1 Oppgave 1 Skriveoppgave Manuell poengsum. 2 Oppgave 2 Code editor Manuell poengsum. 3 Oppgave 3 Skriveoppgave Manuell poengsum

Transkript

1 MAT102 - Demoprøve Oppgaver Oppgavetype Vurdering Forside Dokument Ikke vurdert 1 Oppgave 1 Skriveoppgave Manuell poengsum 2 Oppgave 2 Code editor Manuell poengsum 3 Oppgave 3 Skriveoppgave Manuell poengsum 4 Oppgave 4 Code editor Manuell poengsum 5 Oppgave 5 Skriveoppgave Manuell poengsum 6 Skissearkdemo Muntlig eksamen Manuell poengsum MAT102 - Demoprøve Starttidspunkt: :00 Sluttidspunkt: :00 PDF opprettet :42 Opprettet av Magnus Svendsen Nerheim Antall sider 34 1

2 Seksjon 1 Forside Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitskaplege fakultet Demoeksamen i MAT102 Tilgjengelig til og med 5. juni 2017, kl Oppgåvesettet har fem oppgåver. Hver deloppgave teller likt Du kan velge om du vil skrive besvarelsen digitalt eller for hånd (og står fritt til å kombinere begge). Dersom du skriver på ark, husk å generere kode på den rette oppgaven og påfør denne på alle arkene tilhørende den oppgaven. På siste side ser du eksempel på hvordan vedleggsark ser ut og hvordan de fylles ut rett. Tillatte hjelpemiddel: Kalkulator i samsvar med fakultetets regler Lykke til! Emneansvarlig: Morten Brun Sensor: Constanza Riera 1 OPPGAVE Oppgave 1 (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen = (b) Finn den generelle løsningen på systemet av differensialligninger MAT102 - Demoprøve Page 2 av 34

3 1 ( ) = 5 1 ( ) ( ) 2 ( ) = 4 1 ( ) ( ) (c) Finn den løsningen som har startverdier 1 (0) = 4, 2 = 1. (d) Hva kan du si om løsningen når? Skriv ditt svar her for oppgave (d) Denne oppgaven inneholder en PDF. Se neste side. MAT102 - Demoprøve Page 3 av 34

4 Kompendium til MAT102, Vår 2017 Newtons metode Gitt et gjett x n på en løsning til ligningen f(x) = 0 foreslår newtons metode at tallet x n+1 = x n f(x n )/f (x n ) er et enda bedre gjett på en løsning. Følgende MATLAB skript finner en tilnærming til et nullpunkt til f(x) = sin x e x2 startende med x = 4. f sin(x) - exp(-x^2); fmerket cos(x) +2*x*exp(-x^2); x = 4; while abs(f(x)) > 10^-5 x = x - f(x) / fmerket(x); end Eulers metode For å løse startverdiproblemet y = x 2 y y, y(1) = 2 over intervallet [1, 3] ved Eulers metode, kan vi bruke denne koden: 1- deltax = 0.01; 2- N = 200; 3- x(1) = 1; 4- y(1) = 2; 5- for i = 2:N+1 6- x(i) = x(i-1) + deltax; 7- y(i) = y(i-1) + deltax*( x(i-1)^2*y(i-1) - sqrt(y(i-1)) ); 8- end 9- plot(x,y) MAT102 - Demoprøve Page 4 av 34

5 MAT102 - Demoprøve Page 5 av 34

6 Gausseliminasjon MAT102 - Demoprøve Page 6 av 34

7 Frontcover MAT102 - Demoprøve Page 7 av 34

8 Backcover MAT102 - Demoprøve Page 8 av 34

9 2 OPPGAVE Oppgave 2 Vi skal i denne oppgaven se på ligningen cos = 1. (a) Forklar hvorfor ligningen har en løsning for x i intervallet (0, ). (b) Hvordan kan du vite at det bare finnes en løsning i intervallet (0, )? (c) Hvordan vil du bruke Newtons metode for å estimere denne løsningen med en feilgrense på 10-5? Du kan for eksempel svare på denne oppgaven ved å skrive MATLAB-kode. NB: Du trenger ikke oppgi løsningen til ligningen i svaret. Skriv ditt svar her... Denne oppgaven inneholder en PDF. Se neste side. MAT102 - Demoprøve Page 9 av 34

