Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Transkript

1 Eksame REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål

2 Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: 5 timar: Del 1 skal leverast i etter 2 timar. Del 2 skal leverast i seiast etter 5 timar. Valege skrivesaker, passar, lijal med cetimetermål og vikelmålar Alle hjelpemiddel er tillate, med utak av Iterett og adre verktøy som tillèt kommuikasjo. Framgagsmåte: Du skal svare på alle oppgåvee i Del 1 og Del 2. Der oppgåvetekste ikkje seier oko aa, ka du fritt velje framgagsmåte. Om oppgåva krev ei bestemt løysigsmetode, vil også ei alterativ metode kue gi oko utteljig. Rettleiig om vurderiga: Poeg i Del 1 og Del 2 er berre rettleiade i vurderiga. Karaktere blir fastsett etter ei samla vurderig. Det betyr at sesor vurderer i kva grad du viser rekeferdigheiter og matematisk forståig gjeomfører logiske resoemet ser samahegar i faget, er oppfisam og ka ta i bruk fagkuskap i ye situasjoar ka bruke formålstelege hjelpemiddel vurderer om svar er rimelege forklarer framgagsmåtar og grugir svar skriv oversiktleg og er øyaktig med utrekigar, emigar, tabellar og grafiske framstilligar Adre opplysigar: Kjelder for bilete, teikigar osv. Alle grafar og figurar (Utdaigsdirektoratet) Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 2 av 20

3 DEL 1 Uta hjelpemiddel Oppgåve 1 (4 poeg) Deriver fuksjoae a) f( x) = 3cos x b) gx ( ) = 6 si( π x) + 7 c) hx 2x ( ) = 3e si(3 x) Oppgåve 2 (4 poeg) 2x Bestem itegralet dx ved å bruke 2 x 4 a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltig Oppgåve 3 (4 poeg) Pukta A(1, 1, 0), B (3,1, 1) og C ( 0, 0, 0) er gitt. a) Bestem AB AC. Bruk resultatet til å bestemme arealet av ABC. b) Bestem AB AC. Bruk mellom aa dette resultatet til å bestemme arealet av ABC. Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 3 av 20

4 Oppgåve 4 (3 poeg) Løys differesiallikiga y = 6xy år y (0) = 2 Oppgåve 5 (5 poeg) Ei rekkje er gitt ved S = a a) Bestem a 16 og S 16 b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å fie eit uttrykk for a og S. c) Bestem kor mage ledd rekkja mist må ha for at S > 400. Oppgåve 6 (2 poeg) Dee iformasjoe er gitt om ei kotiuerleg fuksjo f : fx> ( ) 0 for alle x f ( x) < 0 for x, 2 2, f ( x ) = 0 for x = 2 og for x = 2 f ( x ) = 0 for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafe til f ka sjå ut. Oppgåve 7 (2 poeg) Bruk iduksjo til å bevise påstade k 1 P( ): a + ak + ak + ak + + ak = a, k 1 Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 4 av 20

5 DEL 2 Med hjelpemiddel Oppgåve 1 (4 poeg) Ei pasiet får 8 ml av ei medisi kvar time. De totale megda medisi i kroppe t timar etter at medisieriga starta, er yt () ml. I løpet av ei time skil kroppe ut 5 % av de totale medisimegda. a) Forklar at y = 8 0,05 y b) Vis at yt ( ) e 0,05t = år y (0) = 0 c) Bestem lim yt. ( ) Kommeter svaret. t Oppgåve 2 (6 poeg) Fuksjoe f er gitt ved 0,5x fx ( ) = 12e si(0,5 x), x 0, 4π a) Teik grafe til f. b) Bestem evetuelle topp- og botpukt på grafe til f. c) Bestem arealet som er avgresa av grafe til f og x-akse. Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 5 av 20

6 Oppgåve 3 (8 poeg) Skissa edafor viser ei pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordiatsystem. Hjøra i pyramide er O(0, 0, 0), A( 3, 0, 0), B( 3, 3, 0), C(0, 3, 0) og D (0, 0, 4). a) Bestem ved rekig arealet av sideflata ABD i pyramide. b) Sideflata ABD ligg i eit pla α. Vis ved rekig at plaet α har likiga 4x+ 3z 12 = 0 c) Bestem avstade frå puktet O til plaet α. d) Bestem ved rekig vikele mellom dei to plaa som sideflatee ABD og BCD ligg i. Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 6 av 20

7 Oppgåve 4 (6 poeg) Figure edafor viser ei sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrat. Boge BC er ei del av sirkele med likig x + y = 9. Puktet A har koordiatae (2, 0) og OAC = y C F F 1 2 O A B x a) Vis at koordiatae til C er (2, 5 ). Bestem likiga for de rette lija gjeom O og C. b) Når flatestykket F 1 ( OAC ) blir dreidd 360 om x-akse, får vi ei kjegle. Bestem volumet av dee kjegla ved hjelp av itegralrekig. c) Når flatestykket F 2 blir dreidd 360 om x-akse, får vi eit kulesegmet. Bestem volumet av dette kulesegmetet ved hjelp av itegralrekig. Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 7 av 20

