Øvingsforelesning 4. Modulo hva er nå det for no? TMA4140 Diskret Matematikk. 24. og 26. september 2018
|
|
|
- Kristian Kleppe
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Modulo hva er nå det for no? Øvingsforelesning 4 TMA4140 Diskret Matematikk 24. og 26. september 2018
2 Dagen i dag Repetere den euklidske algoritmen, kongruensregning og annet underveis H11.3a: Inverser og kongruensligninger H12.1: Kinesiske restteorem MS12.10 & MS15.6: Gcd som lineærkombinasjon MS17.12: Generell tallteori MS14.14, MS10.11 & MS11.1: 2, 8, 10 og 16-tallsystemene
3 Største felles divisor - Greatest common divisor Husk: Gitt a, b Z ikke begge lik null, så er gcd(a, b) det største heltallet d slik at d a og d b. Eksempel: gcd(5, 7) = 1
4 Største felles divisor - Greatest common divisor Husk: Gitt a, b Z ikke begge lik null, så er gcd(a, b) det største heltallet d slik at d a og d b. Eksempel: gcd(5, 7) = 1 gcd(5 2 7, ) = 5
5 Største felles divisor - Greatest common divisor Husk: Gitt a, b Z ikke begge lik null, så er gcd(a, b) det største heltallet d slik at d a og d b. Eksempel: gcd(5, 7) = 1 gcd(5 2 7, ) = 5 p et primtall og b Z er slik at p ikke deler b, så er gcd(p, b) = 1
6 Den euklidske algoritmen Gitt a, b Z, kan vi bruke den euklidske algoritmen for å finne gcd(a, b).
7 Den euklidske algoritmen Gitt a, b Z, kan vi bruke den euklidske algoritmen for å finne gcd(a, b). Ideen er å bruke at i a + b = c så har man at d a og d b hvis og bare hvis d b og d c.
8 Den euklidske algoritmen Gitt a, b Z, kan vi bruke den euklidske algoritmen for å finne gcd(a, b). Ideen er å bruke at i a + b = c så har man at d a og d b hvis og bare hvis d b og d c. Eksempel I: gcd(175, 165) = 5.
9 Den euklidske algoritmen Gitt a, b Z, kan vi bruke den euklidske algoritmen for å finne gcd(a, b). Ideen er å bruke at i a + b = c så har man at d a og d b hvis og bare hvis d b og d c. Eksempel I: gcd(175, 165) = 5. Eksempel II:gcd(101, 4620) = 1.
10 Kongruensregning I Husk: a b mod m hviss m (a b). Eksempel: mod 5 siden 5 (17 12) = 5
11 Kongruensregning I Husk: a b mod m hviss m (a b). Eksempel: mod 5 siden 5 (17 12) = mod 99 siden mod 99
12 Kongruensregning II Husk: Ligner veldig på å regne med likninger Vi kan addere kongruenser med samme modulus(!)
13 Kongruensregning II Husk: Ligner veldig på å regne med likninger Vi kan addere kongruenser med samme modulus(!) Multiplisere sammen kongruenser med samme modulus
14 Kongruensregning II Husk: Ligner veldig på å regne med likninger Vi kan addere kongruenser med samme modulus(!) Multiplisere sammen kongruenser med samme modulus Men vi kan ikke alltid dele med samme tall på begge sider: 6 3 mod 3 men 2 1 mod 3.
15 Kongruensregning II Husk: Ligner veldig på å regne med likninger Vi kan addere kongruenser med samme modulus(!) Multiplisere sammen kongruenser med samme modulus Men vi kan ikke alltid dele med samme tall på begge sider: 6 3 mod 3 men 2 1 mod 3. Ikke bare å dele på null, også: mod 6 men 1 4 mod 6.
16 Kongruensregning II Husk: Ligner veldig på å regne med likninger Vi kan addere kongruenser med samme modulus(!) Multiplisere sammen kongruenser med samme modulus Men vi kan ikke alltid dele med samme tall på begge sider: 6 3 mod 3 men 2 1 mod 3. Ikke bare å dele på null, også: mod 6 men 1 4 mod 6. Problemet i forrige er at 2 3 = 6 0 mod 6.
17 Kongruensregning II Husk: Ligner veldig på å regne med likninger Vi kan addere kongruenser med samme modulus(!) Multiplisere sammen kongruenser med samme modulus Men vi kan ikke alltid dele med samme tall på begge sider: 6 3 mod 3 men 2 1 mod 3. Ikke bare å dele på null, også: mod 6 men 1 4 mod 6. Problemet i forrige er at 2 3 = 6 0 mod 6. Eller: gcd(2, 6) 1
18 Lineære kongruenser Theorem Hvis a og b er relativt primiske heltall og m > 1, finnes det en invers av a modulo m.
19 Lineære kongruenser Theorem Hvis a og b er relativt primiske heltall og m > 1, finnes det en invers av a modulo m. Eksempler: mod 7 siden = 1.
20 Lineære kongruenser Theorem Hvis a og b er relativt primiske heltall og m > 1, finnes det en invers av a modulo m. Eksempler: mod 7 siden = mod 7 siden = 1.
