Introduksjon i tallteotri med anvendelser
|
|
- Magnus Øverland
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Introduksjon i tallteotri med anvendelser Vladimir Oleshchuk 15. september 2005
2 Delbarhet og divisorer Delbarhet og divisorer Vi skal betrakte tall fra Z = {,..., 2, 1, 0, 1, 2,...} og N = {0, 1,...} og Z + = {1, 2,...}. Hvis a og d er to tall fra Z slike at a = kd for noen helle tall k da sier vi at d deler a og betegner det som d a. Hvis d a så sies det også at a er multiplum av d. Hvis d deler ikke a så betegnes det som d - a. Hvis d a og d>0 så sier vi at d er divisor av a. Hvert heltall a er alltid delbar av to trivielle divisorer som er 1 og a. Divisorer av a som er ikke trivielle kalles faktorer. Foreks.,12 har faktorer 2, 3, 4 og september 2005 c Vladimir Oleshchuk 1
3 Teorem 1 La a, b, c Z +.Da 1 a; and a 0,a6= 0; (a b b a) a = ±b; (a b b c) a c a b a bx x Z; Delbarhet og divisorer Hvis x = y + z, x, y, z Z og a deler to av disse tre tall så må også a dele tredje tallet; (a b a c) a (bx + cy), for alle x, y Z (uttrykket bx + cy kalles lineær kombinasjon av b og c) La c i Z, 1 i n. Hvisa c i for alle i, såa (c 1 x 1 + c 2 x c n x n ) for alle x 1 Z. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 2
4 Primtall og sammensatte tall Primtall og sammensatte tall Et heltall a>1 som har kun trivielle divisorer 1 og a kalles primtall. Eksempler av primtall er 2, 35, 7, 11, 13,.... Et heltall a>1 som er ikke primtall kalles sammensatt tall. For eksempel, 12 er et sammensatt tall fordi 2, 3, 6 er blant dets divisorer. Tallet 1 er verken primtall eller sammensatt og kalles enhet (unit). På samme måte 0 og negative heltall ogsåerverkenprimtallellersammensatte tall. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 3
5 Primtall og sammensatte tall Lemma 1 Hvis n Z + og er et sammensatt tall så det fins et primtall p slik at p n. Proof. Anta at S er en mengde av alle sammensatte tall som ikke har primtallsdivisorer. La oss anta at S 6=. På grunn av S Z +,detfinnes minste element m i S. SidenmerfraS dameretsammensatttall.altsåm = m 1 m 2 og på grunn av m er fra S, såm 1,m 2 er ikke primtall tall. Men både 1 m 1 m og 1 m 2 m og derfor m 1,m 2 / S. Derforentenmellermbørha primtalls divisorer. Motsigelse. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 4
6 Teorem 2 (Euklides) Det finnes uendelig mange primtall. Primtall og sammensatte tall Proof. Anta at det er ikke slik og fins kun, la oss si k primtall p 1,p 2,...,p k. La oss da analysere tall T = p 1 p 2... p k +1. T kan ikke være et primtall fordi T > p i for alle i =1, 2,...,k.AltsåT er et sammensatt tall. derfor finnes et primtall, la oss si, p j slik at p j T.Dap j må være også divisoren for 1. Motsigelse. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 5
7 Divisjonsteoremet Divisjonsteoremet Teorem 3 La a være et tall fra Z og n være et tall fra Z +.Detfinnes to unike heltall q og r slike at 0 r<nog a = qn + r. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 6
