UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 11 Modellering og beregninger Eksamensdag: Mandag 1 Desember 218 Tid for eksamen: 9: 13: Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: Formelark Godkjent kalkulator Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene Oppgave 11: 3 Oppgave 12: 1 2x 2 Oppgave 13: 1 x + x 2 Oppgave 14: yt 1 4 te2t + t + 1 Oppgave 15: yt 1 cost t 2 Oppgave 16: p 3 x 1 x x + 1x + 2x + 1xx 1 Oppgave 17: 4439 Oppgave 18: Alle lineære funksjoner, men ikke for alle polynomer av grad 2 Oppgave 19: 21 Oppgave 11: 518 Oppgave 21 a La fx 1 x Vis ved induksjon at den k te deriverte av f er Løsning For k er utsagnet opplagt sant Anta så at f k x 1k k! x k+1 for k,, n Vi får at f n+1 x f n x 1 n n!x n 1 1 n n! n 1x n 2 1n+1 n + 1! x n+2 1n+1 n + 1! x n+1+1, som viser at induksjonshypotesen er sann også for n + 1 Dermed er induksjonshypotesen sann for alle n b Anta at vi har funnet T n fx, Taylorpolynomet til f av grad n om punktet a 2 Hvor stor må n være for at T n fx fx 1 3 for alle x 2, 3? Fortsettes på side 2

2 Eksamen i MAT-INF 11, Mandag 1 Desember 218 Side 2 Løsning Restleddet i Taylors formel er f n+1 c n + 1! x an+1 1n+1 n + 1! c n+2 x 2 n+1 n + 1! x 2n+1 c n+2, der c [2, x] Siden x 3 så har dette sin største mulige absoluttverdi når c 2 og x 3, slik at x 2 n+1 2 n 2 c n+2 Vi trenger derfor bare velge n slik at 2 n 2 1 3, det vil si 2 n+2 1 Det er derfor klart at vi kan velge n 8 Oppgave 22 a En funksjon f er bare kjent i de tre punktene x, x 1 1 og x 2 3 der den har verdiene f 1, f1 2, f3 2 Finn interpolasjonspolynomet px som interpolerer f i disse punktene Løsning Newtonformen til px er c + c 1 x + c 2 xx 1 Setter vi inn for de tre punktene får vi likningene 1 c 2 c + c 1 2 c + 3c 1 + 6c 2 Dette gir c 1, c 1 2 c 1, og c 2 2 c 3c 1 /6 1, slik at vi får px er px 1 x + xx 1 b Det er kjent at f er kontinuerlig Forklar hvorfor f da må ha et nullpunkt c i intervallet 1, 3 og bruk interpolasjonspolynomet px til å finne en tilnærming til c Finn også en tilnærming til 3 fxdx ved hjelp av interpolasjonspolynomet Hvis du ikke fant polynomet i a, så får du her lov til å velge deg et annet polynom Løsning Vi har at f1 <, f3 >, og det følger da fra skjæringssetningen at f har et nullpunkt i 1, 3 På samme måte har px også et nullpunkt i 1, 3, og vi kan bruke dette som vår tilnærming Dette punktet kan vi finne ved å løse 1 x + xx 1, som kan skrives x 2 2x 1 Denne har røtter 2± ± 2 Her er det bare som ligger i 1, 3, slik at dette blir vår tilnærming Som en tilnærming til integralet kan vi bruke 3 3 [ ] x pxdx x x 1dx 3 x2 x Oppgave 23 kun for MAT-INF11 a Finn løsningen av differensligningen med startverdier x 3 og x 1 3 x n+2 6x n+1 + 8x n 9n Fortsettes på side 3

