En studentassistents perspektiv på ε δ
|
|
- Ruth Aase
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 En studentassistents perspektiv på ε δ Øistein Søvik 16. november y ε 4 3 ε δ 1 δ 2 x Figur 1: Illustrerer grenseverdien lim x 1 2x + 1. Innledning I løpet av disse korte sidene skal vi prøve å forklare litt omkring bevisformen som på folkemunne omtales som ε δ eller ε δ-bevis. Mange som støter på dette når de begynner på universitetet ser ikke nytteverdien, og forstår heller ikke helt hvorfor bevisformen fungerer. 1
2 Epsilon-delta eller en konkurranse mellom hunder og katter? Merk: Grenseverdier er litt som å gå på tur med en hund. Hunden bryr seg ikke om målet, den skal jo bare hjem til slutt. Det som er vesentlig er reisen mot målet. Det samme gjelder grenseverdier, vi er aldri interessert i hva som skjer i et punkt, men heller hva som skjer når vi nærmer oss punktet. Dersom verdien vi får når vi nærmer oss punktet, er det samme som i punktet, sier vi at funksjonen er kontinuerlig. Altså lim f(x) = f(c), (1) x c hvor venstresiden representerer reisen og høyresiden representerer målet. La oss vende tilbake til ε δ. I et nøtteskall sier definisjonen følgende: lim f(x) = L ( ε > 0)( δ > 0)( x c < δ f(x) L < ε), x c Men hva betyr egentlig denne pussige notasjonen? 1 Konkret sier notasjonen ovenfor at for alle tall ε > 0 så eksisterer det et annet tall δ > 0 slik at når avstanden mellom x og c er mindre enn δ så er avstanden mellom f(x) og L mindre enn ε. Forklaring 1: La oss bryte dette ned til hunde-metaforen fra tidligere. Her vil hjemmet være L og stien hjem vil være f(x). Så f(x) L < ε betyr at avstanden hjem er mindre enn ε. Tilsvarende er c tidspunktet du kommer hjem og x c < δ betyr at tiden før du er hjemme er mindre enn δ. Definisjonen sier at at uansett hvor nærme du er hjemmet ditt, altså f(x) L < ε. Så kan du alltid finne et tidspunkt δ, slik at ved dette tidspunktet er avstanden hjem mindre enn ε. Intuitivt sett virker dette presist det samme som kontinuitet. Uansett hvor nærme du er, kan du alltid komme litt nærmere. Forklaring 2: La oss prøve oss med en annen forklaring. En måte er å betrakte ε-δ som en lek mellom katter og hunder. Katten velger en vilkårlig liten ε og hunden må prøve å finne en frekk liten δ slik at x c < δ = f(x) L < ε. La oss illustrere dette med konkrete tall og en fin figur. Det pedantiske eksempelet som velges er å vise at funksjonen f(x) = 2x + 1 er kontinuerlig i punktet 1. Dette er det samme som å vise at lim f(x) = f(1). (2) x 1 1 For å oppklare så kalles og for logiske quantifiers. = for alle, = det eksisterer. 2
3 Siden høyre siden er 3, står vi igjen med å vise lim f(x) = 3. (3) x 1 Merk at vi ikke bare kan sette inn x = 1 i 2x + 1 siden dette er verdien i punktet. Vi ønsker å vise at grenseverdien altså reisen mot punktet er det samme som verdien i punktet. La oss begynne med leken mellom hundene og kattene. Katt: Du klarer ikke å finne en δ slik at f(x) L < 1 dummen! Hund: Voff? La oss hjelpe bisken til å finne svaret. Å finne en slik δ er illustrert i figur(1). Området f(x) L < 1 = ε er markert i rødt mellom de stiplede linjene, og x c < δ er markert i grønt. Ut i fra figuren ser det ut som δ = 1/6 kanskje fungerer. Med andre ord håper vi at avstanden mellom L og f(x) er mindre enn 1 når avstanden mellom x og 1 er mindre enn 1/6. Altså x 1 < 1/6 = f(x) 3 < 1. La oss teste om dette fungerer. Vi begynner med å forenkle uttrykket f(x) L = (2x + 1) 3 = 2 x 1 < 2δ = < 1 = ε. Dette viser at for en spesifikk ε eksisterer det en δ. Målet med leken er at uansett hvilken ε katten velger - stor eller liten - så skal hunden alltid klare å finne en δ slik at vi er innenfor området. Vi tippet og fant en konkret verdi, men denne fungerer ikke om vi velger ε < 1/4 for eksempel. Så hvordan angriper en problemet generelt? En generell fremgangsmåte for elementære funksjoner La oss i stedet for 1 sette tilbake ε, men fortsatt ha i tankene at det bare representerer et lite tall. Vi ønsker å vise at x 1 < δ medfører f(x) 3 < ε. Fremgangsmåten er å begynne med å forenkle f(x) 3 da ser en at f(x) 3 = 2 x 1 < 2δ. For at dette skal være mindre enn ε er det bare å velge δ < ε/2. Så ved å velge δ < ε/2 vinner alltid hunden! Katten vil aldri klare å finne en ε verken stor eller liten slik at x c < δ f(x) L < ε. Katt:... Merk at det ovenfor stort sett bare er kladd. Et eksempel på vanlig føremåte er vist under 3