8 Eksempel 1 Presenter 6137 i oktall systemet. Divisjonsteoremet Det betyr at vi letter etter tall som presenteres i formen r k r k 1...r 1 r 0 hvor 0 r i < 8 og slik at 6137 = r k 8 k + r k 1 8 k r r Det kan bli funnet som følgende: 6137 = r k 8 k + r k 1 8 k r r = ³ r k 8 k 1 + r k 1 8 k r 1 8+r0 = q 0 8+r 0 r 0 =1er resten når vi deler 6137 med 8, i.e.6137 = september 2005 c Vladimir Oleshchuk 7
9 Divisjonsteoremet q 0 =767=r k 8 k 1 + r k 1 8 k r 1 = ³ r k 8 k 2 + r k 1 8 k r 2 8+r1 = q 1 8+r 1 r 1 =7er resten når vi deler 767 med 8, i.e.767 = q 1 =95=r k 8 k 2 + r k 1 8 k r 2 = ³ r k 8 k 3 + r k 1 8 k r 3 8+r2 = q 2 8+r 2 r 2 =7er resten når vi deler 95 med 8, i.e. 95 = september 2005 c Vladimir Oleshchuk 8
10 Divisjonsteoremet q 2 =11=r k 8 k 3 + r k 1 8 k r 3 = ³ r k 8 k 4 + r k 1 8 k r 4 8+r3 = q 3 8+r 3 r 3 =3er resten når vi deler 11 med 8, i.e. 11 = q 3 =1=r k 8 k 4 + r k 1 8 k r 4 = ³ r k 8 k 5 + r k 1 8 k r 5 8+r4 = q 4 8+r 4 r 4 =1er resten når vi deler 1 med 8, i.e. 1= q 4 =0.Stop. (6137) 10 =(r 4 r 3 r 2 r 1 r 0 ) 8 = (17731) september 2005 c Vladimir Oleshchuk 9
11 Divisjonsteoremet Anta at a Z ogheltallq og r er slike at a = qn + r og 0 r<n.da q = ba/nc er kvotient av divisjon og r = a mod n er en rest av divisjon. Derfor vi kan si at n a hvis og bare hvis a mod n =0. Det følger også at eller a = ba/nc n +(a mod n) a mod n = a ba/nc n. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 10
12 Største felles divisor Største felles divisor Hvis d er en divisor av a og d er divisor av b så d kalles felles divisor for a og b. Eksempel: 12 har divisorer 1, 2, 3, 4, 6, 12 og 20 har divisorer 1, 2, 4, 5, 10, 20. Altså 1, 2 og 4 er felles divisorer for 12 og 20. Største felles divisor betegnes som gcd(a, b). For eksempel, gcd(12, 20) = 4 og gcd(0, 0) = 0. Definition 1 La a, b Z som er ikke like 0 samtidig. Et tall c Z + kalles største felles divisor av a og b hvis c a og c b; for alle felles divisorer d av a og 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 11
13 b har at a c. Største felles divisor 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 12
14 Egenskaper av GCD Største felles divisor gcd(a, b) =gcd(b, a), gcd(a, 0) = a, gcd(a, na) = a, for n Z gcd( a, b) =gcd( a, b) =gcd(a, b) =gcd(a, b) =gcd( a, b ). 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 13
15 Største felles divisor Spørsmål: Finnes det alltid felles divisorer for gitte a og b fra Z og hvor mange? Teorem 4 Hvis a og b er heltall som ikke er begge like 0 så gcd(a, b) er det minste positive tall i mengden {ax + by x, y Z}. Korolar 1 For alle a, b Z + det finnes unik c slik at c =gcd(a, b). Korolar 2 For alle a, b Z +,hvisd a og d b så d gcd(a, b). Korolar 3 For alle a, b Z + og n Z + {0}, gcd(an, bn) =n gcd(a, b). Korolar 4 For alle a, b Z + og n Z +,hvisn ab og gcd(a, n) =1så n b. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 14
16 Relativt primtall Relativt primtall To heltall a og b fra Z kalles relativt primtall hvis gcd(a, b) =1. For eksempel, tall 8 og 9 er relativt primtall, mens tall 8 og 10 er ikke relativt primtall. Teorem 5 For a, b, p Z, hvis gcd(a, p) =1og gcd(b, p) =1så gcd(ab, p) = 1. Vi sier at tall n 1,n 2,...,n k Z er parvis relativt primtall hvis gcd(n i,n j )=1 hvor i 6= j. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 15
