1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m
|
|
- Felix Borgen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a n (1) n=m hvor a m, a m+1, a m+2,... er konstanter ulik 0 og m et heltall med endelig verdi. En rekke med positive ledd er gitt som i (1), men hvor a m, a m+1, a m+2,... er konstanter med verdier større enn p-rekker En p-rekke er gitt som n=m hvor m er et heltall med endelig verdi. 1 1 n p (2)
2 1.1.3 Geometriske rekker En geometrisk rekke er en rekke på formen a 0 r n, (3) hvor a 0 0. n= Alternerende rekker En alternerende rekke er en rekke på formen ( 1) n+l a n (4) n=m hvor a m, a m+1,... er positive konstanter som tilfredstiller a n a n+1 for alle n. Videre er m og l heltall med endelige verdier Potensrekker En potensrekke er en rekke på formen a n x n (5) hvor a 1, a 2,... er konstanter. n= Taylorpolynomer La f være n ganger deriverbar i punktet a. Da er Taylor-polynomet av grad n om x = a for f gitt ved P n (x) = n k=0 f (k) (a) (x a) k. k! 2
3 1.1.7 Taylors formel La f være n+1 ganger deriverbar på et åpent intervall I som innholder både a og x, og la f (n+1) være kontinuerlig i I. Da er f(x) = P n (x) + R n (x) der P n er Taylor-polynomet til f av grad n om punktet a og R n (x) = f (n+1) (c) (x a)n+1 (n + 1)! for en c mellom a og x. R n (x) kaller restleddet Taylorrekker Går restleddet i Taylors formel for voksende n mot 0 i x, får vi en konvergent Taylor-rekke i x f (k) (a) f(x) = (x a) k. k! k=0 1.2 Rekker med konstante ledd; konvergenstester og restleddsformler Divergenstesten En rekke med konstante ledd, som gitt i ligning (1), divergerer dersom lim a n 0. n Integraltesten La f være en positiv, kontinuerlig og avtakende funksjon for x m, og la a n = f(n) for n m. Da gjelder: 3
4 A. Rekken a n = a m + a m+1 + a m+2 + n=m konvergerer hvis og bare hvis det uegentlige integralet m f(x) dx konvergerer. B. Dersom rekken konvergerer med sum S og N > m, gjelder f(x) dx < S S N < a N+1 + f(x) dx < N+1 N+1 N der S N = a m + a m+1 + a m a N. f(x)dx p-rekker p-rekker, som gitt i ligning (2), konvergerer hvis og bare hvis p > Sum av geometriske rekker En geometrisk rekke gitt som i ligning (3) konvergerer hvis og bare hvis r < 1. Hvis rekka konvergerer har den sum S = a 0 1 r Test for alternerende rekker En alternerende rekke, som gitt i ligning (4), konvergerer hvis lim n a n = 0. La S være summen til en konvergent alternerende rekke. Da gjelder det at S S N a N+1 der S N = N n=m ( 1)n+l a n. Videre har S S N samme fortegn som ( 1) N+1+l a N+1. 4
5 1.2.6 Sammenligningstesten La n=m a n og n=m b n være to rekker med positive ledd. A. Dersom n=m b n konvergerer og det nnes et tall c slik at a n cb n for alle n, så konvergerer n=m a n også. B. Dersom n=m b n divergerer og det nnes et tall d slik at a n cb n for alle n, så divergerer n=m a n også Grensesammenligningstesten La n=m a n og n=m b n være to rekker med positive ledd slik at grenseverdien a n L = lim n b n eksisterer eller er lik. A. Hvis n=m b n konvergerer og L <, så konvergerer n=m a n også. B. Dersom n=m b n divergerer og L > 0 (L = tillatt), så divergerer n=m a n også Forholdstesten For en rekke med konstante ledd, som gitt i ligning (1), anta at grensen a = lim a n+1 n a n eksisterer eller er uendelig. Rekka A. konvergerer absolutt hvis a < 1 B. divergerer hvis a > 1. Hvis a = 1, gir testen ingen konklusjon. 5