4 Bevis. Ønsker å bevise at f(x) = 2x+1 er kontinuerlig for x = 1. La δ < ε/2, f(x) c = (2x + 1) 3 = 2 x 1 < 2δ < 2 ε 2 = ε, (4) som var det som skulle vises. Oppgave A) Bevis ved hjelp av ε δ at 3x + 2 er kontinuerlig for x = 0. B) Vis at en kan velge δ < ε/a, dersom en ønsker å bevise at alle funksjoner på formen f(x) = ax + b er kontinuerlig i punktet x = c. Noen vanskeligere eksempler Som oppgaven ovenfor hinter til er det en lineær sammenheng mellom ε og δ for lineære funksjoner. For andre funksjoner kan det være en helt annen relasjon, eller ingen relasjon i det hele tatt. La oss begynne med et eksempel på en funksjon hvor det ikke er en sammenheng. Eksempel 1.1. Bevis at funksjonen f ikke er kontinuerlig i punktet a = 0. { 1 + x for x < 0 f(x) = x for x 0. (5) Legger først merke til at L = f(0) = 0. Grenseverdien vi så studerer er lim f(x) = 0. (6) x 0 Vi kan nærme oss 0 fra høyre eller venstre side. Dersom vi nærmer oss fra høyre er beviset trivielt. Ønsker å vise at lim f(x) = 0. (7) x 0 + Velg δ < ε da er f(x) L = x 0 = x < δ < ε og vi er ferdige. Nå var f(x) = x siden vi nærmet oss grensen fra høyre. Dersom vi prøver å nærme oss funksjonen fra venstre så er L = 0 og x δ som før, men f(x) = x + 1! Forskjellen dette utgjør er at f(x) L = x = x + 1. Merk at siden x < δ betyr dette at x alltid er hårfint større enn null. Dette medfører at x + 1 > 1 for alle x. Tanken nå er derfor å velge ε < 1 fordi da kan det ikke eksistere en x < δ slik at f(x) L = x + 1 < ε. Løsningsforslaget valgte ε < 1/2, men her kunne like gjerne valgt ε < eller ε = e/π. 4
5 Eksempel 1.2. La oss vise noe litt vanskeligere, nemlig at kvadratiske funksjoner også er kontinuerlige 2. Vi ønsker altså å vise at f(x) = x 2 er kontinuerlig for x = a. Vi har nå at L = a 2 og x a < δ. Faktorisering gir f(x) L = x 2 a 2 = x a x + a. (8) Vi vet at x a < δ. Målet er nå å finne ut hvor stor x + a kan bli. Ved å skrive x + a = (x a) + 2a så er x + a x a + 2a (hvorfor?). Altså er f(x) L x a ( x a + 2 a ) < δ a δ. (9) I siste overgang ganget en bare ut parentesen og brukte at x a < δ. La oss dele opp ε i to deler. Anta at a < ε. Hvorfor vi valgte akkurat denne oppdelingen blir klart snart. Da holder det å velge δ = 1 siden f(x) L < δ a δ = a < ε. (10) Vi drøftet først tilfellet a < ε, som du kan tenke på som store verdier av ε (se på a = 2 osv.) Vi ser nå på mindre verdier av ε, altså ε a. Intuitivt sett burde en mindre ε bety at vi trenger en mindre δ. For store ε valgte vi δ = 1. Et naturlig valg er derfor å anta at δ < 1. Vi vet enda ikke hvor mye mindre den er, men det er et utgangspunkt. Når δ < 1 så er δ 2 < δ (gang med δ på begge sider av ulikheten). Altså δ a δ < δ + 2 a δ (1 + 2 a )δ. (11) For at dette skal være mindre enn ε må vi (selvsagt?) velge δ = ε/(1 + 2 a ). Vi kan altså definere δ som følger { 1 for ε a δ = ε/ ( a ) for ε < a. (12) Som er det samme som δ = min { 1, ε/ ( a )}. Merk vi kunne og ha sagt fra starten av at δ 1. Enten er denne verdien god nok, eller så må vi finne en bedre δ. Vi har x+a < x a + 2a < 1+ 2a siden x a < δ 1. Da δ i værste tilfellet kan bli så stor som 1. Dette medfører at x 2 a 2 = x a x + a < δ(1 + 2 a ). Herfra må vi velge δ = ε/(1 + 2 a ) for at dette skal være mindre enn ε. Naturlig nok blir svaret det samme som før, vi velger δ mindre enn minimum av 1 og ε/(1 + 2 a ). 2 Merk at dette er bare for illustrasjonens skyld. Anta at en ønsker å vise at alle polynomer er kontinuerlige. Da viser en først at x er kontinuerlig. Så viser en at summen og produktet av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig. Dette er nok, og undertegnede syntes det er ekstremt tøft 5