21 Lineære kongruenser Theorem Hvis a og b er relativt primiske heltall og m > 1, finnes det en invers av a modulo m. Eksempler: mod 7 siden = mod 7 siden = mod 4620
22 H11.3a Finn 0 < x < 273 slik at 100x 157 (mod 273).
23 Kinesisk restteorem I Theorem La m 1, m 2 være relativt primiske positive heltall større enn en og a 1, a 2 vilkårlige heltall. Da har systemet en unik løsning modulo m 1 m 2. x a 1 mod m 1 x a 2 mod m 2
24 Kinesisk restteorem II Eksempler: x 1 mod 2 og x 2 mod 3.
25 Kinesisk restteorem II Eksempler: x 1 mod 2 og x 2 mod 3. x 5 mod 7 og x 3 mod 5 har løsning x = = mod 35.
26 Kinesisk restteorem III Husk at m = m 1 m 2. Løsningen man lager er x = a 1 m/m 1 y 1 + a 2 m/m 2 y 2 hvor y 1 er en invers av m/m 1 modulo m 1, og y 2 er en invers av m/m 2 modulo m 2.
27 Kinesisk restteorem III Løsningen man lager er x = a 1 m/m 1 y 1 + a 2 m/m 2 y 2 hvor y 1 er en invers av m/m 1 modulo m 1, og y 2 er en invers av m/m 2 modulo m 2. Eksempler: x 5 mod 7 og x 3 mod 5 har løsning x = = mod 35.
28 Kinesisk restteorem III Løsningen man lager er x = a 1 m/m 1 y 1 + a 2 m/m 2 y 2 hvor y 1 er en invers av m/m 1 modulo m 1, og y 2 er en invers av m/m 2 modulo m 2. Eksempler: x 5 mod 7 og x 3 mod 5 har løsning x = = mod 35. Løsningen er unik: La 0 y < 35 være en annen løsning. Da er 0 x y < 35 eller 0 y x < 35...
29 H12.1 En bande Dothrakier plyndret med seg en sekk med gull fra Casterly Rock. Til å begynne med var det 59 dothrakier, men da de forsøkte å dele gullmyntene seg i mellom ble det 28 mynter til overs. Som seg hør og bør brøt det ut et slagsmål hvor 40 av dem døde. Når de deretter forsøkte å dele gullmyntene ble det 6 mynter til overs. Men de var nå lei av å sloss og lederen fikk de siste 6 myntene selv. Hvor mange gullmynter var det i sekken? (Gitt at sekken ikke rommer mer enn 1200 mynter.)
30 Største felles divisor og Bezout Theorem Hvis a og b er positive heltall, finnes det heltall s og t slik at gcd(a, b) = sa + tb.
31 Største felles divisor og Bezout Theorem Hvis a og b er positive heltall, finnes det heltall s og t slik at gcd(a, b) = sa + tb. Merk: Hvis sa + tb = 1 for noen s, t Z, kan man ikke ha gcd(a, b) > 1. Hvorfor ikke?
32 Største felles divisor og Bezout Theorem Hvis a og b er positive heltall, finnes det heltall s og t slik at gcd(a, b) = sa + tb. Merk: Hvis sa + tb = 1 for noen s, t Z, kan man ikke ha gcd(a, b) > 1. Hvorfor ikke? gcd må dele både a og b, og derfor også 1, så Likningen gir en øvre grense for gcd! 6 5 = = 18
33 Største felles divisor og Bezout Theorem Hvis a og b er positive heltall, finnes det heltall s og t slik at gcd(a, b) = sa + tb. Merk: Hvis sa + tb = 1 for noen s, t Z, kan man ikke ha gcd(a, b) > 1. Hvorfor ikke? gcd må dele både a og b, og derfor også 1, så Likningen gir en øvre grense for gcd! 6 5 = = 18
34 MS12.10 For hvilke av følgende ligninger eksisterer det s, t Z slik at ligningen er tilfredsstilt? Alt 1) s + 337t = 5 Alt 2) 825s + 315t = 5 Alt 3) 33649s t = 1 Alt 4) 2695s t = 1
35 MS12.10 For hvilke av følgende ligninger eksisterer det s, t Z slik at ligningen er tilfredsstilt? Alt 1) s + 337t = 5 Alt 2) 825s + 315t = 5 Alt 3) 33649s t = 1 Alt 4) 2695s t = 1
36 MS12.10 For hvilke av følgende ligninger eksisterer det s, t Z slik at ligningen er tilfredsstilt? Alt 1) s + 337t = 5 Alt 2) 825s + 315t = 5 Alt 3) 33649s t = 1 Alt 4) 2695s t = 1
37 MS12.10 For hvilke av følgende ligninger eksisterer det s, t Z slik at ligningen er tilfredsstilt? Alt 1) s + 337t = 5 Alt 2) 825s + 315t = 5 Alt 3) 33649s t = 1 Alt 4) 2695s t = 1
38 MS15.6 Hvilke av følgende utsagn er garantert riktige? Alt 1) La q være et primtall og la b Z + slik at q ikke er divisor i b. Det finnes s, t Z slik at sq + tb = 13. Alt 2) La q være et primtall. Det finnes s, t Z slik at s(q + 1) + t(q + 2) = 2. Alt 3) La q være et primtall. Det finnes s, t Z slik at s(q + 1) + t(q + 3) = 1. Alt 4) La a, b være naturlige tall 5 slik at gcd(a, b) = 1. Det finnes s, t Z slik at s(a 1) + t(b 2) = 1.
