på ideer om multiplikasjon. Mer vesentlig enn å pugge tabellen er det å forstå selve begrepet multiplikasjon og kunne bruke det.» Her fokuseres det på hvor viktig det er at arbeidet med slike tabellkunnskaper ikke bare blir pugg og drill. Elevene må få arbeide med oppgaver og undersøkelser der de kan gjøre erfaringer med sammenhenger og systemer i tabellen, slik at de får flere assosiasjoner til og tankeforestillinger om multiplikasjon. Ett sterkt slikt mønster er symmetrien om diagonalen fra 1 1 til 10 10, se side 43, som viser oss den kommutative lov, at f.eks. 4 9 = 9 4. De ulike gangetabellene, 2-gangen, 3-gangen osv. kommer klart fram i linjene og kolonnene i gangetabellen side 43. Men disse kan også studeres i en liste over tallene fra 1 til 100 (tabell øverst neste side). Ta gjerne noen kopier av listen! Synliggjøring av mønstre kan skje ved fargelegging: 2-gangen fremkommer ved å fargelegge annenhvert tall rødt, 3-gangen kan fargelegges blå, osv. Like viktig som å se hvilke tall som hører med i de ulike tabellene er det å beskrive mønstrene de ulike tabellene KAPITTEL 3 59

2 danner. Videre bør en lete etter forklaringer på hvorfor mønstrene blir slik de blir. Noen gangetabeller lager enkle (noen vil kanskje si kjedelige) mønstre, andre gangetabeller blir mer spennende, og noen lager møster som blir vanskelige å beskrive kanskje ser vi ikke mønster i det hele tatt. En gjør observasjoner som inviterer til navnedannelse. Ideen om møtesteder for gangetabellene kommer naturlig. Noen gangetabeller har mange møtesteder, de treffes ofte, er gode venner. Mens andre tabeller er fremmede for hverandre, de møtes sjelden, faktisk bare når de er helt nødt. Undersøk: Hvilke møtesteder har 4- og 6-gangen? Hvilke møtesteder har 3- og 7-gangen? Finn eksempler på to og to tall unde0 som er gode venner. Finn også eksempler på tall som er fremmede for hverandre. Hva er det som er typisk for tall som er gode venner? Og hva er typisk for tall som er fremmede? Forsøk å si dette så presist som mulig matematisk. Du kjenner kanskje til teknikker for å finne to talls største felles faktor (som vi heretter forkorter til sff) og minste felles multiplum (mfm). Vi skal se på dette senere i kapitlet. Faren er at teknikker lett blir rent mekaniske og fjerner oss fra begrepsinnholdet. Studer utdraget fra et læreverk i figur 3.1 (Folkeskolens matematikkverk, bok 5 b). Legg merke til hvordan begrepsinnholdet bak hvert av de enkelte ordene her trinnvis kommer fram (f.eks.: den største av de som er felles blant faktorene til hvert av tallene). 60 TALLÆRE

3 Faktorene i 12 Faktorene i 20 Felles faktorer i 12 og 20 {1, 2, 3, 4, 6, 12} {1, 2, 4, 5, 10, 20} {1, 2, 4} Den største felles faktor i 12 og 20 4 er den største felles faktor i 12 og 20. Multipla av 4 Multipla av 6 Felles multipla av 4 og 6 {0, 4, 8, 12, 16, 20, } {0, 6, 12, 18, 24, 30, } {0, 12, 24, 36, } Det minste felles multiplum av 4 og 6 12 er det minste felles multiplum av 4 og 6. Figur 3.1 Definisjon av sff og mfm Største felles faktor for to naturlige tall a og b, sff(a, b), er lik det største naturlige tallet som går opp i både a og b. Minste felles multiplum av a og b er det minste naturlige tallet som både a og b går opp i. (det minste tallet som er i både a-gangen og i b-gangen). Alle naturlige tall a og b har en bestemt sff(a, b). For tallet 1 er en felles faktor, og ingen felles faktor kan bli større enn a eller b selv. Mfm(a, b) eksisterer alltid også. For produktet a b er alltid et felles multiplum 1. 1 Kommentar. Bak dette ligger egentlig to fundamentale prinsipper for de naturlige tallene: 1. Enhver ikketom delmengde av naturlige tall som er begrenset oppover må ha et største element. 2. Enhver ikketom delmengde av naturlige tall må ha et minste element. KAPITTEL 3 61