17 Relativt primtall Unik faktorisering(aritmetikkens fundamental teorem) Teorem 6 For hvert primtall p og alle a, b Z, hvis p ab, såp a eller p b. Teorem 7 La a i Z, 1 i n. Hvis p er et primtall og p a 1 a 2...a n,så finnes det a j slik at p a j for noen 1 j n. Aritmetikkens fundamental teorem formuleres på følgende måte. Teorem 8 Hvert heltall a>1 kan skrives på en entydig måte som produkt av primtall på formen: a = p e 1 1 pe pe r r hvor p i er primtall, p 1 <p 2 <...<p r og e i Z september 2005 c Vladimir Oleshchuk 16
18 Relativt primtall Bevis: Først viser vi at alle heltall m>1 kan faktoriseres som produkt av primtall (d.v.s., presentres på formen p e 1 1 pe pe r r ). Anta at det finnes m>1 slik at det er det minste positive tall som ikke kan faktoriseres som produkt av primtall. Siden m ikke er primtall må m = m 1 m 2 hvor 1 <m 1 <mog 1 <m 2 <m. Derfor kan både m 1 og m 2 faktoriseres som produkt av primtall. Altså kan m faktoriseres som produkt av primtall. Nå viser vi at faktoriseringen er entydig. Vi skal bevise det ved hjelp av matematisk induksjon. 2 kan kun faktoriseres som kan kun faktoriseres som 3 1. Anta at alle tall 2, 3, 4,..., n 1 kan faktoriseres på entydig måte. Anta at n = p s 1 1 ps ps k k = qt 1 1 q t q t r r, hvor p i er primtall og s i Z + for alle 1 i k, q i er primtall og t i Z september 2005 c Vladimir Oleshchuk 17
19 for alle 1 i r, og p 1 <p 2 <...<p k, q 1 <q 2 <...<q k. Relativt primtall Siden p 1 n må p 1 q t 1 1 q t q t r r og p 1 q j for en j mellom 1 og r (d.v.s., 1 j r). Både p 1 og q j er primtall, derfor er p 1 = q j. På samme måte, siden q 1 n da er q 1 p s 1 1 ps ps k k og q 1 p i for en i mellom 1 og k (d.v.s., 1 i k). Både q 1 og p i er primtall, derfor er q 1 = p i. Fra p 1 p i = q 1 q j og p 1 = q j følger at p 1 = p i = q 1 = q j. Derfor er n 1 = n/p 1 = p s p s ps k k = qt q t q t r r Men n 1 <nog i følge induksjonshypotesen kan n faktoriseres på en entydig måte. Altså n kan faktoriseres på en entydig måte. 15. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 18
Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )
For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s
DetaljerTeorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe.
Endelige grupper Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. En gruppe er en mengde S sammen med en binær operasjon definert på S, betegnes (S, ), med følgende egenskaper: 1. a, b S, a b S 2. det
DetaljerPrimtall. Et heltall p > 0 kalles et primtall hvis kun 1 og p går opp i p.
Primtall Et heltall p > 0 kalles et primtall hvis kun 1 og p går opp i p. Hvordan avgjøre om et heltall a > 1 er et primtall? Regel: Hvis a > 1 ikke er et primtall, så må det finnes et primtall p a som
DetaljerStørste felles divisor. (eng: greatest common divisors)
Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor (eller faktor) for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b.
DetaljerDette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0
Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,
DetaljerRepetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.
Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:
DetaljerForelesning 14 torsdag den 2. oktober
Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel
DetaljerHJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005):
HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005: Ogave 1 til 31. januar: La f 1, f 2,... være Fibonacci tallene, det vil si f 1 f 2 1 og f n f n 1 + f n 2 for n 3. Vis: (1 f 1 + f 2 + + f n f n+2 1. (2 f n+1 f n 1
DetaljerSTØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går
STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5:. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går opp i) den større.. Den større er et multiplum av den
DetaljerTALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk
TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Plenumsregning 11: Ukeoppgaver Mathias Barra Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 7. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-30 09:39) Oppgave 7. Finn en rekursiv og en ikke-rekursiv
DetaljerHeltallsdivisjon og rest div og mod
Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014 Løsninger til Eksamen
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Løsning til Eksamen Richard Williamson 11. desemb 2014 Innhold Oppgave 1 2 a)........................................... 2 b)........................................... 2 c)...........................................
DetaljerØvingsforelesning 5. Binær-, oktal-, desimal- og heksidesimaletall, litt mer tallteori og kombinatorikk. TMA4140 Diskret Matematikk
Binær-, oktal-, desimal- og heksidesimaletall, litt mer tallteori og kombinatorikk Øvingsforelesning 5 TMA4140 Diskret Matematikk 1. og 3. oktober 2018 Dagen i dag Repetere binære, oktale osv. heltallsrepresentasjoner,
DetaljerTALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b.
TALLÆRE UKE 34. Faktor. Hva er en faktor i et heltall? Vi fant ut at hvis et heltall b er med i et regnestykke med kun multiplikasjon som gir heltallet a som svar da er b faktor i a. Eksempel: 3 8=24 og
DetaljerForberedelseskurs i matematikk
Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger
DetaljerHeltallsdivisjon og rest div og mod
Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b
Detaljer1. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q) 2. Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p)
. Oppgave. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q). Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p) 3. Avgjør om følgende utsagn er sant i universet
DetaljerLøsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010
Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles
DetaljerKarakteriseringen av like mengder. Mengder definert ved en egenskap.
Notat 2 for MAT1140 2 Bevis La oss si at vi er overbevist om at utsagn P er sant, og at vi ønsker å kommunisere denne innsikten. Eller la oss si vi er ganske sikre på at P er sant, men ønsker, overfor
DetaljerLøysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005.
Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005. Oppgåve 1 a) Rekn ut gcd(788, 116). Finn alle løysingane i heile tal til likninga 788x + 116y = gcd(788, 116). b) Ein antikvar sel ein dag nokre
DetaljerØvingsforelesning 4. Modulo hva er nå det for no? TMA4140 Diskret Matematikk. 24. og 26. september 2018
Modulo hva er nå det for no? Øvingsforelesning 4 TMA4140 Diskret Matematikk 24. og 26. september 2018 Dagen i dag Repetere den euklidske algoritmen, kongruensregning og annet underveis H11.3a: Inverser
Detaljerb) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden
Avsnitt. Oppgave Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen a) 7 går opp i 68 siden 68 7 b)
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven Richard Williamson 3. oktober 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?..........................
DetaljerOversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper
Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 La n være et naturlig tall. Bevis at det finnes et primtall p slik at p >
DetaljerKommentarer til Eksamen IM005 - V02
Kommentarer til Eksamen IM005 - V02 Følgende oppgaver er aktuelle innenfor dagens pensum: Oppgave 1a,d,e,f,h,i Oppgave 2a,b,c Oppgave 3 Oppgave 4a,c,d I Oppgavene 1f,h,i skal det stå enkel graf (simple
DetaljerForelesning 19 torsdag den 23. oktober
Forelesning 19 torsdag den 23. oktober 5.3 Eulers kriterium Merknad 5.3.1. Følgende proposisjon er kjernen til teorien for kvadratiske rester. Kanskje ser beviset ikke så vanskelig ut, men la merke til
DetaljerSlides til 4.1 og 4.2: Eksempler på feil i induksjonsbevis. Andreas Leopold Knutsen
Slides til 4.1 og 4.2: Eksempler på feil i induksjonsbevis Andreas Leopold Knutsen February 9, 2010 Eks. 1: Finn feilen Fibonaccitallene F 1, F 2, F 3,... er denert rekursivt ved: F 0 = 0, F 1 = 1, og
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014
MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................
