Løsningsforslag. Emnekode: Emne: Matematikk for IT ITF Eksamenstid: Dato: kl til kl desember Hjelpemidler: Faglærer:

Transkript

1 Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 7. desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To -ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian F Heide Eksamensoppgaven: Oppgavesettet består av 6 sider inklusiv denne forsiden og et vedlegg på én side. Kontroller at oppgaven er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgavesettet består av syv oppgaver med i alt 8 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Karakteren settes ut fra en helhetsvurdering av besvarelsen. På alle oppgaver så sant det er mulig) skal du: vise utregninger og hvordan du kommer fram til svarene begrunne dine svar, selv om dette ikke er eksplisitt sagt i hvert spørsmål Sensurdato: Torsdag 5. januar Karakterene er tilgjengelige for studenter på studentweb senest virkedager etter oppgitt sensurfrist. Følg instruksjoner gitt på:

2 Oppgave En aksepterende automat er angitt med følgende tilstandstabell: Tilstand Inngangsverdi s s s s s s s s s s s s åde tilstand s og s er aksepterende tilstander. a) Tegn tilstandsdiagrammet for denne automaten. Tilstandsdiagrammet kan tegnes slik: Start s s s s b) utomaten vil akseptere bestemte strenger som tilhører et regulært språk. i. ngi mengden av ikke-avslutningsymboler N) og avslutningssymboler T) for dette språket. lfabetet for dette språket, er gitt ved følgende to mengder: N = {s, s, s, s } Man kan bruke andre ikke-avslutningssymboler enn disse, men da må disse andre symbolene benyttes korrekt i produksjonsreglene i punkt ii nedenfor.) T = {, } ii. ngi produksjonsreglene for grammatikken som genererer dette språket. Produksjonsreglene for denne grammatikken, blir: s s s s s s s s s Eksamen i Matematikk for IT, desember løsningsforslag Side av

3 s s s s s s s s s s s s Oppgave a) Gitt det komplekse tallet 5i z i Skriv tallet på kartesisk rektangulær) form, altså som z a bi. For å bli kvitt den komplekse nevneren, ganger vi teller og nevner med den komplekskonjugerte av nevneren, altså i : i i i i i i i z i i i i i i i i b) Konvertér tallet til det binære tallsystemet. Vi kan f eks bruke algoritmen med å dele gjentatte ganger med grunntallet i det tallsystemet vi skal konvertere til, og ta vare på resten fra hver divisjon: : 5 : 5 : : 6 : : : 5 Resten må leses fra høyre mot venstre, og resultatet blir altså: 6 c) Ved straffesparkkonkurranser i fotball må treneren velge ut fem av de elleve spillerne på banen som skal ta de fem første straffene for laget. Det anses for å være av stor betydning i hvilken rekkefølge spillerne tar straffesparkene. Hvor mange ulike grupper av fem spillere har treneren å velge blant, når vi altså tar hensyn til rekkefølgen de skal ta straffene? Siden kalkulator ikke er tillatt på denne eksamen, trenger du ikke å regne ut svaret, men bare sette opp hvordan det skal regnes ut og forkorte brøken du får mest mulig.) Dette er altså et ordnet utvalg siden rekkefølgen har betydning) uten tilbakelegging siden hver spiller bare kan ta en straffe). Følgelig: Eksamen i Matematikk for IT, desember løsningsforslag Side av

4 !! P, 5) )! 6! 65 Man kan også tenke slik: når treneren skal velge den hvem som skal ta den første straffen, har han å velge blant. Når han skal velge hvem som skal ta den andre straffen, har han å velge blant, osv. Når han skal velg hvem som skal ta den femte straffen, har han 7 å velge blant. Derfor er det 98 7 muligheter. Dersom noen skulle si at det kun er utespillerne som kan ta straffe, og derfor regner!/-5)! vil også dette godkjennes som riktig. Oppgave a) Gitt følgende vektede graf: a 8 b 6 f c e d ruk Kruskals algoritme til å finne et minimalt spenntre for grafen. Vis hvert trinn i algoritmen. Første trinn i Kruskals algoritme er å sortere kantene etter stigende vekt. Resultatet av denne sorteringen, blir: a, e): b, c): c, d): d, e): e, f): d, f): 5 a, f): 6 b, d): 7 a, b): 8 b, f): 8 Vi skal så velg en av kantene med minst vekt. Her der det bare en kant med minst vekt, nemlig a, e). Deretter skal vi tilføye en av kantene med lavest vekt og som ikke gjør at det dannes en syklus. Vi ser av den sorterte listen over, at de med minst vekt, som vi altså kan velge mellom, er kantene b, c) og c, d) som begge har vekt. Ingen av disse vil danne en syklus når vi føyer dem til treet. Vi velger b, c): Eksamen i Matematikk for IT, desember løsningsforslag Side av

