Løsningsforslag Eksamen MAT112 vår 2011

Transkript

1 Løsigsforslag Eksame MAT vår OPPGAVE Gitt følge {a } defiert rekursivt ved a = 5, a + = a + 6, =,,, 3,.... (a) Vis (for eksempel ved iduksjo) at {a } er stregt avtagede og edtil begreset. (b) Avgjør om følge {a } kovergerer og fi evetuelt grese. SVAR OPPGAVE (a) At følge er stregt avtagede betyr at a + < a for alle. Viser dette ved iduksjo. For = er a = = < 5 = 5 = a. Så påstade holder for =. Ata påstade holder for = k, dvs. at a k+ < a k. Da er a k+ = a k+ + 6 < a k + 6 = a k+, hvor de midterste ulikhete følger fra iduksjoshypotese. Følge er dermed vist stregt avtagede ved iduksjo. At {a } er edtil begreset betyr at det fies e K slik at a K for alle =. Alterativ : Ser at {a } er edtil begreset av side a + = a + 6, fordi rote aldri er egativ. Alterativ : Bruker iduksjo for å vise at {a } er edtil begreset av 3. Påstade holder for = side a = 5 3. Ata at a 3; da er a + = a = 3. Så følge er vist edtil begreset ved iduksjo. (b) Et teorem sier at e følge som er stregt avtagede og edtil begreset kovergerer. Ved (a) kovergerer derfor følge {a }. For å fie grese lar vi L = lim a. Side x er e kotiuerlig fuksjo ka vi flytte grese forbi rotteget, så vi får at L = lim a + = lim a + 6 = lim a + 6 = L + 6. Kvadrerer vi begge sider, får vi at L = L + 6, som gir at L L 6 = (L 3)(L + ) =. Dermed er L = 3 eller L =, me fra (a) vet vi at følge er edtil begreset av (evt. 3), så følge kovergerer mot L = 3. OPPGAVE (a) Avgjør om rekke ( + ) l( + ) kovergerer. ( ) (b) Avgjør om rekke ) kovergerer absolutt. (3 + ( ) Du er på MAT-eksamesfest og e medstudet forteller forøyd om sitt svar på spørsmålet om dee rekke kovergerer betiget:

2 Rekke er altererede, side to påfølgede ledd alltid har motsatt forteg, og absoluttverdie av leddee går mot ull. Derfor kovergerer rekke ved altererede rekkers test. Du har alltid vært e festbrems og fier e feil i resoemetet. Hva er feile? Hva er ditt svar på om rekke kovergerer betiget? SVAR OPPGAVE (a) Bruker itegralteste med fuksjoe f(x) = (x+) l(x+), som er kotiuerlig, avtagede og positiv på itervallet [, ): dx = lim (x + ) l(x + ) R = lim R R [ l (x + ) l(x + ) ( ) l(r + ) l dx ( ) = lim R )] =. ( l() [ ( )] R l l(x + ) (I overgage (*) brukte vi substitusjoe u = l(x + ), slik at du = dx x+, og følgelig (x+) l(x+) dx = udu = l u + C = l l(x + ) + C. Absoluttverditeget droppes side x.) Dermed divergerer rekke ved itegralteste. (b) La a = (3+( ) ( ) ). Vi merker at a = { år er et oddetall, år er et partall. Side a og rekke divergerer, er rekke ikke absolutt koverget, ved sammeligig (evt. gresesammeligig). Feile i resoemetet er at studete har glemt ett av de tre kriteriee i altererede rekkers test, emlig at absoluttverdie av leddee må dae e avtagede følge for stor ok. For dee rekke er absoluttverdiee av leddee lik for odde og for jev. Hvis = l er partall og l >, ser vi at a = a l = 8l < l + = a l+ = a +, så følge { a } er ikke avtagede. For å fie ut av om dee rekke kovergerer (betiget), starter vi med å legge samme to og to påfølgede ledd, for = l oddetall og = l partall: a l + a l = Da får vi at (l ) + ( ) = 8l ( ) (3 ) = + ( ) (l ) 8l (l ) = = l + 8l (l ) 8l 6l(l ). ) (a l + a l = l= l= l + 6l(l ). (Merk at vi ikke har edret summasjosrekkefølge. Dette er viktig, side edrig av summasjosrekkefølge ka påvirke summe av rekke, dersom de er betiget koverget,

