Løsning eksamen R1 våren 2010

Transkript

1 Løsig eksame R våre 00 Oppgave a) ) f ( ) l f ( ) ' l l l l f ( ) (l ) ) g( ) 4e g( ) 4 e ( ) 4 e ( ) g( ) 4( ) e b) ( ) P ) P() Divisjo med ( ) går opp : ( ) Dermed er P( ) ( )( 8). Vi fier ullpuktee til adregradsuttrykket. 8 0 = eller = 4 ( ) 4 ( 8) 6 6 Da er 8 ( )( 4). Det gir P( ) ( )( )( 4)

2 ) Vi lager fortegslije for P(). P 0 år og år 4. c) Hvis Per er fra Berge, så er ha også fra Norge. Vi ka dermed sette i. Me hvis Per er fra Norge, treger ha ikke være fra Berge. Vi ka dermed ikke sette i eller. Vi ka sette i. d) e) ) b a, 5 6, 0 ) Vektore c [ 5, ] står vikelrett på a fordi a c ( 5) eller eller eller 00 f) Først kostruer vi et lijestykke med legde r. Da setter vi av et lijestykket med legde r. Så kostruerer vi midtpuktet på dette lijestykket og har ka sette av legde r. Til slutt forleger vi lijestykket med e legde r.

3 Nå slår vi e sirkel med radius r og setter av et pukt A på sirkele. Vi slår e bue med radius r om A. Bue skjærer sirkele i to pukter, B og B. Puktet B ka vi ikke bruke, for da vil C falle utefor sirkele hvis orieterige skal være riktig. Vi kostruer så ormale på AB i puktet B. Vi halverer så vikele mellom AB og ormale. Dee halverigslija skjærer sirkele i puktet C. Vi trekker så lijestykkee AC og BC. Ettersom B er e periferivikel på 45, kue vi også ha fuet C ved å reise opp e ormal til AS i puktet S. Dee ormale vil skjære sirkele i C, fordi setralvikele til periferivikele B må være 90.

4 Oppgave a) Vi lager fortegslije for f ( ). Fuksjoe f vokser år og år. De avtar år. f har et toppukt for = og et bupukt for = b) f f ( ) 4 4 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4 6 f ( ) 0 for = og f ( ) skifter forteg i puktet. f har et vedepukt for =. c) Vi lager fortegslije for g ( ). Vi ser at maks = b og mi = c. Videre er g a b c a b c bc ( ) ( )( ) ( ) a( ( b c) bc) a a( b c) abc g( ) a a( b c) g ( ) er et førstegradsuttrykk som bare ka ha ett ullpukt. Fuksjoe ka dermed bare ha ett vedepukt. Førstekoordiate til vedepuktet er gitt ved a a( b c) 0 a a( b c) b c b c maks mi Førstekoordiate til vedepuktet ligger midt mellom maks og mi.

5 Oppgave a) Atallet utvalg er 79 5 b) For hver av de 7 kampee har vi to valg, U eller B. Atall kombiasjoer er 7 = 8 c) Atallet rekker med 5 rette er etter dette Atall rekker totalt er = 5 44 Sasylighete for at e rekke skal ieholde 5 hjemmeseire, er , Her ka vi også rege biomisk. Sasylighete for 5 hjemmeseire er 5 7 0,9 5 Oppgave 4 r( t) t, t a) Grafe til r : y 4 v() a ()

6 v( t) r ( t) t, t t, a( t) v ( t) t, 6 t, 0 r() [, ] 4, v() [,], a() [6, 0] 6, 0 b) c) v( t) v( t) er parallell med y-akse år -koordiate er 0. Det er år t 0 t 0 r (0) 0, 0, er parallell med y-akse i puktet (, ). Oppgave 5 Alterativ I a) Først deriverer vi fuksjoe. f ( ) f ( ) Tagete i puktet P(, ) har stigigstallet a f () Likige er y b. Tagete går gjeom (, ). Det gir b b Likige er y =. b) Skjærigspuktee mellom tagete og grafe er gitt ved 0 Vi vet at = er e løsig slik at divisjoe med () går opp.

7 : 0 Likige ka dermed skrives ( )( ) 0 eller 0 eller eller eller Vi brukte adregradsprogrammet og fikk løsigee = og = på likige 0. Når =, er y ( ) 6 8 Q har koordiatee (, 8). c) De adre tagete må også ha stigigstallet ettersom tagetee er parallelle. Da må f ( ) eller Tagerigspuktet til de adre tagete må være i =. Da er y f ( ) ( ) Tagerigspuktet er R(, ). Oppgave 5 Alterativ II a) Tauet som blir brukt til kvadratet har legde (0 ) målt i meter. Legde av sidee i kvadratet blir da 0. Arealet i kvadratmeter blir 4

8 0 0 F ( ) 4 6 b) Legde av sidee i trekate blir. Høyde h fier vi av dee figure: 6 h 6 Pytagorassetige gir 4 h Arealet er c) F ( ) h 6 6 F( ) F ( ) F ( ) (0 ) (00 0 ) (9 4 ) F ( ) (9 4 ) 80 (9 4 ) (9 4 ) 90 7 Arealet er mist år F ( ) 0. Vi ser av uttrykket at dette blir et bupukt, for F ( ) blir positiv for store verdier for. De miste verdie får vi år (9 4 ) , Vi bruker 5,65 m tau til trekate for at arealet skal bli mist mulig.

9 Dette kue vi like godt ha gjort digitalt ved å tege grafe og fie miimum. På Teaslommeregere blir det slik: Oppgave 6 a) ASD er likebeit da to sider har legde r. Dermed er ASD SAD b) Vi utytter vikelsumme i ASD og får ADS Dermed er SDC 80 ADS 80 (80 ) DSC er likebeit ettersom to sider har legde r. Dermed er SDC SCD c) y 80 ASD DSC 80 (80 ) 80 80

10 Oppgave 7 a) Vi ser at alle tallee er i -gage og er dermed delbare med. b) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) Vi setter. Da er et helt tall. Videre er ( ) ( ) Tallee, + og + er tre tall som er etter hveradre på tallija, og dermed gjør, og det også. Hver tredje tall på tallija er i -gage, og der med må ett av tallee, og være i -gage og dermed være delelig med. Tallet ka ikke være delig med, for er det eeste primtallet i primtallsfaktoriserige til. d) Ettersom ete eller er delelig med, vil alltid ( ) ( ) være delelig med. Me ifølge oppgave a er ( ) ( ) 4. (4 ) delelig med for alle aturlige tall.