Taylor- og Maclaurin-rekker
|
|
- Torvald Haraldsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t t n + t e x = + x + x + x3 + x xn + 3! 4! n! Altså: Hvis vi satte inn samme tall for x eller t på begge sider, ville vi få samme verdi ut Men hvordan finner vi selv potensrekker som er lik kjente og kjære funksjoner? Hvordan finner vi potensrekker c n (x a) n som svarer til cos x, til ln x, osv? n=0 Se metodeark 3 for potensrekker: Taylor- og Maclaurin-rekker Potensrekkene i seg selv er lite nyttige i praktisk regning, men delsummene er desto nyttigere Delsummene til Taylor-rekker kaller vi Taylor-polynomer Se metodeark 4 for potensrekker: Taylor-polynomer Taylor-polynomene generert av en funksjon f er tilnærminger til f selv Men hvor gode er disse tilnærmingene? Og konvergerer de mot f selv? Det vil si: Konvergerer Taylor rekka generert av f mot f selv? Se metodeark 5 for potensrekker: Taylor s teorem og feilestimat
2 Potensrekker: Metode 3, Taylor- og Maclaurin-rekker I boka: Kapittel 87, Definition, Taylor Series, Maclaurin Series, s 67 Regel/Formel: Hvis vi starter i et punkt a, og har en funksjon f som kan deriveres vilkårlig mange ganger i a, kan vi finne ei potensrekke sentrert i a som kalles Taylor-rekka generert av f i a Vi vil kalle den Taylor-rekka til f i a Taylor-rekka til f i a ser slik ut: k=0 f (k) (a) (x a) k = f(a) + f (a)(x a) + f (a)! Maclaurin-rekka til f er spesialtilfellet der a = 0: k=0 (x a) + + f (k) (a) (x a) k + f (k) (0) x k = f(0) + f (0) x + f (0) x + + f (k) (a) x k +! I de tilfellene vi vil støte på, vil Taylor- og Maclaurin-rekkene til en funksjon f være lik f selv, innenfor konvergensintervallet til rekka Husk at ei potensrekke sentrert i a rett og slett er ei potensrekke med termer av typen 3(x a), 5(x a), π(x a) 4 (osv) Siden x 0 = x, blir for eksempel (x 0) 7 = x 7
3 Metode: En av de greieste metodene for å finne Taylor-rekker er å sette opp en tabell der du har med de deriverte av f i a både for konkrete tall og for generell n: SUM/Formel Utførelse: k f (k) (x) f (k) (a) k te term, f (k) (a) (x a) k 0 f(x) f(a) f(a) f (x) f (a) f (a)(x a) f (x) f (a) 3 f (3) (x) f (3) (a) 4 f (4) (x) f (4) (a) n f (n) (x) f (n) (a) f (a) (x a) f (3) (a) 3! (x a) 3 f (4) (a) 4! (x a) 4 f (n) (a) n! (x a) n f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) + + f (n) (a) (x a) n + n! f (n) (a) = (x a) n n! k=0 Sett opp tabellen Husk å sette inn verdien for a Kolonnen f (k) (x): Sett inn f(x) i raden med k = 0 Deriver den, og sett inn resultatet i raden med k = Deriver igjen for å finne hva som skal være på neste rad, osv 3 Kolonnen f (k) (x): For hver rad, sett inn a for x i uttrykket i kolonnen for f (k) (x) 4 Kolonnen f (k) (a) (x a) k : Sett inn i formelen for kolonnen For rad, for eksempel, er k = Uttrykket blir da f (a)! (x a) 5 Skriv ut nok rader til at du ser et system Det er ofte lettest å se systemet i høyre kolonne Finn en generell formel ut fra dette systemet Prøv den på en av de tidligere radene hvor du fant systemet Skriv deretter ned rad n 6 SUM/Formel-raden: Her skal du skrive summen av det du har i kolonnen til høyre Du kan selv velge om du vil skrive det som en serie med uttrykk med + mellom, eller om du vil skrive det ved hjelp av -tegn En blanding er også lov, dersom du mener det er best 3
