UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag. oktober 28. Tid for eksamen: 5: 7:. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: Formelark. Ingen. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Husk å fylle inn kandidatnummer under. Kandidatnr: De første oppgavene teller 2 poeng hver, de siste teller 3 poeng hver. Den totale poengsummen er altså 5. Det er 5 svaralternativer for hvert spørsmål, men det er bare ett av disse som er riktig. Dersom du svarer feil eller lar være å krysse av på et spørsmål, får du null poeng. Du blir altså ikke straffet med minuspoeng for å svare feil. Lykke til! Oppgave. tallet Oppgave- og svarark Det binære tallet er det samme som det desimale Oppgave 2. Skrevet i totallssystemet blir det heksadesimale tallet 3af 6 (Fortsettes på side 2.)

2 Eksamen i MAT-INF, Fredag. oktober 28. Side 2 Oppgave Desimaltallet.625 kan skrives på binær form som krever uendelig mange binære siffer Oppgave 4. På heksadesimal form blir det binære tallet. c e c.f4 6 Oppgave 5. er Tallet et irrasjonalt tall et rent imaginært tall eksisterer ikke et rasjonalt tall ln e π π Oppgave 6. En følge er definert ved x n = + /n 2 for n. Hva er største nedre skranke for tallmengden gitt ved {x n n }? /2 er ikke definert Oppgave 7. Anta at vi multipliserer ut parentesene i uttrykket (+x). Hva blir da koeffisienten foran x 99? (Fortsettes på side 3.)

3 Eksamen i MAT-INF, Fredag. oktober 28. Side 3 Oppgave 8. f(x) = x 3? x 3 x 2 x + 3x + 6x 2 Oppgave 9. f(x) = x 3? x 3 x 2 + 3x + 3x 2 3x + 3x 2 Hva er taylorpolynomet om a = av grad 2 for funksjonen Hva er taylorpolynomet om a = av grad 2 for funksjonen Oppgave. Vi har funksjonen f(x) = x 2 og punktene x =, x = og x 2 = 2. Da har den dividerte differansen f[x, x, x 2 ] verdien 2 /2 Oppgave. Taylorpolynomet av grad 3 om a = til funksjonen f(x) = sin x + cos x er + x + x 2 /2 + x 3 /6 + x x 2 /2 x 3 /6 x + x 2 /2 x 3 /6 x + x 2 + x 3 /6 + x x 2 /2 + x 3 /6 Oppgave 2. Vi interpolerer funksjonen f(x) = x 2 med et polynom p 3 av grad 3, i punktene,, 2 og 3. Hva blir da p 3 (4), altså verdien av p 3 (x) i x = 4? (Fortsettes på side 4.)

4 Eksamen i MAT-INF, Fredag. oktober 28. Side 4 Oppgave 3. Anta at vi beregner Taylorpolynomet av grad n om punktet a = for funksjonen f(x) = cos x. Hva kan vi da si om feilleddet R n (x)? Feilleddet vil for hver x bli større når n øker For ethvert reelt tall x vil feilleddet gå mot når n går mot Feilleddet er overalt Feilleddet vil gå mot for alle x i intervallet [ π, π], men ikke for andre verdier av x For alle n og alle reelle tall x vil absoluttverdien til feilleddet være mindre enn Oppgave 4. Hvilken av de følgende differensligningene er lineær og har konstante koeffisienter? x n+ + x n /n = x n+2 4x n+ + x 2 n = x n+2 (ln 2)x n+ + x n = cos(n) x n+2 + 4x n+ + ( ) n x n = sin(2 n ) x n+ = n 2 x n Oppgave 5. Differensligningen 2x n+2 3x n = 5 2 n har en partikulærløsning (med notasjonen a b menes a multiplisert med b) x n = (3/2) n x n = 5 2 n x n = 5 2 n x n = 3 n x n = 3 2 n Oppgave 6. Vi har gitt en differensligning med initialbetingelser, x n+2 + x n+ + x n =, x =, x = 3/2. Hva er løsningen? x n = sin(2nπ/3) x n = cos(2nπ/3) + sin(nπ/3) x n = (2 3) cos(nπ/3) x n = sin(nπ/3) x n = sin(5nπ/3) (Fortsettes på side 5.)

5 Eksamen i MAT-INF, Fredag. oktober 28. Side 5 Oppgave 7. Vi har gitt en differensligning med tilhørende startverdi, x n+ = x n /(2n), n, x =. Hva er løsningen? x n = /((n )! 2 n ) x n = /n x n = /(n! 2 n ) x n = /(n!) 2 x n = /n 2 Oppgave 8. Vi har differensligningen x n+ x n /3 = n, x = og simulerer denne med 64-bits flyttall på datamaskin. For store n vil da den beregnede løsningen x n nærme seg n 3 n /2 3/2 Oppgave 9. Vi har differensligningen 3x n+2 + 4x n+ 4x n =, x =, x = 2/3 og simulerer denne med 64-bits flyttall. For store n vil da den beregnede løsningen x n gi som resultat underflow (2/3) n overflow (Fortsettes på side 6.)

6 Eksamen i MAT-INF, Fredag. oktober 28. Side 6 Oppgave 2. Vi lar P n betegne påstanden n i2 i = n2 n+ 2. i= Et induksjonsbevis for at P n er sann for alle heltall n kan være som følger:. Vi ser lett at P er sann. 2. Anta nå at vi har bevist at P,..., P k er sanne. For å fullføre induksjonsbeviset må vi vise at P k+ også er sann. Siden P k er sann har vi k+ i2 i = i= k i2 i + (k + )2 k+ i= = k2 k+ 2 + (k + )2 k+ = (2k + 2)2 k+ 2 = (k + )2 k+2 2. Vi ser dermed at om P k er sann så må også P k+ være sann. Hvilket av følgende utsagn er sanne? Påstanden P n er sann, men del 2 av induksjonsbeviset er feil Påstanden P n er feil, og del 2 av induksjonsbeviset er feil Påstanden P n er feil, og del av induksjonsbeviset er feil Både påstanden P n og induksjonsbeviset er riktige Beviset er riktig, men det er ikke noe induksjonsbevis Det var det!