6 1.3 Potensrekker; egenskaper og konvergenstester Konvergens av potensrekker For en potensrekke, som gitt i ligning (5), gjelder én av følgende tre muligheter: A. Rekka konvergerer absolutt for alle x R. B. Rekka konvergerer bare for x = 0. C. Det nnes et tall R > 0 slik at rekka konvergerer absolutt for x < R og divergerer for x > R Egenskaper ved potensrekker i konvergensområdet Anta vi har en potensrekke, som gitt i ligning (5), som konvergerer for x < R med sum f(x). Da gjelder følgende innenfor konvergensområdet x < R: A. Summen f(x) er en kontinuerlig funksjon av x. B. f er uendelig mange ganger deriverbar. C. Potensrekka er da Taylor-rekka til f(x) om x = 0 (Maclaurinrekka) slik at a n = f (n) (0). n! D. f er deriverbar og E. f har en antiderivert F, og F (x) = f (x) = a n nx n 1. n=1 f(x) dx = C + n=0 a n n + 1 xn+1. 6
7 1.3.3 Forholdstesten for konvergens av potensrekker La a(x) = lim n a n+1 x n+1 a n x n for en potensrekke som gitt i ligning (5). Potensrekka A. konvergerer absolutt for alle x som gir a(x) < 1. B. divergerer for alle x som for a(x) > 1. for de x som gir a(x) = 1, gir testen ingen konklusjon Noen Taylor-rekker om a = 0 e x x n = n! = 1 + x + x2 2! + x3 + for alle x 3! n=0 n+1 xn ln(1 + x) = ( 1) n for 1 < x 1 n=1 1 1 x = x n for x < 1 n=0 x m 1 x = n=m x n x (1 x) = nx n 2 for x < 1 n=1 1 + x = n=0 for x < 1 og m et positivt heltall med endelig verdi ( 1) n (2n)! (1 2n)(n!) 2 (4 n ) xn = x 1 8 x x x for x < 1 7
8 ( 1) n sin x = (2n + 1)! x2n+1 = x x3 3! + x5 for alle x 5! n=0 ( 1) n cos x = (2n)! x2n = 1 x2 2! + x4 for alle x 4! n=0 (2n)! arcsin x = 4 n (n!) 2 (2n + 1) x2n+1 = x + x x x7 + for x n=0 ( 1) n arctan x = 2n + 1 x2n+1 = x x3 3 + x5 5 x7 + for x 1 7 n=0 1.4 Funksjoner av ere variable Retningsderivert La f være en funksjon av n variable som er kontinuerlig deriverbar i punktet a R n. La u være en enhetsvektor i R n. Da er den retningsderiverte til f i punktet a og retning u gitt ved D u f(a) = lim h 0 f(a + hu) f(a) h = f(a) u Annenderiverttesten for funksjoner av to variable La f(x, y) ha kontinuerlige partielle deriverte av annen orden i en omegn om et kritisk punkt (a, b). La Da gjelder: (a, b) = f xx (a, b)f yy (a, b) [f xy (a, b)] 2. A. Dersom (a, b) > 0 og f xx (a, b) > 0, så er (a, b) et lokalt minimumspunkt for f. B. Dersom (a, b) > 0 og f xx (a, b) < 0, så er (a, b) et lokalt maksimumspunkt for f. C. Dersom (a, b) < 0, så er (a, b) et sadelpunkt for f. 8