39 MS15.6 Hvilke av følgende utsagn er garantert riktige? Alt 1) La q være et primtall og la b Z + slik at q ikke er divisor i b. Det finnes s, t Z slik at sq + tb = 13. Alt 2) La q være et primtall. Det finnes s, t Z slik at s(q + 1) + t(q + 2) = 2. Alt 3) La q være et primtall. Det finnes s, t Z slik at s(q + 1) + t(q + 3) = 1. Alt 4) La a, b være naturlige tall 5 slik at gcd(a, b) = 1. Det finnes s, t Z slik at s(a 1) + t(b 2) = 1.
40 MS15.6 Hvilke av følgende utsagn er garantert riktige? Alt 1) La q være et primtall og la b Z + slik at q ikke er divisor i b. Det finnes s, t Z slik at sq + tb = 13. Alt 2) La q være et primtall. Det finnes s, t Z slik at s(q + 1) + t(q + 2) = 2. Alt 3) La q være et primtall. Det finnes s, t Z slik at s(q + 1) + t(q + 3) = 1. Alt 4) La a, b være naturlige tall 5 slik at gcd(a, b) = 1. Det finnes s, t Z slik at s(a 1) + t(b 2) = 1.
41 MS15.6 Hvilke av følgende utsagn er garantert riktige? Alt 1) La q være et primtall og la b Z + slik at q ikke er divisor i b. Det finnes s, t Z slik at sq + tb = 13. Alt 2) La q være et primtall. Det finnes s, t Z slik at s(q + 1) + t(q + 2) = 2. Alt 3) La q være et primtall. Det finnes s, t Z slik at s(q + 1) + t(q + 3) = 1. Alt 4) La a, b være naturlige tall 5 slik at gcd(a, b) = 1. Det finnes s, t Z slik at s(a 1) + t(b 2) = 1.
42 MS17.12 Hvilke av følgende utsagn er garantert riktige? Alt 1) La p være et odde primtall og la a 2 være et partall. Da vil a (p 1) 1 mod p. Alt 2) La a, b Z + dele Da finnes s, t Z slik at sa + tb = Alt 3) La a, b Z +, a, b 2, være relativt primiske. Da finnes s, t Z slik at s(a + 1) + t(b + 2) = 1. Alt 4) mod 420
43 MS17.12 Hvilke av følgende utsagn er garantert riktige? Alt 1) La p være et odde primtall og la a 2 være et partall. Da vil a (p 1) 1 mod p. Alt 2) La a, b Z + dele Da finnes s, t Z slik at sa + tb = Alt 3) La a, b Z +, a, b 2, være relativt primiske. Da finnes s, t Z slik at s(a + 1) + t(b + 2) = 1. Alt 4) mod 420
44 MS17.12 Hvilke av følgende utsagn er garantert riktige? Alt 1) La p være et odde primtall og la a 2 være et partall. Da vil a (p 1) 1 mod p. Alt 2) La a, b Z + dele Da finnes s, t Z slik at sa + tb = Alt 3) La a, b Z +, a, b 2, være relativt primiske. Da finnes s, t Z slik at s(a + 1) + t(b + 2) = 1. Alt 4) mod 420
45 MS17.12 Hvilke av følgende utsagn er garantert riktige? Alt 1) La p være et odde primtall og la a 2 være et partall. Da vil a (p 1) 1 mod p. Alt 2) La a, b Z + dele Da finnes s, t Z slik at sa + tb = Alt 3) La a, b Z +, a, b 2, være relativt primiske. Da finnes s, t Z slik at s(a + 1) + t(b + 2) = 1. Alt 4) mod 420
46 Binære, oktale og heksadesimale representasjoner av heltall Husk: For å bruke heksadesimale representasjoner utvider vi mengden med siffer på kanskje den enkleste tenkelige måten:. Eksempler: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (B2B) 16 = ( ) 2 = (5453) 8 =
47 Binære, oktale og heksadesimale representasjoner av heltall Husk: For å bruke heksadesimale representasjoner utvider vi mengden med siffer på kanskje den enkleste tenkelige måten:. Eksempler: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (B2B) 16 = ( ) 2 = (5453) 8 =
48 Binære, oktale og heksadesimale representasjoner av heltall Husk: For å bruke heksadesimale representasjoner utvider vi mengden med siffer på kanskje den enkleste tenkelige måten:. Eksempler: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (B2B) 16 = ( ) 2 = (5453) 8 =
49 Finne binær og oktal representasjon av et heksadesimaltall Vi kan oversette til binær og så til oktal. Eksempler: (CB) 16 = ( ) 2 = (313) 8 For multiple choice oppgaver er ikke dette alltid nødvendig: kan bruke kongruenser.