3 3 oe vi eå ikke har avgjort!) Dette er e rekke med positive ledd og l + 6l(l ) l 6l l = 8l, slik at rekke divergerer ved sammeligig med de divergete rekke l (og rekke er altså ikke betiget koverget). Gitt rekke OPPGAVE 3 ( ) ( + ) x. (a) Fi kovergesitervallet til rekke. (b) Fi et ekelt uttrykk for summe av rekke i det idre av kovergesitervallet. Kommetér også kort hva som skjer i evetuelle edepukter. SVAR OPPGAVE 3 (a) Dette er e potesrekke med kovergessetrum i. Kovergesradie R er gitt ved at R = lim ( ) + (+)(+) ( ) (+) = lim ( + ) ( + )( + ) = lim + =, slik at kovergesradie til rekke er. Derfor er kovergesitervallet (, ) pluss evetuelle edepukter, som vi sjekker spesielt: I edepuktee er x = og ( ) ( + ) x = ( + ), som er koverget ved sammeligig med de kovergete rekke, side (+). Vi har derfor absolutt koverges, og følgelig koverges, i begge edepuktee. Kovergesitervallet blir da [, ]. (b) Vi starter med potesrekke x = x, < x < =

4 og bytter ut x med x og itegrerer begge sider, side e potesrekke ka itegreres leddvis i det idre av kovergesitervallet: x + x = ( ) x = x + t dt = [ l( + t) ] x = l( + x) = = = = ( ) t dt [ ( ) + t+] x ( ) + x+ = ( ) x, hvor vi i siste likhet har edret til og følgelig edret edre summegrese. Merk at utledige gjelder for x, t (, ), og følgelig ka vi droppe absoluttverditegee i l-uttrykkee. (Det siste uttrykket over er for øvrig e kjet Maclaurirekke, slik at det er fullt lovlig å starte med dee.) Videre itegrerer vi e gag til: x l( + t) dt = [ ( + t) l( + t) ( + t) ] x = x ( ) t dt [ ( ) ( + ) t+] x (I siste overgag har vi brukt at l v dv = v l v v + C, som vi ete husker eller fier ved delvis itegrasjo.) ( ) ( ) ( + x) l( + x) ( + x) = ( ) x + l( + x) = ( ) ( + ) x+ ( ) ( + ) x, x. (I siste overgag delte vi begge sider på x og må følgelig ata at x, og gaget begge sider med.) For x = er summe av rekke lik, slik at uttrykket for summe av rekke i det idre av kovergesitervallet er fuksjoe { ( ) x S(x) = + l( + x) år x (, ) (, ), år x =. Kommetar om det som skjer i edepuktee: Vi vet fra (a) at rekke kovergerer i begge edepuktee x = ±, og at summe er e kotiuerlig fuksjo i edepuktee ved Abels teorem. Fuksjoe S(x) er defiert for x = og er kotiuerlig der. Derfor vet vi (ved Abels teorem i overgage (*) og kotiuitet av S i overgage (**)) at ( ) ( ) = lim ( + ) x ( ) ( + ) x ( ) = lim S(x) = S() = l. x

5 5 Fuksjoe S(x) er imidlertid ikke defiert for x =, me vi ka lett rege ut grese lim S(x) = ved å bruke at lim + ) l(x + ) =, som vi ete husker eller fier x + x +(x ved l Hôpital. Derfor vet vi (igje ved Abels teorem i overgage (*)) at ( ) ( ) ( ) = lim ( + ) x + ( ) ( + ) x = (Dee summe ka for øvrig også reges ut ved å bruke at ( ) ( + ) ( ) = ( + ) lim S(x) =. x + er e teleskoprekke.) Alterativ fremgagsmåte for å fie et uttrykk for summe av rekke: Vi merker at (+) = +. Derfor ka vi for x (, ) omskrive rekke som ( ) ( ( ) ( + ) x = x ( ) + x) ( ) = x ( ) + x ( ) = x ( ) x = ( ) = x ( ) x, x x = ( ) = x ( ( ) ) x x x = l( + x) ( l( + x) x) x = l( + x) l( + x) + x ( ) = x + l( + x), samme svar som over, for x. (Merk at vi ka edre summasjosrekkefølge ute problemer, side vi er i det idre av kovergesitervallet, der vi vet at rekke kovergerer absolutt.) OPPGAVE Gitt de polare kurvee r = cos θ og r = si(θ). De er teget i i figure uder.

