10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)

Transkript

1 10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes for å tallfeste sannsynligheter for bestemte hendelser i noen utvalgte situasjoner. De fleste eksemplene og oppgavene har så langt vært forholdsvis enkle og oversiktlige slik at en nærmest har kunnet skrive svaret straks en har bestemt seg for hvilken sannsynlighetsmodell en skal benytte. runnen til dette er først og fremst at vi i de fleste situasjonene som er beskrevet, i prinsippet trekker ett element ut av en større samling av elementer; f.eks. ett kort fra en godt blandet kortstokk, kast med ett pengestykke eller en terning og resultatet av en barnefødsel. Det blir større utfordringer når vi nå skal betrakte de mulige resultater en kan få ved flere enn en trekning fra den samlingen en har i utgangspunktet. Konkrete eksempler på problemstillinger kan f.eks. være: Finne sannsynligheten for 1. å få en gutt og en jente i en tobarnsfamilie. å få to jenter og en gutt i en trebarnsfamilie 3. 1 rette i fotballtipping. 7 rette i LOTTO 5. å vinne i et kakelotteri Den mest vanlige måten å løse slike problemer på, går ut på å finne alle kombinasjonene som er mulig, og så telle opp hvor mange av disse som oppfyller den hendelsen det blir spurt om. Dette kalles i statistikken for kombinatorikk. I praksis vil det ofte være formålstjenlig å dele opp problemet i flere trinn, og se på hvilke muligheter som foreligger på hvert trinn. For å konkretisere nærmere, tar vi først for oss problemstilling 1 nevnt foran i dette avsnittet, sannsynligheten for å få en gutt og en jente i en tobarnsfamilie. Dette problemet har vi vært innom ved et par anledninger tidligere, bl.a. i forbindelse med De store talls lov. Vi skal nå se på en teoretisk løsningsmetode. På første trinn ser vi på hvilke muligheter som foreligger ved første fødsel. Resultatet kan bli en jente () eller en gutt (). På andre trinn (fødsel) har vi akkurat de samme mulighetene, uansett hva første trinn (fødsel) måtte ha resultert i (vi holder eneggede tvillinger utenfor i denne betraktningen). Det vi nå har sagt, kan vi sette opp i en enkel skisse: KAPITTEL

2 At resultatet i trinn kan inntreffe uansett hva som skjedde i trinn 1, betyr at for hvert resultat i trinn 1 kan en få et av de to utfallene i trinn. Vi kan derfor gjøre skissen noe mer oversiktlig ved å trekke forbindelsen mellom mulighetene en har i trinn 1 og i trinn : Denne skissen kalles for et trediagram og kan leses slik: Dersom første trinn resulterer i en jente, kan en på andre trinn få resultatet jente eller gutt. Er resultatet på første trinn gutt, kan en på andre trinn også få resultatet jente eller gutt. Dette gir opphavet til følgende utvidelse av trediagrammet: Mulige resultater Av denne skissen ser vi at det er fire muligheter for fordelingen av kjønn i løpet av to fødsler. I oppstillingen helt til høyre er resultatene ordnet slik at i andre linje betegner jente i første fødsel og gutt i andre fødsel (vi kunne også skrive og for denne fødselsrekkefølgen). i linjen under betegner den motsatte fødselsrekkefølgen. Vi har nå avdekket de mulige utfall, og det neste er å bestemme sannsynlighetene for disse utfallene. Ved en geometrisk/ teoretisk vurdering er det like stor sannsynlighet for gutt som for jente ved hver fødsel. Dette betyr at de fire utfallene har samme sannsynlighet for å inntreffe. Da vi søker sannsynligheten for hendelsen en gutt og en jente uten å tenke på fødselsrekkefølgen, ser vi at denne 10 STATISTIKK O SANNSYNLIHETSLÆRE