50 Summer og produkt av binær, oktal, og heksadesimaltall For sum er det greit å bruke algoritmen vi er vant til: (ABC) 16 + (DE) 16 = (B9A) 16 For produkt er det greit å oversette til desimaltall, gjøre beregningen der, og så oversette tilbake
51 Summer og produkt av binær, oktal, og heksadesimaltall For sum er det greit å bruke algoritmen vi er vant til: (ABC) 16 + (DE) 16 = (B9A) 16 For produkt er det greit å oversette til desimaltall, gjøre beregningen der, og så oversette tilbake
52 MS14.14 Hva er den hexadesimale (dvs. grunntall 16) fremstillingen av (ABCD) 16 + (F 5E) 16? Alt 1) (AB2B) 16 Alt 2) (BB2B) 16 Alt 3) (BC2B) 16 Alt 4) (BB1B) 16
53 Finne heksadesimalrepresentasjon av desimaltall Hvordan finner vi den binære, oktale, eller heksadesimale representasjonen av et desimaltall? Vi gjennomfører divisjon med rest med divisor henholdsvis 2, 8, 16 på kvotientene vi får til det stopper opp. Hvorfor? Vi ønsker å få et utrykk bestående av ledd som involverer divisoren og rester under divisjon med divisoren. Eksempel: (14) 10 = (1110) 2 14 = = = =
54 Finne heksadesimalrepresentasjon av desimaltall Hvordan finner vi den binære, oktale, eller heksadesimale representasjonen av et desimaltall? Vi gjennomfører divisjon med rest med divisor henholdsvis 2, 8, 16 på kvotientene vi får til det stopper opp. Hvorfor? Vi ønsker å få et utrykk bestående av ledd som involverer divisoren og rester under divisjon med divisoren. Eksempel: (14) 10 = (1110) 2 14 = = = =
55 Finne heksadesimalrepresentasjon av desimaltall Hvordan finner vi den binære, oktale, eller heksadesimale representasjonen av et desimaltall? Vi gjennomfører divisjon med rest med divisor henholdsvis 2, 8, 16 på kvotientene vi får til det stopper opp. Hvorfor? Vi ønsker å få et utrykk bestående av ledd som involverer divisoren og rester under divisjon med divisoren. Eksempel: (14) 10 = (1110) 2 14 = = = =
56 MS10.11: Direkte oversettelse og kongruenser. Oppgave 11: Hvilke tall er lik (ABCD) 16? Alt 1) ( ) 2 Alt 2) (43982) 10 Alt 3) (43981) 8 Alt 4) (47342) 8
57 MS11.1 Hva er (213986) 10 i det hexadesimale tallsystemet? Alt 1) (344F 2) 16 Alt 2) (343F 2) 16 Alt 3) (344E2) 16 Alt 4) (343E2) 16
Øvingsforelesning 5. Binær-, oktal-, desimal- og heksidesimaletall, litt mer tallteori og kombinatorikk. TMA4140 Diskret Matematikk
Binær-, oktal-, desimal- og heksidesimaletall, litt mer tallteori og kombinatorikk Øvingsforelesning 5 TMA4140 Diskret Matematikk 1. og 3. oktober 2018 Dagen i dag Repetere binære, oktale osv. heltallsrepresentasjoner,
Største felles divisor. (eng: greatest common divisors)
Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor (eller faktor) for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b.
Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010
Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles
Relativt primiske tall
Relativt primiske tall To heltall a og b (der ikke begge er 0) kalles relativt primiske hvis gcd(a, b) = 1, dvs. de har ingen felles faktorer utenom 1. NB! a og b trenger ikke være primtall for at de skal
b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden
Avsnitt. Oppgave Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen a) 7 går opp i 68 siden 68 7 b)
TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2018
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2018 Seksjon 4.1 6 Dersom a c og b d, betyr dette at det eksisterer heltall s og t slik at c
MIDTSEMESTERPRØVE I TMA4140 Diskret matematikk. 14. oktober 2016 Tid:
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Faglig kontakt under midtsemesterprøven: Christian Skau 73591755 Bokmål MIDTSEMESTERPRØVE I TMA4140 Diskret matematikk
Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe.
Endelige grupper Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. En gruppe er en mengde S sammen med en binær operasjon definert på S, betegnes (S, ), med følgende egenskaper: 1. a, b S, a b S 2. det
Fasit - det står en sort prikk bak riktig svar. (NB! Rekkefølgen på oppgavesettene varierte).
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Faglig kontakt under midtsemesterprøven: Christian Skau 73591755 Bokmål MIDTSEMESTERPRØVE I TMA4140 Diskret matematikk
Oversikt over det kinesiske restteoremet
Oversikt over det kinesiske restteoremet Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at: (1) x 2 (mod 6); (2) x 3 (mod 11). Hvordan vet jeg at vi bør benytte det kinesiske restteoremet?