4 Mathematica: Series[f[x], x, a, k] Denne kommandoen gir de k første termene i Taylor-rekka til f(x) i a Du må sette inn konkrete tall for a og k for å få output Feil å passe seg for: Å skrive opp kun resultatet av de første linjene med konkrete tall, og glemme å sjekke om det finnes noe generelt uttrykk for n Å skrive opp kun resulatet for et generelt uttrykk n, og glemme å sjekke om vi trenger å spesialbehandle enkelte tall (typisk for små verdier av k) Eksempel: (874) Spørsmål: Finn Maclaurin-rekka til f(x) = (x + ) Svar: Vi husker at Maclaurin-rekka til f er Taylor-rekka til f når a = 0 Vi setter opp tabell: k f (k) (x) f (k) (0) k te term, f (k) (0) x k 0 (x + ) (x + ) x x = x n når n > SUM/Formel + x + x Vi ser at siden f (k) (x) i rad 3 var 0, må vi ha 0 der for alle påfølgende rader og, og vi skriver i særdeleshet 0 for rad n Da får vi 0 i alle kolonnene unntatt tellekolonnen k, i rad n Summen bli nå (x + ) + (x + ) ; vi trenger selvfølgelig ikke skrive opp den uendelige summen av 0 er Så Maclaurin-rekka til et polynom er polynomet selv! Mathematica: Normal[Series[(x+)ˆ, {x, 0, 0}]] Vi valgte her k = 0 fordi det var tilstrekkelig stort Eksperimentér! 4
5 Eksempel: (876) Spørsmål: Finn Taylor-rekka generert av f(x) = 3x 5 x 4 + x 3 + x i a = Svar: Vi setter opp tabell: k f (k) (x) f (k) ( ) k te term, f (k) ( ) (x ( )) k 0 3x 5 x 4 + x 3 + x 7 7 5x 4 4x 3 + 6x + x 3 3(x + ) 60x 3 x + x + 8 4(x + ) 3 80x 4x (x + ) x (x + ) n når n > 5 SUM/Formel 7 + 3(x + ) 4(x + ) + 36(x + ) 3 6(x + ) 4 + 3(x + ) 5 Ganger vi ut parantesene får vi tilbake polynomet vi startet med Mathematica: Normal[Series[3xˆ5 - xˆ4 + xˆ3 + xˆ -, {x, -, 0}]] Expand[%] vil få Mathematica til å gange ut parantesene 5
6 Eksempel: (878) Spørsmål: Finn Taylor-rekka generert av f(x) = x i a = 0 x Svar: Vi setter opp tabell Merk at a = 0, så dette er også ei Maclaurin-rekke: k f (k) (x) f (k) (0) k te term, f (k) (0) x k 0 x x 0 0 (x ) x (x ) 3! x = x 3 6 (x ) 4 = 3 (x ) 4 6 = 3! 6 3! x3 = x (x ) 5 = 3 4 (x ) 5 4 = 4! 4! 4! x4 = x (x ) 6 = 5! (x ) 6 5! 5! 5! x5 = x (x ) (x ) 8 n = ( )7 6! (x ) 7 6! 6! 6! x6 = x 6 = ( )7+ 7! (x ) 7+ 7! 7! 7! x7 = x 7 ( ) n+ n! (x ) n+ n! n! n! xn = x n SUM/Formel x + x + x x n + = Vanskeligheten i denne oppgaven var å finne en generell formel for n te linje Det hjelper ofte å regne ut ganske mange linjer før man ser etter mønster, og det er ofte mer til hjelp å se etter et mønster i kolonnen lengst til høyre enn å søke mønsteret i kolonnene lenger til venstre Og har man først mønsteret i én kolonne, finner man fort mønsteret i de andre kolonnene ut fra det n= x n x Mathematica: Normal[Series[, {x, 0, 40}]] x Dette skulle gi nok å gå på for å se et mønster for de fleste funksjoner 6
7 Potensrekker: Metode 4, Taylor-polynomer I boka: Kapittel 87, Definition, Taylor Polynomial of Order n, s 67 Regel/Formel: Hvis vi starter i et punkt a, og har en funksjon f som kan deriveres vilkårlig mange ganger i a, kan vi finne et polynom sentrert i a som kalles Taylor-polynomet av orden n generert av f i x = a Taylor-polynomet av orden n generert av f ser slik ut: P n (x) = n k=0 f (k) (a) (x a) k = f(a)+f (a)(x a)+ f (a)! (x a) + + f (n) (a) (x a) n Taylor-polynomene til f i a er med andre begynnelsen av Taylor-rekka til f i a Mens Taylor-rekka fortsetter summeringen helt ut til uendelig, vil et Taylor-polynom av orden n slutte på (x a) n -termen Metode: Et Taylor-polynom er rett og slett en sum av de første termene i ei Taylorrekke Vi