FAKTORISERING FRA A TIL Å

Transkript

1 FAKTORISERING FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I KLASSE EMNER Side 1 Innledning til faktorisering F Grunnleggende om faktorisering F Fremgangsmåter F Den grunnleggende teknikken F Primtallsfaktorisering F Trediagram F Hvordan ser vi hva et tall kan deles med? F - 13

2 Grunnleggende om faktorisering Innledning til faktorisering 1 INNLEDNING TIL FAKTORISERING Faktorisering er et viktig verktøy i matematikken. Vi bruker faktorisering til hoderegning, og hvis du behersker faktoriseringsteknikken er det ofte et hendig hjelpemiddel i dagliglivets mange matematiske utfordringer. Særlig nyttig er faktorisering når det kommer til brøkregning, der du ofte har behov for å finne fellesnevner eller for å forkorte brøker. Disse utfordringene kan du se mer om i kapitlet om brøk. Å kunne faktorisere vil også gi deg større trygghet når det gjelder å forstå og behandle tall. 2 GRUNNLEGGENDE OM FAKTORISERING Ordet faktorisering kommer av faktor, som vi finner igjen i forbindelse med multiplikasjon. I en multiplikasjon multipliseres faktorer og svaret kaller vi produkt. Faktor Faktor = Produkt Dette er nærmere forklart i kapitlet multiplikasjon. Ved siden av å forstå at et produkt kan deles opp i faktorer, er det også viktig å kjenne til forskjellen på primtall og sammensatte tall. Primtall og sammensatte tall er nærmere forklart i kapitlet Primtall. F - 2

3 Et tall som kan faktoriseres vil alltid være et sammensatt tall. Ser vi på tallet 14, vil vi se at det er et produkt av to mindre tall, nemlig 2 og = 2 7 Og i grunnen er det dette faktorisering dreier seg om. Faktorisering: Å finne hvilke faktorer et produkt (et tall) er bygget av. Men det er ikke alltid like enkelt å se hvilke faktorer et tall er et produkt av. Når tallene blir større kan det være vanskelig. Ta for eksempel tallet 48. Her trenger vi teknikker for å faktorisere. 3 FREMGANGSMÅTER Vi skal se på 3 ulike eksempler for å vise de vanligste fremgangsmåtene som brukes når et tall skal faktoriseres. Fremgangsmåter Før vi ser på disse eksemplene er det lurt å presentere grunntrekket ved denne teknikken. Det hele går ut på å dividere tallet med primtall, inntil vi står igjen med bare primtall som faktorer. Enkelte ganger er det greit å se hvilke primtall vi kan dividere med, men som en hovedregel gjelder at vi begynner med det minste primtallet 2- og fortsetter med det neste 3 når 2 ikke går lenger. 3.1 DEN GRUNNLEGGENDE TEKNIKKEN Den aller enkleste teknikken består i å sjekke gangetabellen. I dette eksemplet fortsetter vi med tallet 48. Hvis vi finner 48 i gangetabellen, er vi ganske sikre på at vi finner faktorene. Fra 6-gangen ser vi at 6 8 = 48 Den grunnleggende teknikken Altså er Eksempel 1: Trinn a 48 = 6 8 Vi ser at 48 er et produkt av 6 og 8. Det betyr igjen at 48 kan faktoriseres i 6 og 8. F - 3

4 Ofte kan en slik enkel faktorisering være tilstrekkelig, men ikke alltid. Noen ganger, for eksempel i brøkregning, trenger vi å finne ut hvilke primtall et produkt er bygget opp av. Da bruker vi en teknikk som vi kaller primtallsfaktorisering. Før vi ser på denne teknikken skal vi se litt nærmere på de to faktorene vi fant, nemlig 6 og 8. Fra kapitlet om primtall henter vi kunnskapen om at både 6 og 8 er sammensatte tall: Eksempel 1: Trinn b 6 = 2 3 Både 2 og 3 er primtall 8 = er primtall, men 4 er et sammensatt tall (4 = 2 2) Så hvis vi bytter ut 4-tallet med 4 = 2 2, vil vi få 8 = Nå har vi funnet ut hvilke primtall de to faktorene består av. Dette betyr igjen at 48 kan faktoriseres helt ned til primtall: Eksempel 1: Trinn c 48 = = (2 3) (2 2 2) Parentesene skal vanligvis ikke være der. De er tatt med her for å vise hvor primtallene kommer fra, nemlig fra faktorene 6 og 8. Tar vi bort parentesene, ser det slik ut: Eksempel 1: Trinn d 48 = F - 4

5 Det er vanlig å skrive de laveste primtallene først. På sin endelige form vil derfor faktoriseringen av tallet 48 se slik ut: Eksempel 1: Trinn e 48 = Når vi er kommet så langt er det ofte lurt å kontrollere resultatet. Det gjør vi ved å gange faktorene i den rekkefølgen de står. Etter hvert som vi har brukt faktorene, stryker vi dem, for å holde oversikten: 48 = = 4 48 = = 8 48 = = = = 48 En annen måte å vise dette på kan være: 48 = = = = = 48 Her ser vi at vi har faktorisert riktig. F - 5

