MIDTSEMESTERPRØVE I TMA4140 Diskret matematikk. 14. oktober 2016 Tid:

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Faglig kontakt under midtsemesterprøven: Christian Skau Bokmål MIDTSEMESTERPRØVE I TMA4140 Diskret matematikk 14. oktober 2016 Tid: Hjelpemidler: Kode C. Spesifiserte trykte og håndskrevne hjelpemidler tillatt. Bestemt enkel kalkulator tillatt. INSTRUKSJONER: Denne prøven er en flervalgsoppgave. Siste side av oppgavesettet er et ark med en kupong hvor dine svar skal krysses av. Denne siste siden med kupongen skal merkes med kandidatnummeret ditt og leveres. Det er bare siden med svarkupongen som skal leveres. Det vil være minst ett riktig svar-alternativ for hver oppgave, men det kan være flere. Det er totalt 20 riktige svar i hele oppgavesettet og du skal ikke sette flere kryss enn dette. Riktig satte kryss gir 1 poeng. Krysser du av galt trekkes du ikke for det. Setter du flere enn 20 kryss trekkes du 3 poeng per kryss mer enn 20.

2 Side 3 av 7 Oppgave 1 Hvilke av følgende logiske utsagn er en tautologi? Alt 1) ((r! s)! t)! (r! (s! t)) Alt 2) (r! (s ^ t))! ((t _ t) ^ ((r _ s) ^ s)) Alt 3) ((r ^ s)! t)! ((r! t) ^ (s! t)) Alt 4) ((r! s) ^ (s! t))! (r! t) Oppgave 2 Hvilke av følgende mengde-teoretiske identiteter er riktige? Alt 1) D [ (F \ E) =D \ F \ E Alt 2) D [ (F \ E) =D [ E \ F Alt 3) (D E) F = D (E F ) Alt 4) (D E) F =(D F ) E Oppgave 3 Hva er den binære ekspansjonen av (503) 10? Alt 1) ( ) 2 Alt 2) ( ) 2 Alt 3) ( ) 2 Alt 4) ( ) 2 Oppgave 4 La f : N! R, der N = {0, 1, 2, 3,...}. Hvilke av følgende er riktig? Alt 1) f(n) =n 2 2n =) f(n) er O(n 3 sin 2 ( n 2 )) Alt 2) f(n) =n 3 +7n 2 3 =) f(n) er O(n 2 (log n) 2 ) Alt 3) f(n) = n2 +n 1 log(n+2) =) f(n) er O(n p n) Alt 4) f(n) =2 n =) f(n) er O( 3 n n 5 +n 2 +1 )

3 Side 4 av 7 Oppgave 5 Hvilke av følgende kongruenser er riktige? Alt 1) (mod 47) Alt 2) (mod 47) Alt 3) (mod 47) Alt 4) (mod 47) Oppgave 6 Hvor mange forskjellige kombinasjoner av kroner, femkroner, tikroner og tyvekroner kan en sparegris med 20 mynter inneholde? Alt 1) Alt 2) 1771 Alt 3) Alt 4) Oppgave 7 riktige? La universalmengden være de reelle tallene R. Hvilke av følgende utsagn er garantert Alt 1) 8a 8b 9c ((a apple c apple b) _ (b apple c apple a)) Alt 2) 8a 8b 9c ((a <b)! ((c >a) ^ (c <b))) Alt 3) 9a 8b 9c (ab = b 2 c + c) Alt 4) 8a 8b ((a <b)! (a 2 <b 2 )) La universalmengden være {2, 3, 4, 5,...}. Hvilke av følgende utsagn er garantert rik- Oppgave 8 tige? Alt 1) 9a 8b (13 a b ) Alt 2) 9b 8a (13 a b 1) Alt 3) 8a 9b (a b >b a ) Alt 4) 9a 8b (a b >b a )

