Øving 6 Tallfølger og differenslikninger

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Øving 6 Tallfølger og differenslikninger"

Martin Bjørnstad
8 år siden
Visninger:

1 Øving Tallfølger og differenslikninger Teori Se også Mathematicakompendiet kap. En tallfølge er en liste av elementer satt opp i en bestemt rekkefølge { a[0]a[]a[]...a[n]... } = {a[n]} 0. Vi kaller elementet a[n] for det generelle leddet i tallfølgen. Dersom lim a[n] = S sier vi at tallfølgen konvergerer mot S. Her er noen eksempler {I M = n 0 =9 = n 0 = = konvergerer mot null. n {n < ÈÈ 0 = < divergerer da lim =. Av og til må du benytte l' Hopital' s regel for å bestemme grenseverdien. I eksemplet under forenkler du regningen ved å substituere u = Tallfølgen { I - cos M= lim u 0 - cos u u sin u u 0 u =lim = underveis men det er ikke nødvendig. konvergerer mot - CosB F ListPlotBTableB da lim I - cos M = lim - cos = 8 0<F PlotStyle 8PointSize@0.05D Red< PlotRange All Epilog 8Dashed Blue Thick Line@ < <<D<F Vi ser at tallfølgen er monotont voksende og begrenset. Alle monotont voksende tallfølger som er begrenset ovenfra vil konvergere. Det samme gjelder alle monotont avtagende tallfølger som er nedtil begrenset. Men også ikke- monotone tallfølger kan konvergere:

n {n < ÈÈ 0 = 8 8.....< divergerer da lim =. Av og til må du benytte l' Hopital' s regel for å bestemme grenseverdien.

2 Vi ser at tallfølgen er monotont voksende og begrenset. Alle monotont voksende tallfølger som er begrenset ovenfra vil konvergere. Det samme gjelder alle monotont avtagende tallfølger som er nedtil begrenset. Men også ikke- monotone tallfølger kan konvergere: LimitB + F 8 0<F PlotStyle 8PointSize@0.05D Red< PlotRange All AesOrigin 80 0< Sin@D ListPlotBTableB + Epilog 8Dashed Blue Thick Line@880 < 80 <<D<F Tallfølger kan defineres rekursivt : a@0d = a@nd = Vi finner a[] = a@n - D n = a@0d = a@d = Dette gir oss sekvensen 9 8 a@d = etc = = 9 n = 0 som konvergerer mot null. Clear@aD; a@0d = ; a@n_d := a@n - D Table@a@nD 8n 0 0<D ListPlot@Table@a@nD 8n 0 0<D PlotStyle 8PointSize@0.05D Red<D :.0 > Når tallfølgen er definert rekursivt snakker vi om en rekursjonsformel eller differenslikning gitt med initialbetingelser: a[n] - a@n - D = 0 a@0d =

05D Red< PlotRange All AesOrigin 80 0< Sin@D ListPlotBTableB + Epilog 8Dashed Blue Thick Line@880 < 80 <<D<F.5.0 0.5 0 0 0 0 Tallfølger kan defineres rekursivt : a@0d = a@nd = Vi finner a[] = a@n - D n =.

3 Når tallfølgen er definert rekursivt snakker vi om en rekursjonsformel eller differenslikning gitt med initialbetingelser: a[n] - a@n - D = 0 a@0d = Mens løsningen av en differensiallikning er en eller flere kontinuerlige funksjoner vil løsningen av en differenslikning være et diskret sett av verdier i en tallfølge fordi argumentet bare kan være hele tall. Likningen uttrykker en sammenheng mellom det n - te ledd og et eller flere naboledd. Metoden for å løse en differenslikning er veldig lik metoden du kjenner fra løsninger av differensiallikninger. Med konstante koeffisienter vil vi også nå kunne benytte en karakteristisk likning. Hvis likningen er lineær vil den generelle løsning være en sum av enkeltløsninger. Koeffisientene i summen bestemmes av initialverdier. Eksempel på. ordens homogen differenslikning. a@nd a@n - D = 0 a@0d = H*L Dette er en første ordens homogen lineær differenslikning med konstante koeffisienter. Løsningen er en tallfølge der første ledd er a[0] =. Vi ønsker å finne det generelle leddet a[n]. Siden koeffisientene er konstante må løsningen ha formen a[n] = r n. ( Sammenlikning med y() = ãr for differensiallikninger). Vi setter vår prøveløsning inn i (*) og faktoriserer: rn - r n- = 0 r n- I r - M = 0 Da rn- ¹ 0 får vi den karakteristiske likning: gen er av.orden. Løsningen er lett å finne: r Vår generelle løsning må derfor være a@nd = a@0d =. Dette gir C =. r - =. n CI M. = 0. Denne er av.grad siden differensliknin- Konstanten C bestemmes av initialkravet Løsning på initialverdiproblemet (*) blir derfor a@nd = I M = tallfølgen {... n-.....>. Da lim n- n n-. Dette er det generelle leddet i = 0 sier vi at tallfølgen konvergerer mot 0. I Mathematica kan oppgaven løses slik : Clear@aD sol = RSolveB:a@nD 99aHnL -n == a@n - D == 0 a@0d == > a@nd nf Løsningen er som vanlig gitt som en tilordningsregel. Denne har jeg kalt sol. Vi ekstraherer løsningen fra denne regelen : a@n_d = a@nd. First@solD -n Ønsker du et utvalg av tallfølgen bruker du Table - kommandoen : Table@a@nD 8n 0 8<D : > 8 8 Vil du se resultatene grafisk kan du tegne et listelpott.