6 6 (a) I tillegg til i origo, sitter kurvee hveradre i ett pukt, som ligger i første kvadrat. Fi dette puktet (uttrykt ved polare koordiater). (b) Uttrykk arealet av området som ligger samtidig iefor begge kurvee som et bestemt itegral eller sum av slike. Du skal ikke rege ut verdie av itegralet. (Om du i (a) ikke klarte å rege ut sittpuktet, kall dette puktet (r, θ ) og gi itegralet ved hjelp av θ.) SVAR OPPGAVE (a) La r = cos θ og r = si(θ ). Uteom i origo, skjærer kurvee hveradre i alle pukter der hvor ete () r = r og θ = θ + π, Z eller () r = r og θ = θ + π + π, Z. Vi ser imidlertid at multiplee av π ikke spiller oe rolle pga. periodisitete til både r og r, derfor treger vi ikke å ta hesy til dette. Vi udersøker først pukter av type (). Da har vi (med θ = θ = θ ) r = ( cos θ) = si(θ) = r cos θ = si(θ) = si θ cos θ (si(θ) = si θ cos θ) Hvis cos θ =, er θ = π, 3π, slik at r = r =, og puktet er origo, så det er ikke løsige vi er ute etter. Dermed ka vi dele med cos θ og får at ta θ =, som gir at θ = π eller 5π. Setter vi i θ = π i formele r, får vi at r = cos π = =. Dette gir oss puktet [, π ] i polare koordiater. Setter vi i θ = 5π i formele r, får vi r =. Dette gir oss puktet [, 5π ], som er samme pukt som det forrige. Dermed skjærer kurvee hveradre i puktet [, π ]. Vi har allerede fått opplyst at vi ku er på jakt etter ett pukt, og år vi fier et slikt pukt av type (), treger vi ikke mer udersøke pukter av type (). Dersom vi gjør det, vil vi faktisk fie på ytt samme pukt [, π ]. (b) La A = A = π r dθ = r dθ = π si(θ) dθ, ( cos θ) dθ. A er da arealet av området mellom stråle θ =, θ = π og kurve defiert ved r = si(θ). Dvs. de edre halvdele av området mellom begge kurvee. Tilsvarede er

7 7 A arealet av området mellom stråle θ = π, θ = π og kurve defiert ved r = cos θ. Dvs. de øvre halvdele av området mellom begge kurvee. Totalt areal blir dermed A = A + A = si(θ) dθ + π ( cos θ) dθ = si(θ) + π cos θ dθ. OPPGAVE 5 Fuksjoe T (x, y) = + x + y x y gir e temperaturfordelig i xy-plaet. (a) Hva vet vi om temperature i plaet lags e ivåkurve til T? Hvilke type kurver er ivåkurvee til T? (Hit: fullfør kvadratet og fi ut hvilke type kjeglesitt kurvee er og hva setrum er.) (b) I hvilke retig fra (, ) øker fuksjoe T mest og hva er de retigsderiverte i dee retige? (c) E varmesøkede partikkel beveger seg i plaet gjeom origo og følger hele tide de retige der temperature øker mest. Fi e ligig for kurve som beskriver bae. Hvorda krysser dee kurve ivåkurvee til T? (Dette ka du svare på selv om du ikke har klart å fie ligige for kurve.) SVAR OPPGAVE 5 (a) Temperature lags e ivåkurve er kostat. E ivåkurve til T er gitt ved T (x, y) = C, der C er e kostat. Vet at (x ) = x x + og at (y 3) = y 6y + 9. Dermed får vi at + x + y x y = C x + x + y + y = C (x ) + (y 3) + 8 = C (x ) + (y 3) = C (x ) C (y 3) + ) = ( C I siste lije har vi atatt at C <. Derfor er ivåkurvee ellipser med setrum i (, 3). (Hvis C = blir ivåkurve ku puktet (, 3) (e degeerert ellipse), mes C > er ikke mulig.) (b) Fuksjoe T øker mest i retige til gradiete. T (x, y) = T x i + T y j = ( x) i + ( y) j I origo øker altså T mest i retige T (, ) = i + j. De retigsderiverte i dee retige (i retige til vektore T (, )) er lik T (, ) = i + j = + = + 36 = 37. (c) Side gradiete i et pukt gir de retige T øker mest i, vil tagete til kurve være parallell med gradiete i ethvert pukt. Hvis kurve er gitt ved e fuksjo y(x)