finner dem på samme måte som vi gjorde for Taylor-rekker Så Taylorpolynomet av grad 4, for eksempel, finner vi ved å sette opp en tabell til og med rad 4, og deretter summere radene for å finne P 4 (x): P 4 (x) k f (k) (x) f (k) (a) k te term, f (k) (a) (x a) k 0 f(x) f(a) f(a) f (x) f (a) f (a)(x a) f (x) f (a) 3 f (3) (x) f (3) (a) 4 f (4) (x) f (4) (a) f (a) (x a) f (3) (a) 3! (x a) 3 f (4) (a) 4! (x a) 4 f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) + f (3) (a) 3! (x a) 3 + f (4) (a) 4! (x a) 4 Mathematica: Series[f[x], x, a, n] Denne kommandoen gir de k første termene i potensrekka generert av f(x) i a Du må sette inn konkrete tall for a og k for å få output Feil å passe seg for: Å ikke skrive opp resultatet av samtlige linjer i tabellen, men slutte for tidlig 7
8 Motivasjon: Når en funksjon er lik Taylor-rekka si, er Taylor-polynomene gode tilnærminger til funksjonen Siden polynomer ofte er svært mye lettere å regne ut og regne med enn de funksjonene vi starter med, er dette en klar effektivisering For å se hvor gode tilnærminger Taylor-polynomene faktisk er, prøv å plotte følgende i Mathematica (se Mathematica Notebooks på Fronter): 3 Plot[{Cos[t], ( ) n tn }, {t, -0, 0}, PlotStyle -> {{}, {Hue[07]}}, Axes -> True, PlotRange -> {-3,3}] n! n=0 Bytt 3-tallet på toppen av summetegnet med høyere tall for å se hvordan Taylor-polynomene nærmer seg cosinus-funksjonen etter hvert som du øker tallet Eksempel: (87) Spørsmål: Finn Taylor-polynomene av orden 0,, og 3 generert av f(x) = ln(x + ) i x = 0 Svar: Vi setter opp tabell: k f (k) (x) f (k) (0) k te term, f (k) (0) x k 0 ln(x + ) 0 0 x+ x (x+)! x 3 (x+) 3 3! x3 = 3 x3 P 0 (x) 0 P (x) P (x) P 3 (x) x x x x x + 3 x3 Mathematica: Normal[Series[Log[x+], x, 0, 3]] 8
9 Metode 5, Taylor s teorem og feiles- Potensrekker: timering I boka: Kapittel 87, Theorem 6 Taylor s Theorem og Theorem 7 The Remainder Estimation Theorem Teorem (Taylor s teorem) Hvis f er en funksjon som kan deriveres n + ganger i samtlige punkter i et intervall I som inneholder a, da vet vi for hver x I at det finnes et tall c mellom a og x slik at 3 hvor f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) + + f (n) (a) (x a) n + R! n (x) = P n (x) + R n (x) R n (x) = f (n+) (c) (x a)n+ (n + )! (Feilestimeringsteoremet for Taylor-rekker) Hvis det finnes konstanter M, r > 0 slik at vi for alle n N har at f (n+) (t) M r n+ for alle t fra a til og med x, så: (a) f(x) P n (x) = R n (x) Mr n+ x a n+ (n+)! for alle n N (b) lim R n (x) = 0 n f (k) (a) (c) f(x) = (x a) k - Taylor-rekka generert av f i a konvergerer mot f k=0 selv i punktet x Regel/Formel: Hvis det finnes en konstant M > 0 slik at f (n+) (t) M for alle t [a, x], 4 så har vi følgende estimat 5 på restleddet fra Taylor s teorem: x a n+ f(x) P n (x) = R n (x) M (n + )! 3 Husk at P n (x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a)! (x a) + + f (n) (a) n! (x a) n 4 hvis x a; respektivt for alle t [x, a] dersom x < a 5 Estimat: I dagligtale betyr det et anslag på en størrelse Prosjekter skal for eksempel ofte ha tidsestimater, anslag på hvor lang tid de tar å gjennomføre Estimat (matematisk): Formel som gir en absolutt grense for størrelsen på noe 9
