Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag Eksamen i: Diskret matematikk

Transkript

1 Fakultet for tekologi, kust og desig Tekologiske fag Eksame i: Diskret matematikk Målform: Bokmål Dato: 9. ovember 017 Tid: Atall sider (ikl. forside): 9 Atall oppgaver: 6 Tillatte hjelpemidler: Forhådsgodkjet ordbok. Hådholdt kalkulator som ikke kommuiserer trådløst og som ikke ka rege symbolsk. Merkad: Kadidate må selv kotrollere at oppgavesettet er fullstedig. Ved evetuelle uklarheter i oppgavetekste skal du redegjøre for de forutsetiger du legger til gru for løsige. Besvarelse skal merkes med kadidatummer, ikke av. Bruk blå eller sort kulepe på iførigsarket. Faglig veileder: Utarbeidet av (faglærer): Kotrollert av (e av disse): Ae lærer Sesor Istituttleder/ Studieleder Istituttleders/ Studieleders uderskrift: Emekode: DAPE 1300 / ITPE 1300 Side 1 av 9

2 Oppgave 1 a) Avgjør om følgede utsag er e tautologi (dvs. alltid sat), e selvmotsigelse (dvs. alltid usat) eller ige av delee: )) Vis hvorda du kom frem til svaret. Gitt utsagsfuksjoe ) Oversett følgede setiger til logiske uttrykk ved hjelp operatorer: ), kvatorer og logiske i) «Ola er far til Per og Per er far til Ui, bare hvis Ola ikke er far til Ui.» ii) «Alle har e far.» iii) «Det fies oe som ikke har oe far.» c) La, og være vilkårlige megder. Teg et Ve-diagram der du skraverer megde ) ) ) d) Fi e formel for megde represetert ved det skraverte området i følgede Vediagram: Oppgave a) Gitt matrisee [ ] og [ ] i) Bestem matrise slik at. ii) Bestem de traspoerte matrise. iii) Bestem matriseproduktet. Side av 9

3 La være megde av alle hele tall, dvs. = {..., -3, -, -1, 0, 1,, 3,....}. La være defiert som fuksjoe der ). Avgjør om er i) e-til-e ii) på Svaree må begrues. Oppgave 3 a) Gitt tallet på biær form. Koverter tallet til i) Oktal form ii) Heksadesimal form iii) Desimal form Ata at vi bruker fast 8 bits format og -komplimet. Hvilket desimal tall represeterer det biære tallet ? c) 8-pussel er et spill som mage av oss kjeer igje fra bardomme. På et 3x3 brett er det plassert 8 brikker. E plass er «ledig» slik at brikkee ka skyves rudt på brettet. Målet er å få brikkee i e bestemt rekkefølge, for eksempel slik at tallee står i stigede rekkefølge slik: På hvor mage forskjellige måter ka brikkee plasseres? d) Vi skal se på et spill for e perso. Spillet har syv plasser og seks brikker, hvorav tre rude og tre trekatete. Når spillet starter står brikkee i dee posisjoe: Hvor mage ulike måter ka brikkee plasseres på? Side 3 av 9

4 Oppgave 4 Gitt differesligige, der og. a) Bestem ligiges karakteristiske polyom, og fi røttee og. De geerelle løsige er gitt ved. Hvilket ligigssett må løses for å fie og? Fi og og bruk dem til å bestemme formele for c) Reg ut og ved hjelp av i) formele for ii) differesligige Sjekk at du får samme svar. Oppgave 5 La og la være relasjoe på gitt ved ). (At betyr også at ) a) Skriv opp som e megde av kokrete tallpar. Teg grafe til til relasjoe. c) Sett opp matrise til relasjoe. d) Avgjør om er i) refleksiv ii) symmetrisk iii) atisymmetrisk iv) trasitiv e) Er relasjoe i) e ekvivalesrelasjo? ii) e partiell ordig (delvis ordig)? Alle svaree uder pukt d) og e) må begrues! Ny oppgave følger på este side. Side 4 av 9

5 Oppgave 6 Nedefor ser du et kart over bydelee i Berge kommue. a) Teg opp e graf som viser hvilke bydeler som greser til hveradre. La hvert pukt represetere e bydel og la katee represetere aborelasjoer dvs. gresee mellom bydelee. (NB! Fylligsdale greser ikke til Faa og Laksevåg greser ikke til Bergehus.) Bruk gjere bokstavforkortelser for bydelsavee. Er det mulig å fie e reiserute gjeom bydelee der alle gresee mellom bydelee krysses é og bare é gag? Med adre ord; fies det e åpe eller lukket Euler-vei gjeom grafe? I begruelse for svaret skal du gjøre rede for de betigelser som, ifølge Leohard Euler, må være oppfylt for at det skal fies e lukket eller åpe Euler-vei gjeom e graf. Side 5 av 9

