Del1. Oppgave 1. a) Deriver funksjonen gitt ved. b) Bestem integralene. fx x. 5 e d. x x. c) Løs differensiallikningen. d) 1) Bruk formlene.

Transkript

1 Del1 Oppgave 1 a) Deriver funksjonen gitt ved fx x ( ) cos(3 x) b) Bestem integralene 1) x 5 e d x x 6x ) dx x 1 c) Løs differensiallikningen når y y y 3 0 d) 1) Bruk formlene cos( u v) cosu cosv sinu sinv cos( u v) cosu cosv sinu sinv tilåvise 1 cosu cosv cos( u v) cos( u v) ) Bruk1)tilåfinneetuttrykkfor cos x. Bestem integralet cos d x x Eksamen REA304 Matematikk R Side 13 av 4

2 e) I denne oppgaven får du bruk for den generelle sammenhengen b a F' x dx F b F a Tabellen nedenfor viser noen funksjonsverdier for funksjonene f, g og h. x fx ( ) gx ( ) hx ( ) Det opplyses i tillegg at f(x) g' x og h(x) g'' x. Bruk tabellen og tilleggsopplysningene til å finne integralene 1) ) f( x)dx hx ( )dx Eksamen REA304 Matematikk R Side 14 av 4

3 Oppgave Vihargittpunktene A (3,0, ), B(0,,0) og C (1, 1,4). a) Bestem AB AC. b) Finnenlikningforplanet somgårgjennompunktene A, B og C. Enrettlinje lgårgjennompunktet P(5,4,4) ogstårvinkelrettpåplanet. c) Vis at en parameterframstilling for l er x 5 t y 4 t z 4 t Finn skjæringspunktet mellom l og xz planet. Vilar Q væreetvilkårligpunktpålinjen l. d) BestemvolumetavpyramidenABCQuttryktved t. e) BestemkoordinatenetilQslikatvolumetavpyramidenABCQblir4. Eksamen REA304 Matematikk R Side 15 av 4

4 Del Idelvilvifølgesammetemaioppgavene3,4,5og6alternativI. Inoentilfellerkanresultateriénoppgavekommetilnytteiandreoppgaver. Det presiseres likevel at oppgavene kan løses uavhengig av hverandre. Oppgave 3 Du skal studere løsningen til differensiallikningen 6 y y y a) Bruk løsningen til den karakteristiske likningen til å vise at den generelle løsningen til differensiallikningen er 0,x y e Csinx Dcosx, dercogderkonstanter. 3 b) Dufåroppgittat y 0 5 og y 0. 4 Forklar at løsningen av differensiallikningen da kan skrives y 0,x 5e (sinx cos x) (Dukanfåbrukforat 3 sin = 4 og 3 cos = ) 4 Eksamen REA304 Matematikk R Side 16 av 4

5 Oppgave 4 Funksjonen f ergittved fx, x 0, 15 0,x ( ) 5e (sinx cos x) a) Tegngrafentilf. b) Bestemvedregningnullpunktenetil f. c) Visvedregningat f x e cosx 3sinx 0,x d) Tegn fortegnslinjen til f' x.brukdennetilåviseatfunksjonsverdienetiltoppunkteneer 6,164,1,754 og 0,499. e) Skriv fx ( ) påformen 0,x fx ( ) Ae sin( x ), der Aog erkonstanter. Funksjonene p og q ergittved dufantipunkte)over. px ( ) Ae 0,x og qx ( ) Ae 0,x, der A erkonstanten f) Forklarat qx ( ) fx ( ) px ( ).Tegngrafenetil p og q isammekoordinatsystemsom grafentil f. Eksamen REA304 Matematikk R Side 17 av 4

6 Oppgave 5 Vi vil studere flere egenskaper ved funksjonen fx x x 0,x ( ) 5e (sin cos ) når definisjonsmengden er 0,. a) Forklaratdet n-tenullpunktettil f kanskrivespåformen xn,356 ( n 1), der n 1 b) Hva slags tallfølge danner nullpunktene? Hvor mange nullpunkter får vi hvisx 0, 30? c) Detreførstefunksjonsverdienetiltoppunktenepågrafentil f ergittioppgave4d).alle disse danner også en tallfølge. Vis at denne tallfølgen er geometrisk, og finn det femte leddet i tallfølgen. Vi summerer y-koordinatene til alle toppunktene til høyre for origo. d) Vildenrekkenvifår,konvergerenårx?Finneventueltsummenavdenuendelige rekken. Eksamen REA304 Matematikk R Side 18 av 4

7 Oppgave 6 Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen. (Dersom besvarelsen din inneholder deler av begge alternativene, vilbaredetduharskrevetpåalternativi,blivurdert.) Alternativ I Etloddmedmasse m erfestetienfjær somerfestetiveggen.nårloddeteriro,er det i likevektsstilling. Se figur 1. Figur 1 Vi trekker loddet ut fra likevektsstillingen, gir det et puff bort fra likevektsstillingen, og setter dermed i gang en svingebevegelse framogtilbake.sefigurogfigur3. Avstanden fra likevektsstillingen til loddet vedtidspunktet t er () yt.sefigur. Figur Tida t ermåltisekunder,og yt () ermålt i desimeter. I horisontal retning virker to krefter på loddet: Figur 3 * Enkraftfrafjærasomerproporsjonalmed yt () * En friksjonskraft fra underlaget som er proporsjonal med farten vt () y' t Akselerasjonen til klossen er at v t Vi settery t y, v t v og at a. Newtons.lovvildagifølgendelikning bv k y ma derb,k og m erpositivekonstanter. Eksamen REA304 Matematikk R Side 19 av 4

8 a) Visatdennelikningenkanomformestil b k y y y 0 m m Vi setter b 1,0Ns/m, k,6n/mog m,5kg. b) Vis at du får differensiallikningen 6 y y y Bestemetuttrykkfor yt () nårdufåroppgittat y 0 5 og 3 y 4 0. c) Forklar at det går like lang tid mellom hver gang loddet passerer likevektsstillingen. d) Visatdetmaksimaleutslaget ypåsammesideavlikevektsstillingenminkermed71,5% fraettutslagtildetneste. Eksamen REA304 Matematikk R Side 0 av 4

9 Alternativ II Summenavdenførsteleddeneienrekkeergittved n Sn k n k 1 a) Forklar at S n nn 1. FinnS 8. Summenavdenførsteleddeneienannenrekkeergittved n sn k n k b) Brukdigitaltverktøytilåundersøkehvormangeleddrekkenmåhaforatsummenav rekkenskalværestørreenn Deterblittpåståttat n ( n 1) 1 3 n 4 c) Bevis formelen over ved induksjon.(spørsmål c) teller som to delspørsmål.) d) Forklar at n 1 3 n Eksamen REA304 Matematikk R Side 1 av 4