Likningen uttrykker en sammenheng mellom det n - te ledd og et eller flere naboledd. Metoden for å løse en differenslikning er veldig lik metoden du kjenner fra løsninger av differensiallikninger.

4 8n 0 8<D PlotStyle 8PointSize@0.05D Red< Filling AisD Eksempel på. ordens homogen differenslikning. a@nd - 5 a@n - D + a@n - D = 0 a@0d = a@d = - H**L Dette er en annen ordens homogen lineær differenslikning med konstante koeffisienter siden det nte leddet avhenger av de to foregående ledd. Vi ønsker å finne det generelle leddet a[n] i tallfølgen. Siden koeffisientene er konstante må løsningen ha formen a[n] = r n. Vi setter vår prøveløsning inn i (*) og faktoriserer: r n - 5 r n- + r n- = 0 r n- I r - 5 r + M = 0 Da rn- ¹ 0 får vi den karakteristiske likning: r - 5 r + = Hr - L Hr - L = 0. Vi får to løsninger siden vi har en.ordens differenslikning. Det er lett å se parallelllen til løsninger av. ordens differensiallikninger med konstante koeffisienter. Vår generelle løsning må derfor være a@nd = C n + C n. Konstantene bestemmes av initialkravene: C + C = C + C = - Vi finner C = C = - Løsning på initialverdiproblemet (**) blir derfor a@nd = n - n = n+ - n+. I Mathematica kan oppgaven løses slik : Clear@aD sol = RSolve@8a@nD - 5 a@n - D + a@n - D == 0 a@0d == a@d - < a@nd nd First 9aHnL n+ - n+ = a@n_d = a@nd. sol n+ - n+ Denne tallfølgen vil divergere :

Vi ønsker å finne det generelle leddet a[n] i tallfølgen. Siden koeffisientene er konstante må løsningen ha formen a[n] = r n.

5 8n 0 8<D < Eksempel på. ordens homogen differenslikning med multippel rot. a@nd - a@n - D + a@n - D = 0 a@0d = a@d = 0 H***L Vi har nå nok erfaring til å sette opp den karakteristiske likning direkte : r - r + = Hr - L = 0. Vi ser at vi får to sammenfallende røtter r =. Den generelle løsning av likningen blir da a@nd = C n + C n n Igjen ser vi analogien til løsningene av differensiallikninger med multiple røtter. Initialkravene gir oss koeffisientene: C = C + C = 0 C = - Løsningen på initialverdiproblemet (***) blir da: a@nd = n H - nl Løsningen i Mathematica følger samme mønster som i foregående eksempel. Prøv selv! Newton' s metode Newton s metode for å løse likningen f() = 0 ble forelest i Ma 000. Den kan formuleres som en differenslikning [n+] = [n] - der f '@@ndd tallfølgen {[n]} konvergerer mot roten. Her er et lite program som løser likningen cos = med startverdi [0] =. Clear@D f@_d := Cos@D = ; f@@n - - D f '@@n - DD N@Table@@nD 8n 0 5<DD < Vi ser at metoden gir svaret med 5 desimalers nøyaktighet etter bare tre iterasjoner Kontroll i Mathematica: FindRoot@Cos@D - 8 <D < Oppgave Løs den lineære homogene differenslikningen a@nd - a@n - D + a@n - D = 0 med initialkrav a@0d = - a@d = 0. Kontroller svaret ved å løse oppgaven i Mathematica. Lag en tabell over de første ledd i tallfølgen. Vis at tallfølgen konvergerer og beregn lim a@nd. Lag et listeplott over tallfølgen. 5

Den generelle løsning av likningen blir da a@nd = C n + C n n Igjen ser vi analogien til løsningene av differensiallikninger med multiple røtter.

6 Oppgave Løs den lineære homogene differenslikningen - - D = 0 med initialkrav a@0d = a@d = 0. Kontroller svaret ved å løse oppgaven i Mathematica.Lag en tabell over de første ledd i tallfølgen. Løs den lineære homogene differenslikningen a@nd + a@n - D = 0 med initialkrav a@0d = a@d = 0. Kontroller svaret ved å løse oppgaven i Mathematica. Lag en tabell over de første ledd i tallfølgen. Er noen av tallene komplekse? Oppgave Skriv kode som benytter Newton s metode til å løse likningen 5 e- = med startverdi [0] = med 5 desimalers nøyaktighet. Sjekk svaret med FindRoot- kommandoen. Oppgave Løs den lineære differenslikningen ahnl - ahn - L - ahn - L = 0 med initialbetingelser ah0l = ahl = for hånd. Skriv opp de første leddene. Tallfølgen likner mye på Fibonacci-følgen og løsningene bærer også likhetstrekk. Beregn limn ahn+l. ahnl Svaret kalles Silver Ratio igjen med henspill til Fibonacci og Golden Ratio. Sjekk svarene ved å gjennomføre beregningen i Mathematica.

Lag en tabell over de første ledd i tallfølgen. Er noen av tallene komplekse?

Like dokumenter

I denne øvingen vil vi sammenlikne det teoretiske resultat med et grafisk bilde av konturlinjene til flaten. Vi tegner konturene der

I denne øvingen vil vi sammenlikne det teoretiske resultat med et grafisk bilde av konturlinjene til flaten. Vi tegner konturene der Øving uke 44 Kritiske punkter Se også Mathematicakompendiet, kap 3.8 En funksjon av to variable kan ha lokale maksimal- og minimalpunkter innenfor definisjonsmengden, akkurat som funksjoner av en variabel.