DetaljerForelesning 24 mandag den 10. november
Forelesning 24 mandag den 10. november 6.3 RSA-algoritmen Merknad 6.3.1. Én av de meste berømte anveldesene av tallteori er i kryptografi. Alle former for sikre elektroniske overføringer er avhengige av
DetaljerKJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm
KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/tallteori/july 25, 2005 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Kjent og ukjent i elementær tallteori Dan
DetaljerTMA4140 Diskret Matematikk Høst 2018
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2018 Seksjon 4.1 6 Dersom a c og b d, betyr dette at det eksisterer heltall s og t slik at c
DetaljerKAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER
KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER Euklids algoritme Euklid s setning 1, divisjonslemmaet, fra Bok 7 Gitt to ulike tall. Det minste trekkes så fra det største så mange ganger dette
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 p q p p q p q T T F T T Sannhetstabell: T F F F F F T T T T F F T T T Siden proposisjonene p q og p q har samme sannhetsverdier (for alle sannhetsverdier
DetaljerForelesning 10 torsdag den 18. september
Forelesning 10 torsdag den 18. september 2.8 Relativt primiske heltall og Euklids lemma Merknad 2.8.1. Korollar 2.7.20 er et svært viktig teoretisk verktøy. I denne og neste del av kapittelet skal vi se
DetaljerLineær uavhengighet og basis
Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c
DetaljerInverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009
Inverse matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September, 2009 Inverse 2 2 matriser En 2 2 matrise [ ] a b A = c d er inverterbar hvis og bare hvis ad bc 0, og da er [ ] A 1 1 d b
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile 1 Ringer og ringhomomorfier 1.1 Hva er en ring? Avsnitt 18: Ringer og kropper Stoff: Ring, direkte produkt av ringer, ringhomomorfi og ringisomorfi, kjernen
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk Dag 3
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Onsdag 8. august 2018 Dagen i dag Tema 4 Polynomer: Faktorisering, røtter, polynomdivisjon, kvadratiske ligninger og rasjonale
DetaljerProblemløsing. Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse. Einar Andreas Rødland 199X
Problemløsing Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse Einar Andreas Rødland 199X Innhold 1 Innledning 3 2 Logikk og beviser 3 3 Geometri 5 4 Reductio ad absurdum 7 5 Induksjonsbevis
DetaljerForelesning 21 torsdag den 30. oktober
Forelesning 21 torsdag den 30. oktober 5.12 Mersenne-primtall Merknad 5.12.1. Nå kommer vi til å se på et fint tema hvor kvadratisk gjensidighet kan benyttes. Terminologi 5.12.2. La n være et naturlig
DetaljerMAT1030 Forelesning 17
MAT1030 Forelesning 17 Rekurrenslikninger Roger Antonsen - 18. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-18 19:3) Forelesning 17 Forrige gang ga vi en rekke eksempler på bruk av induksjonsbevis og rekursivt definerte
DetaljerReale damer: Matematikk Matematisk tenkemåte
: Matematikk Kristina Rognlien Dahl institutt, Universitetet i Oslo 7. mars, 2014 1/17 Hvor brukes matematikk i virkeligheten? Bilde Singulærverdidekomposisjon Kryptering 2/17 Det brukes enda mer matematikk
DetaljerKapittel 4: Mer predikatlogikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 8: Logikk, predikatlogikk, bevisteknikker Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Mer predikatlogikk 10. februar 010 (Sist oppdatert: 010-0-10
DetaljerVi bruker desimaltall for Ô oppgi verdiene mellom de hele tallene. Tall med komma kaller vi desimaltall, og sifrene bak komma kaller vi desimaler.