3 er oppfylt ved utfallene og. Regelen om antall gunstige delt på antall mulige gir at for en tobarnsfamilie vil P en gutt og en jente = antall gunstige antall mulige ( ) = = Ved opptelling finner vi videre at to jenter inntreffer en gang, og ingen jenter inntreffer en gang. Dette gir følgende sannsynlighetsfordeling for kjønnsfordelingen i en tobarnsfamilie Hendelse To jenter En jente Ingen jenter 1 1 en for jente er lik og at sannsynligheten for gutt er lik ved hver fødsel. For å komme fram til sannsynlighetene 1/, / og 1/ har vi kun argumentert med at sannsynligheten for jente og gutt er like store ved hver fødsel, og ikke benyttet oss av at vi vet at hver av dem har en sannsynligheten lik. Imidlertid kan det siste trediagrammet videreutvikles slik at vi kan finne fram til de søkte sannsynlighetene 1/, / og 1/ direkte gjennom å sette inn sannsynlighetene for de enkelte utfall i hvert trinn: Start Mulige resultater 1/ 1/ 1/ 1/ Punktet Start kan her assosieres med at f.eks. et ektepar planlegger å få to barn. Fra start til trinn 1 har vi fra den geometriske modellen at sannsynligheten for jente er lik 0.5, og tilsvarende for gutt. Altså kan vi tenke oss at halvparten av fødslene gir jente. Fra resultatet av trinn 1 til trinn er det tilsvarende resonnement. Hendelsen framkommer da i halvparten av halvparten (nemlig 1/) av alle tobarnsfødsler. en for to jenter er altså 1/. I dette eksemplet merker vi oss at 1 = 1 1 KAPITTEL 10 11

4 som betyr at sannsynligheten for er lik produktet av sannsynligheten for jente i første fødsel og sannsynligheten for jente i andre fødsel. Dette viser at når resultatet i et trinn er upåvirket av resultatene i et hvilket som helst annet trinn, vil sannsynligheten for hendelsen være lik produktet av sannsynlighetene for de enkelte utfall som utgjør hendelsen. F.eks. har vi altså at P() = P() P() som språklig uttrykker at «sannsynligheten for to jenter i en tobarnsfamilie er lik sannsynligheten for jente i første fødsel ganget med sannsynligheten for jente i andre fødsel». Som vi nevnte tidligere, kan venstre side av likhetstegnet også skrives P( og ) slik at vi har at P( og ) = P() P(). Dette er et eksempel på det som kalles for uavhengige hendelser, som er et viktig begrep i sannsylighetsregningen. Dersom vi generelt kan avgjøre at to hendelser A og B er uavhengige, kan vi finne sannsynligheten for at A og B skal inntreffe samtidig ved å multiplisere P(A) med P(B); dvs. at P(A og B) = P(A) P(B). Dette kalles for multiplikasjonssetningen for uavhengige hendelser. Tilbake til metoden til å finne sannsynligheter ved hjelp av trediagram. Et noe annet trediagram vil framkomme i de tilfeller resultatet på første trinn har konsekvenser for sannsynlighetene for resultatet på andre trinn. I slike tilfeller har vi avhengighet mellom hendelsene. For å illustrere dette, kan vi ta utgangspunkt i en gruppe på 5 elever. I denne gruppen er det gutter og 3 jenter. To elever fra denne gruppen skal trekkes ut tilfeldig for å representere klassen i en bestemt anledning. I en slik situasjon kan en stille opp flere problemstillinger: 1. Hva er sannsynligheten for at det blir gutter?. Hva er sannsynligheten for en gutt og en jente? 3. Hva er sannsynligheten for jenter?. Er sannsynligheten for gutter like stor som sannsynligheten for jenter? La oss løse disse problemstillingene ved hjelp av et trediagram. I dette trediagrammet vil vi i kolonnen for første trinn liste opp alle fem mulighetene vi har, nemlig to gutter og tre jenter. Den eleven som blir trukket ut i første trinn, kan ikke bli trukket ut på andre trinn. På andre trinn vil vi altså ha fire muligheter, en mulighet mindre enn på første trinn. Dette skal vi merke oss avviker fra forrige eksempel om kjønnsfordelingen i en tobarnsfamilie. 1 STATISTIKK O SANNSYNLIHETSLÆRE

5 Start Mulige resultater Vi merker oss at de to første sekvensene med gutt i første trekning (trinn) er helt like, og tilsvarende er de tre siste sekvensene med jente i første trekning helt like. Tanken bak dette trediagrammet er å vise at vi i første trekning har fem muligheter mens det i andre trekning er muligheter. Av trediagrammet ser vi videre at det totale antall måter å trekke ut to elever tilfeldig fra de 5 er lik 5 = 0. Da vi fra den geometriske betraktningsmodellen kan si at hver av disse 0 resultatene er like sannsynlige, vil hver av dem bli tildelt sannsynligheten som vist i høyre kolonne. En annen måte å se dette på er å si at i første trekning har hver av elevene en sannsynlighet på 1/5 for å bli trukket ut. Er en elev først blitt trukket ut i første trekning, er gruppen elever redusert til KAPITTEL 10 13