6 Vedlegg Defiisjoer og formler Logiske operatorer: (ikke), (og), (eller), (eksklusiv eller), (implikasjo) Noe ekvivaleser fra utsagslogikk: p ( q r) ( p q) ( p r) p ( q r) ( p q) ( p r) ( p q) p q ( p q) p q p q p q p q q p xp( x) xp( x) xp( x) xp( x) Noe megdeidetiteter: A ( B C) ( A B) ( AC) A ( B C) ( A B) ( AC) A B A B A B A B Kardialitet atallet elemeter i e uio: A B A B A B A B C A B C A B AC B C A B C Fuksjoer: I fuksjoe f : A B betyr A defiisjosmegde og B verdiområde. E fuksjo f : A B er e-til-e hvis a 1, a A og a1 a, medfører at f ( a1) f ( a). E fuksjo f : A B er på hvis ( b B) ( a A) slik at f ( a) b. Matriser T A og er de matrise vi får år T De traspoerte til e matrise A beteges med radee og koloee i A byttes om. Første rad i A blir første koloe i A, adre rad i A T blir adre koloe i A, osv. Det betyr spesielt at hvis A er e m matrise, så blir T A e m matrise. Heltallsdivisjo (divisjosalgoritme), div og mod: La a være et heltall og d et positivt heltall. Da fies etydige heltall q og r med 0 r d slik at a dq r. Operasjoee div og mod defieres ved at a div d q og a mod d r. Side 6 av 9

7 Største felles divisor Største felles divisor (greatest commo divisor gcd) for to hele tall som ikke begge er 0, er det største heltallet som går opp i begge tallee. Miste felles multiplum Miste felles multiplum (least commo multiple lcm) for to positive heltall er det miste positive heltallet som begge går opp i. Formel gcd(a, og lcm(a,: Hvis gcd( a, er største felles divisor for a og b og lcm ( a, er miste felles multiplum for a og b, så er ab gcd( a, lcm( a, Moduloregig: La m være et positivt heltall. To heltall a og b kalles kogruete modulo m hvis m går opp i a b og det beteges med a b (mod m). 1) a b (mod m) hvis og bare hvis a mod m = b mod m ) a b (mod m) og c d (mod m), så er a c b d (mod m) og ac bd (mod m). Tverrsum La a være et positivt heltall. Tverrsumme til a er kogruet med a modulo 9. Summe av rekker: 1 k r 1 Geometrisk rekke: ar a, r 1 r 1 k 0 Aritmetisk rekke: La a være første ledd, b siste ledd og d differese mellom to og to b a ( a ledd. Atall ledd er gitt ved 1 og summe er lik d Biomialkoeffisieter:! ( 1) ( r 1) r r!( r)! r!, 1 0, 1, 1, r r 1 1, r r r 1 Biomialteoremet: ( a k k 1 a b a a b a b k0 k ab 1 b k 0 k Side 7 av 9

8 Atall forskjellige utvalg på r stykker fra e samlig på stykker: Ordet ute tilbakeleggig: ( 1) ( r 1) Uordet ute tilbakeleggig: Ordet med tilbakeleggig: Uordet med tilbakeleggig: r r r 1 r Det geerelle «pigeohole»-prisippet: Hvis N objekter skal plasseres i k bokser, må mist N é boks ieholde mist k objekter. Differesligiger: De geerelle lieære homogee differesligige av orde med kostate koeffisieter er på forme a c a c a 1 1 der c 1 og c er kostater. Ligiges karakteristiske polyom er gitt ved: r c r c. 1 Hvis det karakteristiske polyomet har to forskjellige reelle løsiger r 1 og r, blir geerell løsig lik a r1 r der og er vilkårlige kostater. Hvis startbetigelsee a 0 og a1 er gitt, fier e og ved å løse et ligigssystem. Hvis det karakteristiske polyomet har ku é løsig r 0, blir geerell løsig lik der og er vilkårlige kostater. Hvis startbetigelsee a 0 og a1 a r0 r0 er gitt, fier e og ved å løse et ligigssystem. Relasjoer: E relasjo R på e megde A er e delmegde av produktmegde La R være e relasjo på e megde A. A A. R er refleksiv hvis ( a, a) R for alle a A. R er symmetrisk hvis ( a, R, så er ( b, a) R. R er atisymmetrisk hvis a b og ( a, R, så er ( b, a) R. Side 8 av 9

9 R er trasitiv hvis ( a, R og ( b, c) R, så er ( a, c) R. E partisjo E samlig delmegder A 1, A, A 3,..., A av e megde A utgjør e partisjo av A hvis A A A... A 1 3 A og A A Ø for alle i j. Ekvivalesrelasjoer E relasjo R på e megde A er e ekvivalesrelasjo hvis de er refleksiv, symmetrisk og trasitiv. Ekvivalesklasser i Hvis R er e ekvivalesrelasjo på e megde A og a A, så er ekvivalesklasse [a] til a defiert ved [ a] { b A ( a, R}. Eller med ord: [a] er lik megde av de b A som er relatert til a. Ekvivalesklassee til e relasjo utgjør e partisjo av A. Delvis- eller partiell ordig E relasjo R på e megde A er e delvis ordig hvis de er refleksiv, atisymmetrisk og trasitiv. Hvis dette er oppfylt, sier vi at A er e delvis ordet megde (med hesy på R ). Et elemet a A er et maksimalt elemet hvis det ikke fies oe b A ( b a ) slik at ( a, R. Det betyr at det er ikke oe elemet som kommer «etter» a i ordige. Tilsvarede er et elemet oe b A ( b a ) slik at ( b, a) R. Grafteori: j a A et miimalt elemet hvis det ikke fies Grade til et pukt. La a være et pukt (eg: vertex) i e urettet graf. Grade grad (a) til a er atallet kater kyttet til puktet. Grad-kat-setige: La G være e urettet graf med edelig mage kater. Da vil summe av gradee til puktee i G være dobbelt så stor som atallet kater. Side 9 av 9