4 Sff og mfm kommer først og fremst til nytte i brøkregningen. Vi bruker sff når vi skal forkorte brøker, og mfm når vi skal utvide brøker for å finne fellesnevner. Dette henger igjen sammen med begrepet likeverdige brøker, dvs prinsippet for at to brøker med ulike tellere og nevnere likevel er like store: Venstre side kan lages slik: Del (en kake) i 3 like deler, og tell opp 2 slike biter. Høyre side: Del (kaken) i 2 3 =6 deler, men tell til gjengjeld opp 2 2 = 4 slike biter. Du får like mye (kake) i de to tilfellene. Overgang fra venstre mot høyre i likheten ovenfor, kalles utviding, mens overgang fra høyre mot venstre vil si forkorting. Begge navnene er uheldige, fordi de antyder at brøkens verdi endres, stikk i strid med selve poenget ved likeverdige brøker. Generelt får vi: I brøkforkortingen gjelder det nettopp å lete etter felles faktorer, og helst den største, for tallene i teller og nevner. Eksemplet nedenfor viser hvordan fellesnevneren for to brøker kan finnes ved å gå veien om lister over likeverdige brøker: For å finne, tenker vi at. Fellesnevneren, 12, framkommer nettopp som det første møtestedet for 4-gangen og 3-gangen, dvs. mfm for 4 og 3. Vi gir også et eksempel fra et område hvor mfm har en praktisk tolkning, nemlig der hvor flere fenomener opptrer periodisk. Problem To rutebåter på kysten har anløp i Bodø, båt A hver 8. dag og båt B hve4. dag. En dag ligger de i Bodø samtidig. Hvor lang tid vil det gå til det skjer igjen, og når vil det skje i framtiden? 62 TALLÆRE

5 Løsning Vi kan tenke slik: Båt A er i Bodø etter 8, 16, 24, 32, osv dager. Båt B er i Bodø ette4, 28, 42, 56, osv dager. Vi søker altså etter møtesteder for 8-gangen og 14-gangen først og fremst det første møtestedet. Som ligning kan vi skrive: 8 x = 14 y = mfm(8, 14) Vi finner mfm(8, 14) = 56. Etter 56 dager, dvs x = 7 runder for båt A og y = 4 runder for båt B, er de igjen samtidig i Bodø. Nå blir det som å starte på nytt: Etter nye 56 dager er båtene igjen samtidig i Bodø, osv. Vi skjønner av dette at vi generelt har: Ethvert felles multiplum for to tall a og b er lik et tall ganget med det minste felles multiplum for a og b, dvs det ligger i mfm(a, b)-gangen. Legg merke til at vi i ligningen ovenfor kunne ha forkortet med 2, som nettopp er lik sff(8, 14), og fått: 4 x = 7 y = mfm(4, 7)=4 7 = 28 Tallene 4 og 7 som da står igjen er det vi kalte fremmede for hverandre, og da finnes deres mfm lett som produktet 4 7. I matematikken sier vi gjerne at de er innbyrdes primiske, dvs. sff = 1. En undersøkelsesoppgave To «fremmede» tall kan skape noe vakkert sammen. a) Slå en sirkel og del periferien inn i n (gjerne like) deler, se figuren for eksemplet n = 8. 7 Kall delepunktene for 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7. Start i 0 og trekk en rett linje til hvert 3. punkt som på figuren. 6 Du får det vi kan kalle en fullkommen 8-stjerne. b) Hvordan går det hvis du for n = 8 i stedet velger å trekke linjer til annethvert punkt eller hvert 4.? Eller hvert punkt? Tegn figur hver gang Vi ser at vi kan velge ulik lengde på «sprangene» våre, og vi bruker d som bestegnelse på spranglengden når vi trekker linjer til hvert 3. punkt er d = 3 osv. KAPITTEL 3 63