4 Side 5 av 7 Oppgave 9 La g : {1, 2, 3, 4}!{a, b, c}. Hvor mange forskjellige surjektive funksjoner g finnes det, dersom vi krever at g(4) = c? Alt 1) 6 Alt 2) 10 Alt 3) 12 Alt 4) 20 Oppgave 10 La g : R! R være definert ved g(x) =d x 2 e + x. (Her er d x 2 e det minste heltallet som er større eller lik x 2.) Hvilke av følgende utsagn er riktige? Alt 1) g er injektiv. Alt 2) Komposisjonen g g : R! R er injektiv. Alt 3) g er surjektiv. Alt 4) Komposisjonen g g : R! R er surjektiv. Oppgave 11 Hvilke av følgende er garantert riktig dersom p og q er to forskjellige odde primtall? Alt 1) Det finnes s, t 2 Z slik at s(p + 1) + t(q + 1) = 2. Alt 2) p q 1 q p 1 (mod pq) Alt 3) Det finnes s, t 2 Z slik at sp + tq =1. Alt 4) 2 p 1 2 q 1 (mod 8) Oppgave 12 Hvor mange forskjellige strenger kan dannes ved å benytte alle bokstavene i MISSISSIPPI dersom strengene skal starte med I og slutte med S? Alt 1) 5040 Alt 2) Alt 3) 3150 Alt 4) 10080

5 Side 6 av 7 Oppgave 13 og åtte 0 ere? Hvor mange forskjellige binære strenger av lengde 14 finnes det som har seks 1 ere Alt 1) 3003 Alt 2) 8 6 Alt 3) Alt 4) 13 6 Oppgave 14 Gitt rekurrensrelasjonen b n = 10b n 1 25b n 2,n 2, med initalbetingelsene b 0 =1, b 1 = 10. Hva er b 9? Alt 1) Alt 2) Alt 3) Alt 4) Oppgave 15 Hva er koeffisienten til a 7 b 5 i utviklingen av (7a 5b) 12? Alt 1) Alt 2) Alt 3) Alt 4)

6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under midtsemesterprøven: Christian Skau Bokmål MIDTSEMESTERPRØVE I TMA4140 Diskret matematikk 13. oktober 2015 Tid: Hjelpemidler: Kode C. Spesifiserte trykte og håndskrevne hjelpemidler tillatt. Bestemt enkel kalkulator tillatt. INSTRUKSJONER: Denne prøven er en flervalgsoppgave. Siste side av oppgavesettet er et ark med en kupong hvor dine svar skal krysses av. Denne siden med kupongen skal merkes med kandidatnummeret ditt og leveres. Det er bare siden med svarkupongen som skal leveres Det vil være minst ett, men gjerne flere riktige svar-alternativer for hver oppgave. Det er totalt 20 riktige svar i hele oppgavesettet og du skal ikke sette flere kryss enn dette. Riktig satte kryss gir 1 poeng. (Krysser du av galt trekkes du ikke for det.) Setter du flere enn 20 kryss trekkes du 3 poeng pr. kryss mer enn 20.

7 Side 2 av 5 Oppgave 1 Hvilke av følgende utsagn er en tautologi? Alt 1) (p! (q _ s)) $ ((p! q) _ (p! s)) Alt 2) ( r ^ (r _ s))! s Alt 3) ((p ^ q)! s) $ ((q! s) ^ (p! s)) Alt 4) ((q! p)! s) $ (q! (p! s)) Oppgave 2 Hva er koeffisienten til x 11 y 9 i utviklingen av (3x 7y) 20? Alt 1) Alt 2) Alt 3) Alt 4) Oppgave 3 Hva er den hexadesimale (dvs. grunntall 16) fremstillingen av (DAF3) 16 + (CC2) 16? Alt 1) (D7B5) 16 Alt 2) (E7B5) 16 Alt 3) (E7C5) 16 Alt 4) (F7B5) 16 Oppgave 4 La universalmengden være de naturlige tallene N = {0, 1, 2, 3,...}. Hvilke av følgende utsagn er garantert riktige? Alt 1) 9m8n((m + 3) ((n + 2) m+2 1)) Alt 2) 8k8m9n((k <n)! (k m)) Alt 3) 9k8m((k + 2) (m + 2) k+1 ) Alt 4) 9n8m((n + 8) ((m + 1) n+8 m 1))

