Bokmål OPPGAVE 1. a) Deriver funksjonene: b) Finn integralene ved regning: c) Løs likningen ved regning, og oppgi svaret som eksakte verdier: + =

Transkript

1 OPPGAVE a) Deriver fuksjoee: ) f ( x) = 3six+ cosx ) gx ( ) = six cosx b) Fi itegralee ved regig: ) ) e 3e x d x l xd x Tips: l xdx= l xdx c) Løs likige ved regig, og oppgi svaret som eksakte verdier: si x si x 0 x 0, π + = d) Et pla α skjærer koordiataksee i puktee A(a, 0, 0), B(0, b, 0) og C(0, 0, c), der a 0, b 0 og c 0. z C uuur uuur ) Bestem vektorkoordiatee til AB og AC. r ) Vis at v= [ bcacab,, ] til plaet α. er e ormalvektor A B y 3) Fi likige til plaet α, og vis at de ka skrives som x + y + z = a b c x Side 3 av 9

2 OPPGAVE Fuksjoee f og g er gitt ved f ( x) = 3six og gx ( ) = cosx+ x 0, π a) Teg grafee til f og g i samme koordiatsystem. b) Bruk figure i a) til å fie koordiatee til skjærigspuktee mellom grafee til f og g. c) Løs likige ved regig: 3six cosx= x 0, π Visste du at: Likige ovefor kalles e trigoometrisk likig. Trigoometri ka oversettes med trekatmålig (fra lati). Hipparkhos (80 5 f.kr.) ka reges som de første som utviklet det vi kaller e siustabell. Betegelse trigoometri fier vi første gag på e bok fra 595 skrevet av B. Pitiscus (56 63). Kilde: Matematisk etymologi av Ragar Solvag Side 4 av 9

3 OPPGAVE 3 I et forsøk kaster oe elever e valig terig 500 gager. Vi lar de stokastiske variabele X være atall seksere. a) Bestem forvetigsverdie µ = E( X ) og stadardavviket σ = SD( X ). b) Fi P(75 X 9). Forklar hvorfor du her ka bruke ormalfordelig. Noe elever vil udersøke om e pappeske formet som e kube ka brukes i stedet for e terig. De kaster pappeske 500 gager og fier at de lader med toppe opp 77 gager. La p være sasylighete for at eske lader med toppe opp. c) Fi et estimat for p. d) Bestem et 95 % kofidesitervall for p. Kommeter resultatet. Visste du at: Kofides kommer av det latiske substativet cofidetia, e avledig av verbet cofidere, som betyr å lite på, stole på. Jf. tysk Kofidez og frask cofidece. Vi bruker ordet i statistikk i sammesetiger som kofidesitervall. Kilde: Matematisk etymologi av Ragar Solvag Side 5 av 9

4 OPPGAVE 4 Du skal besvare ete alterativ I eller alterativ II. De to alterativee er likeverdige ved vurderige. (Dersom besvarelse ieholder deler av begge, vil bare det du har skrevet på alterativ I, bli vurdert.) Alterativ I E kurve K er gitt i polarkoordiater ved = θ + 3 a) Teg kurve K. r θ [ 0, 3π ] b) Fi skjærigspuktee mellom K og y-akse ved regig. π π c) Merk av puktet P år θ = og puktet P år θ =. Reg ut arealet 6 3 avgreset av kurve K og lijestykkee OP og OP. E kurve er gitt i polarkoordiater ved r aθ b = + [ 0, 3π] θ, a> 0ogb> 0 d) La b =. Udersøk hvorda kurve edrer seg for ulike verdier av a. e) La a =. Udersøk hvorda kurve edrer seg for ulike verdier av b. 3 Side 6 av 9

5 Alterativ II Trekattall ka illustreres som atall prikker som daer e trekatfigur. Figur viser de tre første trekattallee a, a og a 3. Figur E geerell formel for et trekattall er gitt ved a = L+ a) Forklar at a = ( + ). Skriv opp de fem første leddee. Vi ser å på rekka L+ b b) Forklar at det geerelle leddet for dee rekka ka skrives som b = ( + ) c) Vis at b = = ( + ) + d) Bruk uttrykket for b fra c), og skriv ut oe ledd av rekka. Forklar at summe av rekka ka skrives som S = + e) Fi summe av de uedelige rekka L Side 7 av 9

6 OPPGAVE 5 Når et sykkelhjul triller bortover veie, vil et pukt på ytterkate av hjulet beskrive e kurve som kalles e sykloide. De krumme kurve S på figur er e sykloide. Sykkelhjulet på figure har radius a. Vikele t på figure viser hvor stor vikel hjulet har dreid fra bevegelse startet. Når hjulet har gjort é hel omdreiig, er t blitt π. Figur viser to omdreiiger av hjulet. Vi legger i et koordiatsystem slik figur viser. La (x, y) være et vilkårlig pukt på kurve S. Kurve S ka da skrives på parameterforme x = at ( si t) y = a( cos t) a) Teg av sykloide på svararket ditt år a = 0,35. Bruk cm som ehet på begge π 3π aksee. Marker puktee på kurve år t = 0, t =, t = π, t = og t = π. Vi har e sykkel hvor radius til hjulee er 0,35 m. b) Bruk formele for buelegde og lommeregere til å fie hvor lagt et pukt på ytterside av dekket har beveget seg år hjulet har gått rudt é gag. c) Vi teker oss at sykkele triller km. Hvor lagt har da et pukt på ytterside av dekket beveget seg? Side 8 av 9

7 Sykloideforme brukes ofte i dekorasjoer. Figur viser et eksempel på slik bruk. De krumme kurvee på bildet er tilærmet sykloideformet. Bildet er fra e udergrusstasjo i Lodo. Figur Vi vil fie arealet av det fliselagte området som er avgreset av gulvet og de krumme bue ærmest på bildet. Det tilsvarer å fie arealet av det flatestykket som er avgreset av kurve S og x-akse på figur år t 0, π. Dette arealet ka skrives som πa A= y dx 0 d) Bruk parameterframstillige til sykloide x = at ( si t) y = a( cos t) til å vise at ) d x = a( cos t)dt ) πa π d (cos cos )d A= y x= a t t+ t 0 0 e) Bestem ved regig arealet A, uttrykt ved radie a. Side 9 av 9