6 fire elever. Ved andre trekning vil hver av disse elevene ha en sannsynlighet på 1/ for å bli trukket ut. en for hvert enkelt utfall blir da 1/5 1/ =. Ved opptelling kan vi nå finne svarene på våre innledende spørsmål. Dette gir følgende sannsynlighetsfordeling for kjønnsfordelingen i dette utvalget på to elever: Hendelse To jenter En jente Ingen jenter Disse sannsynlighetene kan en selvsagt forkorte til henholdsvis 3/ 10, 6/10 og 1/10 eller gjøre dem om til desimaltall. Vi merker oss at summen av sannsynlighetene er lik 1. Vi merker oss også at det i dette tilfellet er 3 ganger så sannsynlig med to jenter i utvalget som to gutter (ingen jenter). Når vi er blitt fortrolige med at sannsynlighetene for de enkelte utfall (kolonnen helt til høyre i trediagrammet) framkommer ved at sannsynlighetene for utfallene ved hvert trinn blir multiplisert med hverandre, kan en som vist i det følgende forenkle det foregående trediagrammet betraktelig: Start Mulige resultater 3/5 / / 6/0 6/0 /5 3/ 1/ 6/0 /0 runnen til denne forenklingen ligger i at vi egentlig ikke spør etter hvilken gutt eller jente som blir trukket ut, bare om det blir gutt eller jente. Før første trekning har en som trediagrammet viser, en sannsynlighet på /5 for å trekke en gutt og sannsynlighet 3/5 for å trekke en jente. Har en først trukket en jente i i første trekning, ser vi at det er like stor sannsynlighet for å trekke jente som gutt i andre trekning (/). en 6/0 for hendelsen framkommer ved å multiplisere sannsynlighetene som følger forbindelseslinjen fra start til i andre trekning. 1 STATISTIKK O SANNSYNLIHETSLÆRE

7 Legg merke til at vi i første trekning har at P( ) = 3, men at vi 5 til slutt får at P( og ) eller like gjerne P 6 0 mens P( ) P( ) = = Dette viser at vi ikke har uavhengighet mellom trinnene i dette eksemplet. runnen til dette er at vi ikke har trekning med tilbakelegging. Oppgaver Oppgave 67 En restaurant tilbyr fire hovedretter: Kjøttkaker, lutefisk, kylling og pølser. Til dessert tilbys multer, is og karamellpudding. Anta at en gjest velger tilfeldig en hovedrett og dessert. Hva er sannsynligheten for at a) gjesten velger kylling og karamellpudding? b) gjesten velger lutefisk? Oppgave 68 En tippekupong består av 1 fotballkamper hvor en tipper i hver kamp skal velge mellom tre mulige utfall H, U og B a) Hvorfor kan en si at å fylle ut en tipperekke er et forsøk bestående av 1 trinn? b) Hvor mange rekker må du fylle ut for å være helt sikker på å få de første to kampene riktig tippet? c) Hvor mange rekker må du fylle ut for å være helt sikker på å få alle tolv kampene riktig tippet? d) Du fyller ut en kupong med 10 ulike rekker. Hva er sannsynligheten for å oppnå 1 rette? Hvilke forutsetninger benytter du deg av? e) Det hevdes ofte at det er like vanskelig å få 0 rette som 1 rette på en tipperekke. Undersøk denne påstanden. Oppgave 69 Det lokale idrettslaget lodder ut to halve griser til jul. Det selges 500 lodder. a) Du kjøper to lodd. Hva er sannsynligheten for å vinne en halv gris? b) Hva er sannsynligheten for ikke å vinne på noen av loddene? c) Du kjøper tre lodd. Hva er sannsynligheten for å vinne en halv gris? d) Hva er sannsynligheten for ikke å vinne på noen av loddene? KAPITTEL 10 15

