EKSAMEN Løsningsforslag

Transkript

1 ..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christia F Heide Eksamesoppgave: Oppgavesettet består av 6 sider iklusiv dee forside og et vedlegg på é side. Kotroller at oppgave er komplett før du begyer å besvare spørsmålee. Oppgavesettet består av oppgaver med i alt deloppgaver. Ved sesur vil alle deloppgaver telle omtret like mye. Der det er mulig skal du: vise utregiger og hvorda du kommer fram til svaree begrue die svar, selv om dette ikke er eksplisitt sagt i hvert spørsmål Sesurdato: 5. jauar Karakteree er tilgjegelige for studeter på studetweb seest virkedager etter oppgitt sesurfrist. Følg istruksjoer gitt på: Løsigsforslag til eksame i Matematikk for IT, desember Side av

2 Oppgave a) Kovertér 4 til biærtall. Dette ka f. eks. gjøres ved gjetatte divisjoer med itil kvotiete er : 4: = : = : = 5: = : = : = Det biære tallet vi søker vil da være restee i divisjoee lest fra høyre mot vestre, altså: z b) Gitt to komplekse tall z i og w i. Fi. Skriv svaret på forme a + bi. w Her gager vi teller og ever med de komplekskojugerte av evere: z w i i i i i i 6i 6 ) i 5 5 5i i i 5 5 c) Bruk Ve-diagram til å udersøke om følgede likhet er korrekt: A C) B A B) B C) Uttrykket A C) B ser slik ut i et Ve-diagram: A B C Uttrykket A B) B C) ser slik ut i et Ve-diagram: Løsigsforslag til eksame i Matematikk for IT, desember Side av

3 A B C Vi ser at disse ikke er like, og uttrykket er følgelig ikke korrekt. Oppgave a) Løs følgede homogee differesligig: y y y Karakteristisk ligig for dee differesligige, er Dee har følgede løsiger: dvs. 4 ) Løsige blir derfor y A B ) Side = ka vi skrive løsige som y A B ) b) Fi e partikulær løsig for følgede ihomogee differesligig og agi deretter de geerelle løsige for differesligige: y y y 8 Løsigsforslag til eksame i Matematikk for IT, desember Side av

4 Når vi skal fie e partikulær løsig, forsøker vi først med e løsig som er på samme forme som høyre side i ligige, altså e kostat, K, i dette tilfellet. Imidlertid har allerede løsige av de tilhørede homogee ligige e kostat løsig i seg gjeom leddet A), og vi må derfor oppgradere løsige vi forsøker oss med ved å multiplisere med, altså y K Dette iebærer at vi har y K ) K K og y K ) K K Vi setter så dette i i ligige for å bestemme kostate K: K K K) K K) 8 Gager vi ut paretesee får vi K K K K 6K 8 Samler vi ledd av samme grad på høyre og vestre side, fier vi for ledd med : K K K som gir = og altså ikke oe iformasjo. Tar vi så kostatleddee, fier vi: K 6K 8 som gir 4K 8 og altså K =. Vi har derfor fuet følgede partikulære løsig på de ihomogee ligige: y p De geerelle løsige er gitt ved løsige på de tilhørede homogee ligige, som vi altså fat i a), pluss de partikulære løsige vi fat her. De geerelle løsige er følgelig h p y y y A B ) Oppgave Gitt følgede predikater: Tx) : x er større e. Px) : x er et partall. Nx) : x er egativ. Ata at uiverset dvs. de mulige verdier av x som vi tar i betraktig) er alle hele tall, Z. Beskriv hva hvert av følgede utsag sier og agi sahetsverdie husk å gjøre begge deler). a) x [Nx)] «Det fies et heltall som ikke er egativt.» Dette er sat. Løsigsforslag til eksame i Matematikk for IT, desember Side 4 av