KONTINUASJONSEKSAMEN I TMA4140 LØSNINGSFORSLAG
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 KONTINUASJONSEKSAMEN I TMA440 LØSNINGSFORSLAG Oppgave Sannhetsverditabell for det logiske utsagnet ( (p q) ) ( q r
Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )
For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Løsninger til Eksamen
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Løsning til Eksamen Richard Williamson 11. desemb 2014 Innhold Oppgave 1 2 a)........................................... 2 b)........................................... 2 c)...........................................
Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005.
Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005. Oppgåve 1 a) Rekn ut gcd(788, 116). Finn alle løysingane i heile tal til likninga 788x + 116y = gcd(788, 116). b) Ein antikvar sel ein dag nokre
Primtall. Et heltall p > 0 kalles et primtall hvis kun 1 og p går opp i p.
Primtall Et heltall p > 0 kalles et primtall hvis kun 1 og p går opp i p. Hvordan avgjøre om et heltall a > 1 er et primtall? Regel: Hvis a > 1 ikke er et primtall, så må det finnes et primtall p a som
MIDTSEMESTERPRØVE I TMA4140 Diskret matematikk. 13. oktober 2017 Tid:
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Faglig kontakt under midtsemesterprøven: Christian Skau 73591755 Bokmål MIDTSEMESTERPRØVE I TMA4140 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 2: Ukeoppgaver fra kapittel 1 & 2 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 24. januar 2008 Oppgave 1.1 Modifiser algoritmen fra 1.2.1 slik at
Diskret matematikk tirsdag 13. oktober 2015
Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. a = 7358. Tverrsummen til a er lik 7 + 3 + 5 + 8 = 23. Setning. La sum(a) stå for tverrsummen
Modulo-regning. hvis a og b ikke er kongruente modulo m.
Modulo-regning Definisjon: La m være et positivt heltall (dvs. m> 0). Vi sier at to hele tall a og b er kongruente modulo m hvis m går opp i (a b). Dette betegnes med a b (mod m) Vi skriver a b (mod m)
Oversikt over kvadratiske kongruenser og Legendresymboler
Oversikt over kvadratiske kongruenser og Legendresymboler Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Heltallet er et primtall. Er 11799 en kvadratisk rest modulo? Hvordan løse oppgaven? Oversett først
LØSNINGSFORSLAG, SIF 5015, DISKRET MATEMATIKK 12. august 2003 Oppgave 1. La oss begynne med å bygge en ikke-deterministisk maskin:
LØSNINGSFORSLAG, SIF 5015, DISKRET MATEMATIKK 12. august 200 Oppgave 1. La oss begynne med å bygge en ikke-deterministisk maskin: s 0 s 1 gjennkjenner 0 1og s 0 gjennkjenner (0 1). Fra dette ser vi at
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver
Oversikt over kryptografi
Oversikt over kryptografi Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Person A ønsker å sende meldingen Ha det! til person B, og ønsker å benytte RSAalgoritmen for å kryptere den. Den offentlige nøkkelen
Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning.
Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Se http://www.cs.hioa.no/~evav/dm/emner/modulo1.pdf Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. Eksempel. a = 7358. Tverrsummen til a er
Alle hele tall g > 1 kan være grunntall i et tallsystem.
Tallsystemer Heltall oppgis vanligvis i det desimale tallsystemet, også kalt 10-tallssystemet. Eksempel. Gitt tallet 3794. Dette kan skrives slik: 3 1000 + 7 100 + 9 10 + 4 = 3 10 3 + 7 10 2 + 9 10 1 +
Øvingsforelesning 6. Kombinatorikk, generaliserte permutasjoner, og MP13. TMA4140 Diskret Matematikk. 08. og 10. oktober 2018
Kombinatorikk, generaliserte permutasjoner, og MP13 Øvingsforelesning 6 TMA4140 Diskret Matematikk 08. og 10. oktober 2018 Dagen i dag Per forespørsmål, MP15.4 Trediagram Produktssetningen Permutasjoner
MAT1030 Diskret matematikk
Oppgave 1.1 MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 2: Ukeoppgaver fra kapittel 1 & 2 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 24. januar 2008 Modifiser algoritmen fra 1.2.1 slik at
Faglig kontakt under eksamen: Haaken A. Moe Bokmål MIDTSEMESTERPRØVE I TMA Oktober 2007 Tid:
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Haaken A. Moe 92650655 Bokmål MIDTSEMESTERPRØVE I TMA4140 23.Oktober 2007 Tid: 18.15
Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger
Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at 462x 27 (mod 195). Benytt først Euklids algoritme for å finne
FASIT/LF FOR EKSAMEN TMA4140, H07
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 FASIT/LF FOR EKSAMEN TMA440, H07 Oppgave (0%) Benytt matematisk induksjon til å vise at for alle heltall n. n i i!
