Eksamen R2, Våren 2013

Transkript

1 Eksame R2, Våre 2013 Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) f x 3cos x b) gx x 6si 7 2x c) hx 3e si3x Oppgave 2 (4 poeg) Bestem itegralet a) variabelskifte 2x dx x 4 2 ved å bruke b) delbrøkoppspaltig Oppgave 3 (4 poeg) Puktee A1, 1, 0, B3, 1, 1 og C 0, 0, 0 er gitt. a) Bestem AB AC. Bruk resultatet til å bestemme arealet av ABC. b) Bestem AB AC. Bruk blat aet dette resultatet til å bestemme arealet av ABC. Eksame REA3024 Matematikk R2 våre 2013 Side 1 av 7

2 Oppgave 4 (3 poeg) Løs differesiallikige y 6xy år y 0 2 Oppgave 5 (5 poeg) E rekke er gitt ved S a a) Bestem a16 og S 16 b) Forklar at rekke er aritmetisk, og bruk dette til å fie et uttrykk for a og S. c) Bestem hvor mage ledd rekke mist må ha for at S 400. Oppgave 6 (2 poeg) Følgede iformasjo er gitt om e kotiuerlig fuksjo f : f x 0 for alle x f x 0 for x, 2 2, f x 0 for x 2 og x 2 f x 0 for x 1 og x 3 Lag e skisse som viser hvorda grafe til f ka se ut. Oppgave 7 (2 poeg) Bruk iduksjo til å bevise påstade k P : a ak ak ak ak a, k Eksame REA3024 Matematikk R2 våre 2013 Side 2 av 7

3 Oppgave 1 (4 poeg) E pasiet får 8 ml av e medisi hver time. De totale megde medisi i kroppe t timer etter at medisierige startet, er medisimegde. a) Forklar at yt ml. I løpet av e time skiller kroppe ut 5 % av de totale y 80,05 y 0,05t b) Vis at yt e y c) Bestem t år 0 0 lim y t. Kommeter svaret. Oppgave 2 (6 poeg) Fuksjoe f er gitt ved 0,5x 12 si0,5, 0,4 f x e x x a) Teg grafe til f b) Bestem evetuelle topp- og bupukter på grafe til f c) Bestem arealet som er begreset av grafe til f og x -akse. Eksame REA3024 Matematikk R2 våre 2013 Side 3 av 7

4 Oppgave 3 (8 poeg) Skisse edefor viser e pyramide OABCD som er plassert i et romkoordiatsystem. Hjøree i pyramide er O0, 0, 0, A3, 0, 0, B3, 3, 0, C 0, 3, 0 og D 0, 0, 4. a) Bestem ved regig arealet av sideflate ABD i pyramide. b) Sideflate ABD ligger i et pla. Vis ved regig at plaet har likige 4x3z12 0. c) Bestem avstade fra puktet O til plaet. d) Bestem ved regig vikele mellom de to plaee som sideflatee ABD og BCD ligger i. Eksame REA3024 Matematikk R2 våre 2013 Side 4 av 7

5 Oppgave 4 (6 poeg) Figure edefor viser e sirkelsektor OBC der C ligger i første kvadrat. Bue BC er e del av sirkele med likig 2 2 x y 9. Puktet A har koordiatee 2, 0 og OAC 90 a) Vis at koordiatee til C er 2, 5. Bestem likige for de rette lije gjeom O og C. b) Når flatestykket F1 OAC dreies 360 om x -akse, får vi e kjegle. Bestem volumet av dee kjegle ved hjelp av itegralregig. c) Når flatestykket F 2 dreies 360 om x -akse, får vi et kulesegmet. Bestem volumet av dette kulesegmetet ved hjelp av itegralregig. Eksame REA3024 Matematikk R2 våre 2013 Side 5 av 7

6 Oppgave 5 (6 poeg) På figure er et rektagel med sider v er vikele mellom x og D. x og y iskrevet i e sirkel. Sirkele har diametere D. a) Forklar at omkretse O til rektagelet ka skrives som O v 2D cosv 2Dsiv Bestem også et fuksjosuttrykk for arealet Av av rektagelet. b) Bruk Ov og vis at det rektagelet som har størst omkrets, er et kvadrat. Bestem de største omkretse av rektagelet uttrykt ved diametere D. c) Bruk Av og vis at det rektagelet som har størst areal, også er et kvadrat. Bestem det største arealet av rektagelet uttrykt ved diametere D. Eksame REA3024 Matematikk R2 våre 2013 Side 6 av 7

7 Oppgave 6 (6 poeg) Sierpiński-trekate, som har sitt av etter de polske matematikere Wacław Fraciszek Sierpiński ( ), lages slik: 1. Vi starter med e likesidet, svart trekat som har areal A. Se figur Midtpuktet på hver av sidee i trekate er hjøree i e y hvit, likesidet trekat. Dee hvite trekate fjerer vi. Vi står da igje med tre likesidede, svarte trekater. Se figur Vi gjetar dee prosesse med hver av de svarte trekatee. Se figuree 3 5. Vi teker oss at prosesse blir utført uedelig mage gager. De «gjeomhullede» figure vi da står igje med, kalles Sierpiński-trekate. Summe av arealee som fjeres (de hvite trekatee), er gitt ved rekke A a) Bestem summe av rekke ovefor. Hva forteller svaret ditt om arealet av Sierpiński-trekate? b) Sidee i trekate i figur 1 er lik a. Forklar at omkretsee av de svarte trekatee i figuree 2 5 ovefor er heholdsvis a, 3 a, 3 a og 3 a c) Vi gjør prosesse som forklart i tri 2 ovefor gager. 3 Forklar at omkretse av de svarte trekatee da er lik 3 a 2 Forklar at 3 3 a år 2 Hva forteller dette om omkretse til Sierpiński-trekate? Eksame REA3024 Matematikk R2 våre 2013 Side 7 av 7