5 b) x [Tx) Px)] «For alle heltall er det slik at tallet er større e og tallet er et partall.» E alterativ, likeverdig formulerig er: «Alle heltall er både større e og partall.» Dette er falskt. Oppgave 4 Gitt følgede sammesatte logiske utsag: p q) q) p Bruk e sahetstabell til å udersøke om dette utsaget er e tautologi. p q p q p q p q) q p q) q) p S S F F S F S S F F S F F S F S S F S F S F F S S S S S Vi ser at uttrykket er sat uasett hva sahetsverdiee til p og q er. Følgelig: Uttrykket er e tautologi. Oppgave 5 Gitt følgede logiske utsag: p p q)) Beytt lovee i logikk gitt på vedlagte ark til å fie hvilket av følgede utsag dette er logisk ekvivalet med: i) p q ii) p iii) p q iv) p q Bruk ku é lov i hvert tri og agi for hvert tri hvilke lov du bruker. Det er flere veier fram til målet i dee oppgave. Her er e vei: p p q)) De Morgas lov 4) på de ytterste paretese p p q) De Morgas lov 4) på de gjeståede paretese p p q) Ivolusjoslov 7) p p q) Distributiv lov ) Løsigsforslag til eksame i Matematikk for IT, desember Side 5 av

6 p p) p q) Iverslov 8) på de fremste paretese F p q) Idetitetslov 9) p q Vi ser at uttrykket er ekvivalet med uttrykket i iii). Oppgave 6 E faglærer har 4 lærebøker som omhadler ulike temaer ie IT, og øsker å se litt på hvorda de dekker pesum ie de tre temaee datakommuikasjo, operativsystemer og algoritmer. Hver av bøkee omhadler ige, ett eller flere av disse tre temaee. 8 bøker omhadler datakommuikasjo, bøker omhadler operativsystemer og omhadler algoritmer. 5 bøker omhadler både datakommuikasjo og operativsystemer, bøker omhadler både datakommuikasjo og algoritmer, 6 bøker omhadler både operativsystemer og algoritmer og bøker omhadler alle de tre temaee. a) Hvor mage lærebøker omhadler ige av de tre temaee? Vi ka kalle megde av bøker som omhadler datakommuikasjo D, de som omhadler operativsystemer O og de som omhadler algoritmer A. Opplysigee som er gitt i oppgave ka da uttrykkes slik: D = 8 O = A = D O 5 D A O A 6 D O A Atall bøker som ikke omhadler oe av disse temaee er gitt ved totalt atall bøker mius atall bøker som omhadler mist ett av temaee, altså som 4 D O A Iklusjos- og eksklusjosprisippet for dette problemet ka uttrykkes D O A = D + O + A D O D A O A + D O A Bruker vi tallee gitt i oppgave, fier vi: D O A = = Atall bøker som ikke omhadler oe av temaee, er derfor 4 = b) Hvor mage lærebøker omhadler eksakt ett av de tre temaee? Altså atall bøker som omhadler ete datakommuikasjo, operativsystemer eller algoritmer, me hvor det ikke er mer e ett av disse temaee i hver av bøkee. Vi ka rege ut dette på to ulike måter. Løsigsforslag til eksame i Matematikk for IT, desember Side 6 av

7 De ee måte er slik: Vi reger ut D O A og trekker så fra det atallet som er i sittee mellom megdee: D O A D O D A O A + D O A Det siste leddet i uttrykket skyldes at vi trekker fra sittet mellom alle de tre megdee tre gager, og må derfor legge det til to gager for at vi skal ha trukket det fra bare e gag. Uderveis i oppgave a) fat vi at D O A =. Setter vi i dette og de adre tallee som er oppgitt i oppgave, fier vi: = E alterativ måte å rege ut dette på, er slik: Vi tar først de bøkee som omhadler datakommuikasjo og trekker fra de bøkee som også omhadler ete operativsystemer, algoritmer eller begge deler, som vist i følgede Ve-diagram: D O A Dette er gitt ved D D O D A + D O A = = Det at vi må legge til D O A skyldes at vi har trukket det fra to gager me skal bare trekke det fra e gag. Vi må deretter gjøre det samme for de to adre fagområdee. For bøker som bare omhadler operativsystemer får vi O D O O A + D O A = = 4 For bøker som bare omhadler algoritmer får vi A D A O A + D O A = 6 + = 6 Totalt atall bøker som omhadler ku ett av de tre temaee blir summe av disse tre bidragee, altså = Løsigsforslag til eksame i Matematikk for IT, desember Side 7 av

8 Løsigsforslag til eksame i Matematikk for IT, desember Side 8 av For oversiktes skyld: her er atall i de ulike kategoriee: Oppgave 7 Gitt følgede matriser: A B a) Reg ut AB og BA dersom de eksisterer. ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) AB Matriseproduktet BA eksisterer ikke. b) Fi T A og det A. Begru også hvorvidt A er iverterbar du treger ikke å fie de iverse matrise). D O A 4 6 4