Tallsystemer. Tallene x, y, z og u er gitt ved x = 2, y = 2, z = 4 og u = 2. Dermed blir =
Tallsystemer Heltall oppgis vanligvis i det desimale tallsystemet, også kalt 10-tallssystemet. Eksempel. Gitt tallet 3794. Dette kan skrives slik: 3 1000 + 7 100 + 9 10 + 4 = 3 10 3 + 7 10 2 + 9 10 1 +
Tallsystemer. Tallene x, y, z og u er gitt ved x = 2, y = 2, z = 4 og u = 2. Dermed blir =
Tallsystemer Heltall oppgis vanligvis i det desimale tallsystemet, også kalt 10-tallssystemet. Eksempel. Gitt tallet 3794. Dette kan skrives slik: 3 1000 + 7 100 + 9 10 + 4 = 3 10 3 + 7 10 2 + 9 10 1 +
Forberedelseskurs i matematikk
Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger
MAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 2: Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-14 16:45) Kapittel
KLASSISK TALLTEORI. Erik Alfsen og Tom Lindstrøm. Matematisk Institutt, UiO, 1994
KLASSISK TALLTEORI av Erik Alfsen og Tom Lindstrøm Matematisk Institutt, UiO, 1994 Tallene vi bruker når vi teller 1. Induksjon 1,, 3, 4, 5, kalles naturlige tall. Mengden av alle naturlige tall kalles
LØSNINGSFORSLAG SIF5015 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 18. desember 2002
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 LØSNINGSFORSLAG SIF55 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 8. desember 22 Oppgave a) Vi vil ha 77x (mod 3), så vi trenger en
MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori
MAT1140, H15 MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet er basert på forelesningsnotater av Karl Egil Aubert som senere er blitt bearbeidet av Erik Alfsen, Tom Lindstrøm, Arne B. Sletsjøe og
Alle hele tall g > 1 kan være grunntall i et tallsystem.
Tallsystemer Heltall oppgis vanligvis i det desimale tallsystemet, også kalt 10-tallssystemet. Eksempel. Gitt tallet 3794. Dette kan skrives slik: 3 1000 + 7 100 + 9 10 + 4 = 3 10 3 + 7 10 2 + 9 10 1 +
Konvertering mellom tallsystemer
Konvertering mellom tallsystemer Hans Petter Taugbøl Kragset hpkragse@ifi.uio.no November 2014 1 Introduksjon Dette dokumentet er ment som en referanse for konvertering mellom det desimale, det binære,
Oppsummering av Uke 3. MAT1030 Diskret matematikk. Binære tall. Oppsummering av Uke 3
Oppsummering av Uke 3 MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 3: Mer om representasjon av tall Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. januar 2008 Mandag 14.01 og delvis onsdag 16.01
KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER
KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER Euklids algoritme Euklid s setning 1, divisjonslemmaet, fra Bok 7 Gitt to ulike tall. Det minste trekkes så fra det største så mange ganger dette
TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk
TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart Forelesning 3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart Forelesning 3 Tema Logikk Definisjoner og Teoremer Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall
Kommentarer til Eksamen IM005 - V02
Kommentarer til Eksamen IM005 - V02 Følgende oppgaver er aktuelle innenfor dagens pensum: Oppgave 1a,d,e,f,h,i Oppgave 2a,b,c Oppgave 3 Oppgave 4a,c,d I Oppgavene 1f,h,i skal det stå enkel graf (simple
STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går
STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5:. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går opp i) den større.. Den større er et multiplum av den
Heltallsdivisjon og rest div og mod
Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b
Eksamensoppgave i TMA4140 Diskret matematikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA44 Diskret matematikk Faglig kontakt under eksamen: Christian Skau Tlf: 7359755 Eksamensdato: 8 desember 25 Eksamenstid (fra til): 9:-3: Hjelpemiddelkode/Tillatte
Introduksjon i tallteotri med anvendelser
Introduksjon i tallteotri med anvendelser Vladimir Oleshchuk 15. september 2005 Delbarhet og divisorer Delbarhet og divisorer Vi skal betrakte tall fra Z = {,..., 2, 1, 0, 1, 2,...} og N = {0, 1,...} og
MAT1030 Forelesning 2
MAT1030 Forelesning 2 Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Dag Normann - 20. januar 2010 (Sist oppdatert: 2010-01-20 12:31) Kapittel 1: Algoritmer (fortsettelse) Kontrollstrukturer I går innførte vi
LF, KONTINUASJONSEKSAMEN TMA
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Haaken A. Moe 92650655 Bokmål LF, KONTINUASJONSEKSAMEN TMA4140 2008 Oppgave 1 (10%)
Heltallsdivisjon og rest div og mod
Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b
MAT 4000 Innføring i klassisk tallteori
MAT 4000 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet i tallteori baserer seg i stor grad på tidligere forelesningsnotater av Karl Egil Aubert, som senere er blitt bearbeidet videre av Erik Alfsen, Tom
MA1301 Tallteori Høsten 2014
MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................
Potenser og tallsystemer
1 Potenser og tallsystemer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammenhenger gjøre rede
Potenser og tallsystemer
8 1 Potenser og tallsystemer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammen henger gjøre rede
Ordliste matematikk. Addere (addisjon) Areal. Divisjon. Addere er å "legge sammen" tall.