8 Oppgåve 5 (6 poeg) På figure er eit rektagel med sider x og y skrive i i ei sirkel. Sirkele har diametere D. v er vikele mellom x og D. D y v x a) Forklar at omkretse O til rektagelet ka skrivast som Ov ( ) = 2Dcos v+ 2Dsiv Bestem eit fuksjosuttrykk for arealet Av () av rektagelet. b) Bruk O () v og vis at det rektagelet som har størst omkrets, er eit kvadrat. Bestem de største omkretse av rektagelet uttrykt ved diametere D. c) Bruk Av () og vis at det rektagelet som har størst areal, også er eit kvadrat. Bestem det største arealet av rektagelet uttrykt ved diametere D. Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 8 av 20

9 Oppgåve 6 (6 poeg) Sierpiński-trekate, som har fått amet sitt etter de polske matematikare Wacław Fraciszek Sierpiński ( ), lagar vi slik: 1. Vi startar med ei likesida, svart trekat har areal A. Sjå figur Midtpuktet på kvar av sidee i trekate er hjøra i ei y kvit, likesida trekat. Dee kvite trekate fjerar vi. Vi står da igje med tre likesida, svarte trekatar. Sjå figur Vi gjetek dee prosesse med kvar av dei svarte trekatae. Sjå figurae 3 5. Vi tekjer oss at prosesse blir utført uedeleg mage goger. De «gjeomhola» figure vi da står igje med, blir kalla Sierpiński-trekate. Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur 4 Figur 5 Summe av areala som blir fjera (dei kvite trekatae), er gitt ved rekkja A a) Bestem summe av rekkja ovafor. Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpiński-trekate? b) Sidee i trekate i figur 1 er lik a. Forklar at omkretsae av dei svarte trekatae i figurae 2 5 ovafor er høvesvis a, 3 a, 3 a og 3 a c) Vi gjer prosesse som forklart i tri 2 ovafor goger. Forklar at omkretse av dei 3 svarte trekatae da er lik 3 a 2 Forklar at 3 3 a år 2 Kva fortel det om omkretse til Sierpiński-trekate? Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 9 av 20

10 Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer: Del 1 skal leveres i etter 2 timer. Del 2 skal leveres i seest etter 5 timer. Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler Alle hjelpemidler er tillatt, med utak av Iterett og adre verktøy som tillater kommuikasjo. Framgagsmåte: Du skal svare på alle oppgavee i Del 1 og Del 2. Der oppgavetekste ikke sier oe aet, ka du fritt velge framgagsmåte. Om oppgave krever e bestemt løsigsmetode, vil også e alterativ metode kue gi oe uttellig. Veiledig om vurderige: Poeg i Del 1 og Del 2 er bare veiledede i vurderige. Karaktere blir fastsatt etter e samlet vurderig. Det betyr at sesor vurderer i hvilke grad du viser regeferdigheter og matematisk forståelse gjeomfører logiske resoemeter ser sammeheger i faget, er oppfisom og ka ta i bruk fagkuskap i ye situasjoer ka bruke hesiktsmessige hjelpemidler vurderer om svar er rimelige forklarer framgagsmåter og begruer svar skriver oversiktlig og er øyaktig med utregiger, beeviger, tabeller og grafiske framstilliger Adre opplysiger: Kilder for bilder, tegiger osv. Alle grafer og figurer (Utdaigsdirektoratet) Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 10 av 20

11 DEL 1 Ute hjelpemidler Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) f( x) = 3cos x b) gx ( ) = 6 si( π x) + 7 c) hx 2x ( ) = 3e si(3 x) Oppgave 2 (4 poeg) 2x Bestem itegralet dx ved å bruke 2 x 4 a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltig Oppgave 3 (4 poeg) Puktee A(1, 1, 0), B (3,1, 1) og C ( 0, 0, 0) er gitt. a) Bestem AB AC. Bruk resultatet til å bestemme arealet av ABC. b) Bestem AB AC. Bruk blat aet dette resultatet til å bestemme arealet av ABC. Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 11 av 20

12 Oppgave 4 (3 poeg) Løs differesiallikige y = 6xy år y (0) = 2 Oppgave 5 (5 poeg) E rekke er gitt ved S = a a) Bestem a 16 og S 16 b) Forklar at rekke er aritmetisk, og bruk dette til å fie et uttrykk for a og S. c) Bestem hvor mage ledd rekke mist må ha for at S > 400. Oppgave 6 (2 poeg) Følgede iformasjo er gitt om e kotiuerlig fuksjo f : fx> ( ) 0 for alle x f ( x) < 0 for x, 2 2, f ( x ) = 0 for x = 2 og for x = 2 f ( x ) = 0 for x = 1 og for x = 3 Lag e skisse som viser hvorda grafe til f ka se ut. Oppgave 7 (2 poeg) Bruk iduksjo til å bevise påstade k 1 P( ): a + ak + ak + ak + + ak = a, k 1 Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 12 av 20