9 T A det A ) ) )) 6 5 Vi ser at determiate til A er forskjellig fra. Dette betyr at A er iverterbar. Oppgave 8 E rettet graf G = V, E) er gitt ved og V = {a, b, c} E = {a, b), b, a), b, b), b, c), c, a)} a) Teg dee grafe. a b c b) E ka betraktes som e relasjo på megde V. Udersøk og begru om relasjoe er refleksiv, symmetrisk, atisymmetrisk, trasitiv eller ige av delee? Vi ser at a, a) og c, c) magler. Relasjoe er derfor ikke refleksiv. Relasjoe er heller ikke symmetrisk fordi vi for eksempel har b, c) me magler c, b). Relasjoe er ikke atisymmetrisk fordi vi har både a, b) og b, a). Relasjoe er ikke trasitiv fordi vi for eksempel har relasjoee a, b) og b, c) me magler a, c). Oppsummert: Relasjoe er ige av delee. Løsigsforslag til eksame i Matematikk for IT, desember Side 9 av

10 c) Er relasjoe e fuksjo? Svaret må begrues. Relasjoe er ikke e fuksjo fordi b har relasjo til mer e ett elemet b har relasjo til både a, b og c). Oppgave 9 Nedefor er grafee G V, ) og G V, ) teget. E E a b e f c G V, ) G V, ) E d E a) Er G e eulergraf? Begru svaret. Dersom de er e eulergraf, fi e eulersyklus. For at e graf skal være e eulergraf må alle odee ha e grad som er et partall. Her ser vi for eksempel at grade til ode b er. Følgelig: G er ikke e eulergraf. b) Er G og G isomorfe? Dersom de er isomorfe, agi e isomorfi f : V V. Dersom de ikke er isomorfe, forklar hvorfor de ikke er det. Et ødvedig me ikke tilstrekkelig krav for at grafee skal være isomorfe, er at atall oder og atall kater må være like. Vi ser at det er 6 oder i hver graf og 9 kater i hver graf. Dette er derfor oppfylt. I tillegg må grade til samsvarede oder være like. Vi ser for eksempel at i G har både ode og grad. I G er det imidlertid bare é ode som har grad, emlig a. Av dette ka vi slutte: grafee er ikke isomorfe. Oppgave Teg tilstadsdiagrammet for e edelig automat edelig tilstadsmaski ute utgag) med igagsalfabet I = {, } som gjekjeer alle biære streger som ieholder strege. Tilstadsdiagrammet ka teges slik: Løsigsforslag til eksame i Matematikk for IT, desember Side av

11 Start s s s s, Oppgave Gitt e grammatikk med startsymbol s, hvor megde av ikke-avslutigssymboler er N = {s, t, u} og megde av avslutigssymboler er T = {, }. Grammatikke har følgede produksjosregler: s t t u u a) Er dee grammatikke kotekstfri? Begru svaret. For at e grammatikk skal være kotekstfri må tre krav være oppfylt: i. De må ha e edelig megde avslutigssymboler, kalt T ii. De må ha e edelig megde ikke-avslutigssymboler, kalt N, og hvor T og N er disjukte, altså at T N iii. Det må fies e edelig megde produksjosregler på forme w w hvor w N og w N T) *. Her er både T og N edelige megder, og de er disjukte. De to første kravee er derfor oppfylt. Videre er vestreside i alle produksjosreglee elemet i N, og alle høyresidee er streger fra N T) *. Følgelig er også det tredje kravet oppfylt. Grammatikke er følgelig kotekstfri. b) Er dee grammatikke regulær? Begru svaret. Kravee for at e grammatikk skal være regulær, er at: i. Grammatikke er e kotekstfri grammatikk ii. Produksjosreglee er på e av følgede former a. w der w N og er de tomme strege b. w aw der w, w N og a T c. w a der w N og a T Det første kravet er oppfylt det ble begruet i delspørsmål i). Hvis vi ser på produksjosreglee, ser vi at s t er e produksjosregel av type a og u er av type c. Imidlertid er produksjosregele Følgelig: Grammatikke er ikke regulær. t u ikke hverke av type a, b eller c. er av type b. Løsigsforslag til eksame i Matematikk for IT, desember Side av