Ordliste matematikk Addere (addisjon) Addere er å "legge sammen" tall. Regnetegnet for addisjon er +. 3+4 er en addisjon. Summen er 7. Tallene som adderes kalles ledd. Areal Areal er et mål for hvor stor
Il UNIVERSITETET I AGDER
Il UNIVERSITETET I AGDER FAKULTETFOR TEKNOLOGIOG REALFAG EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: MA913 Tall og algebra Dato: 7. desember 2011 Varighet: 09.00 15.00 Antall sider inkl. forside 7 Tillatte hjelpemidler:
Vi bruker desimaltall for Ô oppgi verdiene mellom de hele tallene. Tall med komma kaller vi desimaltall, og sifrene bak komma kaller vi desimaler.
196 FAKTA De naturlige tallene bestôr av ett eller ere sifre: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...Alle de hele positive tallene kaller vi naturlige tall, og tallmengden kaller vi N. NÔr vi tar med 0 og
Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0
Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,
Øvingsforelesning 7. Resten av kombinatorikk, litt modulusregning, rekurrenser og induksjon og MP13 eller MP18. TMA4140 Diskret Matematikk
Resten av kombinatorikk, litt modulusregning, rekurrenser og induksjon og MP13 eller MP18 Øvingsforelesning 7 TMA4140 Diskret Matematikk 15. og 17. oktober 2018 Dagen i dag Generaliserte permutasjoner
LØSNINGSFORSLAG KONT 07, TMA4140
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 LØSNINGSFORSLAG KONT 07, TMA4140 Oppgave 1 (10%) Utsagnet ( ( (p q)) r ) ( q p ) får sannhetstabellen: p q r (p
Mer om representasjon av tall
Forelesning 3 Mer om representasjon av tall Dag Normann - 21. januar 2008 Oppsummering av Uke 3 Mandag 14.01 og delvis onsdag 16.01 diskuterte vi hva som menes med en algoritme, og vi så på pseudokoder
Løsningsforslag til 1. obligatorisk oppgave i Diskret matematikk, høsten 2016
Løsningsforslag til 1. obligatorisk oppgave i Diskret matematikk, høsten 2016 Oppgave 1 a) b) r = p q p q s = p q q p q p t = p q p q c) Vi ser av sannehetsverditabellen at uttrykkene (p q) r og p (q r)
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven Richard Williamson 3. oktober 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?..........................
QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter
QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel
Reelle tall på datamaskin
Reelle tall på datamaskin Knut Mørken 5. september 2007 1 Innledning Tirsdag 4/9 var tema for forelesningen hvordan reelle tall representeres på datamaskin og noen konsekvenser av dette, særlig med tanke
Matematikk for IT. Prøve 1 Løsningsforslag. Fredag 23. september september Oppgave 1
Matematikk for IT Prøve 1 Løsningsforslag Fredag 23. september 2016 23. september 2016 Oppgave 1 Er 29 17 (mod 4)? Begrunn svaret. Dette kan vi lettest sjekke ved å se om 4 deler 29 17. 29 17 = 12. Vi
EKSAMENSOPPGAVE. Kontaktperson under eksamen: Steffen Viken Valvåg Telefon:
EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: INF-1100 Innføring i programmering og datamaskiners virkemåte Dato: Tirsdag 8. desember 2015 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Teorifagbygget, Hus 1 Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet
Forelesning 14 torsdag den 2. oktober
Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel
Matematikk for IT, høsten 2016
Matematikk for IT, høsten 0 Oblig 1 Løsningsforslag 6. august 0 1..1 a) 19 76? 76 : 19 = 4 Vi ser at vi får 0 i rest ved denne divisjonen. Vi kan derfor konkludere med at 19 deler 76. b) 19 131? 131 :
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.
1 Potenser og tallsystemer
Oppgaver Potenser og tallsystemer KATEGORI. Potenser Oppgave.0 a) b) c) d) Oppgave. a) 0 b) ( ) c) ( ) d) ( ) Oppgave. Skriv uttrykkene som én potens. a) b) 7 c) d). Potensene a 0 og a n Oppgave.0 a) 7
INF1040 løsningsforslag oppgavesett 7: Tall og geometrier
INF1040 løsningsforslag oppgavesett 7: Tall og geometrier (Kapittel 7.1, 7.4-7.8, 8 + Appendiks B) Hvis du finner feil i løsningsforslaget er det fint om du gir beskjed om dette ved å sende en mail til
UNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets
To nyttige begreper. Ekvivalensrelasjoner
To nyttige begreper Det er to begreper fra mengdelæren som til stadighet vil bli brukt i dette kurset, og som vi av erfaring vet kan være tungt fordøyelig for endel studender. For å få en skikkelig forståelse
MIDTSEMESTERPRØVE I FAG TMA4140 DISKRET MATEMATIKK Mandag 20. oktober 2003 Tid : INSTRUKSJONER:
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 MIDTSEMESTERPRØVE I FAG TMA4140 DISKRET MATEMATIKK Mandag 20. oktober 2003 Tid : 1515-1700 Tillatte hjelpemidler
Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015
Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Oppgave 1 (vekt 10%) a) Et tall a er et partall hvis a er delelig med 2, dvs a 0(mod 2). Et tall a er et oddetall hvis a ikke delelig med 2, dvs a 1(mod
MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori
MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet i tallteori baserer seg i stor grad på tidligere forelesningsnotater av Karl Egil Aubert som senere er blitt bearbeidet av Erik Alfsen, Tom Lindstrøm,
Valg av kontaktpersoner/tillitsvalgte. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering av kapittel 2. Representasjon av hele tall
Valg av kontaktpersoner/tillitsvalgte MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 4: Tall som data Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. januar 2008 Før vi tar pause skal vi velge to til
KONTROLLSTRUKTURER. MAT1030 Diskret matematikk. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer. Eksempel (Ubegrenset while-løkke)
KONTROLLSTRUKTURER MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 2: Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. januar 2008 Mandag innførte vi pseudokoder
Ingen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve 1... (4%) = 5 4 3 2 1 = 10 = 520 519
Eksamen 2. desember 2014 Eksamenstid 4 timar IR201712 Diskret Matematikk Ingen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve 1.......................................................................................