5 a f b c e d Den neste kanten med lavest kost som vi kan føye til uten å danne en syklus, blir da c, d). Så føyer vi til kant d, e) som har vekt : a f b c e d Vi har nå et tre som kun mangler node f. Neste kant vi føyer til, blir e, f) med vekt. Når vi har gjort dette, har vi fått følgende tre, og vi ser at alle nodene med i treet: a f b c e d Dette er da et minimalt spenntre for grafen. b) Nedenfor er grafene G V, E ) og G V, E) tegnet. Er G og G isomorfe? Dersom de er isomorfe, angi en isomorfi f : V V. Dersom de ikke er isomorfe, forklar hvorfor de ikke er det. Eksamen i Matematikk for IT, desember løsningsforslag Side 5 av

6 a b e d c 5 G V, ) G V, ) E E Oppgave Vi ser at grafene har like mange noder. Imidlertid har G seks kanter, mens G har fem kanter. Grafene er derfor ikke isomorfe. Vi kan også bruke som argument at noden b har grad, mens det i G ikke finnes noen noder med grad.) a) ruk sannhetstabeller til å vise følgende p q p q) q p) Sannhetstabellen til en ekvivalens er som følger: p q p q S S S S F F F S F F F S Sannhetstabellen til uttrykket på høyre side, er: p q p q) q p) p q) q p) S S S S S S F F S F F S S F F F F S S S Vi ser at siste kolonne i disse tabellene er like, og uttrykkene er derfor logisk ekvivalente. b) ruk resultatet i spørsmål a) og lovene for logisk ekvivalens gitt på vedlagte ark), til å vise at uttrykkene og p q Eksamen i Matematikk for IT, desember løsningsforslag Side 6 av

7 p q) p q) er logisk ekvivalente. Vi starter med uttrykket p q Fra spørsmål a) vet vi at dette er logisk ekvivalent med p q) q p) Vi benytter nå at p q p q, dvs. at implikasjonene i utrykket over kan erstattes av disjunksjoner, og skriver uttrykket over som p q) q p) For lettere å se hvordan vi skal gå videre, kaller vi nå uttrykket r q p) p q for r: Den distributive loven sier p q r) p q) p r). ruker vi denne på uttrykket over altså at konjunksjonen med r distribueres over disjunksjonen i parentesen), får vi r q) r p) Så erstatter vi r med p q og får: p q) q p q) p ruker vi så den distributive loven på uttrykkene inne i begge hakeparentesene, får vi p q) q q) p p) q p) Inversloven sier at p p F. Vi bruker dette, og får p q) F F q p) Identitetsloven medfører at dette blir p q) q p) ruker vi så den kommutative loven på passende steder, får vi da p q) p q) som er det søkte uttrykket. Eksamen i Matematikk for IT, desember løsningsforslag Side 7 av