10 Kompendium til MAT102, Vår 2017 Newtons metode Gitt et gjett x n på en løsning til ligningen f(x) = 0 foreslår newtons metode at tallet x n+1 = x n f(x n )/f (x n ) er et enda bedre gjett på en løsning. Følgende MATLAB skript finner en tilnærming til et nullpunkt til f(x) = sin x e x2 startende med x = 4. f sin(x) - exp(-x^2); fmerket cos(x) +2*x*exp(-x^2); x = 4; while abs(f(x)) > 10^-5 x = x - f(x) / fmerket(x); end Eulers metode For å løse startverdiproblemet y = x 2 y y, y(1) = 2 over intervallet [1, 3] ved Eulers metode, kan vi bruke denne koden: 1- deltax = 0.01; 2- N = 200; 3- x(1) = 1; 4- y(1) = 2; 5- for i = 2:N+1 6- x(i) = x(i-1) + deltax; 7- y(i) = y(i-1) + deltax*( x(i-1)^2*y(i-1) - sqrt(y(i-1)) ); 8- end 9- plot(x,y) MAT102 - Demoprøve Page 10 av 34

11 MAT102 - Demoprøve Page 11 av 34

12 Gausseliminasjon MAT102 - Demoprøve Page 12 av 34

13 Frontcover MAT102 - Demoprøve Page 13 av 34

14 Backcover MAT102 - Demoprøve Page 14 av 34

15 3 OPPGAVE Oppgave 3 (a) Disse to vektorene danner en basis for R 2. = 2 3, = 1 4 Forklar hvorfor. (b) Skriv vektoren = 5 5 som en lineærkombinasjon av (c) Løs ligningssystemet ved å bruke Gauss-eliminasjon, og skriv løsningen på vektorform. 3 = = 3 (b) Vedå bruke MATLAB-kommandoen på totalmatrisen til et ligningssystem i 1, 2, 3, 4, 5 får vi svaret under. Skriv opp løsningene til ligningssystemet på vektorform. = Skriv ditt svar her... Denne oppgaven inneholder en PDF. Se neste side. MAT102 - Demoprøve Page 15 av 34

16 Kompendium til MAT102, Vår 2017 Newtons metode Gitt et gjett x n på en løsning til ligningen f(x) = 0 foreslår newtons metode at tallet x n+1 = x n f(x n )/f (x n ) er et enda bedre gjett på en løsning. Følgende MATLAB skript finner en tilnærming til et nullpunkt til f(x) = sin x e x2 startende med x = 4. f sin(x) - exp(-x^2); fmerket cos(x) +2*x*exp(-x^2); x = 4; while abs(f(x)) > 10^-5 x = x - f(x) / fmerket(x); end Eulers metode For å løse startverdiproblemet y = x 2 y y, y(1) = 2 over intervallet [1, 3] ved Eulers metode, kan vi bruke denne koden: 1- deltax = 0.01; 2- N = 200; 3- x(1) = 1; 4- y(1) = 2; 5- for i = 2:N+1 6- x(i) = x(i-1) + deltax; 7- y(i) = y(i-1) + deltax*( x(i-1)^2*y(i-1) - sqrt(y(i-1)) ); 8- end 9- plot(x,y) MAT102 - Demoprøve Page 16 av 34

17 MAT102 - Demoprøve Page 17 av 34

18 Gausseliminasjon MAT102 - Demoprøve Page 18 av 34

19 Frontcover MAT102 - Demoprøve Page 19 av 34

20 Backcover MAT102 - Demoprøve Page 20 av 34

21 4 OPPGAVE Oppgave 4 I denne oppgaven skal vi se på Gauss-eliminasjon. (a) Løs ligningssystemet ved å bruke Gauss-eliminasjon, og skriv løsningen på vektorform = = 4 (b) Vedå bruke MATLAB-kommandoen på totalmatrisen til et ligningssystem i 1, 2, 3, 4, 5 får vi svaret under. Skriv opp løsningene til ligningssystemet på vektorform. = Skriv ditt svar her... Denne oppgaven inneholder en PDF. Se neste side. MAT102 - Demoprøve Page 21 av 34