LO118D Forelesning 4 (DM)
LO118D Forelesning 4 (DM) Mer funksjoner + følger 28.08.2007 1 Funksjoner 2 Følger og strenger Funksjoner En funksjon f fra X til Y sies å være en-til-en (injektiv) hvis det for hver y Y er maksimalt én
1. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q) 2. Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p)
. Oppgave. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q). Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p) 3. Avgjør om følgende utsagn er sant i universet
Eksamen MAT H Løsninger
Eksamen MAT1140 - H2014 - Løsninger Oppgave 1 Vi setter opp en vanlig sannhetsverditabell. La Φ betegne formelen i oppgaven. Tabellen vil bli som følger: A B C A B A C Φ T T T T T T T T F T T T T F T F
Tall. Regneoperasjoner med naturlige tall har til alle tider fascinert både ung og gammel.
Tall Regneoperasjoner med naturlige tall har til alle tider fascinert både ung og gammel. Når vi skal arbeide med hele tall på ClassPad 300, bør vi først gå inn i SetUP og foreta følgende innstilling:
Koder. Kristian Ranestad. 8. Mars 2005
i kryptering 8. Mars 2005 i kryptering i kryptering i kryptering En hemmelig melding Kari sender til Ole den hemmelige meldingen: J MPWF V siden responsen er litt treg prøver hun påny med: U EVOL I Nå
TMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er
Notat i MA2201 Vegard Hagen 27. mai 2012 Del I - grupper og undergrupper Seksjon 2 - Binære Operasjoner En binær operasjon på en mengde S er en funksjonsavbildning S S S. (a, b) S S betegner vi elementet
Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper
Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 La n være et naturlig tall. Bevis at det finnes et primtall p slik at p >
Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.
Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:
Forord. Oslo, juni 2001 Arne B. Sletsjøe
Forord Dette heftet i tallteori er tilpasset Matematisk institutts nettbaserte kurs i tallteori og baserer seg i stor grad på Erik Alfsen og Tom Lindstrøms kompendium i tallteori for MA 115/215. Heftet
Den første implikasjonen er bevist i oppgave 1.30c. Den andre vises kontrapositivt slik:
1. Noen bevismetoder OPPGAVE 1.0 a) x og y er begge partall x= 2 k og y = 2 l og k og l er begge hele tall x y = 2k 2l = 22 kl = 2 s Når både k og l er hele tall, må også s = 2 kl være et helt tall. Derfor
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag. oktober 28. Tid for eksamen: 5: 7:. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:
MA1301/MA6301 Tallteori Høst 2016
Norges tenis naturvitensapelige universitet Institutt for ateatise fag MA/MA6 Tallteori Høst 6 a Vi starter ed å sjee at liheten steer for n. Vi har at i. Heldigvis er (, så vi ser at påstanden steer i
TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016 Seksjon 10.2 18 La G = (V,E) være en enkel graf med V 2. Ettersom G er enkel er de mulige
Tallregning Vi på vindusrekka
Tallregning Vi på vindusrekka Addisjon... 2 Addisjon: Oppstilling... 3 Addisjon med minnetall... 4 Addisjon med desimaltall... 5 Subtraksjon... 6 Subtraksjon uten låning... 7 Subtraksjon med låning...
Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2016
Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2016 Oppgave 1 (vekt 10%) a) Sjekk om følgende tall er delelig med 9: 654, 45231, 1236546 Løsning: Et tall er delelig med 9 hvis og bare hvis tverrsummen er
Problemløsing. Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse. Einar Andreas Rødland 199X
Problemløsing Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse Einar Andreas Rødland 199X Innhold 1 Innledning 3 2 Logikk og beviser 3 3 Geometri 5 4 Reductio ad absurdum 7 5 Induksjonsbevis
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Løsninger
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 20 202 Løsninger Finale 8 mars 202 Oppgave a (i) Om Berit veksler to femkroner og en tjuekrone til tre tikroner, og så to femkroner og tre tikroner til to tjuekroner,
MAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Plenumsregning 11: Ukeoppgaver Mathias Barra Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 7. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-30 09:39) Oppgave 7. Finn en rekursiv og en ikke-rekursiv