9 1.4.3 Lagranges metode; Én bibetingelse La f være en funksjon med n 2 variable som har et maksimum eller minimum i et indre punkt a D f R n under bibetingelsen g(x) = 0. Dersom f og g er kontinuerlig deriverbare i x = a og g(a) 0, så nnes det et tall λ R slik at f(a) = λ g(a) Lagranges metode; To bibetingelser La f være en funksjon med n 3 variable som har et maksimum eller minimum i et indre punkt a D f R n under bibetingelsene g(x) = 0 og h(x) = 0. Dersom f, g og h er kontinuerlig deriverbare i x = a og g(a) h(a), så nnes det to reelle tall λ 1 og λ 2 slik at slik at f(a) = λ 1 g(a) + λ 2 h(a). 2 Statistikk 2.1 Noen sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling P (X = x) = ( ) n p x (1 p) n x, x = 0, 1,..., n. x E(X) = np, Var(X) = np(1 p). 9
10 2.1.2 Poissonfordeling P (X = x) = (λt)x e λt, x = 0, 1, 2, 3,... x! E(X) = λt, Var(X) = λt Normalfordeling f(x) = 1 2πσ e (x µ)2 2σ 2, < x <. E(X) = µ, Var(X) = σ 2. Hvis X N(µ, σ), er Z = X µ σ N(0, 1) Eksponensialfordeling f(x) = λe λx, x 0. E(X) = 1 λ, Var(X) = 1 λ Noen resultater og denisjoner for hendelser Komplimentregelen P ( A ) = 1 P (A). 10
11 2.2.2 Addisjonsregelen P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C) Multiplikasjonsregelen P (A B) = P (A B)P (B) = P (B A)P (A). P (A B C) = P (A B C)P (B C)P (C). 2.3 Noen resultater og denisjoner for stokastiske variable Komplimentregelen La X være en diskret eller kontinuerlig stokastisk variabel. Da gjelder P (X > x) = 1 P (X x) Forventningsverdi Denisjon alle x g(x)p (X = x), X µ g(x) = E[g(X)] = g(x) f(x) dx, diskret X kontinuerlig med fordeling f(x). La X 1, X 2,..., X n være stokastiske variabler, mens a-ene og b er vilkårlige konstanter. Da gjelder [ ] n n E b + a i X i = b + a i E[X i ]. i=1 i=1 Dersom X 1, X 2,..., X n er uavhengige stokastiske variable, gjelder E[X 1 X 2... X n ] = E[X 1 ] E[X 2 ]... E[X n ]. 11
12 2.3.3 Varians Denisjon σ 2 = Var(X) = E [ (X µ) 2] = E [ X 2] E[X] 2. La X og Y være to stokastiske variabler og a, b og c vilkårlige konstanter. Da gjelder Var[aX + by + c] = a 2 Var[X] + b 2 Var[Y ] + 2ab Cov[X, Y ]. La X 1, X 2,..., X n være uavhengige stokastiske variabler, mens a-ene og b er vilkårlige konstanter. Da gjelder [ ] n n Var b + a i X i = a 2 i Var[X i]. i=1 i= Simultanfordeling La P (X = x, Y = y) være simultanfordelingen til de diskrete stokastiske variablene X og Y. Da gjelder Marginalfordeling: P (X = x) = alle y P (X = x, Y = y) Addisjonsregelen: P (X = x Y = y) = P (X = x) + P (Y = y) P (X = x, Y = y) Multiplikasjonsregelen: P (X = x, Y = y) = P (X = x Y = y)p (Y = y) Forventning: E[g(X, Y )] = alle x alle y g(x, y)p (X = x, Y = y) Kovariansen mellom X og Y Cov[X, Y ] = E[XY ] E[X]E[Y ] Korrelasjonskoeesienten mellom X og Y ρ[x, Y ] = Cov[X, Y ] Var[X]Var[Y ]. 12