8 e) Hva er sannsynligheten for å vinne minst en halv gris? f) Hvilken sammenheng er det mellom sannsynlighetene i d) og e)? Oppgave 70 Anta du kaster med to terninger. a) Hva er sannsynligheten for å få to seksere? b) Hva er sannsynligheten for å få en sekser og en treer? Oppgave 71 Eva er en ivrig Yatzy-spiller. (Det spilles med 5 terninger.) a) Hva er sannsynligheten for at Eva skal få 5 seksere på ett kast med terningene? b) Hva er sannsynligheten for at Eva skal få 5 like på ett kast med terningene? c) Hva er sannsynligheten for at Eva skal få akkurat seksere på ett kast med terningene? d) Hva er sannsynligheten for at Eva skal få like på ett kast med terningene? e) Finn sannsynligheten for at Eva får seksere eller 5 seksere på ett kast med terningene. f) Finn sannsynligheten for at Eva får like eller 5 like på ett kast med terningene. Oppgave 7 Et firma kjøper inn artikler pakket i esker á 1 artikler. Som et ledd i kontrollrutinene tar firmaet og kontrollerer en og annen eske, og plukker tilfeldig ut to artikler fra esken. Anta at en eske som blir undersøkt egentlig inneholder tre defekte artikler. a) Hva er sannsynligheten for at akkurat en defekt artikkel blir trukket ut ved kontrollen? b) Finn sannsynligheten for at begge artiklene er defekte. c) Hva er sannsynligheten for at ingen artikler av de som blir trukket ut ved kontrollen er defekte? d) Hvorfor er summen av sannsynlighetene i a), b) og c) lik 1? e) Firmaet mener at esker som inneholder mer enn 0 % defekte artikler bør returneres. i en kommentar til firmaets kontrollrutiner i lys av dette kravet. Hvilke endringer i kontrollrutinene vil du foreslå, og hvorfor? Oppgave 73 I kortspillet poker får hver deltaker utdelt fem kort. a) Hva er sannsynligheten for at en deltaker får inngitt alle fem kortene i spar? b) Hva er sannsynligheten for at en deltaker får inngitt fem kort i en og samme sort? c) Hva er sannsynligheten for å få inngitt fire ess? 16 STATISTIKK O SANNSYNLIHETSLÆRE

9 Oppgave 7 Anta at en familie planlegger å få tre barn (og vi antar ingen eneggede fødsler). a) Finn sannsynligheten for at familien får tre jenter. b) Finn sannsynligheten for at familien får tre gutter. c) Hva er sannsynligheten for 1 jente og gutter? d) Hva er sannsynligheten for jenter og 1 gutt? Oppgave 75 Tallspillet Lotto går ut på å markere 7 tall av 3 mulige tall. Førstepremie oppnås dersom en spiller har alle 7 tallene riktig. Anta at du har tippet en rekke i Lotto. a) Hva er sannsynligheten for å få 7 rette? b) Hva er sannsynligheten for å få 6 rette? Oppgave 76 La A betegne hendelsen 6 er i første kast med en terning og B betegne hendelsen 6 er i andre kast med terningen. Begrunn at A og B er uavhengige hendelser, og benytt dette til å finne P(A og B). Oppgave 77 Du trekker to kort fra en godt blandet kortstokk uten å legge det først uttrukne kortet tilbake. La A betegne hendelsen spar i første trekning og B betegne hendelsen spar i andre trekning. Begrunn at A og B er avhengige hendelser. Finn P(A og B). Oppgave 78 Du deltar i to lotterier A og B. en for å vinne i lotteri A er 0.05 og sannsynligheten for å vinne i lotteri B er Hva er din samlede sannsynlighet for å vinne? Oppgave 79 I avsnitt 10.1 og var vi inne på spørsmålet om hvordan og på hvilket grunnlag noen kunne hevde at sannsynligheten for at en bestemt person skal utvikle en hjertesykdom er 70 %. Har du noen forslag på hvilket grunnlag en slik sannsynlighet kan settes opp? 10.5 Mer kombinatorikk Den måten å nærme seg løsningen på kombinatoriske problemer som er utført i avsnitt 10., ligger tett opp til måten å arbeide med slike problemstillinger i grunnskolen. Vi skal legge merke til at vi i avsnitt 10. behandlet problemer som gikk over to trinn. Så lenge vi begrenser oss til to-tre trinn er trediagrammet en oversiktlig måte å arbeide på. I en vanlig LOTTO-trekning er det f.eks.7 trinn (trekninger) som avgjør førstepremie-rekken (jfr. oppg. 75). Vi skal i KAPITTEL 10 17