8 c) I læreboka er det beskrevet tre gyldige slutningsregler: modus ponens, modus tollens og syllogismeloven. Er noen av disse tre gyldige slutningsreglene brukt i de følgende to slutninger? ngi i så tilfelle hvilken slutningsregel som er brukt i hvert tilfelle. i. Hvis Kari og Per har samme mor, så er Kari og Per søsken. Kari og Per er søsken. Derfor har Kari og Per samme mor. Det kan være lurt å gi de ulike utsagnene navn for lettere å kunne sammenligne med slutningsreglene. Vi kan f eks bruke følgende betegnelser: p: Kari og Per har samme mor. q: Kari og Per er søsken. Slutningen over kan da skrives ved hjelp av symboler på følgende måte: p q q p Vi ser at dette ikke er noen av de tre gyldige slutningsreglene nevnt i oppgaven. ii. Hvis Kari og Per har samme far, så er Kari og Per søsken. Kari og Per er ikke søsken. Derfor har Kari og Per ikke samme far. Her bruker vi følgende symboler: p: Kari og Per har samme far q: Kari og Per er søsken Slutningen over kan da skrives ved hjelp av symboler på følgende måte: p q q p Dette er modus tollens, og følgelig en gyldig slutning. d) enytt direkte bevis til å bevise at summen av et partall og et oddetall, er et oddetall. nta nå at n er et partall og m er et oddetall. Vi skal da vise at n + m er et oddetall. Dersom n er et partall, kan det skrives som n = a med a Z a er altså et heltall) Dersom m er et oddetall, kan det skrives som m = b + med b Z Dette gir n + m = a + b + = a + b) + Siden a og b er heltall, er også a + b et heltall. Følgelig er a + b) et partall siden et heltall ganger er et partall). Eksamen i Matematikk for IT, desember løsningsforslag Side 8 av

9 Et partall + er et oddetall. Følgelig er a + b) + et oddetall. Siden a + b) + er lik n + m, er også n + m et oddetall, og det var jo nettopp det vi skulle bevise. Oppgave 5. En relasjon på denne mengden er gitt ved b), b, d), c, c), c, e), e, b), e, e), a, a), d, d) Gitt mengden a, b, c, d, e R a, c), a, d), b, a), b, a) ngi relasjonen ved dens nabomatrise. Nabomatrisen er skrevet slik at først rad gjelder fra node a, andre rad fra node b, osv, samt at første kolonne gjelder til node a, andre kolonne gjelder til node b osv. Nabomatrisen blir da som følger: M b) Tegn relasjonen som en rettet graf. a b d c e c) ngi og begrunn hvorvidt relasjonen er refleksiv, symmetrisk, antisymmetrisk og/eller transitiv. ruk dette til å avgjøre om R er en ekvivalensrelasjon, en delvis ordning partialordning) eller ingen av delene. Relasjonen er refleksiv fordi alle elementer i har relasjon til seg selv. Relasjonen er ikke symmetrisk fordi vi f eks har a, c) R mens c, a) R. Relasjonen er antisymmetrisk fordi vi ikke har noen symmetriske par. Relasjonen er ikke transitiv, fordi vi f eks har a, c) og c, e) mens vi mangler a, e). Fordi relasjonen ikke er transitiv, er den verken en ekvivalensrelasjon eller en delvis ordning. Eksamen i Matematikk for IT, desember løsningsforslag Side 9 av

10 Oppgave 6 Gitt et univers, U, og mengdene og. nta nå at mengdene og er ikke-disjunkte. a) Hva er )? ruk venndiagram når du begrunner svaret. t og er ikke-disjunkte, betyr at de har felles elementer, altså at de i venndiagrammet skal tegnes som delvis overlappende. Venndiagrammet for er slik det skraverte feltet angir resultatet av mengdeoperasjonen): Venndiagrammet for er som følger: Venndiagrammet for ) blir derfor: Vi ser av venndiagrammet at ) b) Vi definerer en ny mengde, C, ved C ) ) Eksamen i Matematikk for IT, desember løsningsforslag Side av

11 Hva er da C ) ruk venndiagram til å begrunne svaret. Mengden den skraverte delen er resultatet av mengdeoperasjonen): Mengden : Mengden C ) ) blir derfor: Dette kalles for øvrig den symmetriske differensen mellom og, og kan skrives. er jo feltet som ikke er skravert på venndiagrammet over. Vi ser da at C ) Eksamen i Matematikk for IT, desember løsningsforslag Side av

12 Eksamen i Matematikk for IT, desember løsningsforslag Side av Oppgave 7 Gitt følgende matriser: a) Finn T. T b) Finn følgende matriseprodukter dersom de eksisterer: i. ) ) ) ) ) ) ) ii. Dette matriseproduktet eksisterer ikke.