10 Metode: How-to Vi skal typisk finne ut hvor mye feil vi gjør når vi bruker P n (x) i stedet for f(x) Vi skal med andre ord finne ut størrelsen på f(x) P n (x), som du jo ser fra formelen over at er lik R n (x) Måten vi finner størrelsen på R n (x) er som følger: 6 Finn M: Finn den største verdien f (n+) (t) tar i intervallet [a, x], eller finn et tall du vet er større enn dette tallet Dette tallet 7 kaller du M Basis-eksempel Vi skal finne ut hvor mye feil vi gjør når vi bruker P 4 (x) = x x3 i stedet 3! for f(x) = sin x Her er altså n = 4 I tillegg er P 4 (x) fra Maclaurin-rekka til sin, så a = 0 sin (n+) (x) = sin (4+) (x) = cos(x) Den femtederivete av sin(x) er altså alltid mindre enn eller lik, når vi tar absoluttverdi, og da er den jo også det i intervallet [a, x] = [0, x] Så vi kan velge M = Skriv formel: Regelen sier da at R n (x) x 4+ (4+)! = x 5 0 f(x) P n (x) = R n (x) M x a n+ (n+)! Vi vet altså at forskjellen mellom sin(x) og x x3 er mindre enn x 5 3! 0 Oppgaver hvor vi bruker feilestimat vil gjerne spørre om noe mer enn dette For eksempel: Hvor stor er feilen for et bestemt tall t? Da må vi sette inn dette tallet t for x i feilestimatet vårt Hvor stor er feilen for x i et intervall I? Altså: Hvor stor feil kan vi komme til å gjøre når vi bruker P n (x) for f(x) i I? Da må vi finne max av R n (x) i I, som i praksis betyr å finne max av M x a n+ i I Siden feil-estimatet er en konveks (n+)! funksjon, er det nok å sette inn endepunktverdiene til I i feil-estimatet, og plukke de største av de to verdiene 3 Hvor stor kan x være dersom vi ikke ønsker en større feil enn ε? Dette finner du ved å løse M x a n+ (n+)! < ε 4 Hvilken n må vi bruke for at R n (t) skal være mindre enn ε for en gitt t? Her må du bare prøve deg frem ved å sette inn forskjellige verdier for n og regne ut! 0
11 Eksempel: (Example 8 i 87) Regn ut e med en feil på mindre enn 0 6 Vi antar at vi allerede vet at e < 3: Løsning: Vi vet at e = e, så vi lar f(x) = e x, og bruker at Taylor-rekka generert av e x i x = 0 til å beregne e Rekka er 8 n=0 x n n! = + x + x + + xn n! + R n (x) = P n (x) + R n (x) Vi skal altså finne en tilnærmet verdi for e = e ved å regne ut P n () = n n! = n! Vi bruker nå metoden vår for å estimere feilen, R n (): Taylor-rekka ble generert av e x i 0, så vi har a = 0 og x = Vi må finne n tederiverte av e x ; men siden e x er sin egen deriverte, er (e x ) (n) = e x Hva er den største verdien e x tar i intervallet [0, ]? Siden e er voksende, er den største verdien e = e Vi antok at vi allerede visste at e < 3, så da velger vi M = 3 Vi har nå et estimat på hvor feil P n () er i forhold til e = e : e P n () = R n () 3 0 n+ (n + )! = 3 (n + )! Vi skulle ha en feil på ikke mer enn Vi må da finne en n slik at < 0 6 Vi (n+)! 3 prøver oss frem med forskjellige n, og finner ut at < 0 6, så vi velger n = 9 Da (9+)! gjenstår det bare å regne ut P 9 (): e P 9 () = 9 k=0 = !, Dette tar vi annetstedsfra, og tar derfor for gitt i denne oppgaven; i tilsvarende oppgaver må du kanskje regne ut Taylor-rekka først, før du tar feilestimat
12 Eksempel: (Example 9 i 87) For hvilke verdier av x kan vi skrive sin x som x x3 3! og være sikker på å ikke ha en større feil enn 3 0 4? Løsning: Vi merker oss først at Taylor-rekka generert av sin x i x = 0 er x + 0 x x3 3! + 0 x4 + x5 5! Det betyr at P 3 (x) = x x3, men også at P 3! 4(x) = x x3, siden 3! x4 -termen er 0 Dette hjelper oss til å få et skarpere estimat, siden vi nå finner R 4 (x) = M x 4+ i stedet for (4+)! R 3 (x) = M x 3+ Vi bruker nå metoden vår: (3+)! (sin x) (4), den fjerdederiverte av sin x, er sin x selv Siden sin x, har vi (sin x) (4) = sin x Så vi velger M = 0 Vi har nå feilestimatet R 4 (x) = x 4+ (4 + )! = x 5 0 Vi har med andre ord garantert at forskjellen mellom sin x og x x3 3! er mindre enn dersom x 5 0 < Vi løser ulikheten, og får at x < Tilnærmingen til sin x, x x3 3!, er innenfor en feilmargin på når x < Se for eksempel Haugans formelsamling 0 og er sikre på at f (4) (t) M for alle t [0, x], uansett verdi av x