8 8 rudt et pukt (x, y), da er tagetvektore gitt ved i + dy dx j. Dermed er ( i + dy ) dx ( ) j = k T (x, y) = k ( x) i + ( y) j. Deler vi koeffisietee på hveradre, får vi at k = differesialligige ( x) = dy dx y dy dx = y x dy dx = 3 y x l(3 y) = l( x) + C l(3 y) = l(( x) ) C e l(3 y) = e l(( x) ) C 3 y = C( x). Dette gir de separable Side kurve skal gå gjeom origo fier vi C ved å sette (x, y) = (, ) i ligige og får at 3 = C. Dermed blir ligige for kurve y = 3 3( x) = x 3x, dvs. y = 3x( x). Side tagete til dee kurve er parallell med gradiete til T i ethvert pukt og gradiete alltid står ormalt på ivåkurvee, vil kurve krysse ormalt på ivåkurvee. Gitt fuksjoe OPPGAVE 6 f(x, y) = x + y + 5 ; x >, y >. xy (a) Fi de partiellderiverte til f med hesy på x og y og vis at (5, ) er det eeste kritiske (stasjoære) puktet til f. Reg også ut fuksjosverdie i (5, ). (b) Begru (kort) at f har globale (absolutte) ekstremalverdier hvis vi gir de defiisjosmegde D = { } (x, y) R : x 5, y 3, xy. Vis også at f(x, y) > 3 på rade av D og utefor D (år x, y > ). (c) Du skal på telttur og skal lage e ramme av stålrør som skal brukes som reisverk til et telt. Ramme er satt samme av fire be med legde x festet til et rektagel med sider y og z, som vist i figure uder. Volumet V = xyz av teltet skal være 5m 3. Fi de dimesjoee av teltet x, y, z som gjør at de totale legde av stålrør som går med er mist mulig. Du får bruk for (a) og (b).

9 9 x y z (a) De partiellderiverte er SVAR OPPGAVE 6 f (x, y) = 5 x y og f (x, y) = 5 xy. Et kritisk (stasjoært) pukt er der hvor begge partiellderiverte er ull. Vi ser at som isatt i f (x, y) = gir f (x, y) = y = 5 x, = 5 5x ( ) 3 = x 5 5 = x3 5, x som gir x 3 = 5, dvs. x = 5, og følgelig y = 5 =. 5 Vi har f(5, ) = = 3. (b) Fuksjoe f er kotiuerlig på D og D er lukket og begreset, derfor vil f ata ekstremalverdier på D, ved ekstremalverdisetige i flere variable. På og utefor rade av D har vi x 5, eller y 3, eller xy. Dersom x 5 har vi f(x, y) 5 + y + 5 xy > 3, side x, y >, slik at de to siste leddee er positive. Likeledes, dersom y 3, har vi og dersom xy, har vi f(x, y) x xy > 3, f(x, y) x + y + 5 = x + y + 5 > 3. (c) Vi får opplyst at z = 5/xy, slik at de totale legde på ramme er ( ) ( x + y + z = x + y + z = x + y + 5 ) = f(x, y), x, y >. xy Fra (b) vet vi at f har miimumsverdi på D. Vi vet også at miimum ku ka forekomme i kritiske pukter, sigulære pukter eller radpukter av D. Fuksjoe har ige sigulære pukter (side de partiellderiverte er defiert overalt i defiisjosmegde {(x, y) x, y > }) og ku ett kritisk pukt (5, ), som er i D. Side f(5, ) = 3 og f(x, y) > 3 på rade av D ved (b), oppår f sitt miimum iefor D i (5, ). Side vi fra (b) også vet at f(x, y) > 3 utefor D, er f(5, ) også et globalt miimum for f på hele defiisjosmegde {(x, y) x, y > }.