Kontinuitet og grenseverdier
Kontinuitet og grenseverdier Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 5. januar 2009 1 Innledning Kontinuitetsbegrepet For å motivere og innlede til kontinuitetsbegrep skal vi først undersøke
DetaljerDerivasjonen som grenseverdi
Gitt graf. Start/stopp. Fra sekant til tangent. Veien til formelen for den deriverte til funksjon f i et punkt Animasjonens jem: ttp://ome.ia.no/~cornelib/animasjon/ matematikk/mate-online-at/ablgrenz/
DetaljerDiofantiske likninger Peer Andersen
Diofantiske likninger av Peer Andersen Peer Andersen 2013 Innhold Når en diofantisk likning har løsning... 3 Generell løsning av den diofantiske likningen... 4 Løsningsmetode når vi kjenner en spesiell
Detaljer2.3 Delelighetsregler
2.3 Delelighetsregler Begrepene multiplikasjon og divisjon og regneferdigheter med disse operasjonene utgjør sentralt lærestoff på barnetrinnet. Det er mange tabellfakta å huske og operasjonene skal kunne
DetaljerLineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerOppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09
Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
Detaljer1 Mandag 1. februar 2010
Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon
DetaljerAnalysedrypp III: ɛ-δ og alt det der
Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Mange strever med ɛ-δ-argumenter. Det er flere grunner til dette: Noen har problemer med å forstå den underliggende tankegangen, mens andre sliter med de grunnleggende
DetaljerBarn som pårørende fra lov til praksis
Barn som pårørende fra lov til praksis Samtaler med barn og foreldre Av Gunnar Eide, familieterapeut ved Sørlandet sykehus HF Gunnar Eide er familieterapeut og har lang erfaring fra å snakke med barn og
DetaljerKvikkbilde 8 6. Mål. Gjennomføring. Planleggingsdokument Kvikkbilde 8 6
Kvikkbilde 8 6 Mål Generelt: Sammenligne og diskutere ulike måter å se et antall på. Utfordre elevene på å resonnere omkring tallenes struktur og egenskaper, samt egenskaper ved regneoperasjoner. Spesielt:
Detaljer1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at
Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8
DetaljerLøsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik
Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 I kapittel 5 har mange av oppgavene et mer teoretisk preg enn du er vant til fra skolematematikken, og jeg har derfor lagt vekt på å lage løsningsforslag
DetaljerGrafer og funksjoner
Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerTallinjen FRA A TIL Å
Tallinjen FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til tallinjen T - 2 2 Grunnleggende om tallinjen T - 2 3 Hvordan vi kan bruke en tallinje T - 4 3.1 Tallinjen
DetaljerEnkle generiske klasser i Java
Enkle generiske klasser i Java Oslo, 7/1-13 Av Stein Gjessing, Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Del 1: Enkle pekere Før vi tar fatt på det som er nytt i dette notatet, skal vi repetere litt
DetaljerTALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b.
TALLÆRE UKE 34. Faktor. Hva er en faktor i et heltall? Vi fant ut at hvis et heltall b er med i et regnestykke med kun multiplikasjon som gir heltallet a som svar da er b faktor i a. Eksempel: 3 8=24 og
DetaljerLøsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik
Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere
Detaljerx 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder
4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes
DetaljerHvorfor kontakt trening?