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
DetaljerAnvendelser av potensrekker
Anvendelser av potensrekker Forelest: 6 Okt, 2004 Vi kan bare skrape på toppen av isfjellet som er anvendelsene av potensrekker En spesielt viktig anvendelse er innenfor enhver form for differensialligninger
Detaljer= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
DetaljerPotensrekker. Binomialrekker
Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever
Detaljerx 3 x x3 x 0 3! x2 + O(x 7 ) = lim 1 = lim Denne oppgaven kan også løses ved hjelp av l Hôpitals regel, men denne må da anvendes tre ganger.
TMA400 Høst 0 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 4..4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet Maclaurinpolynomet til sin x om x =
DetaljerSeksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 14. februar 2012 Funksjonsrekker En rekke på formen fn(x) der fn er en funksjon, kalles en n=1 funksjonsrekke. For alle
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen
DetaljerSeksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x
DetaljerLøsningsforslag eksamen 18/ MA1102
Løsningsforslag eksamen 8/5 009 MA0. Dette er en alternerende rekke, der leddene i størrelse går monotont mot null, så alternerenderekketesten gir oss konvergens. (Vi kan også vise konvergens ved å vise
DetaljerRekker, Konvergenstester og Feilestimat
NTNU December 8, 2012 Oversikt 1 2 3 4 5 6 For å forstå, må vi først forstå potensrekker For å forstå potensrekker, må vi først forstå rekker. For å forstå rekker, må vi først forstå følger. Definisjon
DetaljerAlternerende rekker og absolutt konvergens
Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne
DetaljerMAT jan jan feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis
DetaljerOblig 1 - vår 2015 MAT1012
Oblig 1 - vår 15 MAT11 MARI RØYSHEIM University of Oslo, Department of Physics 17. februar 15 Med forbehold om trykkfeil og andre feil! Oppgave 1 a) Vi skal finne det bestemte integralet, og bruker substitusjon.
DetaljerLøsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1
Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.
DetaljerKonvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.6. Alternerende rekker Absolutt og betinget konvergens 3 Alternerende rekker
DetaljerVelkommen til eksamenskurs i matematikk 1
Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:
DetaljerFlere anvendelser av derivasjon
Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8
DetaljerKonvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.3. Integrasjonstesten 3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.
DetaljerEksamensoppgave i MA1102/6102 Grunnkurs i analyse II
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1102/6102 Grunnkurs i analyse II Faglig kontakt under eksamen: Magnus Landstad Tlf: Eksamensdato: 6. juni 2017 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 2. Desember 2016. Tid for eksamen: 9:00 13:00.