6 Primtallsfaktrisering 3.2 PRIMTALLSFAKTORISERING Som navnet på denne teknikken antyder, går dette ut på å faktorisere et tall ned til primtallene som tallet er bygget opp av. Primtallsfaktorisering skal vi se på i eksempel 2: Her tar vi utgangspunkt i et litt større tall, nemlig 432. Vi fører opp tallet, og tegner en loddrett linje: Eksempel 2: Trinn a er et partall, og kan derfor deles på 2. Derfor skriver vi et totall på høyre side av linjen: Eksempel 2: Trinn b Totallet betyr at vi skal dele 432 med 2. Det blir 216. Dette tallet skriver vi rett under det opprinnelige tallet, på venstre siden av linjen. Eksempel 2: Trinn c 216 Vi ser at 216 også er et partall, som altså også kan deles på 2. Derfor skriver vi et nytt totall ved siden av 216, på høyre siden av linjen. F - 6

7 Eksempel 2: Trinn d Dette betyr altså at vi skal dele 216 på 2. Det blir 108. Eksempel 2: Trinn e er også et partall som kan deles på 2: Eksempel 2: Trinn f 108 : 2 = 54 Eksempel 2: Trinn g er også et partall. F - 7

8 Eksempel 2: Trinn h 54 : 2 = 27 Eksempel 2: Trinn i 27 Men 27 er ikke et partall. Det kan ikke deles på 2. Da ser vi på det neste primtallet, nemlig 3, og spør: Kan 27 deles på 3? Javisst: 27 : 3 = 9. Så nå skriver vi 3 på høyre siden av linjen. Eksempel 2: Trinn j 27 3 og siden 27 : 3 = 9, skriver vi 9 på venstre siden av linjen: Eksempel 2: Trinn k Vi fortsetter å sjekke om tallet kan deles på 3. F - 8

9 9 : 3 = 3 Altså et nytt 3-tall på høyre siden. Eksempel 2: Trinn l Og, siden vi får 3 når vi deler 9 på 3, skriver vi 3 på venstre siden: Eksempel 2: Trinn m Nå er vi på primtallnivå. 3 kan bare deles på seg selv eller på 1. Da skal vi dele primtallet på seg selv, slik at vi ender opp med 1 til slutt på venstre side. Eksempel 2: Trinn n Og dermed er vi i mål. Nå har vi vist hvilke primtallsfaktorer 432 består av. Avslutningsvis skriver vi opp det faktoriserte resultatet, som vi finner i tallrekken på den høyre siden av linjen. 432 = Vi sjekker om dette kan stemme: F - 9

10 432 = = = = = = = 432 Trediagram 3.3 TREDIAGRAM Fremgangsmåten når vi bruker et trediagram er på mange måter akkurat det samme som primtallsfaktoriseringen i eksempel 2, men utseendet blir noe annerledes. I eksempel 3 bruker vi et annet tall, nemlig 84. Vi begynner med å skrive opp tallet: Eksempel 3: Trinn a 84 Deretter deler vi tallet på det minste primtallet, nemlig 2: 84 : 2 = 42 Vi fører opp både 42 og 2 slik: Eksempel 3: Trinn b F - 10

11 Nå ser vi at 42 også er et partall, som kan deles på 2. Vi får: 42 : 2 = 21 Da fører vi opp både 21 og 2: Eksempel 3: Trinn c Men 21 er ikke et partall. Da forsøker vi å dele på 3. Og det går jo bra: 21 : 3 = 7 Så vi fører opp 7 og 3: Eksempel 3: Trinn d Nå ser vi at det begynner å vokse frem et mønster som kan minne om grener på et tre. 7 kan vi ikke dele på 3. Heller ikke på det neste primtallet, som er 5. 7 er jo selv et primtall. Vi avslutter trestrukturen ved å føre opp både 7 og 1, på samme måte som vi avsluttet primtallsfaktoriseringen: F - 11

12 Eksempel 3: Trinn e Ser vi på dette mønsteret vil vi se at primtallene samler seg på grenene på høyre side. Vi setter dem til slutt opp som et gangestykke, slik vi avsluttet primtallsfaktoriseringen: 84 = og setter prøve: 84 = = = = 84 Og her ser vi at faktoriseringen stemmer. F - 12

13 4 HVORDAN SER VI HVA ET TALL KAN DELES MED? Ved hjelp av noen enkle regler kan vi se om et tall kan deles på 2, 3, 4 o.s.v. Hvordan ser vi hva et tall kan deles med? Dette er nærmere forklart i kapitlet Hoderegning. Du kan også finne en oversikt over disse reglene i kapitlet Regler. Her skal jeg derfor nøye meg med å ta med de aller enkleste og mest brukte reglene. Et tall kan når: Eksempel/forklaring deles på 2 Når tallet er et partall. Alle tall som slutter på 0, 2, 4, 6 eller 8 er partall. 3 Når tverrsummen kan deles på Tverrsummen av 321 er = 6 6 kan deles på 3 derfor kan 321 deles på 3. 5 Når siste siffer er 0 eller 5 Alle tall i 5-gangen slutter på 0 eller 5 6 Når tallet er et partall og tverrsummen kan deles på 3. Her kombinerer vi reglene for deling på 2 og deling på Når siste siffer er 0 F - 13