1 Hva menes med kontakt? Med kontakt mener jeg at hunden skal ta blikkontakt med deg og at den er oppmerksom og konsentrert på deg. Hvorfor kontakt trening? Kontakt trening tørr jeg påstå er den viktigste
DetaljerViktig informasjon ang. lagringsområder
Viktig informasjon ang. lagringsområder Ved overgang fra Windows XP til Windows 7: Spørsmål ang. hjemmeområdet på nettverket og mappen Mine dokumenter Spesielle hensyn for bærbare maskiner Hvor er det
DetaljerMAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.
MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal
DetaljerAnalysedrypp II: Kompletthet
Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
DetaljerSUBTRAKSJON FRA A TIL Å
SUBTRAKSJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til subtraksjon S - 2 2 Grunnleggende om subtraksjon S - 2 3 Ulike fremgangsmåter S - 2 3.1 Tallene under hverandre
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
DetaljerHannametoden en finfin nybegynnermetode for å løse Rubik's kube, en såkalt "layer-by-layer" metode og deretter en metode for viderekommende.
Hannametoden en finfin nybegynnermetode for å løse Rubik's kube, en såkalt "layer-by-layer" metode og deretter en metode for viderekommende. Olve Maudal (oma@pvv.org) Februar, 2012 Her er notasjonen som
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på
Detaljer3 Største felles faktor og minste felles multiplum
3 Største felles faktor og minste felles multiplum 3.1 Største felles faktor og minste felles multiplum. Metodiske aspekter Største felles faktor og minste felles multiplum er kjente matematiske uttrykk
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter
DetaljerLøsningsforslag R1 Eksamen. Høst 29.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik
Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 29.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere
DetaljerVelkommen til eksamenskurs i matematikk 1
Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerBESTEMT ELLER UBESTEMT FORM?
BESTEMT ELLER UBESTEMT FORM? Substantivene kan være i bestemt eller ubestemt form på norsk. Vi har noen absolutte regler for hvilken form vi skal bruke, men tre viktige distinksjoner hjelper oss også når
Detaljer1.2 Posisjonssystemer
MMCDXCIII. c) Skriv som romertall: 1) Ditt fødselsår 2) 1993 3) År 2000. 1.2 Posisjonssystemer Vi ser her nærmere på begrepet plassverdi og ulike posisjonssystemer. Utgangspunktet er at en vil beskrive
DetaljerIngen vet hvem jeg egentlig er. Hjelperens møte med skammens kjerne - ensomheten
Ingen vet hvem jeg egentlig er Hjelperens møte med skammens kjerne - ensomheten Oslo, 21. oktober 2013 Trine Anstorp, spesialrådgiver RVTS Øst og psykologspesialist Om skam En klient sier: Fra når jeg
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
DetaljerUtforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra
Anne-Mari Jensen Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Innledning I ungdomsskolen kommer funksjoner inn som et av hovedområdene i læreplanen i matematikk. Arbeidet
DetaljerMAT1030 Forelesning 19
MAT1030 Forelesning 19 Generell rekursjon og induksjon Roger Antonsen - 25. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-25 11:06) Forelesning 19 Forrige gang så vi på induktivt definerte mengder og noen eksempler
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER
INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...
DetaljerSelvfølgelig er jeg like dyr som en bil. Nå skal jeg fortelle deg hvorfor! Førerhunden Sesam - en liten hund med en stor oppgave
Selvfølgelig er jeg like dyr som en bil. Nå skal jeg fortelle deg hvorfor! Førerhunden Sesam - en liten hund med en stor oppgave Vi skal være øyne for blinde personer når vi blir store Foto: Thomas Barstad
DetaljerHANDLINGSPLAN MOT MOBBING SALHUS BARNEHAGE
HANDLINGSPLAN MOT MOBBING SALHUS BARNEHAGE 1 MÅL: Salhus barnehage skal være et sted fritt for mobbing. Et sted hvor man skal lære seg å forholde seg til andre mennesker på en god måte. Hva er mobbing?
DetaljerVektorligninger. Kapittel 3. Vektorregning
Kapittel Vektorligninger I denne uken skal vi bruke enkel vektorregning til å analysere lineære ligningssystemer. Vi skal ha et spesielt fokus på R, for det går an å visualisere; klarer man det, går det
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 8 Oppgaver fra boken: 10.1 : 13, 14, 18 10.2 : 15, 18, 32 10.3
DetaljerEnkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015
Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8
Detaljer10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)
10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes
DetaljerGauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
DetaljerTaylor- og Maclaurin-rekker
Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =
DetaljerRepetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon
Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og
Detaljer2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent
MATEMATIKK: 2 Likninger 2 Likninger 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent Ulike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolen brukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempel
DetaljerHund som bjeffer. Ugle som uler. Gresshopper. Jonas og Mikael ligger/sitter/står i veikanten, ser rett frem. Unormalt lange haler. De er pungrotter.