13 2.3.7 Sentralgrenseteoremet La X 1, X 2,..., X n være uavhengige stokastiske variabler fra samme sannsynlighetsfordeling med forventning µ og standardavvik σ. Da gjelder X = 1 n n X i tilnærmet N i=1 ( µ, ) σ. n Skrevet på en annen måte kan Sentralgrenseteoremet presenteres slik Z = X [ E X ] [ Sd X ] = X µ σ/ tilnærmet N(0, 1), n der Sd [ X ] er standardavviket til X. 2.4 Dataanalyse Kondensintervaller Z-intervall: [x z α/2 σ n, x + z α/2 σ n ]. Forutsetter at målingene er normalfordelte eller at n 20. T-intervall: [ ] s s x t {α/2,n 1}, x + t {α/2,n 1}, n n der s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2. Forutsetter at målingene er normalfordelte eller at n 30. i=1 13
14 P-intervall: [ ] ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp z α/2, ˆp + z α/2, n n der ˆp = x/n. Forutsetter at nˆp(1 ˆp) 5. Uparet T-intervall: [x y t {α/2,n1+n2 2}s P 1n1 + 1n2, x y + t {α/2,n1+n2 2}s P 1n1 + 1n2 ], der s 2 P = (n 1 1)s (n 2 1)s 2 2. n 1 + n 2 2 Paret T-intervall: [ ] s D s D t {α/2,n 1} D, D + t {α/2,n 1}, n n der s 2 D = 1 n 1 n (D i D) 2. i= Testobservatorer i hypotesetestingen Z-test: z obs = x µ 0 σ/ n. Forutsetter at målingene er normalfordelte eller at n
15 T-test: der s 2 = 1 n 1 t obs = x µ 0 s/ n n (x i x) 2. Forutsetter at målingene er normalfordelte eller at n 30. P-test: Forutsetter at np 0 (1 p 0 ) 5. Uparet T-test: der i=1 z obs = ˆp p 0 t obs = p 0 (1 p 0 ) n x y, 1 s P n n 2 s 2 P = (n 1 1)s (n 2 1)s 2 2. n 1 + n 2 2. Paret T-test: der t obs = D s D / n, s 2 D = 1 n 1 n (D i D) 2. i=1 Vi forkaster H 0 for ekstreme verdier av testobservatoren i forhold til det vi tror under antagelsen at H 0 er sann. Et par eksempler: Z-test: H 0 H 1 Forkast H 0 hvis µ µ 0 µ > µ 0 z obs > z α µ µ 0 µ < µ 0 z obs < z α µ = µ 0 µ µ 0 z obs > z α/2 15
16 Uparet T-test: H 0 H 1 Forkast H 0 hvis µ 1 µ 2 µ 1 > µ 2 t obs > t α,n1 +n 2 2 µ 1 µ 2 µ 1 < µ 2 t obs < t α,n1 +n 2 2 µ 1 = µ 2 µ 1 µ 2 t obs > t α/2,n1 +n Hypotesetesting basert på p-verdi Denisjon (p-verdi): p-verdi er sannsynligheten for å observere det vi har observert eller noe mer ekstremt under antagelsen at H 0 er sann. Forkastningsregel basert på p-verdi: Forkast H 0 hvis p-verdi α. 16
17 3 Statistiske tabeller 17
18 18
19 19
20 20
21 21
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
Detaljer= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
DetaljerSeksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 14. februar 2012 Funksjonsrekker En rekke på formen fn(x) der fn er en funksjon, kalles en n=1 funksjonsrekke. For alle
DetaljerKapittel 2: Hendelser
Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en
DetaljerTyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4
3 Tyngdepunkt Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF
DetaljerHøgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
DetaljerKapittel 4: Matematisk forventning
Kapittel 4: Matematisk forventning TMA4240 Statistikk (F2 og E7) Multivariate tilfeller foreleses mandag 6.september, 2004 Ole.Petter.Lodoen@math.ntnu.no p.1/16 Forventing til funksjon av flere stokastiske
DetaljerLøsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1
Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.