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet
DetaljerTaylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a
Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a P n (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) 2 (x a)2 + + f (n) (a) (x
Detaljer1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m
Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a
DetaljerOppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:
Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn
Detaljerx 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 n x 1 n x 2 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 2012 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får
DetaljerFølger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014
Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 10, 2014 Forelesning (03.01.2014): kap 9.1 og 9.2 Beskrivelse av følger eksempler og definisjon Egenskaper med følger Grenseverdi for følger (og
DetaljerLøsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005
Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x
DetaljerEKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 3. des Eksamenstid:
. EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 3. des. 3 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 7 Antall oppgaver: 6 Antall
Detaljerx 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får
Detaljer1 Mandag 1. februar 2010
Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette
DetaljerEksempel: s d taylor sin x, x = 0, 9
Maple kan selv konstruere taylorpolynomer til en gitt funksjon om et gitt punkt. Kommandoen er taylor der vi må taste inn funksjonen, punktet a vi finner polynomet om, og hvilken orden n vi vil at polynomet
DetaljerMatematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag
Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner
Detaljer: subs x = 2, f n x end do
Oppgave 2..5 a) Vi starter med å finne de deriverte til funksjonen av orden opp til og med 5 i punktet x = 2. Det gjør vi ved å bruke kommandoen diff f x, x$n der f x er uttrykket som skal deriveres, x
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2009
TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +
DetaljerLøsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n
Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Tirsdag. februar 203 kl. 0:30 Antall oppgaver: 9 Løsningsforslag Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen
DetaljerLitt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11)
Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11) Knut Mørken 22. november 2004 Vi har tidligere i kurset sett litt på numerisk derivasjon
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 7 sider.
DetaljerIR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
DetaljerOversikt over Matematikk 1
1 Oversikt over Matematikk 1 Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens av ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivasjon Sekantsetningen Integrasjon Differensialligninger Kurver i planet
Detaljerf =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.
MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt
DetaljerEKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 11 Modellering og beregninger Eksamensdag: Mandag 1 Desember 218 Tid for eksamen: 9: 13: Oppgavesettet er på 5 sider
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 2. Desember 2016. Tid for eksamen: 9:00 13:00.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2
TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA Matematikk Høst Løsningsforslag Øving Review Exercise 6, side 86 Vi lar fx sin x. Taylor-polynomet av grad 6 til f om x
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. januar 2005. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på
DetaljerEksamen R2, Våren 2009
Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g
DetaljerLøsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009
Løsningsforslag eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I høsten 9 OPPGAVE (a) Vi har w = + ( ) =. I et komplekse plan ligger w i 4. kvarant og vinkelen θ mellom tallet og en relle aksen har tan θ =, vs. at
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 11 Eulers metode. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 11 Eulers metode Løsningsforslag Oppgave 1 Samanlikning med analytisk løsning y = 3 2 x y, y(0) = 1. a) Kandidat til løsning: y = e x3/2. Vi deriverer
DetaljerSIF5003 Matematikk 1, 6. desember 2000 Løsningsforslag
SIF53 Matematikk 1, 6. desember 2 Oppgave 1 Dreid om y aksen: iv). Dreid om x = 1: iii). Oppgave 2 Om bredden på rektanglet er 2x og høyden er y finner vi for det ukjente arealet A og den kjente omkretsen
DetaljerLøsningsforslag. og B =
Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi
DetaljerInstitutionen för Matematik, KTH
Institutionen för Matematik, KTH Lösningsforslag till tentamen, 200-2-7, kl. 8.00-.00. 5B04, Envariabel. Uppgift. Den karakteristiske ligningen r 2 r + 2 0 kan omskrives som (r )(r 2) 0. Den generelle
DetaljerLøsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7
Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Tenkeonsdag i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Dag: Onsdag 28. november 2012. Tid for moroa: 16:00 19:00. Oppgavesettet er på 9
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. desember 27. Tid for eksamen: 9: 12:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
Detaljer3x + 2y 8, 2x + 4y 8.
Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Prøveeksamen 2 Eksamensdag: Onsdag 14. November 2014. Tid for eksamen:
DetaljerLøsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003
Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen
DetaljerIkke lineære likninger
Ikke lineære likninger Opp til nå har vi studert lineære likninger og lineære likningsystemer. 1/19 Ax = b Ax b = 0. I en dimensjon, lineære likninger kan alltid løses ved hjelp av formler: ax + b = 0
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 28. oktober 2010 2 Fremdriftplan I går 7.7 Uegentlige integraler 8.1 Følger I dag
DetaljerEKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 18. feb Eksamenstid:
. EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 18. feb. 4 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 8 Antall oppgaver: 5 Antall
Detaljer, men det blir svært tungvindt her.) 3 xe3x 1 9 e3x C 1 9 e3x 3x 1 C
Oppgave a) Deriver funksjonene: ) fx x sinx uv u v uv gir: f x x sinx x cosx x sinx x cosx ) gx sinx sinxcosx sinx, x k cosx cosx g x cosx (x k) (Kan også bruke u v u vuv, men det blir svært tungvindt
DetaljerMål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 15. november 2013 på Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT, høsten 206 Innleveringsfrist: Mandag 2. november 206, kl. 4, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
DetaljerViktig informasjon. 1.1 Taylorrekker. Hva er Taylor-polynomet av grad om for funksjonen? Velg ett alternativ
Viktig informasjon MAT-IN1105 - Modellering og beregninger Mandag 10. desember 2018 Kl.09:00-13:00 (4 timer) Tillatte hjelpemiddel: Formelsamling (deles ut på eksamen), Gyldig kalkulator. I dette oppgavesettet
DetaljerLøsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn
DetaljerFlervariable funksjoner: Linearisering
Flervariable funksjoner: Linearisering Forelest: 10. Nov, 2004 Vi har nå kommet til høyepunktet i pensumet for flervariable funksjoner, der vi lærer å regne omtrentlig på en nøyaktig måte. Metoden heter
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 11L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 5. Desember 214. Tid for eksamen: 9: 13:. Oppgavesettet
DetaljerLøsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye.
Eksamen i FO929A - Matematikk Dato: 2013 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerLøsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL
DetaljerEksempelsett R2, 2008
Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx
DetaljerMAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.
MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal
DetaljerPrøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og
DetaljerViktig informasjon. 1.1 Taylorrekker. Hva er Taylor-polynomet av grad om for funksjonen? Velg ett alternativ
Viktig informasjon MAT-INF1100 - Modellering og beregninger Mandag 10. desember 2018 Kl.09:00-13:00 (4 timer) Tillatte hjelpemiddel: Formelsamling (deles ut på eksamen), Gyldig kalkulator. I dette oppgavesettet
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerDerivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)
Detaljers = k k=1 dx x A n = n = lim = lim 2 arctan ( x = π arctan ( n (2k 1)!, s n = k=1
TMA400 Høst 06 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 0 9.3.30 Me vil fia det miste itervallet som me ka vera sikker på at summe s k k + 4 ligg i. Om
DetaljerLøsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7
Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7 Oppgave a) Likningen e 2x 6e x + 5 = 0 er en annengradslikning i e x. Siden ( ) ( 5) = 5 og 5 = 6 så faktoriserer annengradsuttrykket som (e x 5)(e x ). Dette
Detaljer0, 12. 1) Sett opp ei uendelig rekke som viser hvor stor del av bløtkaka som er spist av gjestene. Hva slags rekke er dette?
OPPGAVE 1 a) Deriver funksjonen f( x) = 5x tanx b) Deriver funksjonen ( ) 3 g( x) = x + cosx c) Bestem integralet (sin x cos x) dx d) Løs ligningen ved regning π,4,6cos x = 1,8, 1 4 x e) I et selskap blir
DetaljerOblig 3 - fasit. 1. Avgjør hvilken konvergenstest som vil avgjøre konvergensen til rekka (og stopp der; du skal ikke utføre testen): n ln n.
Oblig 3 - fasit. Avgjør hvilken konvergenstest som vil avgjøre konvergensen til rekka og stopp der; du skal ikke utføre testen): a) b) c) d) e) n n ln n n te-terms-test. Den divergerer. n + 6 3 n n n 3
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Funksjoner og tangenter 2.1: 15 a) Vi plotter grafen med et rutenett: > x=-3:.1:3; > y=x.^2; > plot(x,y) > grid on > axis([-2
DetaljerØving 6 Tallfølger og differenslikninger
Øving Tallfølger og differenslikninger Teori Se også Mathematicakompendiet kap. En tallfølge er en liste av elementer satt opp i en bestemt rekkefølge { a[0]a[]a[]...a[n]... } = {a[n]} 0. Vi kaller elementet
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/
Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss
DetaljerMål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 1. november 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise hva
Detaljer