THE MERCURY AND THE MAGIC By Rolin Jones Hund som bjeffer. Ugle som uler. Gresshopper. Jonas og Mikael ligger/sitter/står i veikanten, ser rett frem. Unormalt lange haler. De er pungrotter. Jeg har tenkt
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9
Fsit til utvlgte oppgver MAT00, uk 20-24/9 Øyvind Ryn oyvindry@ifi.uio.no September 24, 200 Oppgve 5..5 år vi viser t f er kontinuerlig i ved et ɛ δ-bevis, er det lurt å strte med uttrykket fx f, og finne
DetaljerADDISJON FRA A TIL Å
ADDISJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til addisjon 2 2 Grunnleggende om addisjon 3 3 Ulike tenkemåter 4 4 Hjelpemidler i addisjoner 9 4.1 Bruk av tegninger
DetaljerTilvenning i Blåveiskroken barnehage.
Tilvenning i Blåveiskroken barnehage. 1 Tilvenning et samarbeid mellom hjemmet og barnehagen Mål: At tilvenningen skal bli en trygg og god tid for barn og foreldre. Alle barn trenger tid til å venne seg
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon
DetaljerForslag til opplegg for en foreldrekveld om matematikk (varighet: 2 timer) v/ Ingvill M. Stedøy-Johansen, 2007
Forslag til opplegg for en foreldrekveld om matematikk (varighet: 2 timer) v/ Ingvill M. Stedøy-Johansen, 2007 Inviter foreldrene på matematisk aften (forslag til invitasjon nederst i dette dokumentet).
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 1. oktober 2005. Tid for eksamen: 9:00 11:00. Oppgavesettet er på
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente. Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerNotater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09
Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 28. august 2009 Definisjon 1.1. En delmengde A R kalles oppad begrenset dersom det finnes et tall b R slik at b x
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne
DetaljerTelle i kor steg på 120 frå 120
Telle i kor steg på 120 frå 120 Erfaringer fra utprøving Erfaringene som er beskrevet i det følgende er gjort med lærere og elever som gjennomfører denne typen aktivitet for første gang. Det var fire erfarne
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 29: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 13. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-17 22:38) Forelesning 29: Kompleksitetsteori
DetaljerLøsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er
DetaljerKomplekse tall og komplekse funksjoner
KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som
DetaljerECON 2200, Kjerneregel, annenderivert og elastisitet; Handout
ECON 2200, Kjerneregel, annenderivert og elastisitet; Handout Kjell Arne Brekke January 27, 20 Inledning Dette notatet er noen begreper og noen oppgaver som kan hjelpe deg til å forberede deg til forelesningen.
DetaljerFigur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.
11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike
DetaljerForelesning 29: Kompleksitetsteori
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 29: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 29: Kompleksitetsteori 13. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-17
DetaljerEnkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker
Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med
DetaljerLØVELOVEN VI ER VENNER.
LØVELOVEN KAN DU LØVELOVEN? JEG SKAL VÆRE MEG, MEN GI PLASS TIL ANDRE, SLIK AT DE BLIR SEG. BRY MEG OM EN ANNEN HJELPE HVIS JEG KAN. SLIK BLIR LIVET BEDRE FOR BARN I ALLE LAND. SER DU EN SOM PLAGES? DET
DetaljerMatematisk induksjon
Matematisk induksjon 1 Innledning Dette er et nytt forsøk på å forklare induksjon. Strategien min i forelesning var å prøve å unngå å få det til å se ut som magi, ved å forklare prinsippet fort ved hjelp
DetaljerOPPSETT FASITEN. Feltagenter. Spionmestere
OPPSETT Spillerne deler seg inn i to jevne lag. Man må være minst 4 personer (to lag) for å spille et vanlig spill. Bakerst finner dere regler for spill med bare 2 og 3 spillere. Hvert lag velger sin spionmester.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerTeskjekjerringa er en hjertevenn!