DetaljerOversikt over Matematikk 1
1 Oversikt over Matematikk 1 Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens av ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivasjon Sekantsetningen Integrasjon Differensialligninger Kurver i planet
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2008
TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har
DetaljerRekker, Konvergenstester og Feilestimat
NTNU December 8, 2012 Oversikt 1 2 3 4 5 6 For å forstå, må vi først forstå potensrekker For å forstå potensrekker, må vi først forstå rekker. For å forstå rekker, må vi først forstå følger. Definisjon
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 28. oktober 2010 2 Fremdriftplan I går 7.7 Uegentlige integraler 8.1 Følger I dag
DetaljerOppfriskning av blokk 1 i TMA4240
Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for
Detaljer3.4: Simultanfordelinger (siste rest) 4.1,4.2,4.3: Multivariat del (ferdig med kapittel 3 og 4 etter denne forelesningen)
TMA4240 Statistikk H200 3.4: Simultanfordelinger (siste rest) 4.,4.2,4.3: Multivariat del (ferdig med kapittel 3 og 4 etter denne forelesningen) Mette Langaas Foreleses mandag 3. september 200 2 f (x,
DetaljerLøsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n
Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Tirsdag. februar 203 kl. 0:30 Antall oppgaver: 9 Løsningsforslag Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 24. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerObservatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter
Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter
DetaljerForelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind
Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Kontinuerlige fordelinger 2. Uniform fordeling 3. Normal-fordelingen 1. Kontinuerlige fordelinger
DetaljerTogforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at
Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være
DetaljerFølger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014
Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 10, 2014 Forelesning (03.01.2014): kap 9.1 og 9.2 Beskrivelse av følger eksempler og definisjon Egenskaper med følger Grenseverdi for følger (og
DetaljerTo-dimensjonale kontinuerlige fordelinger
To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger Noen resultater for diskrete fordelinger Vi har tidligere definert punktsannsynligheten p(x, y) for en todimensjonal variabel (X, Y ) som p(x, y) = P ({X = x}
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 11. november 2017) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,..., B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
Detaljer(Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1 a) Data: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Gjennomsnitt: x = 1 5 (x 1
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002
Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Oppgave 1 a) En god estimator er forventningsrett og har liten varians. Vi tester forventningsretthet: E[ˆµ] E[Y ] µ E[ µ] E[ 1 2 X + 1 2 Y ] 1 2 E[X]
DetaljerA) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik.
Oppgave 1 Det skal velges en komité bestående av 2 menn og 1 kvinne. Komitéen skal velges fra totalt 5 menn og 6 kvinner. Hvor mange ulike komitéer kan dannes? A) 86400 B) 400 C) 120 D) 60 E) 10 Rett svar:
DetaljerForventning og varians.
Forventning og varians. Dekkes av kapittel 4 i læreboka. Forventning (4.1) Forventningsverdi = gjennomsnitt i det lange løp. Defininsjon: Forventningsverdien til en stokastisk variabel X er: x xf(x),x
DetaljerForventning og varians.
Forventning og varians. Dekkes av kapittel 4 i læreboka. Forventning (4.) Forventningsverdi gjennomsnitt i det lange løp. Defininsjon: Forventningsverdien til en stokastisk variabel X er: E(X) f(),x diskret
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
Detaljern=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
DetaljerSeksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x
DetaljerKontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.
Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x) er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom: 1. f(x) 0 for alle x R 2. f(x)dx =1 3. P (a
DetaljerLøsningsforslag, eksamen statistikk, juni 2015
Løsningsforslag, eksamen statistikk, juni 0 Oppgave 1 Siden det spørres om tall fra et intervall, som oppgaven viser kan være et reelle, er det tydelig at tallene er tatt fra en kontinuerlig fordeling.
DetaljerKonvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.6. Alternerende rekker Absolutt og betinget konvergens 3 Alternerende rekker
DetaljerBernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling
Bernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling Bernoulli forsøksrekke i) gjentar et forsøk n ganger ii) hvert forsøk gir enten suksess eller fiasko iii) sannsynligheten for suksess er p i alle forsøkene
Detaljerf =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.
MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt
DetaljerTaylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a
Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a P n (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) 2 (x a)2 + + f (n) (a) (x
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerForelesing 27 Oppsummering. Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU
Forelesing 27 Oppsummering Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU 18.04.2018 I dag Lineær regresjon (sjekk av modellantagelser) Praktisk informasjon Andre statistikk-kurs Oversikt over
DetaljerLøsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
DetaljerKonvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.3. Integrasjonstesten 3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerLøsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår
Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x
DetaljerFORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Versjon per 10. januar 2002, ved Hornæs
FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Versjon per 10 januar 2002, ved Hornæs 1 EMPIRISKE STATISTISKE MÅL 11 Forventningsverdi, varians og standardavvik La x {x 1,x 2, x n } være et datasett av (reelle) tall: 111
DetaljerFormelsamling i medisinsk statistikk
Formelsamling i medisinsk statistikk Versjon av 6. mai 208 Dette er en formelsamling til O. O. Aalen (red.): Statistiske metoder i medisin og helsefag, Gyldendal, 208. Gjennomsnitt x = n (x + x 2 + x 3
DetaljerEksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA440 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november
DetaljerMAT jan jan feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis
DetaljerMatematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag
Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner
DetaljerGammafordelingen og χ 2 -fordelingen
Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen Gammafunksjonen Gammafunksjonen er en funksjon som brukes ofte i sannsynlighetsregning. I mange fordelinger dukker den opp i konstantleddet. Hvis man plotter n-fakultet
DetaljerEksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:
Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2007
TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017
Løsningsforslag Eksamen S, våren 17 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 5. mai 17 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x /x = x x 1. Den eneste regelen vi trenger her er (kx n )
DetaljerForeleses onsdag 8. september 2010
TMA4240 Statistikk H200 4.2: Varians (univariat del) 4.4: Chebyshevs teorem 3.4: Simultanfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 8. september 200 Mette.Langaas@math.ntnu.no, TMA4240H200 2 4.2 Varians
DetaljerÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser.
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 0, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) a) Gjennomsnitt: x = 1 Emp. standardavvik: Median: 1 (1.33 + 1.) = 1.35
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b5 Løsningsskisse Oppgave 1 Vi ønsker å finne ut om et nytt serum kan stanse leukemi.
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998
Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim
DetaljerSiden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden.
Estimeringsmetoder Momentmetoden La X, X 2,..., X n være uavhengige variable som er rektangulært fordelte på intervallet [0, θ]. Vi vet da at forventningsverdiene til hver observasjon og forventningen
DetaljerFORMELSAMLING STATISTIKK, HiG
Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Versjon fra mai 2007 FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no ISSN:??????? Innledning. Denne formelsamlingen er skrevet for bruk
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 0, blokk II Løsningsskisse Oppgave Surhetsgrad i ferskvann Eksamen august 00, oppgave av 3 a) En god estimator
Detaljer2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =
Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 5. JUNI 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET
DetaljerKapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger
Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4240 Statistikk (F2 og E7) Foreleses 15. september, 2004. µ µ µ + Basert på slides av Mette Langås p.1/16 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling Kontinuerlig
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017
Løsningsforslag Eksamen S, høsten 017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 6. november 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 4x 3. Vi bruker regelen samt regelen (x n ) = nx
DetaljerFasit for tilleggsoppgaver
Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x
DetaljerLa U og V være uavhengige standard normalfordelte variable og definer
Binormalfordelingen Definisjon Noe av hensikten med å innføre begrepet betinget sannsynlighet er at kompliserte modeller ofte kan bygges ut fra enkle betingede modeller. Når man spesifiserer betingelser
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i MAT111
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse
DetaljerFORMELSAMLING STATISTIKK, HiG
FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Versjon per 18. februar 2004 Innhold 1 EMPIRISKE STATISTISKE MÅL 1 1.1 Forventningsverdi, varians og standardavvik.....................
DetaljerVelkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1. med Jørgen Endal
Velkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1 med Jørgen Endal Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap. 9.1 9.7) Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap. 9.1 9.7) Forelesning 1 (kap.
DetaljerArne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til
DetaljerHypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som:
Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017
Løsningsforslag Eksamen S, våren 016 Laget av Tommy Odland Dato: 9. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = e x. Den generelle regelen er at (e ax ) = ae ax, i vårt tilfelle
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte
DetaljerÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1
ÅMA 0 (TE 99) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 005, s. Oppgave a) P (X 0) 0.04 + 0.04 + 0.06 + 0.06 + 0. + 0. + 0. 0.6 P (0 X 40) 0.0 + 0.0 + 0.04 + 0.04 + 0.06 0.0 P
DetaljerLøsningsforslag eksamen 18/ MA1102
Løsningsforslag eksamen 8/5 009 MA0. Dette er en alternerende rekke, der leddene i størrelse går monotont mot null, så alternerenderekketesten gir oss konvergens. (Vi kan også vise konvergens ved å vise
Detaljer1 Mandag 1. februar 2010
Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette
DetaljerHypotesetesting av λ og p. p verdi.
Forelesning 7, kapittel 6 Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Det som gjøres i denne forelesningen er nær opptil det vi gjorde da vi konstruerte z test for µ, og styrkefunksjon for denne. I tillegg til
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerFunksjoner av stokastiske variable.
Funksjoner av stokastiske variable. Dekkes av pensumsidene i kap. 7 I ulike sammenhenger, blant annet for å finne fordelingen til estimatorer, er vi interesserte i fordelingen til funksjoner av stokastiske
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5
Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /5-5/5 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no May, 009 Oppgave 5.0.a Ser at f(x, y = (, 3, og g(x, y = (x, y. g(x, y = 0 hvis og bare hvis x = y = 0, og dette er ikke kompatibelt
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017
Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx
DetaljerLøsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7
Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning
DetaljerGenerelle teoremer og definisjoner MA1102 Grunnkurs i analyse II - NTNU
Generelle teoremer og definisjoner MA110 Grunnkurs i analyse II - NTNU Lærebok: Kalkulus, Universitetsforlaget, 006, 3. utgave av Tom Lindstrøm Jonas Tjemsland 9. april 015 3 Komplekse tall 3.1 Regneregler
DetaljerEKSAMEN. Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk)
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2.6.2014 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk) Eksamenstid: kl. 09.00 til kl.
DetaljerFunksjoner av stokastiske variable.
Funksjoner av stokastiske variable. Dekkes av pensumsidene i kap. 7 I ulike sammenhenger, blant annet for å finne fordelingen til estimatorer, er vi interesserte i fordelingen til funksjoner av stokastiske
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver. Lineærkombinasjonen Z = 5X + 8Y har forventningsverdi
ØVINGER 27 Løsninger til oppgaver Øving 6 4. (7). Fra oppgave 4.5 (øving 4) har vi forventningsverdien variansen til X, E[X] =.92, V ar[x] =.3. Lineærkombinasjonen Z = 5X + 8Y har forventningsverdi E[Z]
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA1081 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: Ingeniørklasser. TID: kl. 9.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA44 Statistikk Høst 9 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b Løsningsskisse Oppgave X er en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet { f(x),
DetaljerOppgave 1. e rt = 120e. = 240 e
Løsning MET 803 Matematikk Dato 5. desember 05 kl 0900-00 Oppgave. (a) Dersom vi selger eiendommen etter t år, med t > 0, så er nåverdien av salgssummen med r = 0,0. Da får vi N(t) = V (t)e rt = 0 e e
DetaljerDenne veka. Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon
Denne veka Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon Notat: Ordningsvariable og ekstremvariable Ordnings variable Maksimum Minumum Transformasjon
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: HIS 05 08. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside)
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.
DetaljerPotensrekker. Binomialrekker
Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever
Detaljer