196 FAKTA De naturlige tallene bestôr av ett eller ere sifre: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...Alle de hele positive tallene kaller vi naturlige tall, og tallmengden kaller vi N. NÔr vi tar med 0 og
Detaljer6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen...
Innhold 6 Kryptografi 3 6.1 Totienten.................................... 3 6.2 Eulers teorem.................................. 8 6.3 Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes............ 19
DetaljerMAT 1140 Innføring i klassisk tallteori
MAT1140, H15 MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet er basert på forelesningsnotater av Karl Egil Aubert som senere er blitt bearbeidet av Erik Alfsen, Tom Lindstrøm, Arne B. Sletsjøe og
DetaljerIl UNIVERSITETET I AGDER
Il UNIVERSITETET I AGDER FAKULTETFOR TEKNOLOGIOG REALFAG EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: MA913 Tall og algebra Dato: 7. desember 2011 Varighet: 09.00 15.00 Antall sider inkl. forside 7 Tillatte hjelpemidler:
DetaljerOFFENTLIG-NØKKELKRYPTOGRAFI
OFFENTLIG-NØKKELKRYPTOGRAFI S. O. SMALØ Abstract. I dette notatet, som skal inngå som pensum i etterog viderutdanningskurs i datasikkerhet, vil vi gi en kort innføring i oentlig-nøkkel-kryptogra med illustrasjoner
DetaljerUtvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010
Utvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010 Morten Brun og Runar Ile 1 Dette er et utvidet løsningsforslag hvor det er gitt alternativer løsninger på flere av punktene og noen tips og kommentarer. På
DetaljerForelesning 20 mandag den 27. oktober
Forelesning 20 mandag den 27. oktober 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet Eksempel 5.10.1. La oss se igjen på Proposisjon 5.6.2, hvor vi regnet ut
DetaljerNavn og referenser. William Shakespeare 1564-1616 Galileo Galilei 1564-1642 Claudio Monteverdi 1567-1643
Navn og referenser 1 GRUNNFORSKNING SKAL IKKE VÆRE NYTTIG. ET EKSEMPEL OM PRIMTALL Blackeberg, Kungsholmen, Spånga, Åsö, Norra R. 20-22-23 mars 2001, 19-21 mars 2002 grunnforskning nytte anvendelser offentlig
DetaljerMAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.
MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom
DetaljerOversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger
Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at 462x 27 (mod 195). Benytt først Euklids algoritme for å finne
DetaljerForelesning 7 mandag den 8. september
Forelesning 7 mandag den 8. september 1.1 Absoluttverdien Definisjon 1.1.1. La n være et heltall. Da er absoluttverdien til n: (1) n dersom n 0; (2) n dersom n < 0. Merknad 1.1.2. Med andre ord får vi
DetaljerMAT 4000 Innføring i klassisk tallteori
MAT 4000 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet i tallteori baserer seg i stor grad på tidligere forelesningsnotater av Karl Egil Aubert, som senere er blitt bearbeidet videre av Erik Alfsen, Tom
DetaljerRelativt primiske tall
Relativt primiske tall To heltall a og b (der ikke begge er 0) kalles relativt primiske hvis gcd(a, b) = 1, dvs. de har ingen felles faktorer utenom 1. NB! a og b trenger ikke være primtall for at de skal
DetaljerOversikt over kryptografi
Oversikt over kryptografi Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Person A ønsker å sende meldingen Ha det! til person B, og ønsker å benytte RSAalgoritmen for å kryptere den. Den offentlige nøkkelen
DetaljerOversikt over det kinesiske restteoremet
Oversikt over det kinesiske restteoremet Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at: (1) x 2 (mod 6); (2) x 3 (mod 11). Hvordan vet jeg at vi bør benytte det kinesiske restteoremet?