Teskjekjerringa er en hjertevenn! En hjertevarm sommermusikal om mennesker og dyr i Alf Prøysens rike! Om forestillingen: Forestillingen ble spilt i juni -14 av 60 barn i alder 1-5 år, med hovedvekt på
DetaljerEtterrettelig skriving Mariell Karlsen Bakke
Etterrettelig skriving Mariell Karlsen Bakke Barnevernet 1 Problemstilling: Hvilke regler må barnevernet forholde seg til, og hvordan påvirker dette deres arbeid. Oppgaven I 2011 kom over 14 000 nye barn
DetaljerLøsningsforslag til utsatt eksamen 2. desember 2015
Løsningsforslag til utsatt eksamen 2. desember 2015 Oppgave 1 (vekt 20 %) a) Løs ligningen 3x 2 7x + 2 = 0 ved å bruke formelen for løsning av andregradsligninger. Løsning. 3x 2 7x + 2 = 0 x = ( 7) ( 7)2
DetaljerTilvenning i Blåveiskroken barnehage.
Tilvenning i Blåveiskroken barnehage. www.blaveiskroken.no 1 Tilvenning et samarbeid mellom hjemmet og barnehagen Mål: At tilvenningen skal bli en trygg og god tid for barn og foreldre. Alle barn trenger
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 14. oktober 2016 Tid for eksamen: 13.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,
DetaljerHvorfor blir det færre og færre elever på noen skoler enn på andre?
Konsvik skole 8752 Konsvikosen v/ 1.-4. klasse Hei alle 1.-4.klassinger ved Konsvik skole! Så spennende at dere er med i prosjektet Nysgjerrigper og for et spennende tema dere har valgt å forske på! Takk
DetaljerLøsningsforslag 1T Eksamen. Høst Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik
Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 24.11.2014 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
DetaljerEtterarbeid til forestillingen «stor og LITEN»
Etterarbeid til forestillingen «stor og LITEN» Beate Børresen har laget dette opplegget til filosofisk samtale og aktivitet i klasserommet i samarbeid med utøverne. Det er en fordel at klassen arbeider
DetaljerHer er et eksempel på hvordan en konteringsmal brukes, under registrering av en telefonregning fra Telenor (Innkjøp > Leverandørfaktura):
Konteringsmaler Konteringsmaler kan benyttes under bilagsregistrering og under registrering av leverandørfakturaer. De brukes for å forenkle konteringen av bilagene. Når du bruker en konteringsmal trenger
DetaljerFravær pa Horten viderega ende skole
Fravær pa Horten viderega ende skole Horten videregående skole har hatt problemer med høyt fravær og frafall blant sine elever. Når vi skulle velge oppgave, synes vi det kunne være spennende å finne ut
DetaljerLøsningsforslag midtveiseksamen Mat 1100
Løsningsforslag midtveiseksamen Mat 00 Høsten 202 Oppgave : Riktig svaralternativ er C Vi får r = 2 2 +( 2 3) 2 = 4+4 3= 6 = 4. Videre ser vi (tegn figur) at argumentet til z vil være 60 mer enn 80, dvs.
DetaljerUndersøkelse om begynnerstudiene i matematikk ved MNTinstitusjonene. - Et studentperspektiv
Undersøkelse om begynnerstudiene i matematikk ved MNTinstitusjonene - Et studentperspektiv 1 Hvem er vi? Marthe Fallang og Pia Lindstrøm Masterstudenter i matematikk ved Universitetet i Oslo Studentrepresentanter
DetaljerStart et nytt Scratch-prosjekt. Slett kattefiguren, for eksempel ved å høyreklikke på den og velge slett.
Hvor i All Verden? Del 1 Introduksjon Hvor i All Verden? er et reise- og geografispill hvor man raskest mulig skal fly innom reisemål spredt rundt i Europa. I denne første leksjonen vil vi se på hvordan
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerPosisjonsystemet FRA A TIL Å
Posisjonsystemet FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til posisjonsystemet P - 2 2 Grunnleggende om posisjonsystemet P - 2 3 Titallsystemet P - 3 4 Posisjonsystemet
DetaljerEksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 27 848 Eksamensdato:. august 2014 Eksamenstid (fra
DetaljerIntegrasjon Skoleprosjekt MAT4010
Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning
DetaljerKvikkbilde Mål. Gjennomføring. Planleggingsdokument Kvikkbilde 4 12
Kvikkbilde 4 12 Mål Generelt: Sammenligne og diskutere ulike måter å se et antall på. Utfordre elevene på å resonnere omkring tallenes struktur og egenskaper, samt egenskaper ved regneoperasjoner. Spesielt:
DetaljerGrafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.
MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 20. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-20 4:8) MAT030 Diskret Matematikk 20. april 200
Detaljer