EKSAMEN. Oppgavesettet består av 16 oppgaver. Ved sensur vil alle oppgaver telle like mye med unntak av oppgave 6 som teller som to oppgaver.

Transkript

1 EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 5. desember 204 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl til kl 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian F Heide Eksamensoppgaven: Oppgavesettet består av 5 sider inklusiv denne forsiden og et vedlegg på én side. Kontroller at oppgaven er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgavesettet består av 6 oppgaver. Ved sensur vil alle oppgaver telle like mye med unntak av oppgave 6 som teller som to oppgaver. Der det er mulig skal du: vise utregninger og hvordan du kommer fram til svarene begrunne dine svar, selv om dette ikke er eksplisitt sagt i hvert spørsmål Sensurdato: Torsdag 5. januar 205 Karakterene er tilgjengelige for studenter på studentweb senest 2 virkedager etter oppgitt sensurfrist. Følg instruksjoner gitt på: Eksamen i Matematikk for IT, desember 204 Side av 5

2 Oppgave En relasjon på mengden A = {a, b, c, d, e} er definert ved følgende relasjonsmengde: R = {(a, b), (b, a), (b, d), (b, e), (d, a), (c, e), (e, c), (e, e)} Er denne relasjonen refleksiv, symmetrisk, antisymmetrisk og/eller transitiv? Begrunn svaret. Oppgave 2 Gitt tre ikke-disjunkte mengder A, B og C. Bruk venndiagram til å skissere følgende mengde: (( A C) B) ( B C) Oppgave 3 Forklar om følgende slutning benytter en av de tre gyldige slutningsreglene som er angitt i boka, og angi hvilken av disse slutningsreglene som i tilfelle er brukt: Hvis jeg er tørst så drikker jeg vann. Jeg er ikke tørst. Derfor drikker jeg ikke vann. Oppgave 4 Tallene 2,, 3, 4, 7,, 8, kalles lucastallene. Denne tallfølgen er karakterisert ved at hvert ledd er summen av de to foregående leddene. Skriv en rekursiv definisjon for lucastallene. Oppgave 5 En gruppe mennesker består av 6 kvinner og 5 menn. Av denne gruppen skal det velges ut en komite på 5 personer som skal bestå av 3 kvinner og 2 menn. Hvor mange ulike slike komiteer kan en danne? Oppgave 6 (teller som to oppgaver) Løs følgende differensligning: med y 0 6 og y 4. yn 6yn 9yn 2 8n Eksamen i Matematikk for IT, desember 204 Side 2 av 5

3 Oppgave 7 Gitt følgende rettede og vektede graf. Benytt Dijkstras algoritme til å finne korteste vei (altså veier med minst vekt) fra node a til alle andre noder. Vis alle trinn i algoritmen og vis hvordan nodenes etiketter/merker oppdateres underveis. b d 7 a 3 c 2 e Oppgave 8 Bruk sannhetstabeller til å undersøke om følgende uttrykk er en tautologi: ( p ( q ( p r))) (( p q) r) Oppgave 9 Gitt følgende logiske utsagn: ( ( p q) p) Bruk logikklovene på vedlagte ark til å finne hvilket av følgende utsagn dette er logisk ekvivalent med: (i) (ii) (iii) (iv) p p p q p q Bruk kun en lov i hvert trinn og angi for hvert trinn hvilken lov du bruker. Oppgave 0 Bruk induksjonsbevis til å vise at følgende gjelder for alle ( n ) n ( n ) n ( n ) n Z = {, 2, 3, } Eksamen i Matematikk for IT, desember 204 Side 3 av 5

4 Oppgave Gitt følgende predikat: P(n): 3 n hvor n Z. Bruk kvantorer og dette predikatet til å skrive følgende to utsagn: i) Det finnes ikke noe heltall som er delelig med 3. ii) 3 deler ikke alle heltall. Angi også om hvert av utsagnene er sant eller falskt. Oppgave 2 Anta at et oddetall. n n Z. Benytt kontrapositivt bevis til å bevise at dersom 5 2 n 6n er et partall så er Oppgave 3 Konverter tallet 40 til binærtall. Oppgave 4 Gitt en grammatikk med startsymbol s, hvor mengden av ikke-avslutningssymboler er N = {s, t, u} og mengden av avslutningssymboler er T = {0, }. Grammatikken har følgende produksjonsregler: s ut s 0st ut t st 0t t 0 u Er denne grammatikken kontekstfri, regulær eller ingen av delene? Begrunn svaret. Oppgave 5 Tegn tilstandsdiagrammet for en endelig automat (endelig tilstandsmaskin uten utgang) med inngangsalfabet I = {0, } som gjenkjenner alle bitstrenger som avsluttes med 00. Oppgave 6 Gitt to komplekse tall z z 7i og w 3i. Finn. Skriv svaret på formen a bi. w Eksamen i Matematikk for IT, desember 204 Side 4 av 5

5 CFH,.09.4 Lover for logikk og mengder Lov Logikk Mengder. Assosiative lover ( p q) r p ( q r) (A B) C = A (B C) ( p q) r p ( q r) (A B) C = A (B C) 2. Kommutative lover p q q p A B = B A p q q p A B = B A 3.Distributive lover p ( q r) ( p q) ( p r) A (B C) = (A B) (A C) p ( q r) ( p q) ( p r) A (B C) = (A B) (A C) 4. De Morgans lover p q) p q A B A B p q) p q A B A B 5. Idempotenslover p p p A A = A p p p A A = A 6.Absorpsjonslover p ( p q) p A (A B) = A p ( p q) p A (A B) = A 7. Dobbel negasjon / Involusjonslov ( p) p A A 8. Inverslover p p S A A U p p F A A 9. Identitetslover p S p A U A p F p A A 0. Dominanslover p F F A = p S S A U = U. Implikasjon p q p q 2. Kontrapositive p q q p utsagn Inklusjons- og eksklusjonsprinsippet A B C = A + B + C A B A C B C + A B C Eksamen i Matematikk for IT, desember 204 Side 5 av 5