22 Kompendium til MAT102, Vår 2017 Newtons metode Gitt et gjett x n på en løsning til ligningen f(x) = 0 foreslår newtons metode at tallet x n+1 = x n f(x n )/f (x n ) er et enda bedre gjett på en løsning. Følgende MATLAB skript finner en tilnærming til et nullpunkt til f(x) = sin x e x2 startende med x = 4. f sin(x) - exp(-x^2); fmerket cos(x) +2*x*exp(-x^2); x = 4; while abs(f(x)) > 10^-5 x = x - f(x) / fmerket(x); end Eulers metode For å løse startverdiproblemet y = x 2 y y, y(1) = 2 over intervallet [1, 3] ved Eulers metode, kan vi bruke denne koden: 1- deltax = 0.01; 2- N = 200; 3- x(1) = 1; 4- y(1) = 2; 5- for i = 2:N+1 6- x(i) = x(i-1) + deltax; 7- y(i) = y(i-1) + deltax*( x(i-1)^2*y(i-1) - sqrt(y(i-1)) ); 8- end 9- plot(x,y) MAT102 - Demoprøve Page 22 av 34

23 MAT102 - Demoprøve Page 23 av 34

24 Gausseliminasjon MAT102 - Demoprøve Page 24 av 34

25 Frontcover MAT102 - Demoprøve Page 25 av 34

26 Backcover MAT102 - Demoprøve Page 26 av 34

27 5 OPPGAVE Oppgave 5 I denne oppgaven skal vi se på et integral: sin (a) Skriv MATLAB-kode for å regne ut integralet ved trapesmetoden. Bruk n = 100 delintervall. (b) Om du har gjort rett vil resultatet om koden kjøres bli Tror du dette svaret fra MATLAB er for lavt eller for høyt, sammenlignet med den egentlige verdien til integralet? Hint: Regn ut 1 at sin = Skriv ditt svar her... Denne oppgaven inneholder en PDF. Se neste side. MAT102 - Demoprøve Page 27 av 34

28 Kompendium til MAT102, Vår 2017 Newtons metode Gitt et gjett x n på en løsning til ligningen f(x) = 0 foreslår newtons metode at tallet x n+1 = x n f(x n )/f (x n ) er et enda bedre gjett på en løsning. Følgende MATLAB skript finner en tilnærming til et nullpunkt til f(x) = sin x e x2 startende med x = 4. f sin(x) - exp(-x^2); fmerket cos(x) +2*x*exp(-x^2); x = 4; while abs(f(x)) > 10^-5 x = x - f(x) / fmerket(x); end Eulers metode For å løse startverdiproblemet y = x 2 y y, y(1) = 2 over intervallet [1, 3] ved Eulers metode, kan vi bruke denne koden: 1- deltax = 0.01; 2- N = 200; 3- x(1) = 1; 4- y(1) = 2; 5- for i = 2:N+1 6- x(i) = x(i-1) + deltax; 7- y(i) = y(i-1) + deltax*( x(i-1)^2*y(i-1) - sqrt(y(i-1)) ); 8- end 9- plot(x,y) MAT102 - Demoprøve Page 28 av 34

29 MAT102 - Demoprøve Page 29 av 34

30 Gausseliminasjon MAT102 - Demoprøve Page 30 av 34

31 Frontcover MAT102 - Demoprøve Page 31 av 34

32 Backcover MAT102 - Demoprøve Page 32 av 34

33 6 OPPGAVE Skissearkdemo Du genererer selv kode under hver oppgave. Fyll denne inn i feltene for Skisse ID, og i tillegg markere det rette tallet i underkant av det feltet. Du skal også fylle inn dato, emnekode, kandidatnummer og oppgavenummer, sidenummer og antall ark. Ved behov kan dere bruke to skisseark på en oppgave, bruk da samme Skisse ID og informasjon. Ikke skisser to oppgavers skisse på samme ark. Lever arkene i den rekkefølgen de skal leses. Under følger et tomt skisseark og et rett utfylt skisseark for Skisse ID , Kand 100, Emne DIGVURD100, oppgave 2, side 1 av 1. MAT102 - Demoprøve Page 33 av 34

34 Skriv ditt svar her... MAT102 - Demoprøve Page 34 av 34