8 Side 3 av 5 Oppgave 5 Hvor mange forskjellige strenger kan dannes av bokstavene i AARDVARV dersom de tre A ene skal forekomme i rekkefølge etter hverandre? Alt 1) 1680 Alt 2) 180 Alt 3) 720 Alt 4) 360 Oppgave 6 Hvilke av følgende utsagn er garantert riktige? Alt 1) La q være et primtall og la b 2 Z + slik at q ikke er divisor i b. Det finnes s, t 2 Z slik at sq + tb = 13. Alt 2) La q være et primtall. Det finnes s, t 2 Z slik at s(q + 1) + t(q + 2) = 2. Alt 3) La q være et primtall. Det finnes s, t 2 Z slik at s(q + 1) + t(q + 3) = 1. Alt 4) La a, b være naturlige tall 5 slik at (a, b) =1. Det finnes s, t 2 Z slik at s(a 1)+t(b 2) = 1. Oppgave 7 Hvor mange heltalls løsninger finnes det til ligningen x 1 + x 2 + x 3 = 13 når x 1 2,x 2 5,x 3 3? Alt 1) 36 Alt 2) 18 Alt 3) 171 Alt 4) 969 Oppgave 8 Hvilke av følgende funksjoner f : Z Z! Z er surjektive? Alt 1) f(m, n) = m n m + n Alt 2) f(m, n) =m 2 n 2 Alt 3) f(m, n) =6m Alt 4) f(m, n) =m 2 27n n

9 Side 4 av 5 Oppgave 9 Hvor mange injektive funksjoner f : A! B finnes det, der A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d, e, f}? Alt 1) 1296 Alt 2) 720 Alt 3) 360 Alt 4) 4096 Oppgave 10 er sanne? La f betegne en funksjon fra N = {0, 1, 2, 3,...} inn i R. Hvilke av følgende utsagn Alt 1) f(n) =3n log n 2 +n+1 n+5 ) f(n) er O(n p n) Alt 2) f(n) =n 2 sin(n )+n ) f(n) er O(n 3 sin(n )) Alt 3) f(n) =7n 3 n log(n 2 + 1) ) f(n) er (n 3 + n 2 ) Alt 4) f(n) = en n 2 +1 ) f(n) er O(n3 + n 2 ) Oppgave 11 Hvilke av følgende kongruensligninger er riktige? Alt 1) (mod 101) Alt 2) (mod 98) Alt 3) (mod 97) Alt 4) (mod 100) Oppgave 12 En gruppe på 8 menn og 5 kvinner skal fordeles på en komité bestående av 6 personer. Hvor mange komitéer kan man danne som har 4 menn og 2 kvinner? Alt 1) 280 Alt 2) 1716 Alt 3) 700 Alt 4) 225

10 Side 5 av 5 Oppgave 13 Gitt rekurrensrelasjonen a n = 14a n 1 49a n 2 ; n 2 med initialbetingelsene a 0 = 2, a 1 = 21. Hva er a 10? Alt 1) Alt 2) Alt 3) Alt 4) Oppgave 14 riktige? La D, E og F være mengder. Hvilke av følgende mengdeteoretiske utsagn er garantert Alt 1) D \ F \ E = (D [ E) \ F Alt 2) D [ (F \ E) =D \ (F [ E) Alt 3) D (E F )=(D E) F Alt 4) Dersom D [ F = E [ F og D \ F = E \ F så er D = E. Oppgave 15 Hva er den binære ekspansjonen av (247) 10? Alt 1) ( ) 2 Alt 2) ( ) 2 Alt 3) ( ) 2 Alt 4) ( ) 2

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47