6 c) Prøv nå en 10-delt sirkel. Hvilke d-verdier gir fullkomne 10-stjerner? d) Hva blir din hypotese for når n og d vil gi en fullkommen n-stjerne? e) Hvor mange fullkomne 8-stjerner finnes det? Enn 7-stjerner? Enn 12-stjerner? Enn 19-stjerner? f) En kanskje noe vanskelig utfordring: Kan du bevise hypotesen din fra d), dvs. finne en generell logisk argumentasjon for at den må være korrekt? oooooo Mange kjenner metoden for å finne største felles faktor og minste felles multiplum for to tall når deres primtallsfaktoriseringer er kjent: Eksempel Gitt tallene a = 48 = = 2 3 3, b = 180 = = Når vi skal finne størst felles faktor for de to tallene plukker vi ut alle primtallsfaktorer som er felles: Her er det 2, 2 og 3, vi multipliserer disse sammen og få2. Dette må være den største felles faktoren. sff(48, 180) = = = 12 Når vi skal finne minste felles multiplum, må vi finne det minste tallet som er felles i 48-gangen og i 180-gangen. Skal det være et tall i 48-gangen må det inneholde alle primtallsfaktorene til 48, altså: , for å være et tall i 180-gangen må det inneholde alle primtallsfaktorene til180, dvs Starter vi med primtallsfaktorene til 48 mangler vi en 3-er og en 5-er for å finne igjen hele 180. Det gir oss: mfm(48, 180) = Vi finner igjen både 48 og 180 i dette produktet, fjerner vi en av faktorene vil vi ikke lenger finne begge tallene, derfor er dette det minste felles multiplum for tallene 48 og180. mfm(48, 180) = = = TALLÆRE

7 Mange kjenner formuleringen: Vi finner minste felles multiplum for to tall ved å ta med hver enkelt primtallsfaktor så mange ganger som i det tallet den forekommer oftest. Vi ser at dette stemmer med eksempelet ovenfor. 3.2 Euklids algoritme for å finne største felles faktor Når tallene er små kan vi ofte se deres største felles faktor direkte, eller vi kan bruke en av metodene beskrevet foran. Metoden med å finne største felles faktor for to tall ved å primtallsfaktorisere tallene har sin begrensning, da det å finne primtallsfaktorene i store tall generelt er vanskelig. Fra gammelt av er det kjent en helt annen teknikk til å finne største felles faktor for to tall, der motivet ikke primært er knyttet til brøkregning, men til problemet å finne forholdet mellom to linjestykke (eller to størrelser av samme slag, f.eks. to flater eller to volumer). I den sammenheng er det naturlig å snakke om felles mål for to størrelser (tall). Vi kan tenke oss at dette har hatt praktiske anvendelser, f.eks. når en i arkitekturen skulle beskrive et byggverks proporsjoner. Metoden kalles Euklids algoritme og er omtalt hos ham, men går lenger tilbake (Yttrehus side 62 63). Metoden har form som kan minne om en håndverksregel, og går slik: Sett at vi ønsker å finne forholdet mellom de to linjestykkene a og b nedenfor (der b er det minste av de to): a b Avsett b langs a (med passer, f.eks.) så mange hele ganger som mulig. Du får et restlinjestykke, se figuren under. b b r 2 r 2 r 3 r 3 r 3 Avsett deretter langs b så mange hele ganger som mulig. Du får restlinjestykket r 2. Avsett så r 2 langs, og du får restlinjestykket r 3. Avsett så r 3 langs r 2. I vårt eksempel går dette nå opp. KAPITTEL 3 65