DetaljerKLASSISK TALLTEORI. Erik Alfsen og Tom Lindstrøm. Matematisk Institutt, UiO, 1994
KLASSISK TALLTEORI av Erik Alfsen og Tom Lindstrøm Matematisk Institutt, UiO, 1994 Tallene vi bruker når vi teller 1. Induksjon 1,, 3, 4, 5, kalles naturlige tall. Mengden av alle naturlige tall kalles
DetaljerNotat om Peanos aksiomer for MAT1140
Notat om Peanos aksiomer for MAT1140 1 Tall Hva er egentlig tall? Tanken her, er ikke å si hva tall er, hva deres interne struktur muligens kan være, men å si hva vi kan gjøre med dem, sett utenifra. Vi
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 3 Stine M. Berge 07.08.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 07.08.19 1 / 19 Polynomer Polynomer er de enkleste funksjonene Definert og kontinuerlig
DetaljerDefinisjon 1.1 (Sunnhet). Sekventkalkylen LK er sunn hvis enhver LK-bevisbar sekvent er gyldig.
Forelesning 5: Kompletthet og første-ordens logikk Roger Antonsen - 20. februar 2006 1 Kompletthet 1.1 Repetisjon Gyldig P, P Q Q Hvis v = P og v = P Q, så v = Q. Bevisbar P P Q Q P, P Q Q Falsifiserbar
DetaljerRekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga
DetaljerKOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004.
KOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004 av Hans Engenes 18. august 2004 2 Innhold 1 Tallteori 3 1.1 Innledning...............................
DetaljerNotat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er
Notat i MA2201 Vegard Hagen 27. mai 2012 Del I - grupper og undergrupper Seksjon 2 - Binære Operasjoner En binær operasjon på en mengde S er en funksjonsavbildning S S S. (a, b) S S betegner vi elementet
DetaljerTMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 016 Seksjon 5 4 a) Ved å observere at 18 4 + 7, 19 3 4 + 7, 0 4 5 og 1 3 7 så ser vi at P(18),
DetaljerObligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011
Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011 Alle punkter teller likt. Det kreves at 50% er riktig (som betyr 10 av 19 punkter) for at oppgaven skal godkjennes. Den skal leveres i egen innleveringsboks i 7.
DetaljerForelesning 9 mandag den 15. september
Forelesning 9 mandag den 15. september 2.6 Største felles divisor Definisjon 2.6.1. La l og n være heltall. Et naturlig tall d er den største felles divisoren til l og n dersom følgende er sanne. (1) Vi
DetaljerMAT1140: Kort sammendrag av grafteorien
MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt
DetaljerTrue False. Q(0, 1, 2) yq(0, y, y) x yq(x, y, 10) x yq(x, y, x + x) y xq(x, y, x + x) x y Q(x, y, x + x) y x Q(x, y, x + x) x y zq(x, y, z)
BOKMÅL-MNF130 Kand.nr:... Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I BERGEN Eksamen i emnet MNF130 - Diskrete Strukturer Onsdag 8. juni 2005, kl. 09-14, dvs 5 timer. Skriv ditt kanidatnr
DetaljerKort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100
Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 I dette notatet skal vi se litt på polynomdivisjon. Mange vil kjenne denne teknikken fra før, men etter siste læreplanomlegning er den ikke lenger pensum i
DetaljerEt ekstremt ufullstendig oppslagsverk for TMA4185 Kodeteori
Et ekstremt ufullstendig oppslagsverk for TMA4185 Kodeteori Ruben Spaans May 21, 2008 1 Pensum Pensumliste: ˆ Kapittel 1: Hele, unntatt 110 ˆ Kapittel 2: 21, 24 (singleton upper bound og MDS), 27 (Gilbert
DetaljerHva man må kunne i kapittel 2 - Algebra
Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.