10 Målee som gir mist total legde av rør er altså x = 5, y =, z = 5 xy =. Kommetar: Noe har ikke merket at legde er gitt ved to gager fuksjoe fra (a) og (b) og brukte derfor Lagrage multiplikatorer for å fie puktet (5, ). Problemet er at dee metode forutsetter at miimum fies, slik at ma treger et eller aet resoemet som i (b) som viser at legdefuksjoe faktisk oppår miimumsverdi. Avgjør om fuksjoe OPPGAVE 7 f(x, y) = er kotiuerlig i origo. Er f derivérbar i origo? Fuksjoe er kotiuerlig i origo hvis { x si y x +y år (x, y) (, ), år (x, y) = (, ). SVAR OPPGAVE 7 lim f(x, y) = f(, ) =. (x,y) (,) Hvis grese eksisterer, er de lik lags alle kurver i mot origo. Lags lije x = y er greseverdie lik lim f(x, x) = lim x=y x x si x x + x = lim x si x x =. si x (Her har vi brukt de velkjete grese lim = fra utledige av de deriverte av x x sius, eller, om vi ikke husker de, ka de fies ved l Hôpital). Side dee grese ikke er lik ull, ka heller ikke grese av f(x, y) mot origo være ull, så fuksjoe er ikke kotiuerlig i origo. Et setralt teorem sier at hvis e fuksjo er derivérbar i et pukt, så er de også kotiuerlig i puktet. Side vi har vist at fuksjoe ikke er kotiuerlig i origo, ka de heller ikke være derivérbar der. OPPGAVE 8 Avgjør om fuksjoe f(x) = x er uiformt kotiuerlig på itervallet [, ). (Du ka ete beytte defiisjoe eller vise til geerelle resultater om uiform kotiuitet fra pesum.) SVAR OPPGAVE 8 Fuksjoe f er kotiuerlig på det lukkede, begresede itervallet [, ] og derfor sier et resultat at f også er uiformt kotiuerlig på [, ]. Side f (x) = x er begreset på [, ) (vi har emlig f (x) ), er f uiformt kotiuerlig på [, ), ved et aet resultat.

11 Side f er uiformt kotiuerlig på [, ] og [, ), gir et aet resultat at f er uiformt kotiuerlig på [, ) = [, ] [, ). Alterativt, direkte ved defiisjoe: Vi viser først ulikhete (3) x x x x for alle x, x >. For å gjøre det, atar vi ved symmetri at x x og bruker at ulikhete vi skal vise er ekvivalet med ulikhete x x x + x x x (ved å kvadrere begge sider av ulikhete (3)). Dee er ekvivalet med x x x, som holder side x = x x x x. Vi har dermed vist (3). Gitt ɛ >. La δ = ɛ. Hvis x, x [, ) og x x < δ, da vil (ved hjelp av (3)) f(x ) f(x ) = x x x x < δ = ɛ, som viser at f er uiformt kotiuerlig på [, ). OPPGAVE 9 La f være e (reell) fuksjo (av é reell variabel) som er kotiuerlig på (, ) og begreset på [, ]. Vis at f er Riemaitegrérbar på [, ]. SVAR OPPGAVE 9 Et teorem sier at e begreset fuksjo f er Riemaitegrerbar på et lukket, begreset itervall [a, b] hvis og bare hvis det for ehver ɛ > fies e partisjo P av [a, b] slik at U(f, P ) L(f, P ) < ɛ. Gitt e vilkårlig ɛ >, da er f kotiuerlig på itervallet [ɛ, ɛ ] og et teorem sier at e kotiuerlig fuksjo på et lukket, begreset itervall er Riemaitegrerbar der. Dermed fies e partisjo P av [ɛ, ɛ ] slik at U(f, P ) L(f, P ) < ɛ. Side f er begreset, fies e M slik at f(x) M for alle x [, ]. La M være miste øvre skrake og m største edre skrake av f(x) på itervallet [, ɛ ] og la M og m være tilsvarede på itervallet [ ɛ, ]. Da er M, M M og m, m M, så M + M m m M. La P være partisjoe {, P, }. Da er ( U(f, P ) L(f, P ) = M ɛ + U(f, P ) + M ɛ ) (m ɛ + L(f, P ) + m ɛ ) = U(f, P ) L(f, P ) + (M + M m m )ɛ < ( + M)ɛ. Gitt e ɛ >, ka vi å defiere ɛ = ɛ +M, og deretter velge partisjoe P av [ɛ, ɛ ] beskrevet over, og partisjoe P av [, ] beskrevet over. Da blir U(f, P ) L(f, P ) < ( + M)ɛ = ɛ. Så teoremet i begyelse av svaret gir at fuksjoe er Riemaitegrérbar. Adreas Leopold Kutse Torleif Vee