13 DEL 2 Med hjelpemidler Oppgave 1 (4 poeg) E pasiet får 8 ml av e medisi hver time. De totale megde medisi i kroppe t timer etter at medisierige startet, er yt () ml. I løpet av e time skiller kroppe ut 5 % av de totale medisimegde. a) Forklar at y = 8 0,05 y b) Vis at yt ( ) e 0,05t = år y (0) = 0 c) Bestem lim yt. ( ) Kommeter svaret. t Oppgave 2 (6 poeg) Fuksjoe f er gitt ved 0,5x fx ( ) = 12e si(0,5 x), x 0, 4π a) Teg grafe til f. b) Bestem evetuelle topp- og bupukter på grafe til f. c) Bestem arealet som er begreset av grafe til f og x-akse. Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 13 av 20

14 Oppgave 3 (8 poeg) Skisse edefor viser e pyramide OABCD som er plassert i et romkoordiatsystem. Hjøree i pyramide er O(0, 0, 0), A( 3, 0, 0), B( 3, 3, 0), C(0, 3, 0) og D (0, 0, 4). a) Bestem ved regig arealet av sideflate ABD i pyramide. b) Sideflate ABD ligger i et pla α. Vis ved regig at plaet α har likige 4x+ 3z 12 = 0 c) Bestem avstade fra puktet O til plaet α. d) Bestem ved regig vikele mellom de to plaee som sideflatee ABD og BCD ligger i. Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 14 av 20

15 Oppgave 4 (6 poeg) Figure edefor viser e sirkelsektor OBC der C ligger i første kvadrat. Bue BC er e del av sirkele med likig x + y = 9. Puktet A har koordiatee (2, 0) og OAC = y C F F 1 2 O A B x a) Vis at koordiatee til C er (2, 5 ). Bestem likige for de rette lije gjeom O og C. b) Når flatestykket F 1 ( OAC ) dreies 360 om x-akse, får vi e kjegle. Bestem volumet av dee kjegle ved hjelp av itegralregig. c) Når flatestykket F 2 dreies 360 om x-akse, får vi et kulesegmet. Bestem volumet av dette kulesegmetet ved hjelp av itegralregig. Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 15 av 20

16 Oppgave 5 (6 poeg) På figure er et rektagel med sider x og y iskrevet i e sirkel. Sirkele har diametere D. v er vikele mellom x og D. D y v x a) Forklar at omkretse O til rektagelet ka skrives som Ov ( ) = 2Dcos v+ 2Dsiv Bestem også et fuksjosuttrykk for arealet Av () av rektagelet. b) Bruk O () v og vis at det rektagelet som har størst omkrets, er et kvadrat. Bestem de største omkretse av rektagelet uttrykt ved diametere D. c) Bruk Av () og vis at det rektagelet som har størst areal, også er et kvadrat. Bestem det største arealet av rektagelet uttrykt ved diametere D. Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 16 av 20

17 Oppgave 6 (6 poeg) Sierpiński-trekate, som har sitt av etter de polske matematikere Wacław Fraciszek Sierpiński ( ), lages slik: 1. Vi starter med e likesidet, svart trekat som har areal A. Se figur Midtpuktet på hver av sidee i trekate er hjøree i e y hvit, likesidet trekat. Dee hvite trekate fjerer vi. Vi står da igje med tre likesidede, svarte trekater. Se figur Vi gjetar dee prosesse med hver av de svarte trekatee. Se figuree 3 5. Vi teker oss at prosesse blir utført uedelig mage gager. De «gjeomhullede» figure vi da står igje med, kalles Sierpiński-trekate. Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur 4 Figur 5 Summe av arealee som fjeres (de hvite trekatee), er gitt ved rekke A a) Bestem summe av rekke ovefor. Hva forteller svaret ditt om arealet av Sierpiński-trekate? b) Sidee i trekate i figur 1 er lik a. Forklar at omkretsee av de svarte trekatee i figuree 2 5 ovefor er heholdsvis a, 3 a, 3 a og 3 a c) Vi gjør prosesse som forklart i tri 2 ovefor gager. Forklar at omkretse av de 3 svarte trekatee da er lik 3 a 2 Forklar at 3 3 a år 2 Hva forteller dette om omkretse til Sierpiński-trekate? Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 17 av 20

18 Blak side. Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 18 av 20

19 Blak side. Eksame REA3024 Matematikk R2 Våre 2013 Side 19 av 20

20 Schweigaards gate 15 Postboks 9359 Grølad 0135 OSLO Telefo