DetaljerMYNTVEKSLING Cirkeln, KTH 31 Jan. 02
Myntveksling 1 MYNTVEKSLING Cirkeln, KTH 31 Jan. 02 Innledning Problemet Myntveksling. 1 Innledning: Myntveksling er et navn vi gir til en lang rekke problemer og resultater som forkommer i mange deler
DetaljerMAT1030 Forelesning 19
MAT1030 Forelesning 19 Generell rekursjon og induksjon Roger Antonsen - 25. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-25 11:06) Forelesning 19 Forrige gang så vi på induktivt definerte mengder og noen eksempler
Detaljer1 Primtall og divisorer
Oppgaver 1 Primtall og divisorer KATEGORI 1 1.1 Primtallsfaktorisering Oppgave 1.110 Bruk lommeregneren til å finne ut om tallet er et primtall. a) 47 b) 61 c) 143 Oppgave 1.111 Finn ut ved hjelp av tverrsummen
DetaljerMAT 1140 Innføring i klassisk tallteori
MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet i tallteori baserer seg i stor grad på tidligere forelesningsnotater av Karl Egil Aubert som senere er blitt bearbeidet av Erik Alfsen, Tom Lindstrøm,
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN I TMA4140 LØSNINGSFORSLAG
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 KONTINUASJONSEKSAMEN I TMA440 LØSNINGSFORSLAG Oppgave Sannhetsverditabell for det logiske utsagnet ( (p q) ) ( q r
DetaljerMatematisk morfologi III
Matematisk morfologi III Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Oversikt, kursdag 3 Sammensatte operasjoner: Hit-or-miss-transformen. Skjeletter.
DetaljerFermats siste teorem
Fermats siste teorem Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere.
Detaljer6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen
6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av et indreprodukt rom V. Man kan starte med en vanlig basis for W og konstruere en ortogonal basis for W. Ønskes det en
DetaljerTallregning og algebra
30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer
DetaljerLitt om diofantiske likninger
1 Litt om diofantiske likninger av Dag Magne Johannessen Når vi skal løse en likning eller et likningssett, diskuterer vi sjelden hvilken grunnmengde som er til rådighet. Problemet går som regel ut på
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 5.6 5 La ABC være en trekant, og la m A,m B og m C være midtnormalene på de
DetaljerEliminasjon av ubetsemthet
1. Del Eliminasjon av ubetsemthet Warning: En svært midlertidig versjon som er ikke er ferdig. Den er rotete og sikkert full av feil. Forbedring følger etterhvert! versjon 0.3 last update: 10/21/15 2:48:38
DetaljerSammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
DetaljerLØSNINGSFORSLAG SIF5015 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 18. desember 2002
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 LØSNINGSFORSLAG SIF55 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 8. desember 22 Oppgave a) Vi vil ha 77x (mod 3), så vi trenger en
DetaljerMA1301/MA6301 Tallteori Høst 2016
Norges tenis naturvitensapelige universitet Institutt for ateatise fag MA/MA6 Tallteori Høst 6 a Vi starter ed å sjee at liheten steer for n. Vi har at i. Heldigvis er (, så vi ser at påstanden steer i
DetaljerForelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet Christian Mahesh Hansen - 5. februar 2007
Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet Christian Mahesh Hansen - 5. februar 2007 1 Sekventkalkyle 1.1 Semantikk for sekventer Semantikk for sekventer Definisjon 1.1 (Gyldig
DetaljerSammendrag R1. 26. januar 2011
Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander
DetaljerTo nyttige begreper. Ekvivalensrelasjoner
To nyttige begreper Det er to begreper fra mengdelæren som til stadighet vil bli brukt i dette kurset, og som vi av erfaring vet kan være tungt fordøyelig for endel studender. For å få en skikkelig forståelse
DetaljerForelesning 1 mandag den 18. august
Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige
DetaljerNotat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig)
Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig) Poenget med tall kan man kanskje si er det å telle. In mengdeteorien ønsker man å telle antall elementer i en mengde, og det tallet man oppnår kalles da
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for
Detaljer3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.
3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:
DetaljerLøsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03
Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De
Detaljer