3 Eksamen i MAT-INF 11, Mandag 1 Desember 218 Side 3 Løsning De karakteriske likningen blir r 2 6r + 8, og denne har røtter 6±2 2, det vil si at røttene er 2 og 4 Den generelle løsningen på den homogene likningen blir dermed x h n C2 n + D4 n Gjetter vi på x p n An + B for den partikulære løsningen finner vi at An B 6An B + 8An + B A 6A + 8An + 2A + B 6A 6B + 8B 3An + 3B 4A 9n, slik at A 3, og dermed B 4, slik at x p n 3n+4 Den generelle løsningen blir dermed 3n C2 n + D4 n Initialkravene gir nå slik at 4 + C + D C + 4D 3 C + D 1 C + 2D 2 Vi ser nå at D 1, C, slik at x n 3n n b Den generelle løsningen til differensligningen 9x n+2 15x n+1 + 4x n er x n C 1 3 n +D 4 3 n Vi lar x 1 For hvilke verdier av x 1 vil vi kunne få stor relativ feil når vi simulerer differensligningen med disse startverdiene på en datamaskin? Løsning Røttene i den karakteristiske likningen er 15± ±9 18, som blir 4/3 og 1/3 Stor relativ feil blir mulig når D, siden avrundingsfeil vil føre til at roten 4/3 bidrar likevel, og denne vil trekke det hele mot uendelig x 1 gir at C + D 1, slik at det er tilfellet C 1, D vi bør se på, det vil si når x n 1 n 3 Dette svarer til x1 1/3 Oppgave 23 kun for MAT-IN115 Skriv en funksjon secantf, x, x1, N i Python som tar funksjonen f, startpunkter x og x 1, og N som parametre, og som kjører N iterasjoner av sekantmetoden Funksjonen skal returnere den siste verdien for x n som ble regnet ut Vi minner om at sekantmetoden finner verdien for neste iterasjon fra de to foregående ved hjelp av formelen Løsning x i x i 1 x i 1 x i 2 fx i 1 fx i 2 fx i 1 Koden under løser begge programmeringsoppgavene from math import sqrt def secantf, x, x1, N: xpp x xp x1 Fortsettes på side 4

4 Eksamen i MAT-INF 11, Mandag 1 Desember 218 Side 4 for k in rangen: x xp - xp-xpp/fxp-fxpp*fxp xpp xp xp x return xp def fx: return x**2-2 def test_secant: x secantf, 3, 2, 1 assert absx - sqrt2 < 1E-8, error, last estimate is %s % x if name main : test_secant Oppgave 24 kun for MAT-IN115 Skriv en testfunksjon som kjører secant som du programmerte i forrige oppgave på funksjonen fx x 2 2, med startverdier x 3 og x 1 2, og med 1 iterajoner Testfunksjonen skal feile hvis absx - sqrt2>1e-8 der x er estimatet som ble returnert fra secant Med andre ord, testfunksjonen sjekker om sekantmetoden finner verdier nær nullpunktet x 2 Testfunksjonen skal følge standard konvensjon for slike funksjoner spesielt skal den ha navn på formen test_*, og gjøre testen ved hjelp av et assert-statement Oppgave 24 MAT-INF11, 25 MAT-IN115 Vi betrakter den andreordens differensialligningen x 5 sinx + 2x 2 cos t med startbetingelser x 1, x Vi bruker Eulers metode med steglengde h 1 1 for å tilnærme løsningen xt Beregn x 2, tilnærmingen ved tiden t 2h Hint: Gjør om ligningen til et system av førsteordens differensialligninger Løsning Med y x kan dette skrives som førsteordenssystemet x y, y 5 sin y 2x 2 + cos t, slik at vi kan sette y ft, x 5 sin y 2x 2 + cos t x x x 1 Det første steget med Eulers metode gir nå 1 x 1 x + hft, x sin 2 + cos Fortsettes på side 5 1 1

5 Eksamen i MAT-INF 11, Mandag 1 Desember 218 Side 5 Det andre steget gir 1 1 x 2 x 1 + hft 1, x sin cos sin cos sin1 + 1 cos1 254 Siste komponenten her ble ganske komplisert, men denne trenger vi ikke Det er den første komponenten som gir at x 2 99